【典型例题】第五章线性微分方程组

第五章 线性微分方程组

5-1 考虑方程组

x A x

)(t dt

d = （1） 其中)(t A 是区间b t a ≤≤上的连续n n ?矩阵，它的元素为n j i t a ij ,,2,1,),( =，

1）如果)(,),(),(21t t t n x x x 是（1）的任意n 个解，那么它们的朗斯基行列式

)()](,),(),([21t W t x t x t x W n ≡ 满足下面的一阶线性微分方程

W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' （2）；

2）解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：

],[,,)()(0)]()([0011b a t t e

t W t W t

t nn ds

s a s a ∈=?++ 。

证 1）根据行列式的微分公式

)()()

()

()()

()()()()()()()()()()()()()(122111112211111221111t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W nn

n

n n nn n n n nn n n n ''+

+''+''='

（3）

由于)(,),(),(21t t t n x x x 是（1）的解，所以

???

????

??

??

? ??=???????

?????????

??='∑∑∑===n

j jk nj n

j jk j n j jk j nk k k nn n n n k t x t a t x t a t x t a t x t x t x t a t a t a t a t a t a t 11

211211

221111)()()()()()()()()()()()()

()()

()(

x ， 所以∑==='n

j jk ij

ik

n k i t x t a

t x 1

),,2,1,(),()( )(，把这些等式代入（3）的右端，化

简计算每个行列式，如（3）式右端第一项等于

)()()

()()()()()()

()

()

()()()

()()()(1112211111112211

11

11t W t a t x t x t x t x t x t x t a t x t x t x t x t x t a

t x t a

nn n n n nn n n n

j jn j

n

j j j

==∑∑==

类似地可以算出（3）式右端其它各项分别为)()(,),()(22t W t a t W t a nn ，代入（3）得

W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' （2）

2）方程（2）是关于)(t W 的一阶线性微分方程，分离变量可求得通解为 ?++=t

t nn ds

s a s a Ce

t W 011)]()([)( ，C 为任意常数。

若)(,00t W W t t ==，则 )(0t W C =， 于是 ?++=t

t nn ds

s a s a e

t W t W 011)]()([0)()( 。

评注：公式 ?++=t

t nn ds

s a s a e t W t W 011)]()([0)()( 称为刘维尔公式，反映了线性齐次方程组

的解与系数矩阵)(t A 的关系。

)()()()(22111

t a t a t a t a

nn n

i ii

+++=∑= 称为矩阵)(t A 的迹，

记为)(t tr A ，所以刘维尔公式又可表示为?=t

t ds

s tr e

t W t W 0)(0)()(A 。从公式中可以看出，线性

齐次方程组（1）的n 个解构成的朗斯基行列式)(t W 或者恒为零，或者恒不为零。

5-2 设)(t A 为区间b t a ≤≤上连续的n n ?实矩阵，)(t Φ为方程x A x )(t ='的基本解矩阵，而)(t φx =为其一解。试证：

1） 对于方程y A y )(t T

-='的任一解)(t ψy =必有=)()(t t T φψ常数；

2） )(t Ψ为方程y A y )(t T -='的基本解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C ，使C ΦΨ=)()(t t T

。

证 1） 由于)(t ψy =为方程y A y )(t T

-='的解，则

)()()(t t t T ψA ψ-='，

两边转置，得())()()(t t t T T

A ψψ-='，即(

))()()(t t t T

T A ψψ-='

。

因为 [

](

)

)()()()()

()(t t t t dt

t t d T T T φψφψφψ'+'=

()

())()()()()()(t t t t t t T T φA ψφA ψ+-=

0= ，

所以必有=)()(t t T φψ常数。

2） 必要性。由于)(t Ψ为方程y A y )(t T

-='的基本解矩阵，则 )()()(t t t T

ΨA Ψ-='， 转置后，得 (

))()()

(t t t T

T

A Ψ

Ψ-='。

因为

[

](

)

)()()()()

()(t t t t dt

t t d T T T ΦΨΦΨΦΨ'+'= (

)

())()()()()()(t t t t t t T T ΦA ΨΦA Ψ+-=

0= （零矩阵）

。 所以 C ΦΨ=)()(t t T

（常数矩阵），而)(t Ψ和)(t Φ都是基本解矩阵，因而C 还为非奇异矩阵。

充分性。由于存在非奇异的常数矩阵C ，使

C ΦΨ=)()(t t T ，

两边关于t 求导数，有

[

](

)

)()()()()

()(t t t t dt

t t d T T T ΦΨΦΨΦΨ'+'=

()

0=+'

=)()()()()(t t t t t T T ΦA ΨΦΨ

即 (

))()()()()(t t t t t T

T

ΦA ΨΦΨ-='， 而)(t Φ是基本解矩阵，则)(t Φ为非奇异矩阵，故有

()

)()()(t t t T T

A ΨΨ

-='

，即

())()()(t t t T T

A ΨΨ-='，两边再转置，得

)()()(t t t T ΨA Ψ-='，

即证明了)(t Ψ为方程y A y )(t T

-='的基本解矩阵。

评注：由证明过程可以看出，方程y A y )(t T

-='和x A x )(t ='的解曲线之间满足

=)()(t t T φψ常数。

5-3 设)(t Φ是n 阶线性方程组

Ax x

=dt

d （A 是n n ?的常数矩阵） 的标准基本解矩阵，（即E Φ=)0(）证明

)()()(001t t t t -=-ΦΦΦ

其中0t 为某一值。

证 因)(t Φ为基本解矩阵，则有

)()

(t dt

t d A ΦΦ=，0)(det ≠t Φ )()

()

(000t t t t d t t d -=--A ΦΦ，

即

)()

(00t t dt

t t d -=-A ΦΦ，

所以)(0t t -Φ也是基本解矩阵。

由于线性齐次方程组任意两个基本解矩阵可以互相线性表示，故

C ΦΦ)()(0t t t =-，

由条件E Φ=)0(得，E ΦC Φ==)0()(0t ，即得 )(01

t -=ΦC ，所以有

)()()(001t t t t -=-ΦΦΦ。

评注：这是标准基本解矩阵的一个性质，即)ex p()ex p(])ex p[(00A A A t t t t -=-。 5-4 试求下列方程的通解 1）2

2,sec πt πt x x <<-

=+''， 2）t

e x x 28=-'''。

解 1）i λλ±==+2,12

,01，齐次方程的基本解组为t t x t t x sin )(,cos )(21== 所以1cos sin sin cos )](),([21=-=

t

t t

t t x t x W ，取00=t ，利用常数变易公式

ds s f s x s x W s x t x s x t x t φt t )()]

(),([)]()()()()(~0

212112?-=

可得原方程的特解为

t t t t ds s

s t s t t t cos ln cos sin cos 1

)sin cos cos (sin )(~0

?+=-=?

? ， 原方程的通解为t C t C t t t t x sin cos cos ln cos sin 21++?+=。 2）083

=-λ，i 31,23,21±-==λλ，

齐次方程基本解组为t e t x t e t x e t x t t t 3sin )(,3cos )(,)(3221--===。 利用常数变易公式，原方程满足初始条件的特解为：

ds s f s x s x s x W s x s x s x W t x t φ

k t

k k )()](),(),([)]

(),(),([)()(~3

1

03

21321∑?

==，

其中)](),(),([321s x s x s x W k 是在朗斯基行列式)](),(),([321s x s x s x W 中的第k 列代以

()T 1,,0,0 后得到的行列式。

经计算可得

),3cos 33sin 3()(),3cos 33sin 3()(,

3)(,312)(3221t t e t W t t e t W e t W t W t t

t +-=-===-

可得原方程的特解为t e t e e te t t

t t t 3sin 576

33cos 1925241121)(~22---+-=?

， 原方程的通解为 t

t t

te e C e

t C t C x 2232112

1)3sin 3cos (+

++=-。 评注：此题主要是常数变易公式的应用。常数变易公式表明线性非齐次方程的特解可以由对应齐次方程的基本解组的朗斯基行列式表示。当然，此题中的2）用待定系数方法求特解会更简单。

5-5 给定方程

)(78t f x x x =+'+''

其中)(t f 在∞<≤t 0上连续，试利用常数变易公式，证明：

1）如果)(t f 在∞<≤t 0上有界，则上面方程的每一个解在∞<≤t 0上有界；

2） 如果当∞→t 时0)(→t f ，则上面方程的每一解)(t φ，满足)(0)(∞→→t t φ当。

证 1）1,7,078212

-=-==++λλλλ，齐次方程有基本解组t t e e 7,--

t

t

t t t

e e

e e e t W 87767)(------=--=

。 利用常数变易公式：ds s f s x s x W s x t x s x t x t φ

t

t )()]

(),([)]

()()()()(~0

212112?

-=

可得原方程的一个特解

ds s f e e e e e t φs t s t s t )()(6

1)(~7780------=? ??---=t s

t t s t ds s f e e ds s f e e 0770)(6

1)(61 ，

所以原方程的任一解为

??-----++=t

s t t

s t t t ds s f e e ds s f e e e C e C t 0

770

721)(6

1)(6

1

)(?。

因为)(t f 有界，故存在0>M ，使得),0[,)(∞∈≤t M t f ，而在∞<≤t 0上，

10≤<-t e ，故在∞<≤t 0上有

M C C e M e M C C ds

e e M ds e e M C C t t t t s

t t s t 21

4)1(42)1(6 66)(21721077021++≤-+-+

+=+++≤----???

所以，每一个解)(t ?在∞<≤t 0上有界。 2）因为??-----++=t s t t s t t t

ds s f e e ds s f e e e C e

C t 0770721)(6

1

)(61)(?，又∞→t 时

0)(→t f ，

所以若

?t

s

ds s f e

)(和?t

s ds s f e 0

7)(均有界，则当∞→t 时，0,07→→--t t e e

因而，对每一个解)(t ?都有0)(→t ?。 设

?

t

s ds s f e 0

)(和?t

s ds s f e 0

7)(都是无穷大量，则

)(lim )(lim 61

)(lim 61

)(lim 72170

70

t t t t

t

s t t

t

s t t e C e C e ds s f e e ds s f e t φ--∞

→∞

→∞

→∞→++-=?

?

07)

(lim 61)(lim 6177=-=∞→∞→t

t t t t t e t f e e t f e 。

所以，方程的每一个解)(t φ，满足0)(→t φ，当∞→t 。

评注：一般地，对于高阶常系数线性非齐次方程有如下结论：若其对应齐次方程的特征根的实部均为负，则当非齐次项)(t f 在∞<≤t 0上有界，则方程的每一个解在∞<≤t 0上有界；若当∞→t 时0)(→t f ，则方程的每一个解)(t φ，满足0)(→t φ，当∞→t 。

5-6 给定方程组

x A x

)(t dt

d = （1） 这里)(t A 是区间b t a ≤≤上连续的n n ?矩阵，设)(t Φ是方程（1）的一个基本解矩阵，n 维向量函数),(x F t 在b t a ≤≤，∞

??

?=+='ηφx F x A x )()

,()(0

t t t （2） 的解)(t φ是积分方程组

ds s s s t t t t t

t ))(,()()()()()(1010

x F ΦΦηΦΦx --?+= （3）

的连续解。反之，（3）的连续解也是初值问题（2）的解。

证 因为)(t φ是初值问题（2）的解，所以))(,()()()(t t t t t φF φA φ+='，这说明),(x F t 是t 的向量函数，且)(t φ是线性非齐次方程组))(,()(t t t φF x A x +='的满足初始条件

ηφ=)(0t 解，于是有

ds s s s t t t t t

t ))(,()()()()()(101

φF ΦΦηΦΦφ--?+=，

这说明)(t φ是积分方程组（3）的连续解。

反之，设)(t φ是积分方程组（3）的连续解，则有（3）式成立，微分（3）的两边得

))

(,())(,()()()()())

(,()()())(,()()()()()(0

1

01

1101t t ds s s s t t t t t t t ds s s s t t t t t

t t

t φF φF ΦΦηΦΦφF ΦΦφF ΦΦηΦΦφ+'+'=+'+'='??-----

又)(t Φ是基本解矩阵，)()()(t t t ΦA Φ='，

所以

))(,())(,()()()()()()()(0

101t t ds s s s t t t t t t t

t φF φF ΦΦA ηΦΦA φ++='?--

))(,(]))(,()()()()()[(0

101t t ds s s s t t t t t

t φF φF ΦΦηΦΦA ++=?--

))(,()()(t t t t φF φA +=

且ηφ=)(0t ，故)(t φ也是初值问题（2）的解。

评注：方程组),()(x F x A x t t +='虽是线性非方程组，但和它等价的积分方程组在形式上与线性非齐次方程组的常数变易公式相同。这个积分方程组在微分方程定性理论方面有广泛的应用。

5-7 试证：如果)(t φ是方程组Ax x ='满足初始条件ηφ=)(0t 的解，那么

ηA φ)]([ex p )(0t t t -=。

证 由于方程组Ax x ='的基本解矩阵是)exp(t A 。

设)(t φ的形式为 C A φ)][exp()(t t = （1）， 则由初始条件得 C A φη)][ex p()(00t t ==，

而 )ex p()][ex p(01

0t t A A -=-，

所以 ηA C )][ex p(0t -=，代入（1）得

ηA φ)]([ex p )(0t t t -=。

评注：一阶常系数线性齐次微分方程组Ax x ='的标准基本解矩阵为)exp(t A ；通解为C A φ)][exp()(t t =；满足初始条件ηφ=)(0t 的解为ηA φ)]([ex p )(0t t t -=。

5-8 试求方程组Ax x ='的一个基本解矩阵，并计算)exp(t A ，其中A 为：

1） ????

??--2112 2）????? ??---244354332 3）?

???

? ??--115118301

解 1）由2

1

12)det(--+=

-λλλA E 032=-=λ，得 32,1±=λ。

又由代数方程组

023112321=???

?

?????? ??--+u u ， 求得属于特征值31=λ的特征向量为???

?

??+=3211u 。

同理属于特征值32-=λ的特征向量为 ???

?

??-=3212u 。

所以基本解矩阵为

()

2313u u Φt t e e (t)-=

???

? ?

?-+=--

t t

t

t e e

e e

3333)32()32(。 标准基本解矩阵为 )exp(t A )0()(1

-=ΦΦt

()(

)

1

33333232113232---

????? ??-+???

???

?

?

?-+=t t t

t e e e e (

)()()

?????? ?

?+---???????

?

?-+-=--1321323232633333t t

t t e e e e

()

()

()()

?

?

???

? ?

?--++--++--=

--

-

-t t

t

t

t

t

t

t

e e

e e e e

e e 333333333232323263。 2）由 1

)1(0

35

4

3

32244354

332

)det(++--+---=---+---=-λλλλλλλλA E

1

324

302+-+---=λλλ 0)2)(2)(1(=-++=λλλ，

得特征根为221321=-=-=,λ,λλ。

由特征向量方程组????? ??---+---244354

332

λλλ???

?? ??=????? ??000321u u u ，分别求得属于特征根321,λ,λλ的特征向量为????? ??011 ，?

??

?

? ??110 和?????

??111 ，

所以基本解组为

=

?

????

??????? ??????? ??????

? ??=--111,110,011)(22t t t e e e t Φ????

? ?

?----t t

t

t t t t

e e e e e e e 2222200。 标准基本解矩阵为

)exp(t A )0()(1

-=ΦΦt

1

2222211011110100-----????? ?

?????? ?

?=t t

t

t t

t t

e e e e e

e e

????? ??---????? ?

?=----1110111100022222t t

t t t

t t e e e e e

e e

????

?

?

?-+-+--++-+--=--------t

t

t t t t

t t

t t t

t

t t t

t t e e e e e e e e e e e

e e e e e e 2222222222222

3）由 1

1

5

118

301

)det(+------=-λλλλA E 091523=---=λλλ，

得特征根为31-=λ ，723,2±=λ 。

由特征向量方程组???

?? ??+------11511

830

1λλλ???

?

?

??=????? ??000321u u u ，分别求得属于特征根321,λ,λλ

的特征向量为??

???

?

??? ??--34371 ，????????? ??+-37135741 ，和????????

? ??-+-37137451，

所以基本解组为

?????

????

?

?

?????????? ??-+-????????

? ??+-????????? ??--=-+

-37135741,37135741,34371)()72()72(3t

t t e

e e t Φ

?

??

????

??

? ?

?-+-+---=-+--+--

+

-t t

t t t

t t

t

t e e e e e e e e e )72()72(3)72()72(3)72()72(33713

713435743

57437。 标准基本解矩阵为 )exp(t A )0()(1

-=ΦΦt

?????????

? ?

?-+-+---=-+--+--

+

-t t

t t t

t t

t

t e e e e e e e e e )72()72(3)72()72(3)72()72(33713

713435743

574371

3713713

4

35743574371

11-??

???

?

??

? ??-+-+---

741=

?

??

????

??

?

?

?-+-+----+--+--

+

-t t

t t t

t

t

t

t

e e e e e e e e e )72()72(3)72()72(3)72()72(33713

713435743

5743

7??

???????

?

?++-+-+--+-

3742375733742375733783727

2

由于所求标准基本解矩阵表达式占空间比较大，我们将它的每一列表示如下：

?????????

?

??+-+++-+-+++---++-

+--

+--+-t t t t t t t t t e e e e

e e e e e )72()72(3)72()72(3)72()72(337410374103

783713377133714)73()73(727

41， ????????

?

??+++-+-+++-+-+--+-+--

+--+-)t ()t (t )t

()t (t )t ()t (t e e e e e e e

e e 727237272372723974297429789725539725539714375375372741， ?????????

?

?--+++--+++

-+--+--+

--+-t t

t t t

t t

t

t e e e e e e e

e

e )72()72(3)72()72(3)72()72(397226972269732972812297281229

75637423274378741。

评注：求基本解矩阵或标准基本解矩阵是求解线性方程组的基础。对于常系数线性方程组，且其系数矩阵的特征值为互不相同的单根时，求基本解矩阵的关键是转化为求系数矩阵的特征值和特征向量的问题。

5-9 给定方程组 ??

?=+'+-'=-'++'-''0

2023221122111

x x x x x x x x x （1）

1）试证上面方程组等价于方程组Au u =' （2）；

其中????

? ??'=????? ??=21

1321x x x u u u u ，?

??

?? ??---=112244010

A 。 2）试求与(1)等价的方程组（2）的基本解矩阵；

3）试求原方程组满足初始条件0)0(,1)0(,0)0(21

1=='=x x x 的解。 证 1）令231

211,,x u x u x u ='==，则方程组（1）化为

???

??-+-='+'--='='3123

33122

21223u

u u u u u u u u u u ， 将上式的第三式代入第二式得

???

??--='++-='='3213

3212

21

2244u

u u u u u u u u u ， 上式向量形式为

u u ????

? ??---='112244010

， 即

Au u =' （2）

。 反之，设3221

11,,u x u x u x =='=，则方程组（2）化为 ???-'-='+'+-=''211221112244x x x x x x x x ，即??

?-'-='-'--+'+-=''2112

2112111

2)2(32x x x x x x x x x x x ， 可得 ???-'-='+'--'=''2112

22111

223x x x x x x x x x 。

解 2） 求方程组(2)的基本解矩阵。 第一步 求特征根和特征向量

由0)1)(2(1

1

2

244

1)det(=--=+----=-λλλλλλ

λA E ，得特征根为 210321===,λ,λλ。正是互不相同的单根。

由0=???

?

?

?

?----=-u A)u E 11

2244

010

(1λ，得 02011≠????? ??=,ααu ，

由0=???

?? ??----=-u A)u E 212234011(2λ， 得 021112≠???????

? ??=,ββu ，

由0312224012(2=????? ??----=-u A)u E λ， 得 00213≠???

?

? ??=,γγu 。

第二步 求标准基本解矩阵

取 ????? ??=2011v ，???????

? ??=21112v ，???

?? ??=0213v ，

则基本解矩阵为 ?????

?

?

?==0212201],,[)(2232210t t t

t t t t t e

e e

e e

e e e t v v v Φ，

所以，由于标准基本解矩阵 )0()()ex p(1

-=ΦΦA t t ， 所以有

????

??

? ??----????

?? ?

?=?

??

??

?

???????? ??=-12322241211021220102122101110212201)exp(221

22t t t t

t

t t t

t t e

e e e e e

e e e e

t A

??

???

?

?

?

?--+-+-+--+-+--+-=t t

t t

t t

t

t

t t t t t t

t e e e e e e e e e e e e e e e 2122223244212

3221241 222222。 3）求原方程组满足初始条件0)0(,1)0(,0)0(21

1=='=x x x 的解。 解法1 令231

211,,x u x u x u ='==，则（1）化为等价的方程组（2）且初始条件变为0)0(,1)0(,0)0(321===u u u ，而（2）满足此初始条件的解为

=ηA )exp(t ????

?

????????

?

?

?--+-+-+--+-+--+-0102122223244212

3221241222222t t

t t

t t

t

t

t t t t t t

t e e e e e e e e e e e e e e e

??????

?

? ??-+-+-=t t t t t

e e e e e 1322322

122。 于是根据等价性，（1）满足初始条件的解为：t t t e x e e x -=+-=1,2

3

221221。 解法2 拉普拉斯变换法。

设)(t x i 的拉普拉斯变换记为)(s X i ，2,1=i 。 在方程组两端施行拉普拉斯变换得

??

?=++-=-++--0

)()()(2)(0

)()()(2)(31)(2211221112s X s sX s X s sX s X s sX s X s sX s X s ， 即

??

?=++-=-++-0

)()1()()2(1

)()1()()23(21212s X s s X s s X s s X s s ， 解得 2

1

23112121)(1-?

+-?-?=

s s s s X ， 1

1

1)1(1)(2--=--

=s s s s s X 。

再施行拉普拉斯逆变换得所求初值问题的解为

t t e e t x 212

3

221)(+-=

，t e t x -=1)(2。 评注：高阶方程组可转化为一阶方程组，且它们对应的初值问题是等价的。利用这个等价原理，有时在解方程组时消去某几个未知函数，使方程组用一个未知函数及其各阶导数来表示，从而转化为高阶方程的求解问题；有时也可将高阶方程组转化为一阶方程组来求解；有时也可直接求解高阶方程（组），拉普拉斯变换法就具有这样的功能，见5-12题。

5-10假设m 不是矩阵A 的特征值，试证线性非齐次方程组mt

e C Ax x +='有一解形如

mt e t P φ=)(，其中P C,是常数向量。

证 设方程有形如mt

e t P φ=)(的解，下面证明P 是可以唯一确定的。 事实上，将mt

e P 代入方程组，得

mt mt mt e e e m C AP P +=，

因为0≠mt

e

，所以有

C AP P +=m ，

即

C A)P E =-m (，

又因m 不是矩阵A 的特征值，即0)det(≠-A E m ， 所以1

)(--A E m 存在，于是由C A)P E =-m (，得

C A)E P 1(--=m ，

即P 可由方程组唯一确定。

故方程确有一解mt mt

e e

m t P C A)E φ=-=-1

()(。

评注：本题给出寻求线性非齐次方程组特解的一种方法。 5-11 试求方程组)(t f Ax x +='的满足初始条件的解)(t φ：

1） 0=)0(φ，????? ??---=6116100010A ，??

??

?

?????=-t e t 00)(f

2） ????

??=21)0(ηηφ，?

??? ??--=1234A ，??

?

???-=t t t cos 2sin )(f 3） ????

??-=11)0(φ，?

??

?

??=2012A ，??

?

???=t e t 20)(f 解 1） 由 61166

11

61001

)det(23+++=+--=-λλλλλ

λλA E 0)3)(2)(1(=+++λλλ，

特征根为321321-=-=-=,λ,λλ。

由特征向量方程组???

?

? ??=????? ??????? ??+--00061161001

321u u u λλ

λ，分别求得属于特征根321,λ,λλ的特征

向量为????

? ??-????? ??-????? ??-931,421,111，

所以基本解组为

????? ?

?????? ??-????? ??-????? ??-=---931,421,111)(32t t t e e e t Φ????

?

??---=---------t t

t

t

t t

t t

t

e e e e e e

e e e 3232329432， 标准基本解组为

)0()()ex p(1-=ΦΦA t t

????? ?

?---=---------t t

t t

t t t t t

e e e e e e e e e 32323294321

941321111

-????? ??--- ????? ??----=---------t t

t t

t t t t t

e e e

e e e

e e e 323232943221????

? ??------131286

156 ????

?

?

?-+--+--+-+-+-+--+--+--+--=---------------------------t t t t

t t t

t t t

t t t t t t

t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 3232323232323232329827325182463491656126238526621 由常系数线性非齐次微分方程组的满足初始条件ηφ=)(0t 的求解公式

+

-=ηA x ])ex p[()(0t t t ?-t

t ds s s t 0

)(])exp[(f A ，

所求特解为

+

???

??

??=000)exp()(t t A φ????

?

? ??--t

s ds e s t 000])exp[(A ds e e e e e e e

e e e s t s t s t s t s

t s t s t s

t s t s t -+-+-+-+-+-+-+-+-+-?????

? ??-+-+--+--=03322332233229834221 ds e e e e e e e e e t

s t s t t s

t s t t s t s t t ?????

?

??-+-+--+--=+-+--+-+--+-+--02322322329834221

?

????

??

?

??-+-+-+--+-=------------t t

t t t t t t t t t t e e e te e e e te e e e te 323232494472143

25421414321。 2） 首先求出??

?

???--=1234A 的特征值与其对应的特征相量。

()()()0211

2

34det =--=+--=

-λλλλλA E

由此得2,121==λλ。 对于,11=λ其特征向量方程组为

0=??

?

???--u 2233 。 由此可得???? ??=111u 。同样，对于22=λ，有0=??????--u 3232，由此可得???

?

??=232u 。

再求齐次方程组的基本解矩阵。

齐次方程组的两个线性无关解为t

e ?

???

??11，t e 223???

? ??。 齐次方程组的基本解矩阵为??

?

???=t t

t t

e e

e e t 2223)(Φ。 由于??????--=-----t t

s s

e e

e e s 221

32)(Φ，则??

????--=-1132)0(1

Φ， 所以标准基本解矩阵为??

?

???--??????=-113223)0()(1

t t

t t e e

e e t ΦΦ。 最后求方程满足初始条件??

?

???=21)0(ηηφ的解)(t φ。 由于线性非齐次微分方程组

)()(t t dt

d f x A x

+= 的满足初始条件ηφ=)(0t 的解为

?--+=t

t ds s s t t t t 0

)()()()()()(101

f ΦΦηΦΦφ

所以 ()ds s s e e e e e e e e ηηe e

e e t t s s s s

t t t t

t t

t t

???

?

??-??????--??????+???? ????????--??????=?----cos 2sin 3223113223022222122φ

()??

???????????? ??-+???? ??--?????

?+????

??-++--++-=--14cos sin 2cos 4232)()32(3)()32(22221212121t e t t e e e e e e ηηe ηηe ηηe ηηt t t t

t t

t t t t ?

??

?

??-++-+-+--++-+-+-=t t e ηηe ηηt t e ηηe ηηt t t t sin 2cos 22)1()432(sin 2cos 3)1()432(21212121。 3）由于系数矩阵???

?

??=2012A 是若当标准型矩阵，所以对应线性齐次方程组的基本解

矩阵为

???

?

?

?=t t t e te e t 2220

)(Φ， 其逆矩阵为

t e t t 21101)(--????

??-=Φ，?

??

? ??=-1001)0(1Φ。 由线性非齐次方程组的特解公式得

?--+???? ??-=t

ds s s t t t 0

1

1

)()()(11)0()()(f ΦΦΦΦφ ???? ??+???? ??-???? ??=t t t

t t t

e te e e te e 2222220110

ds e s e s t s ???

?

?????? ??-?-2020101 ds s te te e e te e t t t t

t t t ????

?

??-???? ??+???? ??--=022222210

???

? ??-???? ?

?+???? ??--=t t e te e e te e t t t

t t t 2222222210

????

? ??+???? ??--=t t t t t te e t e te e 22222221

t e t t t 221211???

?

??

-+-= 评注：线性非齐次方程组求特解可以直接用公式

?--+=t

t ds s s t t t t 0

)()()()()()(101

f ΦΦηΦΦφ

和公式

+

-=ηA φ])ex p[()(0t t t ?-t

t ds s s t 0

)(])exp[(f A ，

两者的区别在于前者基于一般的基本解矩阵，而后基于标准基本解矩阵。线性非齐次方程组求特解也可先得到通解表达式，再通过初始条件确定通解中的任意常向量。 5-12 求下列初值问题的解。

1）???='-'='+'1021

21x x x x ，0)0(,1)0(21==φφ

2）??

?=-'++'=+'++'+''020232211

22111

x x x x x x x x x ，0)0(,1)0(,1)0(21

1=-='=φφφ 解 用拉普拉斯变换法。设)(t x i 的拉普拉斯变换记为)(s X i ，2,1=i 。

1）在方程组两端施行拉普拉斯变换得

??

???=--=+-s s sX s sX s sX s sX 1)(1)(0

)(1)(2121 ， 即

???

???

?

+=-=+s

s s X s X s

s X s X 11)()(1

)()(22121 ， 解得 s s s X 121)(21+=

，221)(s

s X -=。 再施行拉普拉斯逆变换得所求初值问题的解为

121)(1+=

t t x ，t t x 2

1

)(2-=。 2）在方程组两端施行拉普拉斯变换得