2012年普通高等学校招生全国统一考试——全国新课标
理科数学
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第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为
（ ）
A 、3
B 、6
C 、8
D 、10
2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A 、12种 B 、10种 C 、9种 D 、8种 3．下面是关于复数i
z +-=
12
的四个命题： 2|:|1=z p i z p 2:2
2= z p :3的共轭复数为i +1
z p :4的虚部为1- 其中的真命题为
（ ）
A 、2p ，3p
B 、1p ，2p
C 、2p ，4p
D 、3p ，4p
4．设1F 、2F 是椭圆E ：)0(122
22>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线2
3a x =上一点，12PF F ?
是底角为o
30的等腰三角形，则E 的离心率为 （ ）
A 、
2
1
B 、
3
2 C 、
43
D 、
5
4 5．已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a a
（
）
A 、7
B 、5
C 、-5
D 、-7
6．如果执行右边的程序框图，输入正整数)2(≥N N 和实数N a a a ,,,21 ，输出A 、B ，则
（ ） A 、B A +为N a a a ,,,21 的和 B 、
2
B
A +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C 、A 和
B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数 D 、A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某 几何体的三视图，则此几何体的体积为 （ ） A 、6 B 、9 C 、12 D 、18
8．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物
线x y 162
=的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则
C 的实轴长为
（ ） A 、2
B 、22
C 、4
D 、8
9．已知0>ω，函数)
4sin()(πω+
=x x f
在),2(ππ
单调递减，则ω的取值范围是（
） A
、]4
5,21[
B 、]43,21[
C 、]2
1,0( D 、]2,0(
10．已知函数x
x x f -+=
)1ln(1
)(，则)(x f y =的图像大致为
（ ）
A B C D
11．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球
O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为
（ ） A 、
6
2
B 、
6
3 C 、
3
2 D 、
2
2 12．设点P 在曲线x
e y 2
1=
上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为 （ ） A 、2ln 1-
B 、)2ln 1(2-
C 、2ln 1+
D 、)2ln 1(2+
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知向量a ，b 夹角为o
45，且||1a =，|2|10a b -=，则||b =
．
14．设x ，y 满足约束条件????
???≥≥≤+-≥-0
031y x y x y x ，则y x z 2-=得取值范围为
．
15．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布)50,1000(2
N ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
．
16．数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n
n ，则}{n a 的前60项和为
．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）
已知a 、b 、c 分别为ABC ?三个内角A 、B 、C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a ． （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若2=a ，ABC ?的面积为3，求b 、c ．
18．（本小题满分12分） 某花店每天以5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
19．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111C B A ABC -中，12
1
AA BC AC =
=，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1． （Ⅰ）证明：BC DC ⊥1；（Ⅱ）求二面角11C BD A --的大小．
20．（本小题满分12分）
设抛物线C ：)0(22
>=p py x 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA
为半径的圆F 交l 于两B 、D 点．
（Ⅰ）若o
BFD 90=∠，ABD ?的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；
（Ⅱ）若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到n 、m 距离的比值．
A C
B 1
B 1A D 1C
21．（本小题满分12分）
已知函数)(x f 满足2
1
2
1)0()1(')(x x f e
f x f x +
-=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥2
2
1)(，求b a )1(+的最大值．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，D 、E 分别为ABC ?边AB 、CD 的中点，直线DE 交
的外接圆于F 、G 两点，若AB CF //，证明： （Ⅰ）BC CD =；
（Ⅱ）BCD ?∽GBD ?．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程是?
??==??
sin 3cos 2y x （?为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ．正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A 、B 、C 、
D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3
,2(π
．
（Ⅰ）求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；
（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点，求2
2
2
2
||||||||PD PC PB PA +++的取值范围． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．
（Ⅰ）当|3-=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；
（Ⅱ）若|4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．
2012年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标(答案)
一、选择题： （1）【解析】选D
5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个
甲地由1名教师和2名学生：12
2412C C =种
（3）【解析】选C 22(1)
11(1)(1)
i z i i i i --=
==---+-+--
1:p z =2
2:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-
（4）【解析】选C
?21F PF 是底角为30的等腰三角形2213
32()224
c PF F F a c c e a ?==-=?== （5）【解析】选D
472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-?==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-?=-=?+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=?=-=?+=-
（6）【解析】选C （7）【解析】选B
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11
633932
V =????= （8）【解析】选C
设222:(0)C x y a a -=>交x y 162
=的准线:4l x =-
于(4,A
-(4,B --
得：222
(4)4224a a a =--=?=?=
（9）【解析】选A
592()[,]4
4
4
x πππ
ωω=?+∈ 不合题意 排除()D
351()[,]4
4
4
x πππ
ωω=?+∈ 合题意 排除()()B C
另：()22π
ωππω-
≤?≤，3()[,][,]424422x ππππππ
ωωπω+∈++? 得：315
,2424224
πππππωπωω+≥+≤
?≤≤ （10）【解析】选B
()ln(1)()1()010,()00()(0)0
x g x x x g x x
g x x g x x g x g '=+-?=-
+''?>?-<<?<= 得：0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D
ABC ?
的外接圆的半径3r =
，点O 到面ABC
的距离3
d == SC 为球O 的直径?点S 到面ABC
的距离为2d =
此棱锥的体积为11233ABC V S d ?=
?==
另：1236
ABC V S R ?<
?=排除,,B C D （12）【解析】选A 函数12
x
y e =
与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =
的距离为d =
设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=
-?=-?=-?= 由图象关于y x =对称得：PQ
最小值为min 2ln 2)d -
二．填空题
（13）【解析】b
=2
2210(2)1044cos 451032a b a b b b b ?-=?-=?+-=?=
（14）【解析】2z x y =-的取值范围为 [3,3]-
约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C
则2[3,3]z x y =-∈-
（15）【解析】使用寿命超过1000小时的概率为
3
8
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2
(1000,50)N 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12
p =
超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2
13
1(1)4
P p =--= 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138
p p p =?= （16）【解析】{}n a 的前60项和为 1830
可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+ 11234151514
1010151618302
b a a a a S ?=+++=?=?+?= 三、解答题
（17）
【解析】（1）由正弦定理得：
cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C +--=?=+
sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2
303060A C A C a C C
A A A A A ?
???
?+=++?-=?-=?-=?=
（2）1
sin 42
S bc A bc =
=?= 2
2
2
2cos 4a b c bc A b c =+-?+= 解得：2b c == （18）【解析】（1）当16n ≥时，16(105)80y =?-= 当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-
得：1080(15)
()80
(16)n n y n N n -≤?=∈?
≥?
（2）（i ）X 可取60，70，80 (60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======
的分布列为
600.1700.2800.776EX =?+?+?= 222160.160.240.744DX =?+?+?=
（ii ）购进17枝时，当天的利润为
(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =?-??+?-??+?-??+??=
76.476> 得：应购进17枝
（19）【解析】（1）在Rt DAC ?中，AD AC =
得：45ADC ?
∠=
同理：1114590A DC CDC ??
∠=?∠=
得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥?⊥面1BCD DC BC ?⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A BC AC ?⊥
取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =?⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ?⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥?⊥ 得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角 设AC a =
，则12
C O =
，111230C D C O C DO ?==?∠= 既二面角11C BD A --的大小为30?
（20）【解析】（1）由对称性知：BFD ?是等腰直角?，斜边2BD p =
点A 到准线l
的距离d FA FB ===
1
22ABD S BD d p ?=???=?=
圆F 的方程为22(1)8x y +-=
（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2
p
F
点,A B 关于点F 对称得：22
2
20000(,)3222
x x p B x p p x p p p --?-=-?=
得：3,
)2p
A
，直线3:02p p p m y x x -
=+?-=
22
2233
x x x py y y x p p p '=?=?==?=?
切点)6p P
直线:06p n y x x p -
=?-=
坐标原点到,m n 距离的比值为:326
=。（lfx lby ）
（21）【解析】（1）1
211
()(1)(0)()(1)(0)2
x x f x f e
f x x f x f e f x --'''=-+?=-+
令1x =得：(0)1f =
1
211
()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e
x x f f e f e --'''=-+?==?=
得：21()()()12
x x
f x e x x
g x f x e x '=-+?==-+
()10()x
g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得：()f x 的解析式为21()2
x
f x e x x =-+
且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）2
1()()(1)02
x f x x ax b h x e a x b ≥
++?=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾
②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+
2
(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令2
2()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-
()00()0F x x F x x ''>?<<
当x =max ()2
e F x =
当1,a b =
=时，(1)a b +的最大值为
2
e （22）【解析】（1）//CF AB ，//////DF BC CF BD AD CD BF ??= //CF AB AF BC BC CD ?=?=
（2）//BC GF BG FC BD ?==
//BC GF GDE BGD DBC BDC ?∠=∠=∠=∠?BCD GBD ??
（23）【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,
),(2,
),(2,),(2,)3
636
π
πππ
点,,,A B C D
的直角坐标为1,1)-- （2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ?
??
=??
=?为参数
2
2
2
2
224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 2
5620sin [56,76]?=+∈（lfxlby ）
（24）【解析】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥?-+-≥
2323x x x ≤???-+-≥?或23323x x x <
1x ?≤或4x ≥
（2）原命题()4f x x ?≤-在[1,2]上恒成立
24x a x x ?++-≤-在[1,2]上恒成立 22x a x ?--≤≤-在[1,2]上恒成立 30a ?-≤≤