求函数值域的7类题型和16种方法
一、函数值域基本知识
1.定义:在函数()y f x =中,与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。
2.确定函数的值域的原则
①当函数()y f x =用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合;
②当函数()y f x =用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合;
③当函数()y f x =用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;
④当函数()y f x =由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。
函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。
一般地,常见函数的值域:
1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.
2.二次函数()2
0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ??
-+∞??
??
,当0a <时的值域为24,4ac b a ??
--∞ ??
?., 3.反比例函数()0k
y k x
=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x
y a
a a =>≠且的值域为{}0y y >.
5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.
6.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型
题型一:一次函数()0y ax b a =+≠的值域(最值)
1、一次函数:()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ,其值域为R ;
2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值,只需分别求出()(),f m f n ,并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时,需结合函数图像来确定函数的值域。
题型二:二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域(最值)
1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , 当其 定义域为R 时,其值域为
()()22
4 044 04ac b y a a
ac b y a a ?-≥>???-?≤?
2、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值) 首先判定其对称轴2b
x a
=-与区间[],m n 的位置关系 (1)若[],2b m n a -
∈,则当0a >时,()2b
f a
-是函数的最小值,最大值为(),()f m f n 中较大者;当0a <时,()2b
f a
-是函数的最大值,最大值为(),()f m f n 中较小者。
(2)若[],2b
m n a
-
?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大(小)值。 特别提醒:
①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时,要结合图像来确函数的值域;
③当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
例1:已知 ()
2
2f x x --的定义域为[)3,-+∞,则()f x 的定义域为 (],1-∞ 。
例2:已知()2
11f x x -=+,且()3,4x ∈-,则()f x 的值域为 ()1,17 。
题型三:一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠=k x
k
y 的定义域为{}0x x ≠,值域为{}0y y ≠ 2、形如:cx d
y ax b
+=
+的值域:
(1)若定义域为b x R x a ??∈≠-????
时,其值域为c y R y a ??∈≠
????
(2)若[],x m n ∈时,我们把原函数变形为d by
x ay c
-=-,然后利用[],x m n ∈(即x 的
有界性),便可求出函数的值域。
例3:函数23
321
x x
y -=- 的值域为 [)1,3,3??-∞+∞ ??
? ;若[]1,2x ∈时,其值域为 11,511??
-????
。 例4:当(]3,1x ∈--时,函数1321
x
y x -=
+的值域 34,2??--????
。 (2)已知()3
12x f x x
-+=
-,且[)3,2x ∈-,则()f x 的值域为 6,5?
?-∞- ???
。 例5:函数2sin 1
3sin 2
x y x -=
+的值域为
[)1,3,5??-∞?+∞ ??? ;若3,22x ππ
??
∈???
?
,其值域为 12,23??
-????
。 题型四:二次分式函数22dx ex c y ax bx c
++=++的值域
一般情况下,都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题: ①检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值;②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存在;③分子、分母必须是既约分式。
例6:2216x x y x x +-=+-; ()21,,7?
?+∞?-∞ ??
?
例7:22
2
1x x y x +-=-; {}1y R y ∈≠ 例8:432+=x x y ; 33,44??
-????
例9:求函数()2
1
1,21
x y x x x -=∈-+∞++的值域 解:由原函数变形、整理可得:()2
2110yx y x y +-++=
求原函数在区间()1,-+∞上的值域,即求使上述方程在()1,-+∞有实数解时系数y 的取值范围
当0y =时,解得:()11,x =∈-+∞ 也就是说,0y =是原函数值域中的一个值 …① 当0y ≠时,上述方程要在区间()1,-+∞上有解,
即要满足()10f -<或0
211
2y y ≥??
-?->-??
解得:108y <≤ ……②
综合①②得:原函数的值域为:10,8??
????
题型五:形如y ax b =+ 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某
区间上求值域问题,然后求其值域。
例10: 求函数x x y -+=142在[]8,1x ∈-时的值域 []4,4- 题型六:分段函数的值域:
一般分别求出每一分段上函数的值域,然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出,从图像上便可很容易地得到函数的值域。 例11: 21++-=x x y [)3,+∞ 例12: 241y x x =-++ (],5-∞ 题型七:复合函数的值域
对于求复合函数的值域的方法是:首先求出该函数的定义域,然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。
例13: )11y x =-≤≤ []0,2
例14:y =
50,2??
????
四、函数值域求解的十六种求法 (1)直接法(俗名分析观察法):
有的函数结构并不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。
例1:已知函数()112
--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。 {}1,0,3-
例2:求函数1y =的值域。 [1,)+∞
例3:求函数()1y x =≥的值域。
)
+∞
例4:求函数y =
[)1,+∞
(2)配方法:
二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解,但在转化的过程中要注意等价性,特别是不能改变定义域。对于形如()2
0y ax bx c a =++≠或
()()()()2
0F x a f x bf x c a =++≠????类的函数的值域问题,均可使用配方法。
例1.求函数322+--=
x x y 的值域。
分析与解答:因为0322
≥+--x x ,即13≤≤-x ,4)1(2++-=
x y ,于是:
44)1(02≤++-≤x ,20≤≤y 。
例2.求函数x
x x y 422++=在区间]4,41
[∈x 的值域。
分析与解答:由x x x y 4
22++=配方得:62242
+???? ?
?-=++=x x x x y ,
当
241≤≤x 时,函数24++=x x y 是单调减函数,所以4
1186≤≤y ; 当42≤≤x 时,函数24
++=x
x y 是单调增函数,所以76≤≤y 。
所以函数在区间]4,41[∈x 的值域是4
1
186≤≤y 。
(3)最值法:
对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值,求函数的值域的方法。 例1 求函数y =3-2x -x 2 的值域。
解:由3-2x -x 2≥0,解出定义域为[-3,1]。 函数y 在[-3,1]内是连续的,在定义域内由3-2x -x 2 的最大值为4,最小值为0。 ∴函数的值域是[0,2]
例2:求函数2x
y =,[]2,2x ∈-的值域。 1,44??
????
例3:求函数2
256y x x =-++的值域。 73,
8??
-∞ ???
(4)反函数法(逆求或反求法):
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。即通过反解,用y 来表示x ,再由x 的取值范围,通过解不等式,得出y 的取值范围。对于形如)0(≠++=
a b
ax d
cx y 的值域,用函数和它的反函数定义域和值域关系,通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。
例1:求函数1212
x
x
y -=+的值域。 解:由1212x x
y -=+解得121x
y y -=+,
∵20x
>,∴
101y
y
->+,∴11y -<< ∴函数1212
x
x
y -=+的值域为(1,1)y ∈-。 (5)分离常数法:
分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。小结:已知分式函数)0(≠++=c d
cx b
ax y ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的
要求)内,值域为?
??
???≠
c a y y ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件)
,采用部分分式
法将原函数化为)(bc ad d cx c ad
b c a y ≠+-
+
=,用复合函数法来求值域。 例1:求函数125
x
y x -=+的值域。
解:∵177(25)112222525225x x y x x x -++
-===-++++, ∵7
2025
x ≠+,∴1
2y ≠-,
∴函数125x y x -=+的值域为1
{|}2
y y ≠-。
(6)换元法(代数/三角):
对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑运用代数或三角代换,将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数,从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时,用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。
对形如()
1
y f x =
的函数,令()f x t =
;形如,,,,0)y ax b a b c d ac =+≠均为常数的函数,
t =;
的结构的函数,可利用三角代换,令[]cos ,0,x a θθπ=∈,或令sin ,,22x a ππθθ??
=∈-
????
. 例1
:求函数2y x =
解:令t =0t ≥),则2
12
t x -=,
∴22
151()24
y t t t =-++=--+
∵当12t =
,即38x =时,max 5
4
y =,无最小值。
∴函数2y x =5
(,]4
-∞。
例2.求函数21)45)(125(2
2
++-+-=x x x x y 的值域。
分析与解答:令4925452
2
-??? ?
?
-=+-=x x x t ,则49-≥t 。
()()542182182
2++=++=++=t t t t t y ,
当49-≥t 时,161854492
min =+??
?
??+-=y ,值域为??????≥1618|y y
例3.求函数23102--+=x x x y 的值域。 分析与解答:由23102--+=x x x y =()2
52--+
x x ,令θcos 25=-x ,
因为()1cos 10cos 2205222
≤≤-?≥-?≥--θθx ,],0[πθ∈,则
()2
52--x =θsin 2,
于是54sin 25cos 2sin 2+??? ?
?
+=++=
πθθθy ,]45,4[4πππθ∈+,
14sin 22≤??? ?
?
+≤-
πθ,所以725≤≤-y 。 (7)判别式法:
把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =;通过方程有实数根,判别式0?≥,从
而求得原函数的值域。对形如21112
222
a x
b x
c y a x b x c ++=++(1a 、2a 不同时为零)的函数的值域,通常转化成关于x 的二次方程,由于方程有实根,即0≥?从而求得y 的范围,即值域。值得注意的是,要对方程的二次项系数进行讨论。
注意:主要适用于定义在R 上的分式函数,但定义在某区间上时,则需要另行讨论。
例1:求函数223
1
x x y x x -+=-+的值域。
解:由223
1
x x y x x -+=-+变形得2(1)(1)30y x y x y ---+-=,
当1y =时,此方程无解;
当1y ≠时,∵x R ∈,∴,2
(1)4(1)(3)0y y y ?=----≥ 解得1113y ≤≤
,又1y ≠,∴1113
y <≤ ∴函数2231
x x y x x -+=-+的值域为11
{|1}3y y <≤
(8)函数单调性法:
确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。例如,
()()0,0b
f x ax a b x
=+
>>.当利用不等式法等号不能成立时,
可考虑利用函数的单调性解题。
例1:求函数y x =
解:∵当x 增大时,12x -随x 的增大而减少,x 的增大而增大,
∴函数y x =1(,]2
-∞上是增函数。
∴1122
y ≤
=,
∴函数y x =1
(,]2
-∞。 例2.求函数x
x y 1
+
=在区间()+∞∈,0x 上的值域。 分析与解答:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则
()()()()2
12121211x x x x x x x f x f --=
-,因为21
0x x
<<,所以:0,02121><-x x x x ,
当211x x <≤时,0121>-x x ,则()()21x f x f >;
当1021<< x y 1 + =在区间()+∞∈,0x 上的值域为),2[+∞。 构造相关函数,利用函数的单调性求值域。 例3:求函数()x x x f -++=11的值域。 分析与解答:因为11010 1≤≤-?? ??≥-≥+x x x ,而x +1与x -1在定义域内的单调性 不一致。现构造相关函数()x x x g --+=11,易知)(x g 在定义域内单调增。 ()21m a x ==g g ,()21min -=-=g g ,()2≤?x g ,()202≤≤x g , 又()()422 =+x g x f ,所以:()422≤≤x f ,()22≤≤x f 。 (9)基本不等式法 利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时 要求和为定值。 利用基本不等式a b +≥“一正,二定,三相等”. 如利用a b +≥求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件①0,0a b >>;② ()a b ab +或为定值;③取等号成立的条件a b =.三个条件缺一不可。此外,有时需要合理 地添项和拆项和两边平方等技巧, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数(0,)n k y x k n N x =+ >∈的值域。 例1 求函数12 ++= x x y 的值域. 解: 211 11 2≥+ += = +++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为 ),2[+∞∈y . 此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程. 例2:求函数的值域:2211212x x y x x -+?? => ?-?? . 解:()2 1 21121111 2121212122 2 x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++---- 11 ,022 x x >∴-> 112122x x ∴- +≥-当且仅当11 2 122 x x - = - 时,即12x += 12y ∴≥ ,所以元函数的值域为12??+∞???? . 例3. 求函数的值域。 解:原函数变形为: 当且仅当 即当 时 ,等号成立 故原函数的值域为: 例4. 求函数的值域。 解: 当且仅当,即当 时,等号成立。 由 可得: 故原函数的值域为: (10)函数有界性法: 利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如d x b c x a y ++= cos sin ,由于正余弦函数 都是有界函数,值域为[-1,1],利用这个性质可求得其值域。 例1:求函数221 1 x y x -=+的值域。 解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为R ,对函数进行变形可得 2(1)(1)y x y -=-+, ∵1y ≠,∴2 1 1 y x y +=- -(x R ∈,1y ≠), ∴1 01 y y +- ≥-,∴11y -≤<,s ∴函数221 1 x y x -=+的值域为{|11}y y -≤< 形如2),(sin x y f =α0,1sin ),(2≥≤=x y g α因为可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。 例2.求函数121 2--=x x y 的值域 解: 由1212--=x x y 得112--=y y x 1101 1 ,022-<>?>--∴ >y y y y 或 例3:求函数2cos 1 3cos 2 x y x += -的值域。 [)1,3,5??-∞?+∞ ?? ? 例4:求函数2sin 2sin x y x -=+的值域。 1,33?? ???? (11)数型结合法: 如果所给函数有较明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,可借助几何图形的直观性来求函数的值域,如由12 21 y y x x --可联想到 两点()11,x y 与()22,x y 连线的斜率或距离。 例1:求函数y =|x +1|+|x -2|的值域。 解法1:将函数化为分段函数形式:?? ? ??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y , 画出它的图象,由图象可知,函数的值域是{y |y ≥3}。 解法2(几何法或图象法):∵函数y =|x +1|+|x -2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是[3,+∞]。如图 ) 例2 .求函数y = 点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。 解:原函数变形为()f x = 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ,再切割成12个单位正方形。设HK =x ,则 EK =2x -,KF =2x +,AK KC 由三角形三边关系知,AK +KC ≥AC =5。当A 、K 、C 三点共线时取等号。 ∴原函数的知域为{y |y ≥5}。 例3.求函数x x y -++=11的值域。 解析:令x u +=1,x v -=1,则0,0≥≥v u ,22 2=+v u ,y v u =+,原问题转化为:当直线y v u =+与圆22 2=+v u 在直角坐标系uov 的第一象限有公共点时,求 直线的截距的取值范围。 由图1知:当y v u =+经过点)2,0(时,2min =y ; 当直线与圆相切时,() 2222 max == ==OC OD y 。 所以,值域为2 2≤≤y 例4. 求函数 y = 解:将函数变形为y = 上式可看成定点A (3,2)到点P (x ,0)的距离与定点(2,1)B -到点(,0)P x 的距离之差。即y AP BP =- 由图可知:(1)当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点P ' ,则构成ABP '? ,根据三角形两边之差小于第三边,有 AP BP AB -<= =即y <<(2)当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时, 有 AP BP AB -==综上所述,可知函数的值域为( 注:求两距离之和时,通常需要将函数式变形,使A 、B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A ,B 两点在x 轴的同侧。 (12)复合函数法: 对函数(),()y f u u g x ==,先求()u g x =的值域充当()y f u =的定义域,从而求出 ()y f u =的值域的方法。 例1、求函数1 33+=x x y 的值域 (复合函数法)设t x =+13 , 则()11 1131113113>-=+-=+-+=t t y x x x 101 1 01<<∴<<∴>y t t ()01原函数的值域为∴ 例2:求函数212log (253)y x x =-++的值域。 49,8?? +∞???? (13)非负数法 根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数2 16x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 解析:(1)161602 ≤-≤x , 41602≤-≤∴x 故 所求函数的值域为 []40,∈y 。 (2)012 >+x ,∴原函数可化为 3)1(22-=+x x y ,即 3)1(2 +=-y y x , 当 1≠y 时,y y x -+= 132, 02 ≥x ,013≥-+∴ y y ,解得13≤≤-y 又 1≠y , 所以 13<≤-y , 故 所求函数的值域为 ),13[-∈y 。 (不等式性质法) 例2:求下列函数的值域: (1)y =262x +; (2)y =222410 22 x x x x ++++; (3)y =62sin 1x - (4)y (2)y =13()4(1)2 x x -+≤-; (3)y =2 211log ()()42 x x +> (14)导数法 若函数f 在),(b a 内可导, 可以利用导数求得f 在),(b a 内的极值, 然后再计算f 在 a , b 点的极限值. 从而求得f 的值域. 例1: 求函数x x x f 3)(3-=在)1,5(-内的值域. 分析:显然f 在)3,5(-可导,且33)(2-='x x f . 由0)(='x f 得f 的极值点为 1,1-==x x . , 2)1(=-f 2)01(-=-f . 140)05(=+-f . 所以, 函数f 的值域为)140,2(-. (15)“平方开方法” 求函数值域的方法有很多种,如:“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤,并给出四道典型的例题. 1.适合函数特征 设()f x (x D ∈)是待求值域的函数,若它能采用“平方开方法”,则它通常具有如下三个特征: (1)()f x 的值总是非负,即对于任意的x D ∈,()0f x ≥恒成立; (2)()f x 具有两个函数加和的形式,即12()()()f x f x f x =+(x D ∈); (3)()f x 的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式,即 2212()[()()]()f x f x f x c g x =+=+(x D ∈,c 为常数) , 其中,新函数()g x (x D ∈)的值域比较容易求得. 2.运算步骤 若函数()f x (x D ∈)具备了上述的三个特征,则可以将()f x 先平方、再开方,从而 得到()f x x D ∈,c 为常数).然后,利用()g x 的值域便可轻易地求出()f x 的 值域.例如()[,]g x u v ∈,则显然()f x ∈. 3.应用四例 能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧. 例1 求函数()f x =[,]x a b ∈,a b <)的值域. 解:首先,当[,] x a b ∈时,()0 f x≥; 其次,() f x 是函数 1 () f x 与 2 () f x=的和; 最后,2() f x b a b a =-+=-+ 可见,函数() f x满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对() f x 平方、开方得 () f x([,] x a b ∈).这里 ,() g x a b = ([,] x a b ∈).对() g x根号下面的二次函数采用“配方法”,即可求得() g x的值域为[0,] b a -. 于是,() f x 的值域为. 例2 求函数() f x=([,] a b x k k ∈,a b <,0 k>)的值域. 解:显然,该题就是例1的推广,且此题的() f x也满足了采用“平方开方法”的三个特 征.于是,对() f x 平方、开方得() f x=[,] a b x k k ∈). 这里,() g x=[,] a b x k k ∈).对() g x根号下面的二次函数采用“配方法”,即可求得() g x的值域仍为[0,] b a -.于是,() f x 的值域也仍为. 例3求函数()|sin||cos| f x x x =+(x R ∈)的值域. 解:参照例1的验证步骤,显然,此题的() f x也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对() f x 平方、开方得() f x=x R ∈).这里,()|sin2| g x x =(x R ∈).易知,() g x的值域为[0,1].于是,() f x 的值域为[1. 例4求函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-(x R ∈)的值域. 解:参照例1的验证步骤,显然,此题的() f x也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对() f x平方、 开方得() f x x R ∈).这里,()2|cos2| g x x =(x R ∈).易知,() g x的值域为[0,2].于是,() f x 的值域为. 例5 求函数x x y- + - =5 3的值域 解:(平方法)函数定义域为:[]5,3 ∈ x [][] [] []2,2 4,2 1,0 15 8 , 5,3 15 8 2 ) 5( )3 ( 2 2 2 2 原函数值域为 得 由 ∴ ∈ ∴ ∈ - + - ∈ - + - + - + - = y x x x x x x x y 平方法)函数定义域为:[]5,3 ∈ x [][][] [] 2 ,24,21,0158,5,315 82)5()3(2 222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y (16)一一映射法 原理:因为)0c (d cx b ax y ≠++=在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中,若知道 一个变量范围,就可以求另一个变量范围。 例1. 求函数1 x 2x 31y +-=的值域。 解:∵定义域为???? ??->-<21x 21x |x 或 由1 x 2x 31y +-=得3 y 2y 1x +-= 故213y 2y 1x ->+-= 或2 1 3y 2y 1x -<+-= 解得2 3y 23y ->-<或 故函数的值域为?? ? ??+∞-??? ??-∞-,2323, (17)其他方法 其实,求解函数值域的方法,只不过是从解题过程中,对关键环节或典型步骤的一种称呼。实际上,其解法也远非上面总结的16种方法,还有倒数法等。此外我们还要明白:多种方法的配合使用,以及一题采用多种方法,在不断积累过程中,体会不同方法的长短,和练就根据实际问题选择较为简捷方法的能力。 例1. 求函数3 x 2x y ++= 的值域。 解:令)0t (2x t ≥+=,则1t 3x 2+=+ (1)当0 t >时, 21 t 1t 11t t y 2≤+=+=, 当且仅当t =1,即1x -=时取等号,所以2 1y 0≤< (2)当t =0时,y =0。 综上所述,函数的值域为:?? ????21,0 注:先换元,后用不等式法 例2. 求函数4 24 32x x 21x x x 2x 1y ++++-+=的值域。 解:423 4242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-=22 22x 1x x 1x 1++??? ? ??+-= 令2tan x β=,则β=??? ? ??+-22 22 cos x 1x 1 β=+sin 21 x 1x 2 1sin 21sin sin 21cos y 22 +β+β-=β+β=∴161741sin 2 +??? ? ? -β-= ∴当4 1sin =β时,16 17y max = 当1sin -=β时,2y min -= 此时2tan β都存在,故函数的值域为?? ????-1617,2 注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用βsin 的有界性。 例3.求函数 )0(2≤=x y x 的值域 解:(图象法)如图,值域为(]1,0 例4.求函数x x y 2231+-? ? ? ??= 的值域 解(复合函数法):令1)1(222+--=+-=x x x t ,则)1(31≤?? ? ??=t y t 由指数函数的单调性知,原函数的值域为?? ????+∞,31 例5.求函数21x x y -+=的值域 解(三角代换法): 11≤≤-x ∴设[]πθθ,0cos ∈=x [] [] 2 ,12 ,1)4sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为π θθθθθy 小结: (1)若题目中含有1≤a ,则可设 )0,cos (2 2 ,sin πθθπ θπ θ≤≤=≤ ≤- =a a 或设 (2)若题目中含有12 2 =+b a 则可设θ θsin ,cos ==b a ,其中πθ20<≤ (3)若题目中含有21x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 (4)若题目中含有21x +,则可设θtan =x ,其中2 2 π θπ < <- (5)若题目中含有 )0,0,0(>>>=+r y x r y x ,则可设 θθ22 s i n ,c o s r y r x ==。其中?? ? ??∈2,0πθ 例6、求函数1 1 22+-=x x y 的值域 解法一:(逆求法)110112 <≤-∴≥-+= y y y x [)11-∴原函数的值域为 解法二:(复合函数法)设t x =+12 , 则 )1(2 11 212≥-=+- =t t x y (]1,11 12201-∴<≤-∴≤< ∴≥原函数值域为y t t 解法三:(判别式法)原函数可化为 010)1(2 =++?+-y x x y 1) 1=y 时 不成立 2) 1≠y 时,110)1)(1(400≤≤-?≥+--?≥?y y y 11<≤-∴y 综合1)、2)值域}11|{<≤-y y 5cm 5cm 8cm 8cm 解法四:(三角代换法)∴∈R x 设?? ? ??-∈=2,2tan ππθθx ,则 ()(]1,12cos ,22cos tan 1tan 12 2-∈∴-∈-=+--=θππθθθ θ y ∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 小结: 已知分式函数)0(2 22 2≠+++++=d a f ex dx c bx ax y ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为 )(二次式 一次式 或一次式二次式== y y 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数 的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数)0(≠+=x x a x y 的单调性去解。 注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用sin β的有界性。 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 五、与函数值域有关的综合题 例1设计一幅宣传画,要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm 的空白,左右各留5 cm 空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小? 如果要求λ∈[4 3 , 32],那么λ为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小? 解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4840,设纸张面积为S cm 2, 则S =(x +16)(λx +10)=λx 2+(16λ+10)x +160, 将x = λ 10 22代入上式得 S =5000+4410 (8λ+ λ 5 ), 当8λ= λ 5 ,即λ=8 5(85<1)时S 取得最小值 此时高 x = λ 4840 =88 cm, 宽 λx =8 5 ×88=55 cm 如果λ∈[4 3,32],可设32≤λ1<λ2≤43 , 则由S 的表达式得 ) 5 8)((1044) 5 85 8(1044)()(2 1212 21 121λλλλλλλλλλ- -=- -+=-S S 又21λλ≥ 85 32>,故8- 2 15λλ>0, ∴S (λ1)-S (λ2)<0,∴S (λ)在区间[4 3 ,32]内单调递增 从而对于λ∈[4 3, 32],当λ=32 时,S (λ)取得最小值 答 画面高为88 cm,宽为55 cm 时,所用纸张面积最小 如果要求λ∈[4 3,32],当λ= 32 时,所用纸张面积最小 例2已知函数f (x )=x a x x ++22,x ∈[1,+∞) (1)当a =2 1 时,求函数f (x )的最小值 (2)若对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立,试求实数a 的取值范围 解 (1) 当a = 21时,f (x )=x +x 21+2 ∵f (x )在区间[1,+∞)上为增函数, ∴f (x )在区间[1,+∞)上的最小值为f (1)=2 7 (2)解法一 在区间[1,+∞)上, f (x )=x a x x ++22 >0恒成立?x 2+2x +a >0恒成立 设y =x 2+2x +a ,x ∈[1,+∞) ∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a -1递增, ∴当x =1时,y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时,函数f (x )>0恒成立, 故a >-3 解法二 f (x )=x + x a +2,x ∈[1,+∞) 当a ≥0时,函数f (x )的值恒为正; 当a <0时,函数f (x )递增,故当x =1时,f (x )min =3+a , 当且仅当f (x )min =3+a >0时,函数f (x )>0恒成立,故a >-3 例3设m 是实数,记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2-4mx +4m 2+m + 1 1 -m ) (1)证明 当m ∈M 时,f (x )对所有实数都有意义;反之,若f (x )对所有实数x 都有意义,则m ∈M (2)当m ∈M 时,求函数f (x )的最小值 (3)求证 对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1