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一、本章难易及掌握要求 (1)
二、基本内容 (1)
1、三种近似 (1)
2、周期场中的布洛赫定理 (2)
1）定理的两种描述 (2)
2）证明过程： (2)
3）波矢k的取值及其物理意义 (3)
3、近自由电子近似 (3)
A、非简并情况下 (4)
B、简并情况下 (5)
C、能带的性质 (6)
4、紧束缚近似 (6)
5、赝势 (9)
6、三种方法的比较 (10)
7、布里渊区与能带 (11)
8、能态密度及费米面 (11)
三、常见习题 (14)
简答题部分 (14)
计算题部分 (15)
一、本章难易及掌握要求
要求重点掌握：
1）理解能带理论的基本假设和出发点；
2）布洛赫定理的描述及证明；
3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白三维近自由电子近似的思想；
4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算；
5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用；
6）会计算能态密度及明白费米面的概念。
本章难点：
1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的
应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。
了解内容：
1）能带的成因及对称性；
2）费米面的构造；
3）赝势方法；
4）旺尼尔函数概念；
5）波函数的对称性。
二、基本内容
1、三种近似
在模型中它用到已经下假设：
1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。
2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。
3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理
1）定理的两种描述
当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：
形式一：()()n
ik R n r R e r ψψ?+=r u u r r v u u v ，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间
的波函数相位差
形式二：()()ik r
r e u r ψ?=r r r r ，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可
用受)(r u k ?调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+r v u u v ，n R ρ取布拉
菲格子的所有格矢成立。
2）证明过程：
a. 定义平移算符μT ，)()()()(3
32211321a T a T a T R T m
m
m
m ?
???
= b ． 证明μT 与?H
的对易性。ααHT H T =
c.代入周期边界条件，求出μT 在μT 与?H
共同本征态下的本征值
λ。即??
???+=+=+=)()(
()()
()(332211a N r r a N r r a N r r ?????????ψψψψψψ3
2
1
321,,a k i a k i a k i e
e
e
?????
????===λλλ
d. 将λ代入μT 的本征方程中，注意μ
T 定义，可得布洛赫定理。
)()(3
21321r R r m m m m ???ψλλλψ=+)()(332211r e
a m a m a m k i ?????ψ++?=)()(r u e r k r
k i ???
??=！
3） 波矢k 的取值及其物理意义
333222111b N l b N l b N l k ????++= (2)
2j
j j N l N ≤<-，k 是第一布里渊区的
波失，称简约波矢。其是平移算符本征值量子数，而
)()()(m m R r r R T ????+=ψψ)
(r e m
R k i ???ψ?=反映了原胞之间电子波函数位相的变
化。同时也可以得出如果一个势场是周期场，那么可以把其波函数设为布洛赫函数。 3、 近自由电子近似
1）思想：假设将周期场的周期起伏看作自由电子稳定势场的微扰 2）条件要求：原子的动能大于势能以使电子可以自由运动，势函数的的起伏很小，以满足微扰论适用，外层电子以满足电子可以自由运动。
3）模型建立过程：
首先，在零级近似下，考虑到周期性边界条件得到了波矢的允许取值，推出了能量的准连续性；
其次，由于考虑到二级微扰，而推出能量在布区边界处分裂，且发生了能级间的“排斥作用”，于是形成能带和带隙。
A 、非简并情况下
1)由假设1>,2>可得系统的哈密顿量和薛定谔方程：
'0H H H +=，V dx
d m H +-=2
2
202η， 微扰项：
V V x V H ?=-=)('，满足的方程式: ψψE H =.
2)利用微扰论方法有设：.
)2()1(0Λ+++=k k k k E E E E ，
其中：
V m k E k +=2220η，0|'|)1(>==
'
02
)
2(|'|'k k k k E E k H k E （K K ≠'） 设：.)()()()1(0Λ++=x x x k k k ψψψ 其中：
ikx k e L
x 1)(0
=
ψ, 0
''
'
0)1(|'|'k k k k k E E k H k ψψ∑
-><= （K K ≠'） 4）结论：
能量本征值：∑+-++=n
n k a
n k k m V V m k E ])2([2'2222
2
220
πηη 波函数：x
a
n
i n
n
ikx
ikx
k e
a
n
k k m V e
L
e
L
x ππψ2222
])2([211)(∑+-+
=
η
5）波函数的意义：
第一项是波矢为k 的前进的平面波，第二项是平面波受到周期性势场作用产生的散射波 再令x
a
n
i n
n
k e
a
n
k k m V x u ππ2222])2([21)(∑
+-+=η，则有)(1)(x u e L
x k ikx k =
ψ
具有布洛赫函数形式，其中用到)()(x u ma x u k k =+
B 、简并情况下
1)n k k V E E >>-0'0此时波矢k 离a
n π
-
较远，k 状态的能量和状态k’差别较大把3*按2
002
'4()n
k k V E E -泰勒级数展开得
2
0'0
0'2000'n k k k n k k k V E E E E V E E E ±?+?-?
=??-?-? 由于能级间“排斥作用”，量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了
2）n k k V E E <<-0'0时，波矢k 非常接近a
n π
-，k 状态的能量和k’能量差别很小按将3*式
2
2
0'04)(n
k k V E E -泰勒级数展开得
00200
''()1{2}
24k k k k n n
E E E E E V V ±-=+±+ 代入相应的 0k E ，0'k E 得
2
22(1)2(1)
n n n n n n n n n n T V T V T V E T V T V T V ±?+++?+??=?
?+--?-?? 22
)(2a
n m T n πη=
可得如下结论两个相互影响的状态k 和k’微扰后，能量变为E+和E-，原来能量高的状态能量提高，原来能量低的状态能量降低。
周期性 ()()n n n E k E k G =+r r r
[周期为 倒格矢，由晶格平移对称性决定]
反演对称性 ()()n n E k E k =-r r
[()n E k r
是个偶函数 ] 宏观对称性 ()()n n E k E k α=r r
[ α为晶体的一个点群对称操作]
C 、能带的性质
简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态需要表明：
1)它属于哪一个能带（能带标号） 2)它的简约波矢 k 是什么？
3) 能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲 2) 禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处 3) 禁带的宽度n g V V V V E 2,2,2,2321Λ=
4）各能带之间是禁带, 在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级
5）计入自旋，每个能带中包含2N 个量子态 4、紧束缚近似
1）紧束缚近似的假设：
电子在原子附近，主要受该原子势场作用，其它原子势场视为微扰作用。故此时不能用自由电子波函数，而用所有原子的同一电子波函数的线性组合来表示。不考虑不同原子态间的作用。它一般要求原子之间的距离较大。
2）模型实现
对于简单格子电子在格矢
332211a m a m a m R m ?
??ρ++=处原子附近运动
)(r ?
ψ满足的薛定谔方程：
)()()](2[22r E r r U m
???ηψψ=+?-
)(r U ?
是晶体的周期性势场___所有原子的势 场之和。对方程进行变换有)()()]()([)()](2[22r E r R r V r U r R r V m m m ?
???????ηψψψ=--+-+?-
)()(m R r V r U ?
??--即是微扰作用。
设晶体中电子的波函数∑-=m
m i m R r a r )()(?
??
?ψ（此法的本质），代
入上得：
∑∑-=---+m
m i m m
m
i m i m R r a E R r R r V r U a )()()]()([?
????????ε 考虑到当原子间距比原子半径大时，不同格点的)(m i R r ?
?-?重叠很有 ，
nm n i m i r d R r R r δ??=--?
?
?
???)()(*
用)(*n i R r ?
?-?左乘上面方程5*，得到 ∑?-=----m
n
i m i m n i m a E r d R r R r V r U R r a )()()]()()[(*ε??????????
)()()]()()][([*m n i m n i
R R J d V U R R ?????????--=---?ξξ?ξξξ?
则得∑-=--m n i m n m a E R R J a )()(ε?
?，考虑到周期性的势场，应有
m
R k i m Ce
a ???=，（k ?是任意常数矢量），则有∑?--=-s
R k i s i s e R J E ???)(ε，
m n s R R R ?
??-=
利用归一化条件则得：晶体中电子的波函数∑-=
?m
m i R k i k R r e
N
r m
)(1)(?
??
???ψ
考虑用简约波失表示有])([1)()
(∑-=-?-?m
m i R r k i r k i k R r e e N r m ????
?????ψ，由此可得 对于确定k ?，∑?--=s
R
k i s i s e R J k E ????)()(ε，而且实现了N 个晶体中的电子
波函数与束缚态的波函数的幺正变换换：
?
?????? ??---??????? ??=
??
?????
???????????)()()(,,,12121
222121211121N i
i i R k i R k i R k i R k i R k i R k i R k i R k i R k i k k k R r R r R r e
e e
e e e e
e e N N
N N N N
N N ??M ????ΛM M ΛΛM ?????????
????
??
??
????ψψψ 3）模型简化：
考虑ξξ?ξξξ????????d V U R R J i s i s })()]()()[()(*
?--=-的化简：
当)()(*ξ?ξ??
??i s i
R 和-有重叠时，积分不为0。
a 最完全的重叠0=-=m n s R R R ???，得ξξξξ?d V U J i ?--=)]()([)(20?
??
b 其次考虑近邻格点的格矢s R ?
，得∑=?--
-=Nearest
R R
k i s i s s e R J J k E ????)()(0ε。
。6* 能带底部电子的有效质量2
12
*
2a J m η=,能带顶部电子的有效质量2
12
*
2a J m η-
=. 4）能级与能带的对应
A 计算简单立方晶格中由原子s 态形成的能带 s 态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同。找出紧邻坐标代入6*有
)cos cos (cos 2)(10a k a k a k J J k E z y x i ++--=ε?，其中在能带)
0,0,0(:=Γk ?
处在)0,0,0(=k ?
处用级数展开有106m in J J E i +-=ε，在能带顶部
),,(:a a a k R πππ=?按),,(a
a a k π
ππ=?附近按泰勒级数展开得
1
06m ax J J E i +-=ε
带宽取决于J1，大小取
决于近邻原子波函数之间的相互重叠，重叠越多，形成能
带越宽，同样可以看出，由于k 的取值可以有N 个，故一个能级在微扰下分裂成为一个
能带。
B 对于一般情况有如下结论：
一个原子能级εi 对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。
当原子形成固体后，形成了一系列能带能量较低的能级对应的能带较窄，能量较高的能级对应的能带较宽。简单情况下，原子能级和能带之间有简单的对应关系，如ns 带、np 带、nd 带等等，由于p 态是三重简并的，对应的能带发生相互交叠，d 态等一些态也有类似能带交叠。但是其能带不再是仅仅靠主量子数N 决定，与L 值也有关。
对于内层电子能级和能带有一一对应的关系， 对于外层电子，能级和能带的对应关系较为复杂。 5）瓦尼尔函数
紧束缚近似中，能带中电子波函数可以写成布洛赫和
∑-=
?n
n i R k i i k
R r e
N
r k n
)
(1),(???????ψ，对于任何能带
∑-=
?n
n n R k i nk R r W e
N
r k n
)(1),(?
?????ψ，即一个能带的Wannier 函数是由同一
个能带的布洛赫函数所定义。如果晶体中原子之间的间距增大，当电子距离某一原子较近时，电子的行为类似于孤立原子时的情形
)()(n n n n R r R r W ?
???-=-?。
性质：
a. 局域性质（定域性）
由于u(k ，r)=u(k ，r-R n )，因此 W n (r-R n ) 是以 R n 为中心的定域函数。
b.正交性 5、赝势
1）引入赝势的目的：
在近自由电子近似时，假设电子所处势场的周期性起伏小，但实际材料势场周期性起伏都比较大，不能用近自由电子模型求解。但是近自由电子模型计算结果对于对于实际能带结构是适合的。为了解决这个矛盾，引入赝势概念。 2）赝势定义：
在离子实内部，用假想的势能取代真实的势能，求解波动方程时，若不改变其能量本征值及离子实之间的波函数，则这个假想的势能成为赝势。
3）模型的实现方式：
是赝势包含离子势和价电子的作用，称为有效势，可以有多种具体形式。选择包含一个或几个参量的模型，用与实验数据比较的方法，确定这些参量。 6、三种方法的比较：
近自由电子近似是一种电子可以自由运动的模型，是一种在自由电子基础上的微扰论，结果是自由电子能级发生分裂，形成能带。在使用它解决问题时需要知道)(x V ，而这个)(x V 可以通过赝势来实现，不同的结构对应的赝势是不同的。而紧束缚近似针对于电子被束缚在原子
周围，在解决实际问题时只需知道)(m i R r ??-?和)()(m R r V r U ?
??--，对于不
同的原包结构其)(m i R r ?
?-?和)()(m R r V r U ?
??
--均不同，这里应该也会有一个赝势的方法，可以说紧束缚近似是在H 原子模型上在用微扰论的。所以它的能带是在能级的基础上形成的，是原来原子团的能级分裂成的。而赝势方法只是提供了一种寻找等价)(x V 的方法，实际运算需要结合
其他的模型。 7、布里渊区与能带
1）明白波失空间和倒空间的区别，倒空间是倒格子的集合，倒格点是固定的分立的，而波失空间是波失的集合，波失是准连续的。在相同的空间大小中，波失数比倒格矢数要多。
2）布里渊区是波失空间的分区域，也是倒空间的分区域，他是在k 空间把原点和所有倒格矢中点的垂直平分面画出，k 空间分割为许多区域，每个区域内E~k 是连续变化的，而在这些区域的边界上能量E(k)发生突变，这些区域称为布里渊区。 8，能态密度及费米面 1） 能态密度：
()lim
Z
N E E ?=? ，Z ?表示能态数目，如果在波矢空间，根据
E(k)＝常数 作出等能面，则在等能面 E 和E ＋ΔE 之间的状态的数目就是ΔZ E 。由于状态在 k 空间分布是均匀的、准连续的状
态密度是3
(2)V
π，所以ΔZ E ＝［V ／（2π）3］×（两等能面E —E+
ΔE 之间的体积）
经过积分计算得：3
()(2)k V dS N E E
π=
??
考虑电子自旋为2，则3
()4k V dS N E E
π=
??
二维：
ΔZ E ＝［S ／（2π）2］×（两等能线E-E+ΔE 之间的面积），
??=
E
dL
S E N k 24)(π
一维
ΔZ E ＝［L ／（2π）］×（两等能点E-E+ΔE 之间长度），
/)(L E N =2π×1/E k ?×2
2）费米面：
A.费米面是指绝对零度时， k 空间电子占据态与未占据态之间的分界面。电子填充量子态的形式：按泡利不相容原理由低到高填充能
量尽可能低的N （电子数）个量子态。对于自由电子m
k k E 2)(2
2η=，
电子填充k 空间半径为kF 的球3
3
3
4)2(2F k V N ππ?
==自由电子数，便可求得相应的F F k p ?η?
=，当温度不是绝对零度时，求F E 就与第七章是联
系在一起了。
B. 电子填充能带的形式有两种类型：
第一种：电子恰好填满最低的一系列能带，再高的能带都是空的。最高的满带称为价带(valence band)，最低的空带成为导带(conduction band)，价带最高能级与导带最低能级之间的范围则为带隙(band gap)。半导体带隙宽度较小 ~ 1 eV ，绝缘体带隙宽度较宽 ~ 10 eV
第二种：除去完全被电子充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，部分被电子填充的能带被称为导带(conduction band)。这时，电子所占据的最高能级即为费米能级，它位于一个或几个能带的范围之内。在每一部分占据的能带中，k 空间都有一个占
有电子与不占有电子的分界面，所有这些表面的集合就是费米面。
C.导体，绝缘体，半导体和半金属的能带理论解释:
在绝对零度，如果电子刚好填充一个或更多能带,其余能带是全空的，那么晶体就是绝缘体，外电场也不能因其绝缘体内电流的流动因为满带和上边导带隔开,当温度升高时,出现下边两种情况。
1)当温度升高时,如果带隙很大,电子很难跃迁到导带,晶体仍
为绝缘体，
2)如果能隙较小,电子隧穿效应使得导带中有少量电子,并在
价带产生空穴,具有一定的导电性，称为半导体。
如能带未填满，在外场下电子做定向运动，就是导体。
3)能量交叠较小时晶体导电性比导体小几个数量级，晶体则
称之为半金属。
D．构造费米面的具体步骤如下：
a. 利用En(k)是倒格矢的周期函数，画出布里渊区的扩展图形。
b. 用自由电子模型画出费米球。
c. 落在各个布氏区的费米球片断平移到简约布里渊区的等价部位。
d. 由自由电子模型过渡到准自由电子模型必须注意能带边界
禁带出现。费米面同布里渊区边界垂直相割，自由电子的费米面尖角处要钝化。
三、常见习题
简答题部分
6.1 周期场是能带形成的必要条件吗？
解答：不是。能带论虽然是从周期场中推导出来的，但周期场并不是能带形成的必要条件，在非晶体中固体中,电子同样具有能带结构,周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形成了一系列的能带。
6.2 禁带是否一定出线？出现晶带与哪些因素有关？
解答：禁带不一定出现。在一维情况下，禁带一定出现，在三维情况下，在 k 空间的不同方向，不连续的能量范围不一定相同，从而不连续不一定导致禁带的发生，这就是说，不同能带的禁带不一定存在，可能发生能量交叠。在布里渊区界面是否出现禁带与下列因素有关：一是与周期势场的具体形式有关，若在某个布里渊区界面上，V r 的展开式系数 V G 时,则此布里渊区界面上将不出现能隙，两个能带联为一体；二是与结构因子有关，如结构因子 S G = 0 时，在相应布里渊区界面上的能隙为零。 1能带理论基础产生禁带的原因：是在布区边界上存在布拉格反射产生禁带的原因：是在布区边界上存在布拉格反射.
6.3为什么引入正交平面波法？这种方法有何优点？
解答：同内层电子态正交的平面波称为正交化平面波，电子
的布洛赫波函数只有在两个离子实的中间区域是变化平缓的，在离子实区域（简称芯区），晶体势很强，波函数不像平面波，而具有类似于孤立原子中电子波函数的急剧震荡特性。因为平面波展开收敛很慢,使其难以成为能带计算的实用方法，而价电 子波函数的振荡部分出现离子实区域，此波函数又必须与内层电子的波函数正交，正交平面波正好在离子 实区域引进振荡成分，恰好能描述价电子的特征。 这种方法的优点是减少了计算工作量，只需取几个正交的平面波就会得到很好的结果。
计算题部分
6.1 一维周期场中电子的波函数()x k ψ应满足布洛赫定理，若晶格常
数为a ，电子的波函数为（1）
()x
a x k π
ψsin
=（2）
()x
a i x k π
ψ3cos
=（3）
()()
∑∞
-∞
=-=
i k a x f x λψ （f 是某个确定的函数）试求电子在这些状态
的波矢 解：布洛赫函数为()()
x e a x k ika k ψψ=+
（1）
x
a x a a x a π
πππ
sin )sin()(sin
-=+=+
x a e a x a
ika π
π
sin
)(sin
=+Θ 1-=∴ika e ，π±=ka ，
a k π
±
=
（2）
()x a i x a i a x a i ππππ3cos 33cos 3cos
-=??
? ??+=+ 同理，
1-=∴ika e ，π±=ka ，a k π
±
=
（3）()[]
∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=--=+-λλλλa x f a a x f )1(
()()
∑∑∞-∞
=∞
-∞
=-=-=
λλλλa x f a x f '' 此处1'-=λλ，
1=ika e ，π20或=ka ，a k π20或
=
6.2已知一维晶格中电子的能带可写成
()?
??
??+-=ka ka ma k E 2cos 81cos 8722η，式中a 是晶格常数，m 是电子的质
量，求（1）能带的宽度，（2）电子的平均速度， （3） 在带顶和带底的电子的有效质量
解：能带宽度为 min
max E E E -=?， 由极值条件 ()0=dk k dE ， 得 0
cos sin 21
sin 2sin 41sin =-=-ka ka ka ka ka 上式的唯一解是0sin =ka 的
解，此式在第一布里渊区内的解为
a k π
或
0=
当k ＝0时，()k E 取极小值min E ，且有()00min ==E E
当a k π
=时，()k E 取极大值m ax E ，且有2
2
max 2ma a E E η
=??? ??=π
由以上的可得能带宽度为
22
min
max 2ma E E E η=
-=?
（2）电子的平均速度为
()?
??
??-==
ka ka ma dk k dE v 2sin 41sin 1ηη
（3）带顶和带底电子的有效质量分别为
m
ka ka m k E m a k a
k a
k 322cos 21cos 1
222-=??? ??-=??????
????????=±=-±=±
=*
π
π
π
η
1220
020
1cos cos 222k k m m ka ka m
E k -*
==??
????
==-=?? ??????
?????h
6.2
一维周期势场为
()()[]
?????-≤≤+-+≤≤---=b
na x b a n b na x b na na x b mW x V )1(02
1
2
22当当，
其中b a 4= ，W 为常数，求此晶体第一及第二禁带宽度 解：据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为 n g V E 2= ，
其中n V 是周期势场()x V 傅立叶级数的系数，该系数为：
()dx
e
x V a V nx a
i a a n π
22
/2/1--?
=
求得，第一禁带宽度为
()dx
e
x V a V E x a
i
a a g π22/2
/11221--?
==
[]
dx
e x b mW b
nx a i b
b π
222
22412
--?
-=
[]
dx
x b x b mW b
b
b ??
?
??-=?
-2cos 2412
222π
3
2
28πb mW =
第二禁带宽度为
()dx
e x V a V E x
a i a a g π
42/2
/21221--?
==
[]
dx
e x b mW b
x a i b
b π
--?
-=22
22412
[]
dx
x b x b mW b
b
b ??
?
??-=?
-πcos 2412
222
2
2
2πb mW =
6.3
用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s 态电子能带，画
出()k E ，()k m *
与波矢的关系，证明只有在原点和布里渊区边界附
近，有效质量才和波矢无关。 解： 根据紧束缚近似，
()∑--=Rs
ika
e
J J E k E 1
00 对一维，最近邻a R s ±=
则
()()
ika ika e e J J E k E -+--=100ka
J J E cos 100--=
()k E 为余弦函数 （图省） 有效质量 ()
ka a J k E m cos 2212
222ηη=
??=*
()k m *
的图也省， 在原点附近，ka 很小，1cos ≈ka
()2
12
2a J m η≈∴*
在布里渊区边界，
a
k π
±
=，π±=ka ，1cos -≈ka
(
)
2
12
2
12
22a J a J m ηη
-=
-≈∴*
6.4
某晶体电子的等能面是椭球面
????
??++=32322
212122m k m k m k E η，坐标轴1，2，3互相垂直。求能态密度。
解：由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为
1222232
3222
22
121=++ηηηE m k E m k E m k
第五章 晶体中的电子能带理论 电子在固体中的运动问题处理 第一步简化 —— 绝热近似：离子实质量比电子大，离子运动速度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上 第二步简化 —— 单电子近似：每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中运动 第三步简化 —— 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场 复杂的多体问题转化为周期场中的单电子运动问题 5-1 布洛赫波函数 一、布洛赫定理 1.晶格的周期性势场 (1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之和； (2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子实(因为势能与距离成反比)； (3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具有周期性； (4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。 电子在一个具有晶格周期性的势场中运动 ()() n R r V r V +=其中n R 为任意格点的位矢。 ()ψψ E r V m =? ? ? ???+?-222 2. 布洛赫定理 当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质： ),(e )(r R r n R k i n ψψ?=+ 其中k 为电子波矢，332211n a n a n a n R ++=是格矢。 根据布洛赫定理波函数写成如下形式： ()()r u r k r k i k ?=e ψ ()()n k k R r u r u += 在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。
3.证明布洛赫定理 (1)引入平移对称算符)(n R T (2)说明: 0]?,?[=H T (3) λψψ=T ? n R k i n R ?=e )(λ (1)平移对称算符)(n R T )()()(n n R r f r f R T += )2()()()()(2n n n n R r f R r f R T r f R T +=+= )()()(n n l R l r f r f R T += )(?)()()(r H r r V r f ，，可以是ψ (2) 0]?,?[=H T )(2?22 r V m H +?-= ),()(n R r V r V += 在直角坐标系中： )()(22222222 n R r z y x r +?=??+??+??=? 2 332 22222112) ()()(a n z a n y a n x +??++??++??= 晶体中单电子哈密顿量H ?具有晶格周期性。 )(?)(?n R r H r H += )()(?)()(?)(?n n n R r R r H r r H R T ++=ψψ 0]?,?[=H T 平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。 由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数)(r ψ是H ?的本征函数，那么 )(r ψ也一定是算符)(?n R T 的本征函数。
晶体：是由离子，原子或分子（统称为粒子）有规律的排列而成的，具有周期性和对称性 非晶体：有序度仅限于几个原子，不具有长程有序性和对称性 点阵：格点的总体称为点阵 晶格：晶体中微粒重心，周期性的排列所组成的骨架，称为晶格 格点：微粒重心所处的位置称为晶格的格点（或结点） 晶体的周期性和对称性：晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质称为晶体结构的周期性。晶体的对称性指晶体经过某些对称操作后，仍能恢复原状的特性。（有轴对称，面对称，体心对称即点对称） 密勒指数：某一晶面分别在三个晶轴上的截距的倒数的互质整数比称为此晶面的密勒指数 配位数：可用一个微粒周围最近邻的微粒数来表示晶体中粒子排列的紧密程度，称为配位数 致密度：晶胞内原子所占体积与晶胞总体积之比称为点阵内原子的致密度 固体物理学元胞：选取体积最小的晶胞，称为元胞：格点只在顶角，内部和面上都不包含其他格点，整个元胞只含有一个格点：元胞的三边的平移矢量称为基本平移矢量（或者基矢）；突出反映晶体结构的周期性 晶胞:体积通常较固体物理学元胞大；格点不仅在顶角上，同时可以在体心或面心上；晶胞的棱也称为晶轴，其边长称为晶格常数,点阵常数或晶胞常数；突出反映晶体的周期性和对称性。 布拉菲格子：晶体由完全相同的原子组成，原子与晶格的格点相重合而且每个格点周围的情况都一样 复式格子：晶体由两种或者两种以上的原子构成，而且每种原子都各自构成一种相同的布拉菲格子，这些布拉菲格子相互错开一段距离，相互套购而形成的格子称为复式格子，复式格子是由若干相同的布拉菲格子相互位移套购而成的 声子：晶格简谐振动的能量化，以hv l来增减其能量，hv l就称为晶格振动能量的量子叫声子 非简谐效应：在晶格振动势能中考虑了δ2以上δ高次项的影响，此时势能曲线能是非对称的，因此原子振动时会产生热膨胀与热传导 点缺陷的分类：晶体点缺陷：①本征热缺陷：弗伦克尔缺陷，肖脱基缺陷②杂质缺陷：置换型，填隙型③色心④极化子 布里渊区：在空间中倒格矢的中垂线把空间分成许多不同的区域，在同一区域中能量是连续的，在区域的边界上能量是不连续的，把这样的区域称为布里渊区 固体物理复习要点 第一章 1、晶体有哪些宏观特性？ 答：自限性、晶面角守恒、解理性、晶体的各向异性、晶体的均匀性、晶体的对称性、固定的熔点这是由构成晶体的原子和晶体内部结构的周期性决定的。说明晶体宏观特性是微观特性的反映 2、什么是空间点阵？ 答：晶体可以看成由相同的格点在三维空间作周期性无限分布所构成的系统，这些格点的总和称为点阵。 3、什么是简单晶格和复式晶格？ 答：简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为简单晶格。 复式晶格：如果晶体的基元由两个或两个以上原子组成，相应原子分别构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。 4、试述固体物理学原胞和结晶学原胞的相似点和区别。 答：(1)固体物理学原胞(简称原胞) 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。
一、考试重点 晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带论得基本概念与基本理论与知识 二、复习内容 第一章晶体结构 基本概念 1、晶体分类及其特点: 单晶粒子在整个固体中周期性排列 非晶粒子在几个原子范围排列有序(短程有序) 多晶粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒,晶粒随机堆积 准晶体粒子有序排列介于晶体与非晶体之间 2、晶体得共性: 解理性沿某些晶面方位容易劈裂得性质 各向异性晶体得性质与方向有关 旋转对称性 平移对称性 3、晶体平移对称性描述: 基元构成实际晶体得一个最小重复结构单元 格点用几何点代表基元,该几何点称为格点 晶格、 平移矢量基矢确定后,一个点阵可以用一个矢量表示,称为晶格平移矢量 基矢 元胞以一个格点为顶点,以某一方向上相邻格点得距离为该方向得周期,以三个不同方向得周期为边长,构成得最小体积平行六面体。原胞就是晶体结构得最小体积重复单元,可以平行、无交叠、无空隙地堆积构成整个晶体。每个原胞含１个格点,原胞选择不就是唯一得 晶胞以一格点为原点,以晶体三个不共面对称轴(晶轴) 为坐标轴,坐标轴上原点到相邻格点距离为边长,构成得平行六面体称为晶胞。 晶格常数 ＷＳ元胞以一格点为中心,作该点与最邻近格点连线得中垂面,中垂面围成得多面体称为WS原胞。ＷS原胞含一个格点
复式格子不同原子构成得若干相同结构得简单晶格相互套构形成得晶格简单格子 点阵格点得集合称为点阵 布拉菲格子全同原子构成得晶体结构称为布拉菲晶格子、 4、常见晶体结构:简单立方、体心立方、面心立方、 金刚石 闪锌矿 铅锌矿 氯化铯
氯化钠 钙钛矿结构 5、密排面将原子瞧成同种等大刚球,在同一平面上,一个球最多与六个球相切,形成密排面密堆积密排面按最紧密方式叠起来形成得三维结构称为密堆积。 六脚密堆积密排面按ＡB\AB\ＡB…堆积
晶格(定义)：理想晶体具有长程有序性，在理想情况下，晶体是由全同的原子团在空间无限重复排列而构成的。晶体中原子排列的具体形式称之为晶格，原子、原子间距不同，但有相同排列规则，这些原子构成的晶体具有相同的晶格；由等同点系所抽象出来的一系列在空间中周期排列的几何点的集合体空间点阵；晶格是属于排列方式范畴，而空间点阵是属于晶格周期性几何抽象出来的东西。 晶面指数：晶格所有的格点应该在一簇相互平行等距的平面，这些平面称之为晶面。将一晶面族中不经过原点的任一晶面在基矢轴上的截距分别是u、v、w，其倒数比的互质的整数比就是表示晶面方向的晶面指数，一般说来，晶面指数简单的晶面，面间距大，容易解理。Miller 指数标定方法：1)找出晶面系中任一晶面在轴矢上的截距；2)截距取倒数；3)化为互质整数，表示为(h,k,l)。注意：化互质整数时，所乘的因子的正、负并未限制，故[100]和[100]应视为同一晶向。 晶向指数：从该晶列通过轴矢坐标系原点的直线上任取一格点，把该格点指数化为互质整数，称为晶向指数，表示为[h,k,l]。要弄清几种典型晶体结构中(体心、面心和简单立方)特殊的晶向。 配位数： 在晶体学中，晶体原子配位数就是一个原子周围最近邻原子的数目，是用以描写晶体中粒子排列的紧密程度物理量。将组成晶体的原子看成钢球，原子之间通过一定的结构结合在一起，形成晶格；所谓堆积比就是组成晶体的原子所占体积与整个晶体结构的体积之比，也是表征晶体排列紧密程度的物理量。密堆积结构的堆积比最大。 布拉格定律： 假设：入射波从晶体中平行平面作镜面反射，每一各平面反射很少一部分辐射，就像一个轻微镀银的镜子，反射角等于入射角，来自平行平面的反射发生干涉形成衍射束。(公式)。其中：n为整数，称为反射级数；θ为入射线或反射线与反射面的夹角，称为掠射角，由于它等于入射线与衍射线夹角的一半，故又称为半衍射角，把2θ称为衍射角。当间距为d的平行晶面，入射线在相邻平行晶面反射的射线行程差为2dsinθ，当行程差等于波长的整数倍时，来自相继平行平面的辐射就发生相长干涉，根据图示，干涉加强的条件是：，这就是所谓布拉格定律，布拉格定律成立的条件是波长λ≤2d。 布拉格定律和X射线衍射产生条件之间的等价性证明 假设：若X射线光子弹性散射，光子能量守恒，出射束频率：入射束频率： 2dSinθ= nλ Hω ω'= ck' ω= ck因此，有散射前后波矢大小相等k’=k 和k’2=k2根据X射线衍射产生条件得到(k’-k)=G 及k+G=k’两个等式；第二个式子两边平方并化简得到：2k.G+G2=0;将G用-G替换得到2k.G＝G2也成立；因此得到了四个等价式子：；k+G=k’；2k.G+G2=0;以及2k.G＝G2上面说明了X衍射产生条件的四个表达式等价性；下面就进一步证明布拉格定律与X射线衍射产生条件等价：证明：由 可以推出: 即可以得到即： 即：，命题得证 布里渊区定义 为维格纳-赛茨原胞(Wigner-Seitz Cell)。任选一倒格点为原点，从原点向它的第一、第二、第三……近邻倒格点画出倒格矢，并作这些倒格矢的中垂面，这些中垂面绕原点所围成的多面体称第一B.Z，它即为倒易间的Wigner-Seitz元胞，其“体积”为Ω※＝b1·(b2×b3)布里渊区边界上波矢应该满足的方程形式为(公式) 因此，布里渊区实际上包括了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢k。 范德华耳斯－伦敦相互作用 答：对于组成晶体的原子，尤其是惰性气体原子，由于原子电子云是瞬间变化的，因此各个原子电子云间存在互感偶极矩，这种互感偶极矩将原子之间联系在一起形成晶体。也就是通过互感偶极矩作用即耦合作用后比没有耦合作用时要来得低，这种由于原子之间互感偶极矩所产生的相互吸引作用称之为范德华耳斯－伦敦相互作用 离子晶体中存在的相互作用： ? 异号离子间的静电吸引相互作用(主要组成部分)? 同号离子间的静电排斥相互作用(主要组成部分)? 对于具有惰性气体电子组态的离子，他们之间排斥作用有类似于惰性气体原子间的排斥相互作用? 存在很小部分的吸引性相互作用的范德华耳斯作用(大约占1％～2％)离子晶体中，吸引性相互作用的范德华耳斯部分对于晶体内聚能贡献比较小，大约1％～2％范德华耳斯相互作用是一种互感偶极相互作用，只要存在正负中心不重合的偶极子，就会存在这种相互作用，只是在离子晶体中，这种相互作用较小。
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目录 一、本章难易及掌握要求 (1) 二、基本内容 (1) 1、三种近似 (1) 2、周期场中的布洛赫定理 (2) 1）定理的两种描述 (2) 2）证明过程： (2) 3）波矢k的取值及其物理意义 (3) 3、近自由电子近似 (3) A、非简并情况下 (4) B、简并情况下 (5) C、能带的性质 (6) 4、紧束缚近似 (6) 5、赝势 (9) 6、三种方法的比较 (10) 7、布里渊区与能带 (11) 8、能态密度及费米面 (11) 三、常见习题 (14) 简答题部分 (14) 计算题部分 (15)
一、本章难易及掌握要求 要求重点掌握： 1）理解能带理论的基本假设和出发点； 2）布洛赫定理的描述及证明； 3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白三维近自由电子近似的思想； 4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算； 5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用； 6）会计算能态密度及明白费米面的概念。 本章难点： 1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的 应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。 了解内容： 1）能带的成因及对称性； 2）费米面的构造； 3）赝势方法； 4）旺尼尔函数概念； 5）波函数的对称性。 二、基本内容 1、三种近似
在模型中它用到已经下假设： 1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。 2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。 3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理 1）定理的两种描述 当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质： 形式一：()()n ik R n r R e r ψψ?+=r u u r r v u u v ，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间 的波函数相位差 形式二：()()ik r r e u r ψ?=r r r r ，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可 用受)(r u k ?调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+r v u u v ，n R ρ取布拉 菲格子的所有格矢成立。 2）证明过程： a. 定义平移算符μT ，)()()()(3 32211321a T a T a T R T m m m m ? ??? = b ． 证明μT 与?H 的对易性。ααHT H T = c.代入周期边界条件，求出μT 在μT 与?H 共同本征态下的本征值
能带理论 一、本章难易及掌握要求 要求重点掌握： 1）理解能带理论的基本假设和出发点； 2）布洛赫定理的描述及证明； 3）三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论； 4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算； 5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用； 6）会计算能态密度。 本章难点： 1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的 应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。 了解内容： 1）能带的成因及对称性； 2）万尼尔函数概念； 3）波函数的对称性。 二、基本内容 1、三种近似 在模型中它用到已经下假设： 1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的
运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。 2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。 3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理 1）定理的两种描述 当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质： 形式一：()()n ik R n r R e r ψψ?+=，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间 的波函数相位差 形式二：()()ik r r e u r ψ?=，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可 用受 ) (r u k 调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+，n R 取布拉 维格子的所有格矢成立。 2）证明过程： a. 定义平移算符T ，)()()()(332211321a T a T a T R T m m m m = b ． 证明T 与?H 的对易性。α αHT H T = c.代入周期边界条件，求出T 在T 与?H 共同本征态下的本征值 λ。即?? ???+=+=+=)()( ()() ()(332211a N r r a N r r a N r r ψψψψψψ3 2 1 321,,a k i a k i a k i e e e ???===λλλ d. 将λ代入T 的本征方程中，注意T 定义，可得布洛赫定理。
1. 稻草、石墨烯和金刚石是一种元素组成的吗？为何存在外型和性能方面存在很 大差 异？ 同为碳元素，从微观角度来说碳元素的排列不同决定了宏观上性质及外型不同 2. 固体分为 晶体、非晶体和准晶体，它们在微观上分别觉有什么特点？ 晶体的 宏观特性有哪些？晶体有哪些分类？ 晶体长程有序， 非晶体短程有序， 准晶体具有长程取向性， 没有长程的平移对 称性；晶体宏观特性：自限性，解理性，晶面角守恒，晶体各向异性，均匀性， 对称性，以及固定的熔点；晶体主要可以按晶胞、对称性、功能以及结合方式进 行分类。 原胞是一个晶格中最小的重复单元， 体积最小，格点只在顶角上， 面上和内部 不含格点。晶胞体积不一定最小，格点不仅在顶角上，还可以在内部或面心上。 3. 简单晶格与复式晶格的区别？ 简单晶格的晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相 同； 复式晶格的晶体由两种或两种以上原子组成，同种原子各构成和格点相同 的网格，这些网格的相对位移形成复式晶格 2 4 3a 3 = V 1 3 4 3 a 5. 晶面的密勒指数为什么可用晶面的截距的倒数值的比值来表征 （把基矢看做单 位矢 量），提示：晶面一般用面的法线来表示，法线又可以用法线与轴的夹角的 余弦来表示。 晶面的法线方向与三个坐标轴的夹角的余弦之比， 等于晶面在三个轴上的截距 的倒数之比。 晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。 6. 简立方 [110]等效晶向有几个 ,表示成什么？ 110随机排列，任意取负，共 12种，表示为 <110>。 7. 倒格子矢量 Kh=h1b1+h2b2+h3b3 的大小，方向和意义 （矢量 Kh 这里 h 为下标， h1, b1, h2, b2, h3, b3里的数字均为下标， b1, b2, b3 为倒格子原胞基矢 ），提 示： 从倒格子性质中找答案。 大小为 2π／晶面间距 方向为晶面法线方向 意义是与真实空间相联系的傅立 叶空间的周期性排列 8. 倒格子和正格子之间的关系有哪些？ 1. 正格子基矢与倒格子基矢点乘 2.正格矢与倒格矢的点乘为定值 3.倒格子 原胞体积反比于正格子原胞体积 4.倒格矢与正格中晶面族正交 5.正格子与 倒格子互为对方的倒格子 9. 证明面心立方晶体的倒格子是体心立方晶体 面心立方正格基矢 4.假设体心立方边长是 a,格点上的小球半径为 N=1 8 8 4R 3a 1=2 单胞中原子所占体积为 V 1=N 体心立方体体积为 V 2 R ， 4 求体心立方致密度。 8 R 3 R 3 致密度为 V 2
1.稻草、石墨烯和金刚石是一种元素组成的吗？为何存在外型和性能方面存在很大差异？ 同为碳元素，从微观角度来说碳元素的排列不同决定了宏观上性质及外型不同 2.固体分为晶体、非晶体和准晶体，它们在微观上分别觉有什么特点？ 晶体的宏观特性有哪些？晶体有哪些分类？ 晶体长程有序，非晶体短程有序，准晶体具有长程取向性，没有长程的平移对称性；晶体宏观特性：自限性，解理性，晶面角守恒，晶体各向异性，均匀性，对称性，以及固定的熔点；晶体主要可以按晶胞、对称性、功能以及结合方式进行分类。 原胞是一个晶格中最小的重复单元，体积最小，格点只在顶角上，面上和内部不含格点。晶胞体积不一定最小，格点不仅在顶角上，还可以在内部或面心上。 3.简单晶格与复式晶格的区别？ 简单晶格的晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同； 复式晶格的晶体由两种或两种以上原子组成，同种原子各构成和格点相同的网格，这些网格的相对位移形成复式晶格。 4.假设体心立方边长是a,格点上的小球半径为R ，求体心立方致密度。 1=81=28N ?+ 单胞中原子所占体积为33148=33 V N R R ππ?= 4R = 体心立方体体积为32V a = 致密度为33 12423=8V V a πρ?????== 5.晶面的密勒指数为什么可用晶面的截距的倒数值的比值来表征（把基矢看做单位矢量），提示：晶面一般用面的法线来表示，法线又可以用法线与轴的夹角的余弦来表示。 晶面的法线方向与三个坐标轴的夹角的余弦之比，等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。 晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。 6.简立方[110]等效晶向有几个,表示成什么？ 110随机排列，任意取负，共12种，表示为<110>。 7.倒格子矢量Kh=h1b1+h2b2+h3b3 的大小，方向和意义(矢量Kh 这里h 为下标，h1, b1, h2, b2, h3, b3里的数字均为下标，b1, b2, b3 为倒格子原胞基矢)，提示：从倒格子性质中找答案。 大小为2π／晶面间距 方向为晶面法线方向 意义是与真实空间相联系的傅立叶空间的周期性排列 8.倒格子和正格子之间的关系有哪些？ 1.正格子基矢与倒格子基矢点乘 2.正格矢与倒格矢的点乘为定值 3.倒格子原胞体积反比于正格子原胞体积 4.倒格矢与正格中晶面族正交 5.正格子与倒格子互为对方的倒格子 9.证明面心立方晶体的倒格子是体心立方晶体 面心立方正格基矢
在没有碰撞时,电子与电子(独立电子近似)、电子与离子(自由电子近似)之间得相互作用完全忽略;无外场时,每个电子作匀速直线运动;在外场存在时,服从牛顿定律。 k空间得概念:参量空间,状态空间。把波矢k瞧作空间矢量,相应得空间称为k空间。 T=0时,N个电子得基态可从能量最低得k=0态开始,按能量从低到高,每个k态占据两个电子,依次填充。最后,占据区形成一个球,称为费米球。 能态密度:T=0时,基态,单位体积自由电子气体得基态能量E。 费米-狄拉克函数得性质:随温度发生变化。 极限情况: 一般情况:随着T得增加,发生变化得能量范围变宽,但在任何情况下,此能量范围约在附近±kBT范围内。温度不为零时,电子占据态与非占据态之间得界面不在就是某个等能面 电子占据态与非占据态得界限可以近似为一个薄层。 电子漂移速度: 等离子体频率:自由电子气体作为整体相对正电荷背景集体运动得频率。 低频端(从直流到远红外),金属对光波有明显得衰减。(安检,金属屋子信号屏蔽) 可见光到近红外波段,金属就是高反射得。(铜镜,镜子) 电磁波频率大于等离子频率时,金属就是透明得。(金属可以作为滤波片,分离近红外-可见光与XUV/x-ray)
晶体结构包括两个最主要得特征:1、重复排列得具体单元——基元。2、晶格:基元重复排列得形式,一般抽象为空间点阵,称为晶体格子,简称晶格,由布拉维格子得形式来概括。 原胞:晶体中体积最小得周期性重复单元。 某一格点为中心,作其近邻格点连线得垂直平分面,这些平面围成得以格点为中心得最小体积单元—WS原胞。 晶胞:能表现对称性得单元,但就是未必最小。 7类晶系:三斜、单斜、正交、四方、三角、六角、立方。 群由群元素集合与规定乘法定义。 封闭性:若a,b∈G,则存在唯一确定得c∈G,使得a*b=c; 结合律:任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c); 单位元:存在e∈G,对任意a∈G,满足a*e=e*a=a,称e为单位元; 逆元:任意a∈G,存在唯一确定得b∈G, a*b=b*a=e(单位元),则称a与b互为逆元素,简称逆元,记作a-1=b。 点群:在点对称操作基础上组成得对称操作群称为点群。 点群得元素:点对称操作。 点群得乘法:连续操作。 点对称操作:绕固定轴得转动、镜面反映、中心反演。 对称要素:固定轴、镜像面、反演点。 倒格子定义:对布拉维格子中所有格矢,满足得全部端点得集合,构成布拉维格子,称为正格子得倒格子。 同一晶体得正格子与倒格子有相同得对称性。 体心立方得倒格子为面心立方; 面心立方得倒格子为体心立方; 简单立方得倒格子仍为简单立方。
固体物理中关于能带理论的认识 摘要:本文运用能带理论就晶体中的电子行为作一些讨论,以期对能带理论的 概念更细致的把握。 关键词:能带理论电子共有化绝热近似平均场近似周期场假定 引言 能带理论(Energy band theory)是研究晶体(包括金属、绝缘体和半导体的晶体)中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动,即是单电子近似的理论，对于晶体中的价电子而言,等效势场包括原子核的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来的交换作用,是一种晶体周期性的势场。能带理论认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子,并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动。 1 能带理论的假定 能带理论是目前的固体电子理论中最重要的理论。量子自由电子理论可作为一种零级近似而归入能带理论。能带理论是一个近似理论,下面对该理论所作的假定作为一探讨。 实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。如果不采用一些简化近似,从理论上研究固体的能级和波函数是极为困难的。 1.1 绝热近似 考虑到电子与核的质量相差悬殊。可以把核与电子的运动分开考虑,相当于忽略了电子——声子相互作用。电子运动时,可以认为核是不动的。电子是在固体不动的原子核产生的势场中运动。 1.2 平均场近似 因为所有电子的运动是关联的。可用一种平均场来代替价电子之间的相互作用，即假定每个电子所处的势场都相同。使每个电子的电子间相互作用能仅与该电子的位置有关，而与其它电子的位置无关，在上述近似下，每个电子都处在同样的势场中运动，既所有电子都满足同样的薛定谔方程，只要解得方程，就可得晶体电子体系的电子状态和能量。使多电子问题简化为一个单电子问题，所以上述近似也称单电子近似。 1.3 周期场假定 薛定谔方程中势能项是原子实对电子的势能，具有与晶格相同的周期性。代表一种平均势能，应是恒量。因此，在单电子近似和晶格周期场假定下，就把多电子体系问题简化为在晶格周期势场的单电子定态问题，上述在单电子近似基础上的固体电子理论称能带论。 2 电子的共有化运动 我们知道,由于原子核对电子的静电引力, 使得电子只能围绕原子核在一定
第三章固体的结合 一、基本要求 1、掌握晶体结合能的概念；晶体内能与原子间作用力的一般特点及其与晶格常数、体弹性模量、抗张强度的关系。 2、掌握晶体结合的基本类型及相应晶体的基本性质；各种结合类型结合能的表示。 3、熟悉原子的负电性以及元素和化合物晶体结合的规律性。 二、基本概念 晶体结合能，电负性，电离能，亲和能，离子晶体，离子性结合，共价晶体，共价结合，成键态，反键态，轨道杂化，极性键，非极性键，金属，金属键，分子晶体，分子性结合，氢键晶体，氢键。 三、重点、难点 晶体结合能与内能的关系，互作用势能的关系，由晶体结合能得到的物理常数，成键态，反键态，五种晶体结合类型与其性质 四、本章构架 __________________________________________________
__________________________________________________ 1.定义：分散的原子（离子或分子）在结合成稳定晶体的过程中，所释放出来的能量，称为 晶体的结合能 2.内能：如果以组成晶体的N 个原子处于自由状态的能量作为能量的零点，则－E b 就是晶体 的内能。(当动能=0时，内能=势能=E b =E N -E 0 3.互作用力与互作用势： 4.结合能的一般形式 两个原子之间的互作用势能： 晶体的总的相互作用势： （j≠1 j=2,3,…N） （式中 r 代表最近邻的两原子间的距离。） 5.由U(r) 可求出晶体的某些物理常数 （1）晶格常数： 令 ，求得0r 即为晶格常熟 （2）体弹性模量： 当对晶体施加一定压强时，晶体体积有所改变，这种性质用压缩系数（K ）或体弹性模量（k ）来描述。 K= （在T ＝0 时，晶体的平衡体积为V0 ，则 ） （3）抗张强度： 晶体所能承受的最大张力即为抗张强度。 (1)离子键：异性离子间的互作用力称为离子键。 (2)离子性结合：当电离能较小的容易放出最外层的电子而成正离子金属原子与电子亲合能较大的容易接受前者放出的电子而变成负离子非金属原子相互接近时，出现正、负离子间的库仑作用，从而结合在一起。 (3)离子性结合的特点： a.以离子为结合单元，靠正负离子之间的库仑引力作用结合成晶体。 b.离子晶体中正、负离子是相间排列的，使异号离子之间的吸引作用强于同号离子之间的排斥作用，库仑作用的总效果是吸引的，晶体势能可达到最低值而使晶体稳定。 c.由于正、负离子的相对大小的差异，其结构形式和配位数也有所差异。 (4)离子晶体:靠离子性结合的晶体称为离子晶体或极性晶体。 (5)离子晶体的特点： a.离子晶体主要依靠较强的库仑引力而结合，故结构很稳定，结合 能很大，这导致了离子晶体熔点高、硬度大、膨胀系数小。 dr r du r f )()(-=n m r B r A r u +-=)(∑ ==N j j r u N r U 21)(2)(0|)(0=??=r r r r U )(122V U V ??=κ0 )(2200V V U V K ??=m V V V r U Pm Pm =??=-=)) ((||能合结的 体晶一、合结 性子 离
固体物理复习_简述题
《固体物理》基本概念和知识点 第一章基本概念和知识点 1) 什么是晶体、非晶体和多晶？( ) 晶面有规则、对称配置的固体，具有长程有序特点的固体称为晶体；在凝结过程中不经过结晶(即有序化)的阶段，原子的排列为长程无序的固体称为非晶体。由许许多多个大小在微米量级的晶粒组成的固体，称为多晶。 2) 什么是原胞和晶胞？( ) 原胞是一个晶格最小的周期性单元，在有些情况下不能反应晶格的对称性； 为了反应晶格的对称性，选取的较大的周期单元，称为晶胞。 3) 晶体共有几种晶系和布拉伐格子？( ) 按结构划分，晶体可分为7大晶系, 共14布拉伐格子。 4) 立方晶系有几种布拉伐格子？画出相应的格子。( ) 立方晶系有简单立方、体心立方和面心立方三种布拉伐格子。 5) 什么是简单晶格和复式格子？分别举3个简单晶格和复式晶格的例子。( ) 简单晶格中，一个原胞只包含一个原子，所有的原子在几何位置和化学性质上是完全等价的。碱金属具有体心立方晶格结构；Au、Ag和Cu具有面心立方晶格结构，它们均为简单晶格 复式格子则包含两种或两种以上的等价原子，不同等价原子各自构成相同的简单晶格，复式格子由它们的子晶格相套而成。 一种是不同原子或离子构成的晶体，如：NaCl、CsCl、ZnS等；一种是相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体，如：具有金刚石结构的C、Si、Ge等 6) 钛酸钡是由几个何种简单晶格穿套形成的？( )
BaTiO在立方体的项角上是钡(Ba)，钛(Ti)位于体心，面心上是三组氧(O)。三组氧3 (OI，OII，OIII)周围的情况各不相同，整个晶格是由 Ba、 Ti和 OI、 OII、 OIII各自组成的简立方结构子晶格(共5个)套构而成的。 7) 为什么金刚石是复式格子？金刚石原胞中有几个原子？晶胞中有几个原子？( ) 金刚石中有两种等价的C原子，即立方体中的8个顶角和6个面的中心的原子等价，体对角线1/4处的C原子等价。金刚石结构由两套完全等价的面心立方格子穿套构成。金刚石属于面心立方格子，原胞中有2个C原子，单胞中有8个C原子。 第二章基本概念和知识点 1) 简述离子性和共价性晶体结合的特点。( ) 离子性结合：正、负离子之间靠库仑吸引力作用而相互靠近，当靠近到一定程度时，由于泡利不相容原理，两个离子的闭合壳层的电子云的交迭会产生强大的排斥力。当排斥力和吸引力相互平衡时，形成稳定的离子晶体；基本特点是以离子为结合的单位，且要求正负离子相间排列。 共价性结合：共价结合是靠两个原子各贡献一个电子，形成所谓的共价键；两个基本特征是饱和性和方向性。 2) 简述金属性和范德瓦耳斯结合的特点。( ) 金属性结合：基本特点是电子的“共有化”，即在结合成晶体时，原来属于各原子的价电子不再被束缚在原子上，而转变为在整个晶体内运动；电子云和原子实之间存在库仑作用，体积越小电子云密度越高，库仑相互作用的库仑能愈低，表现了把原子聚合起来的作用。 范德瓦耳斯性结合：惰性元素最外层的电子为8个，具有球对称的稳定封闭结构。某一瞬时由于正、负电中心不重合而使原子呈现出瞬时偶极矩，这就会使其它原子产生感应极矩。非极性分子晶体就是依靠这瞬时的电偶极矩的感应作用而结合的。 第三章基本概念和知识点 1) 什么是声子？长光学波声子又可以分为极化声子和电磁声子，它们的意义是什么？( ) 声子是晶格振动的能量量子。在晶体中存在不同频率振动的模式，称为晶格振动，晶格振动能量可以用声子来描述，声子可以被激发，也可以湮灭。——1分 晶体中的长光学波是极化波，长光学波声子称为极化声子（LO），只有长光学纵波才伴随有宏观的极化电场，极化声子主要是指纵光学声子。—— 2分
1. 倒格子（倒易点阵） 设晶格（正格子）的基矢为123 a a a 、、，定义满足 2, ;0, . i j i j a b i j π=?=?≠? 则称123 b b b 、、为倒格子(倒易点阵)基矢，由112233G h b h b h b =++ 构成 的格子称为倒格子(其中h 1、h 2、h 3为任意整数)。 2. 正规过程和翻转过程 声子之间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒，即有 123123()()() n q q q q q q G ωωω?+=??+=+?? （1）若 =n G 为正规过程. 碰撞后系统的准动量不变，对热流无影响。即不起阻力作用,对热传导没有贡献。 （2）若 0 ≠n G 为翻转过程. 翻转过程中动量有很大的变化，破坏声子波矢之和或准动量之和，产生热阻力，对热传导有贡献。 3. 长光学波和长声学波的特点： 1) 长光学波： a. 原胞中相邻原子的振动方向相反，同种的原子振动方向相同，原胞质心保持不变，描述原胞内原子的反相运动； b. 传播速度接近光速； c. 光学支的最高点，振动频率较高，能量较高。 2) 长声学波： a. 原胞中相邻原子的振幅相同，振动方向一致，代表了原胞质心的运动，描述原胞内原子同相整体运动；
b. 把晶体看成连续介质的弹性波，其传播速度等于声音在晶体中的传播速度。 c. 光学支的最高点，振动频率较高，能量较高。 两者的共同之处就是波矢很小，准动量很小。 4. 线缺陷 在两个方向上尺寸很小，另外一个方向上延伸较长的晶格缺陷。 位错有三种类型，螺位错、刃位错和混合位错。 螺位错：柏氏矢量与位错线平行。无确定的滑移面（其滑移面是围绕位错线的螺旋卷面），仅可滑移，不可攀移。 刃位错：柏氏矢量与位错线垂直。其有确定的滑移面，既可滑移，又可攀移。 混合位错：柏氏矢量与位错线呈任意角度θ 。它可以分解成螺位错和刃位错，混合位错既可滑移，又可攀移。 5. 布洛赫定理 当势场具有晶格周期性时，波动方程 22 () ()()2n V r E V r V r R m ψψ??-?+==+???? 其中n R 为任意晶格矢量 的解具有如下形式： ()()n ik R n r R e r ψψ+= 或()()()(+)=()ik r n r e u r u r u r R u r ψ= 其中具有与晶格同样的周期，即 即表示具有晶格周期势场的波动方程的解的形式是平面波和周期函数的乘积，即是周期函数调幅的平面波。 6. 固体物理学原胞和晶胞的区别 固体物理学原胞： 1) 原胞有8个顶点，每个原胞包含一个格点，是最小的周期重复单元。 2) 原胞的选择是多样的。 晶体学原胞： 1) 其不是最小的周期性单元，体积是固体物理学原胞的整数倍。 2) 除顶点外，格点可能出现在六面体的体心或面心上。 3) 不仅反映格子的周期性，也反映了格子的对称性。
能带理论的学习心得 这学期学习了《固体物理学》这门课，《固体物理学》这门课是后续专业课的一门基础课，具有重要的地位。其中的第四章的能带理论又是这门课的重中之重，现在我就把我读过能带理论后的一些理解和感受写出来，和大家一起来分享。《固体物理学》基本把能带理论的基础的东西都说的很清楚了，概括起来的话，能带理论研究的是固体中电子运动规律的一种近似理论。固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。能带理论就属这种单电子近似理论。 首先，我来说说能带理论中的几个重要名词。 能级(Energy Level)：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。 能带(Energy Band)：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。致使高原子核较远的壳层发生交叠，売层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子売层上去，这种现象称为电子的共有化。从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。 禁带(Forbidden Band)：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。 价带(Valence Band)：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。 导带(Conduction Band)：价带以上能量最低的允许带称为导带。 接下来，我来说明一下我对孤立原子的能带和固体的能带，以及能带理论的一些理解：孤立原子的外层电子可能取的能量状态(能级)完全相同，但当原子彼此靠近时，外层电子就不再仅受原来所属原子的作用，还要受到其他原子的作用，这使电子的能量发生微小变化。原子结合成晶体时，原子最外层的价电子受束缚最弱，它同时受到原来所属原子和其他原子的共同作用，已很难区分究竟属于哪个原子，实际上是被晶体中所有原子所共有，称为共有化。原子间距减小时，孤立原子的每个能级将演化成由密集能级组成的准连续能带。共有化程度越高的电子，其相应能带也越宽。孤立原子的每个能级都有一个能带与之相应，所有这些能带称为允许带。相邻两允许带间的空隙代表晶体所不能占有的能量状态，称为禁带。若晶体由N个原子(或原胞)组成，则每个能带包括N个能级，其中每个能级可被两个自旋相反的电子所占有，故每个能带最多可容纳2N个电子。价电子所填充的能带称为价带。比价带中所有量子态均被电子占满，则称为满带。满带中的电子不能参与宏观导电过程。无任何电子占据的能带称为空带。未被电子占满的能带称为未满带。例如一价金属有一个价电子，N个原子构成晶体时，价带中的2N个量子态只有一半被占据，另一半空着。未满带中的电子能参与导电过程，故称为导带。 固体的导电性能由其能带结构决定。对一价金属，价带是未满带，故能导电。对二价金属，价带是满带，但禁带宽度为零，价带与较高的空带相交叠，满带中的电子能占据空带，因而也能导电，绝缘体和半导体的能带结构相似，价带为满带，价带与空带间存在禁带。无
标准文案
目录 一、本章难易及掌握要求 (1) 二、基本容 (1) 1、三种近似 (1) 2、周期场中的布洛赫定理 (2) 1）定理的两种描述 (2) 2）证明过程： (2) 3）波矢k的取值及其物理意义 (3) 3、近自由电子近似 (3) A、非简并情况下 (4) B、简并情况下 (5) C、能带的性质 (6) 4、紧束缚近似 (6) 5、赝势 (9) 6、三种方法的比较 (10) 7、布里渊区与能带 (11) 8、能态密度及费米面 (11) 三、常见习题 (14) 简答题部分 (14) 计算题部分 (15)
一、本章难易及掌握要求 要求重点掌握： 1）理解能带理论的基本假设和出发点； 2）布洛赫定理的描述及证明； 3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白三维近自由电子近似的思想； 4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算； 5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用； 6）会计算能态密度及明白费米面的概念。 本章难点： 1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的 应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。 了解容： 1）能带的成因及对称性； 2）费米面的构造； 3）赝势方法； 4）旺尼尔函数概念； 5）波函数的对称性。 二、基本容 1、三种近似
在模型中它用到已经下假设： 1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。 2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。 3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理 1）定理的两种描述 当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质： 形式一：()()n ik R n r R e r ψψ?+=，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间 的波函数相位差 形式二：()()ik r r e u r ψ?=，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可 用受 ) (r u k 调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+，n R 取布拉 菲格子的所有格矢成立。 2）证明过程： a. 定义平移算符T ，)()()()(3322113 2 1 a T a T a T R T m m m m = b ． 证明T 与?H 的对易性。α αHT H T = c.代入周期边界条件，求出T 在T 与?H 共同本征态下的本征值