《数理统计》
课程设计
题目：用M-C 方法求积分1
() f x dx
?
【题目要求：f（x)自定，n≥500,考虑n对结果的影响，即做多组n下的模拟值，并作模拟值与n的散点图，同时比较模拟值与真实值的差异，散点图表示。并做差异值序列的描述性统计（均值、方差、标准差、峰度系数、偏度系数、众数、中位数、四分位数等）。积分区间可根据需要调整。】
学院：数学学院
专业班级：应用数学09-2班
姓名：李明
学号： 20096312
指导教师：谭常春
2012.6.20
一、M-C方法概述
M-C方法即蒙特卡洛方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
该方法基本思想很早以前就被人们所发现和利用。17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定π。高速计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量模拟这样的试验成为可能。其实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种数值方法，基本思想是基于概率和体积间的相似。
Monte Carlo方法计算结果收敛的理论依据来自于大数定律，且结果渐进地服从正态分布的理论依据是中心极限定理。以上两个属性都是渐进性质，要进行很多次抽样，此属性才会比较好地显示出来，如果Monte Carlo计算结果的某些高阶距存在，即使抽样数量不太多，这些渐进属性也可以很快地达到。
二、M-C方法与数值积分
用数值积分方法计算积分，如
2
1()
x
x f x dx
?，如果我们能够得到f(x)的原函数F(x)，那么直接由表达式: F(x2)-F(x1)可以得到该定积分的值。但是，很多情况下，由于f(x)太复杂，无法计算得到原函数F(x)的显式解，这时我们就只能用数值积分的办法。数值积分的基本原理是在自变量x的区间上取多个离散的点，用单个点的值来代替该小段上函数f(x)值。
常规的数值积分方法是在分段之后，将所有的矩形小块的面积全部加起来，用这个面积来近似函数f(x)与x轴围成的面积。这样做当然是不精确的，但是随着分段数量增加，误差将减小，近似面积将逐渐逼近真实的面积。
Monte Carlo方法和上述类似。差别在于，Monte Carlo方法中，我们不需要将所有方柱的面积相加，而只需要随机地抽取一些函数值，将他们的面积累加后计算平均值就够了。随着抽取点增加，近似面积也将逼近真实面积。
三、M-C方法的形式与一般步骤
做Monte Carlo时，求解积分的一般形式是：
2
1()()
x
x f x x d
ψ
?；x为自变量，它应该是随机的，定义域为(x1, x2)，f(x)为被积函数，ψ(x)是x的概率密度。
Monte Carlo方法分为一下四个个步骤：
1．依据概率分布ψ(x)不断生成随机数x, 并计算f(x)：由于随机数性质，每次生成的x 的值都是不确定的，为区分起见，我们可以给生成的x 赋予下标。如x i 表示生成的第i 个x 。生成了多少个x ，就可以计算出多少个f(x)的值。
2．将这些f(x)的值累加，并求平均值例如我们共生成了N 个x ，这个步骤用数学式子表达就是
3．到达停止条件后退出。常用的停止条件有两种：一种是设定最多生成N 个x ，数量 达到后即退出；另一种是检测计算结果与真实结果之间的误差，当这一误差小到某个范围之内时退出。
4．误差分析：Monte Carlo 方法得到的结果是随机变量，因此，在给出点估计后，还需要给出此估计值的波动程度及区间估计。严格的误差分析。首先要从证明收敛性出发，再计算理论方差，最后用样本方差来替代理论方差。
四、常见随机数的生成及相关函数
1、rand() 生成（0,1）区间上均匀分布的随机变量。基本语法：rand([M,N,P ...]) 生成排列成M*N*P... 多维向量的随机数。如果只写M ，则生成M*M 矩阵；如果参数为[M,N]可以省略掉方括号。
2、randn() 生成服从标准正态分布（均值为0，方差为1）的随机数。基本语法和rand()类似：randn([M,N,P ...]);生成排列成M*N*P... 多维向量的随机数。如果只写M ，则生成M*M 矩阵；如果参数为[M,N]可以省略掉方括号。
3、unifrnd() 和rand()类似，rand （）可以看作其特殊情况。这个函数生成某个区间内均匀分布的随机数。基本语法：unifrnd(a,b,[M,N,P,...]);生成的随机数区间在(a,b)内，排列成M*N*P... 多维向量。如果只写M ，则生成M*M 矩阵；如果参数为[M,N]可以省略掉方括号。
4、normrnd() 和randn()类似，randn （）可以看作其特殊情况。此函数生成指定均值、标准差的正态分布的随机数。基本语法：normrnd(mu,sigma,[M,N,P,...])；生成的随机数服从均值为mu ，标准差为sigma （注意标准差是正数）正态分布，这些随机数排列成M*N*P... 多维向量。如果只写M ，则生成M*M 矩阵；如果参数为[M,N]可以省略掉方括号。
5、chi2rnd() 此函数生成服从卡方分布的随机数。卡方分布只有一个参数：自由度v 。基本语法：chi2rnd(v,[M,N,P,...])；生成的随机数服从自由度为v 的卡方分布，这些随机数排列成M*N*P... 多维向量。如果只写M ，则生成M*M 矩阵；如果参数为[M,N]可以省略掉方括号。
6、frnd() 此函数生成服从F 分布的随机数。F 分布有2个参数：v1, v2。基本语法：frnd(v1,v2,[M,N,P,...])；生成的随机数服从参数为(v1,v2)的卡方分布，这些随机数排列成M*N*P... 多维向量。如果只写M ，则生成M*M 矩阵；如果参数为[M,N]可以省略掉方括号。
1
()
N
i
i f x N
=∑
7、trnd() 此函数生成服从t 分布，t 分布有1个参数：自由度v 。基本语法：trnd(v,[M,N,P,...])；生成的随机数服从参数为v 的t 分布，这些随机数排列成M*N*P... 多维向量。如果只写M ，则生成M*M 矩阵；如果参数为[M,N]可以省略掉方括号。
8、其他常见分布：生成beta 分布随机数的语法是：betarnd(A,B,[M,N,P,...]) 生成Gamma 分布随机数的语法是：gamrnd(A,B,[M,N,P,...]) 生成指数分布随机数的语法是：betarnd(mu,[M,N,P,...])。
五、积分的计算
计算定积分： 20x e dx
?
（1）数学方法：我们已知x
e 的原函数是x
e ，那么定积分值就是：
2
e e -=6.3890561 。计算这个数值可以在Matlab 中输入代码：exp(2)-exp(0)。得到的值是此定积分的真实值。
（2）常规数值积分：在(0,2)x ∈区间内取N 个点，计算各个点上的函数值，然后用函数值乘以每个区间宽度，最后相加。Matlab 代码：
N=100;
x=linspace(0,2,N); sum(exp(x).*2/N)
试着调大N 的值，最后的结果将更接近真实值。
（3）Monte Carlo 积分法：在(0,2)x ∈内随机取N 个点，计算各个点上的函数值，最后求这些函数值的平均值再乘以2。看Matlab 代码：
N=100;
x=unifrnd(0,2,N,1); mean(2*exp(x))
同样的，通过增大N ，这种方法得到的结果也将越来越接近真实值。
对M-C 方法的解释：
这个积分要求的积分形式是：20x e dx
?， 还不完全是
2
1
()()x x f x x dx ψ?形式，故先做变换，
2
1(2)()2x
e dx ?，这里2x
e 是f(x)；1/2是ψ(x)，它表示，在取值范围(0,2)区间内，x 服从
均匀分布。显然若是积分区间为（0，1),则是在区间（0，1）内服从均匀分布，即从0到1内随机的取出N 个点。对于其代码语句解释如下：
N=100 设定停止条件，共做N 次Monte Carlo 模拟；
x=unifrnd(0,2,N,1) 按照(0,2)区间均匀分布概率密度对x随机抽样，共抽取N 个x。
mean(2*exp(x)) 2*exp(x)作用是对每个x i计算f(x i)的值,共可得到N个值，这个相当于第一个步骤后半部分；Mean()函数的作用是将所有的f(x i)加起来取平均值。
六、M-C方法对积分计算的分析
对上述函数计算中，N的值从500至1000每隔10取定一个值（N值即区间0到2内取的x点数），分别计算其积分模拟值。并作模拟值与N的散点图，同时比较模拟值与真实值的差异，散点图表示。并做差异值序列的描述性统计（均值、方差、标准差、峰度系数、偏度系数、众数、中位数、四分位数等）。
通过计算得出下列结果：第一列为N的值，第二列为对应的模拟值，第三列为N对应的模拟值与真实值的差异。
（真实值为6.3891）
500 6.0793 0.30976 510 6.2867 0.10232 520 6.6887 -0.29968 530 6.2313 0.15771 540 6.4241 -0.03501 550 6.3359 0.053158 560 6.5737 -0.18465 570 6.5098 -0.12075 580 6.2231 0.16598 590 6.5384 -0.14935 600 6.3856 0.0034121 610 6.4427 -0.053672 620 6.4766 -0.087552 630 6.2921 0.096933 640 6.2444 0.14465 650 6.4517 -0.06269 660 6.4666 -0.077554 670 6.3417 0.047389 680 6.4812 -0.092182 690 6.5255 -0.13645 700 6.3259 0.063167 710 6.5512 -0.16213 720 6.4639 -0.074884 730 6.4253 -0.036203 740 6.5366 -0.1475 750 6.5665 -0.17745 760 6.5481 -0.15909 770 6.5607 -0.17165 780 6.3552 0.033831 790 6.4636 -0.074584 800 6.3712 0.017859 810 6.4532 -0.064155 820 6.5182 -0.12912 830 6.1661 0.22291 840 6.1409 0.24814 850 6.4171 -0.028075 860 6.2438 0.1453 870 6.4517 -0.062662 880 6.266 0.12309 890 6.2639 0.12511 900 6.4105 -0.021448 910 6.2054 0.18363 920 6.5427 -0.15366 930 6.3731 0.01594 940 6.5718 -0.18274 950 6.2956 0.093458 960 6.3882 0.00088631 970 6.3696 0.019428 980 6.4955 -0.10648 990 6.3351 0.053931 1000 6.3671 0.021975
计算第三列差异值的描述性统计可得：
均值：-0.032097 方差：0.018636 标准差：0.13651 中位数: -0.042936
模拟值与N（N值即区间0到2内取的x点数）的散点图：（真实值为6.3891）
差异值与N的散点图
显然，此时由于点数取的较少，收敛性并不明显，下面是取点较多的情况：
从500至5500每隔10取一个N值，共501个N值：
从500至10000每隔10取一个N 值，共951个N
值：
从500至20000每隔10取一个N 值，共1951个N
值：
从上面的图中可以发现，N 值越大，即积分区间内所取的点数越多，模拟值越接近真实值，且模拟值的波动区间也越小。即随着所取点数的增加，M-C 方法的模拟值收敛于真实值。下面以从500至10000每隔10取一个N 值，共951个N 值进行误差分析。
七、误差分析
M-C 求积方法常常以随机变量θ的简单子样12,,...,N θθθ的算术平均值11N
i i N θθ==∑
作为
积分I 的近似值，由强大数定理知道，如果随机变量序列12,,...,N θθθ相互独立、同分布、期望值存在，那么当N →∞时，θ以概率1收敛到I 。
按照中心极限定理，只要随机变量序列12,,...,N θθθ相互独立、同分布、数学期望存在，且具有有限标准差0σ≠，那么，当N →∞时，随机变量I
Y N
θσ-=
渐进服从标准正态分
布()0,1N ，即()
22
1
2a
x t a P Y t e d x
π
-∞
<
??
，由此可知，对任何0a t >有()2
20212a x t a a t P Y t p I e dx N σθαπ?
?<=-
?? ；这表示，不等式a t I N σθ-<成立的概率近似等于1α-。其中当α很小时，α称为显著水平，1α-称为置信水平。
因此，M-C 方法的误差ε可以写为a t N
σ
ε=
，由此可以确定，对于给定的ε，N 的值应取为（在概率意义的统计值）22
2a t N σε=
。
由于我们无法知道理论值σ，所以在计算中，
只能用标准差的近似估计值σ
来代替
σ。对于平均值法，
()()2
2
111
1N
N i i N
N i i f x f x σ==??
=
- ?
??∑
∑
从500至10000每隔10取一个N 值，共951个N 值，即195个f(x)值，计算相关的模拟值统计数据：均值：6.3897（与真实值I=6.3891相差0.0006）；数据统计方差：0.004207；标准差：0.064861（对于差值数据有：均值 -0.00061074；方差：0.004207；标准差：0.064861）。而由以上公式计算得σ=4.3378，θ=6.3897；故可由
a t N σ
ε=
算得特定N 值以及置信水平
下的误差，根据
22
2a t N σε=
可由特定误差及置信水平得出所需N 的值。
八、M-C 方法的优点
对比前面常规数值积分和Monte Carlo 方法可知，同样数量的N 值时，计算量是几乎相同的，常规数值积分结果的精确度要高于Monte Carlo 数值积分的结果。但这只是对低维积分情况而言，常规数值积分的精度直接取决于每个维度上取点数量，维度增加了，但是每个维度上要取的点却不能减少。在多重积分中，随着被积函数维度增加，需要计算的函数值数量以指数速度递增。
例如在一重积分
2
1
()()x x f x x d ψ?x 中，只要沿着x 轴取N 个点；要达到相同大小的精确
度，在s 重积分
1
2
1
2
1
2
...(,...)(,...)(,...)s
s
s
f x x x x x x d x x x ψ???中，仍然需要在每个维度上
取N 个点，s 个纬度的坐标相组合，共需要计算s
N 个坐标对应的f 的函数值。取点越多，占用计算机内存越大，需要的运算时间也越长，最终导致这种计算方法失去可行性。
Monte Carlo 方法却不同，不管是积分有多少重，取N 个点计算的结果精确度都差不多。因此，即使在一重积分的情形下，Monte Carlo 方法的效率比不过常规数值积分，但随着积分维度增加，常规数值积分的速度呈指数下降，Monte Carlo 方法只需生成多维随机数，并且生成个数差不多时的效率却基本不变。一般情况，当积分重数达到4重积分甚至更高时，Monte Carlo 方法将远远优于常规数值积分方法。
九、总结
通过这次课程设计，对M-C方法求积分有了深入了解，对于数理统计中相关概念与知识也加深了印象，如统计量、误差分析、假设检验等。同时对于Matlab程序的编写与使用又重新熟悉一次。当然，在做课程设计时也存在相应的不足，比如由于时间关系对蒙特卡洛方法的理论知识并未进行深入系统了解；由于对于相关相关数理统计理论知识理解不是太好，最后进行误差分析时有些吃力，可能也会存在一定的纰漏。此外，M－C方法的优势在于计算多重积分，本课程设计只计算了一维积分，并进行相应分析。对于多重积分计算方法是一样的，这里并没有举例。总之，在这次的课程设计中，收获还是很大的。
附录：Matlab 源代码
s hiji=exp(2)-exp(0);
A= zeros(51,1);
for N=500:10:1000
x=unifrnd(0,2,N,1);
A((N-500)/10+1)=mean(2*exp(x));
end
B = shiji - A;
N=500:10:1000;
format short g
G =[N',A,B]
plot(N',A,'*')
figure
plot(N',B,'+')
junzhi=mean(B)
fangcha=var(B)
biaozhun=sqrt(var(B))
几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计 算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid
1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法
定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+定积分的性质与计算方法
定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样，
定积分的四种求法 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1 用定义法求 2 30 x dx ? 的值. 分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限． 解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝ 2 n ． （2）近似代替：△3 2()i i i S f x x n ξ?? =?=? ??? （3）求和：3 3 111222n n n i i i i i i S x n n n ===?????? ?≈?=? ? ? ????? ??∑∑∑. （4）取极限：S=333 2242lim n n n n n n →∞?? ?????? +++?? ? ? ? ???? ?????? L ＝4433322 44221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞??+++=?+??L ＝22 4(21) lim n n n n →∞++=＝4． ∴ 2 30 x dx ? =4．. 评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲． 二、微积分基本定理法
例2 求定积分 2 21 (21)x x dx ++? 的值. 分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解． 解：函数y ＝2 21x x ++的一个原函数是y ＝3 23 x x x ++． 所以.2 2 1 (21)x x dx ++? ＝322 1()|3x x x ++＝81421133????++-++ ? ????? ＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数． 三、几何意义法 例3 求定积 分 1 1 dx -? 的值. 分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出． 解 ：1 1dx -?表示圆x 2＋y 2＝1在第一、 二象限的上半圆的面积． 因为2 S π =半圆，又在x 轴上方． 所 以 1 1 dx -? ＝ 2 π ． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出． 四、性质法 例4 求下列定积分： ⑴ 44 tan xdx π π-?；⑵22 sin 1 x x dx x π π - +?． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很 难
求定积分的四种方法 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1 用定义法求2 30x dx ?的值. 分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限． 解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n ． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ??=?=? ??? （3）求和：33 111222n n n i i i i i i S x n n n ===???????≈?=? ? ? ????? ??∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞????????+++?? ? ? ???????????L ＝4 43332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞??+++=?+? ?L ＝224(21)lim n n n n →∞++=＝4． ∴2 30x dx ?=4．. 评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲． 二、微积分基本定理法 例2 求定积分2 21(21)x x dx ++?的值. 分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解． 解：函数y ＝2 21x x ++的一个原函数是y ＝3 23x x x ++．
所以.2 2 1(21)x x dx ++?＝3221()|3x x x ++＝81421133????++-++ ? ?????＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数． 三、几何意义法 例3 求定积 分1 1dx -?的值. 分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的 面积，只要作出图形就可求出． 解 ：1 1dx -?表示圆x 2＋y 2＝1在第一、 二象限的上半圆的面积． 因为2S π= 半圆，又在x 轴上方． 所 以1 1dx -?＝2 π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出． 四、性质法 例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx π π-?；⑵22sin 1 x x dx x ππ-+?． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解． 解：由被积函数tan x 及22sin 1 x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零． 所以⑴ 4 4 tan xdx π π-?＝0；
第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10
定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11
这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12
求不定积分的方法及技巧小汇总~ 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(?? 第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会 用。主要有以下几种： acht x t a x t a x a x asht x t a x t a x a x t a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222
高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:
樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分
分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__
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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx
C语言实验报告 求定积分 班级10信息与计算科学一班姓名戴良伟 学号 21
1. 描述问题 利用①左矩形公式，②中矩形公式，③右矩形公式 ，④梯形公式，⑤simpson 公式，⑥Gauss 积分公式求解定积分。 2. 分析问题 定积分 定积分的定义 定积分就是求函数()f x 在区间[],a b 中图线下包围的面积。即()0,,,y x a x b y f x ====所包围的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边梯形。如下图： （图1） 设一元函数()y f x =,在区间[],a b 内有定义。将区间[],a b 分成n 个小区间[][][][]00112,,,,,......,i a x x x x x x b 。设1i i i x x x -?=-，取区间i x ?中曲线上任意一点记做()i f ξ，作和式： ()1lim n n i f i xi ξ→+∞=??? ??? ∑ 若记λ为这些小区间中的最长者。当0λ→时，若此和式的极限存在，则称这个和式是函数()f x 在区间[],a b 上的定积分。 记作：()b a f x dx ? 其中称a 为积分下限， b 为积分上限，()f x 为被积函数，()f x dx 为被积式，∫ 为积分号。 之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。 定积分的几何意义[1] 它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a ，x=b 之间的各个部分面积的代数和。在x 轴上方的面积取正号；在x 轴下方的面积取负号。如图 言实现定积分计算的算法 利用复合梯形公式实现定积分的计算
定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢？我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限，设 ()0 ()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[] 1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>?
不定积分求解方法及技巧小汇总 摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。 一．不定积分的概念与性质 定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的x∈I，有F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。 定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x∈I） 简单的说就是，连续函数一定有原函数 定理2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则 （1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数； （2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。 定义2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为?f(x)d(x),即?f(x)d(x)=F(x)+C 其中记号?称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分 变量，C称为积分常数。 性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则?[f(x)±g(x)]dx=?f(x)dx±?g(x)dx.性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则?kf(x)dx=k?f(x)dx. 二．换元积分法的定理 如果不定积分?g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[?(x)] ?’(x). 做变量代换u=?(x),并注意到?‘（x）dx=d?(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积 分，于是有?g(x)dx=?f[?(x)] ?’(x)dx=?f(u)du. 如果?f(u)du可以积出，则不定积分?g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换 元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。 定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=?(x)可导，则有换元公式
合肥学院论文 求积分的若干方法 姓名：陈涛 学号：1506011005 学院：合肥学院 专业：机械设计制造及其自动化 老师：左功武 完成时间：2015年12月29日 求积分的几种常规方法 陈涛 摘要:数学分析中，不定积分是求导问题的逆运算，而且是联系微分学和积分学的一条纽带。为灵活运用积分方法求不定积分，本文介绍了求积分的几种重要方法和常用技巧，讨论和分析了求积分的几种方法：直接积分法，换元积分法，分部积分法以及有理函数积分的待定系数法，对于快速求不定积分有重要意义，适当的运用积分方法求不定积分，才可以简捷，准确。 关键词：定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法 引言 数学分析是师范大学数学专业必修专业课，微分和积分都是数学分析的重点，而不定积分是积分学的基础，更是关键，直接关系到学习数学的重点。其任务是掌握逻辑思维方法和提高使用数学手段解决问题的能力。一般地，求不定积分要比求导数难很多，运用积分法则
和积分公式只能解决一些简单的积分，更多的不定积分要因函数的不同形式和不同类型选用不同的方法，巧妙运用恰当的方法，可以化难为易，从而简单、快捷、准确的求出不定积分。本文为解决求积分的困难问题给出了相应的解决方法，帮助理解不定积分。 1 积分的概念 设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分(indefinite integral)。 记作∫f(x)dx。其中∫叫做积分号(integral sign)，f(x)叫做被积函数(integrand)，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。 1.1 不定积分 积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。 用公式表示是:f'(x)=g(x)->∫g(x)dx=f(x)+c 不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。例如：已知定义在区间I上的函数f（x)，求一条曲线y=F（x），x∈I，使得它在每一点的切线斜率为F′（x）= f（x）。函数f（x）的不定积分是f（x）的全体原函数（见原函数），记作。如果F(x)是f(x)的一个原函数，则，其中C为任意常数。 1.2 定积分 相对于不定积分，还有定积分。所谓定积分，其形式为∫[a:b]f(x)dx 。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。 微积分的最初发展中,定积分即黎曼积分。用自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形的面积累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。而实变函数中,可以利用测度论将黎曼积分推广到更加一般的情况,如勒贝格积分. 用公式表示是：∫[a,b]f(x)dx=lim(n->∞)∑(0-n)a+f(ti)*(b-a)/n 定积分是以平面图形的面积问题引出的。y=f（x）为定义在[a，b]上的函数，为求由x=a，x=b ，y=0和y=f（x）所围图形的面积S，采用古希腊人的穷竭法，先在小范围内以直代曲，求出S的近似值，再取极限得到所求面积S，为此，先将[a，b]分成n等分：a=x0 求定积分的四种方法 浙江 曾安雄 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1 用定义法求2 30x dx ?的值. 分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限． 解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝ 2n ． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ??=?=? ??? （3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===???????≈?=? ? ? ???????∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞????????+++?? ? ? ??????????? ＝4 43332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞??+++=?+? ? ＝22 4(21)lim n n n n →∞++=＝4． ∴2 30x dx ?=4．. 评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲． 二、微积分基本定理法 例2 求定积分2 21(21)x x dx ++?的值. 分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解． 解：函数y ＝2 21x x ++的一个原函数是y ＝3 23x x x ++． 所以.2 2 1(21)x x dx ++?＝3221()|3x x x ++＝81421133????++-++ ? ?????＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原 函数． 三、几何意义法 例3 求定积分1 1dx -?的值. 分析：利用定积分的意义是指曲边梯 形的 面积，只要作出图形就可求出． 解：1 1dx -?表示圆x 2＋y 2＝1在第一、 二象限的上半圆的面积． 因 为2S π= 半圆，又在x 轴上方． 所以1 1)d x -?＝2 π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出． 四、性质法 例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx π π-?；⑵22sin 1 x x dx x ππ-+?． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解． 解：由被积函数tan x 及22sin 1 x x x +是奇函 数，所以在对称区间的积分值均为零． Yi b i n U n i v e r s i t y 毕业论文（设计） 题目常见求积分方法总结 系别数学学院 专业数学与应用数学 学生姓名罗大宏 学号120204036 年级12级4班指导教师刘信东职称xxx 2016 年 3 月10 日 常见求积分方法总结 作者：罗大宏 单位：宜宾学院数学学院12级4班 指导教师：刘兴东 摘要: 微积分是数学分析中的一个重要基础学科，并且微积分中的积分运算是求导的逆运 算，它是连接微分学和积分学的枢纽。因此怎样求积分就显得非常重要，本文讲解了常见求积分的几种方法：直接积分法、分部积分法、换元积分法和有理函数积分的待定系数法，掌握了这些方法，将对我们迅速求解积分来说非常重要。 关键词：定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法 引言 数学分析是大学数学与应用数学专业必修专业课，而微积分是数学分析的重点，又不定积分是积分学的基础，会影响到后面学习其它的积分，特别是定积分的求解。它的目的是形成一定的思维方法和解决问题的能力。并且不定积分的求解要比导数的求解复杂很多，运用积分的基本公式只能解决一些容易的积分，更多的不定积分要因函数的差别而采用相应的方法。另外，如果我们掌握了求不定积分的方法，那么求解定积分就变得容易。本文我们就对常见求积分方法进行总结，以便帮助我们解决一些实际问题。 1.积分的概念 1.1、不定积分 若()x F 是函数()x f 在区间I 上的一个原函数，则()x f 在I 的所有原函数()C x F +（C 为任意常数）称为()x f 在区间I 上的不定积分。记作 () ()C x F dx x f +=?。其中?称为 积分号，函数()x f 称为被积函数，x 称为积分变量，()d x x f 称为被积表达式，C 称为积分常数。 另外，求已知函数不定积分的过程就称作对这个函数进行积分。 1.2、定积分 定积分的计算方法 摘要 定积分是积分学中的一个基本问题，计算方法有很多，常用的计算方法有四种：（1） 定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分 法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法，并在系 统总结中简化计算方法！并注重在解题中用的方法和技巧。 关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法 Calculation method of definite integral Abstract the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention to problem in using the methods and skills. Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method 反常积分的几种计算方法 This manuscript was revised on November 28, 2020 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 0 前言 (1) 1反常积分的定义 (1) 无穷积分的定义 (1) 瑕积分的定义 (2) 2 反常积分的计算方法 (3) 利用Newton—Leibniz公式计算反常积分 (3) 利用变量替换法计算反常积分 (3) 利用分部积分法计算反常积分 (5) 利用分段积分自我消去法计算反常积分 (7) 利用方程法计算反常积分 (7) 利用级数法计算反常积分 (9) 利用待定系数法计算反常积分 (10) 结束语 (11) 参考文献 (11) 反常积分的几种计算方法 摘要:该文主要对反常积分的计算方法进行归纳、总结.重点描述了在进行计算时各种方法的灵活使用. 关键词:反常积分;变量替换;分部积分;级数法;待定系数法 Several calculation methods of abnormal integral Abstract : This paper mainly sums up the calculation methods of abnormal integral. This paper emphasizes on describing the flexible use of various methods in the calculation. Keywords : Abnormal integral; Variable substitution; subsection integral; Series method; the method of undetermined coefficient 0前言 反常积分是微积分学中一类重要的积分，反常积分的计算是学习积分计算中的重难点。本文不仅介绍了常见的三大基本方法：Newton —Leibniz 公式、利用变量替换、利用分部积分法，还介绍了分段积分自我消去法、方程法、级数法和待定系数法等一些在解决问题时较适用的方法，通过引用一些经典例题使我们对这些方法有更加深刻的认识。但是在解决具体问题时要求我们注意各种方法的灵活性与相互渗透，这样可以简便计算。 1反常积分的定义 无穷积分的定义 定义1设函数f 定义在无穷区间[)+∞,a 上,且在任何有限区间[]u a ,上可积,如果存在极限 ? =+∞→u a u J dx x f )(lim , )1( 则称此极限J 为函数f 在[)+∞,a 上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作 ?+∞ =a dx x f J )(, )1(' 并称?+∞a dx x f )(收敛.如果极限)1(不存在,为方便起见,亦称?+∞ a dx x f )(发散. 类似地,可定义f 在(]b ,∞-上的无穷积分： ? ? -∞→∞ -=b u u b dx x f dx x f )(lim )(. )2( 浅谈几种积分计算方法 作者：刘清贵 单位：湖南常德西洞庭一中 职称：中教一级 关键词：不定积分，定积分，被积函数，换元法，分部积分法 摘 要：对几种类型积分的计算方法进行介绍 在高等数学的学习中，积分的计算无疑是一个非常重要的内容。在进行积分计算时，我们常用的方法有：直接积分法，换元积分法，分部积分法等等。而对于一些特殊的积分，我们往往需要一些比较特殊的方法来进行计算。在本文中，我将谈谈几种特殊积分的计算方法： ㈠ 型的积分 这种类型的积分，如果直接使用一些常规方法，是很难计算出来的，即使能够计算出来，过程也十分繁琐。实际上，在该类积分计算中，灵活使用 的换元，计算将大大简化。 例1： 计算 解：原式= 考虑到 故原式= ?++±dx bx x x 1124 2 例2：计算： 解：略提示： ㈡型的积分 对于该类型的积分，如果分母可以因式分解成： （A1Sinx+B1Cosx）（A2Sinx+B2Cosx），则计算较简单。如果分母不能加上他因式分解时，可以通过待定系数法进行被积函的分解后再进行相应计算。 例3 计算： 解：∵2Sin2x﹣4Sinx·Cosx+5Cos2x =1+(Sinx﹣2Cosx)2 =6﹣(2Sinx+Cosx)2 故设：Sinx+Cosx=A(Cosx+2Sinx)+B(2Cosx﹣Sinx) 解之有：A= B= 故原式= 事实上，对于的计算也可以采用 如上的类似方法进行计算： 例4：计算： 解：令：Sinx+Cosx=S(2Sinx+3Cosx)+B(2Cosx－3Sinx) 解元有：A= B=－ 故原式 ㈢巧化对称式，简化计算： 对于及型的积分与其与之类似的积分，除可以使用配方法结合换元法进行计算外还可以先化为对称式，再直接用公式进行直接计算： 例5：计算：（b＞0) 解：令A=－B=－ 则：(x－a)(b－x)=[(x+A)+B][B－(x+A)] 原式= ㈣定积分的回归解法： 有些定积分直接利用牛顿——莱布尼兹公式计算是不能计算的，其中一部分定积分可以恰当的换元或分部积分之后，再利用回归解法求解：例6：证明：若函数f(x)于闭区间[0,1]上连续 则：∫ 证明：令t=π﹣x,则f(Sinx)=f(Sin(π﹣t))=f(Sint) 当x=0时，t=π，当x=π时，t=0 代入原式，得： 第二节定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为 这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数记为 图 5-10 从几何上看，也很显然。因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10）定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为 图5-11 另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法： 设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例2 求曲线和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12)求定积分的四种方法
常见求积分方法总结
定积分的计算方法
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