购房贷款
背景摘要
随着我国改革开放的发展和人民生活水平的提高，人们越来越不满足于只是吃饱、穿暖，而是向更高的目标迈进，房子自然成了人们渴求的目标。俗话说：“安居才能乐业”，摆在人们面前的问题也就浮于水面。同时，从某种意义上来说，人类文明的进程就是建筑和城市化的过程，人类对居所的投资，直接为社会劳动生产力的延续与发展创造了物质载体。近几年，我国经济快速发展，社会传统的房屋卖买方式受到较大冲击而日趋缩萎，取而代之的银行按揭贷款买房成为新的购房趋势,并日渐盛行。这对现代社会的消费及生活所产生的积极意义与便利是不容抹杀。目前银行提供的贷款期限在一年以上的房屋贷款还款方式一般等额本息还款法、等额本金递减法，等额递增还款法，等额递减还款法，等比递增还款法，等比递减还款法。面对这些贷款还款方式，如何根据自己现在及未来的预期收入，作出一个合理的还款方案，是每个打算贷款买房的人所必须认真考虑。
一、问题提出：
某居民购买商品房一套，面积86平米，总房款70万元，利息为月利率0.15%，首付30万，向银行贷款40万，贷款期为20年，要求建立数学模型解决如下问题。
（1）问该居民每月应定额偿还多少钱？
（2）假设此居民每月可节余2800元，是否可以去买房？
二、问题分析
该居民贷款购房时，规定在20年内还清贷款。在还款的过程中，还款方式是按月还款。根据此，把连续性的问题离散化，所以我们根据差分方程对这一问题进行建模分析。
问题1：在银行利率不变的情况下，每月等额本息还款
问题2：先是每月等额本息还款，等收入增加了，可以付清余款时，一次性付
清剩余贷款。
问题3：根据该居民月节余2800元是否能在这20年时间内够还清这些贷款，
决定是否可以去买房。
三、问题假设与记号
问题假设：
在此期间：
不改变还款期限；
货币价值稳定
银行贷款利率固定不变，
不受经济危机、通货膨胀、国家政策的影响；
利息按复利计算；
记号：A(元)为贷款额（本金），n(月)为贷款期限，r 为月利率，B （月）(1B ,2B )为月均还款额，R(元)为总利息( 1R , 2R )，Ck 为第k 个月还款后的欠款。
可以根据第一年算出的结果与他的月结余比较，在进行进一步分析。
四、模型建立与求解
1、模型建立
离散变量k C =(1+r)1k C --B
0C = A ，n C =0
k C =(1)k r +0C -B[1+(1+r)+……+1(1)k r -+]
k C =A (1)k r +-B r
[(1)k r +-1],k=0,1,2…… 解得每月还款额：B=(1)(1)1
n n r r r ++- A
每月等额本息还款 B=111(1)(1)1
n n r r r ++- A 利息等于还款总额减去贷款总额 1R =nB-A
2. 求解
（1）、没算出结果，假设结果为A 。
（2）、比较：若A>2800,则该居民不可以去买房；若A<2800，则该居民可以去买房。
五、计算
（1）、A=400000，n=240,r=0.75%。
（2）、A<>2800。
六、模型的评价
通俗地说，数学建模就是建立数学模型的过程。几乎一切应用科学的基础都是数学建模，凡是要用数学解决的实际问题也都是通过数学建模的过程来实现的。在用数学建模的思想时，结合该居民购房贷款例子（还款方式是等额本息还款法），再通过其中的差分方程建模的理论建立购房贷款的模型。其中，差分方程反应的是关于离散变量的取值与变化规律；等额本息还款法指的是在贷款期内每月以相等的金额平均偿还贷款本息的还款方法。
计算机学院信息管理高职一班
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2011年6月9日
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