平面解析几何
一、高考预测
解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用． 圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．
解析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想，如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值．复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用．
二、知识导学
(一)直线的方程
1.点斜式：)(11x x k y y -=-；
2. 截距式：b kx y +=；
3.两点式：121121x x x x y y y y --=--；
4. 截距式：1=+b y a x ；
5.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.
(二)两条直线的位置关系
两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.
设直线1l ：y =1
k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则 1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1.
(三)圆的有关问题
1.圆的标准方程 222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r.
特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+.
2.圆的一般方程
022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程， 其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=.
当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（
2D -，2E -）； 当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形.
3.圆的参数方程新课 标 第一网
圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：
222r y x =+ ? cos sin x r y r θθ=??=? （θ为参数）
222)()(r b y a x =-+- ? cos sin x a r y b r θθ=+??=+? （θ为参数）
(五)椭圆的简单几何性质
1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+b y a x （a ＞b ＞0）.
⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.
线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
a c e =
叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程
度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆.
2.椭圆的第二定义 ⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
a c e =
（e
＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.
⑵ 准线：根据椭圆的对称性，122
22=+b y a x （a ＞b ＞0
）的准线有两条，它们的方程
(六)椭圆的参数方程
椭圆122
22=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=??=?（θ为参数）.
说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan a b =；
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程122
22=+b y a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而
得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.
(七)双曲线及其标准方程https://www.doczj.com/doc/1a599345.html,
1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.
若
1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF
时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”. 2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122
22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，
其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2
y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
(八)双曲线的简单几何性质
1.双曲线12222=-b y a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率
a c e =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.
2. 双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是
x n m y ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式： k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.
3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1
的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线122
22=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）
和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和
c a x 2
=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有a c e =与222b a c +=的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的
条件.
(九)抛物线的标准方程和几何性质
1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l 叫抛物线的准线。
需强调的是，点F 不在直线l 上，否则轨迹是过点F 且与l 垂直的直线，而不是抛物线。
2．抛物线的方程有四种类型：22y px =、22y px =-、22x py =、2
2x py =-.
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的负方向。
3．抛物线的几何性质，以标准方程y 2=2px 为例
（1）范围：x ≥0；
（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；
（3）顶点：O （0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；
（4）离心率：e=1，由于e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的； （5）准线方程
2p x =-
；
（6）焦半径公式：抛物线上一点P （x1，y1），F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p ＞0）：
22112:;2:22p p y px PF x y px PF x ==+
=-=-+ 22112:;2:22p p x py PF y x py PF y ==+=-=-+ （7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px （p ＞O ）的焦点F 的弦为AB ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的倾斜角为α，则
有①|AB|=x 1+x 2+p ②
22||sin p AB α=
以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的
弦，只能用“弦长公式”来求。 （8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x 2+bx+c=0，
当a ≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则
直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。
(十)轨迹方程
⑴ 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；⑵ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）.
注意事项
1． ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k 反映了直线相对于x 轴的倾斜程度.当斜率k 存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a （a ∈R ）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k 存在与否，要分别考虑.
⑵ 直线的截距式是两点式的特例，a 、b 分别是直线在x 轴、y 轴上的截距，因为a ≠0，b ≠0，所以当直线平行于x 轴、平行于y 轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.
⑶求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式.
⑷当直线1l 或2l 的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直 ⑸在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算.
2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x 轴上还是y 轴上，还是两种都存在. ⑵注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a 、b 、c 、e 间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设
问题（光线的反射问题）；注意证明曲线过定点方法（两种方法：特殊化、分离变量）2、注意二元二次方程表示圆的充要条件、善于利用切割线定理、相交弦定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离的最值转化为圆心到它们的距离；注意圆的内接四边形的一些性质以及正弦定理、余弦定理。以过某点的线段为弦的面积最小的圆是以线段为直径，而面积最大时，是以该点为线段中点。3、注意圆与椭圆、三角、向量（注意利用加减法转化、利用模与夹角转化、然后考虑坐标化）结合；4、注意构建平面上的三点模型求最值，一般涉及“和”的问题有最小值，“差”的问题有最大值，只有当三点共线时才取得最值；5、熟练掌握求椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的方法：待定系数法或定义法，注意焦点位置的讨论，注意双曲线的渐近线方程：焦点在轴上时为 ，焦点在 轴上时为 ；注意化抛物线方程为标准形式（即2p 、p 、的关系）；注意利用比例思想，减少变量，不
知道焦点位置时，可设椭圆方程为 。6、熟练利用圆锥曲线的第一、第二定义解题；熟练掌握求离心率的题型与方法，特别提醒在求圆锥曲线方程或离心率的问题时注意利用比例思想方法，减少变量。7、注意圆锥曲线中的最值等范围问题：产生不等式的条件一般有：①“ 法”；②离心率 的范围；③自变量 的范围；④曲线上的点到顶点、焦点、准线的范围；注意寻找两个变量的关系式，用一个变量表示另一个变量，化为单个变量，建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法， 注意点是要考虑曲线上点坐标(x ，y)的取值范围、离心率范围以及根的判别式范围。8、求轨迹方程的常见方法：①直接法；★②几何法；★③定义法；★④相关点法； 9、注意利用向量方法， 注意垂直、平行、中点等条件以向量形式给出；注意将有关向量的表达式合理变形；特别注意遇到角的问题，可以考虑利用向量数量积解决；10、注意存在性、探索性问题的研究，注意从特殊到一般的方法。
三、易错点点睛
命题角度1对椭圆相关知识的考查
1．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F l PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( ) 12.22.21
2.22
.---D C B A
[对症下药] C 设双曲线方程为22
22b y a x -=1，则由题意知c=5，c a 2=4 则a 2=20 b 2=5，而
a=25 b=5∴双曲线渐近线斜率为±a b =21± 3．从集合{1，2，3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程22
22
n y m x +=1中的m 和n ，则能组成落
在矩形区域B={(x ，y)‖x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为 ( )
A ．43
B ．72
C ．86
D ．90
[考场错解] D 由题意得，m 、n 都有10种可能，但m ≠n 故椭圆的个数10310-10=90．
[专家把脉] 没有注意，x 、y 的取值不同．
[对症下药] B 由题意得m 有10种可能，n 只能从集合11，2，3，4，5，6，7，81中选取，且m ≠n ，故椭圆的个数：1038-8=72．
4．设直线l 与椭圆
16252
2y x +=1相交于A 、B 两点，l 又与双曲线x 2-y 2=1相交于C 、D 两点，C 、D 三等分线段AB ，求直线l 的方程 ( )
[考场错解] 设直线l 的方程为y=kx+b
如图所示，l 与椭圆，双曲线的交点为A(x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C(x 3，
y 3)、D(x 4，y 4)，依题意有AB DB AC ,==3CD
由)1(0)40025(50)2516(116252222
2=-+++?????=++=b bkx x k y x b kx y 得所以
x 1+x 2=-.2516502k bk +
由?????=-+=122y x b kx y 得(1-k 2)x 2-2bkx-(b 2+1)=0
(2) 若k=±1，则l 与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k ≠±1
所以x 3+x 4=212k bk -、由?=BD AC x 3-x 1=x 2-x 4 ?x 1+x 2=x 3+x 4?-?-=+12251650k bk
k bk
bk=0或b
=0
①当k=0时，由(1)得x 1、2=±2
1645b - 由(2)得x 3、4=±
12+b 由123x x CD AB -?==3(x 4-x 1)即131616164
1022±=?+=-b b b 故l 的方程为y=±1316 ②当b=0时，由(1)得x 1、2=±2251620
k +，由(2)得x 3、4=211k -±由123x x CD AB -?==3(x 4-x 3)即.2516,25161625164022x y l k k k
±=±=?-=+的方程为故综上所述：直线l 的方程为：y=x y 2516,1316=±
[专家把脉] 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解．
[对症下药] 解法一：首先讨论l 不与x 轴垂直时的，情况．
设直线l 的方程为y=kx+b ，如图所示，l 与椭圆、双曲线的交点为：A(x 1，y 1)、B(x 2， y 2)、
C(x 3，y 3)、D(x 4，y 4)，依题意有3,==．由?????=++=.11625,2
2y x b kx y 得(16+25k 2)x 2+50bkx+(25b 2-400)=0．(1) 所以x 1+x 2=-.2516502k bk
+由?????=-+=.1,22y x b kx y 得(1-k 2+x 2-2bkx-(b 2
+1)=0．
若k=±1，则l 与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k ≠±1．所以x 3+x 4=212k bk - 由?-=-?=4213x x x x BD AC x 1+x 2=x 2+x 40012251650=?=?-=+-?k bk k bk
k bk 或 b=0．
①当k=0时，由(1)得.164522,1b x -±=由(2)得x 3、4=±12+±b 由3312=-?=x x CD AB (x 4-x 3)． 即.13161164
1022±=?+=-b b b 故l 的方程为 y=±1316 ②当b=0时，由(1)得x 1、2=2251620k +± 自(2)得x 3、4=33,11
122=-?=-±x x k 由(x4-x3)．即.251616251640
22±=?-=+k k k
故l 的方程为y=x 2516±．再讨论l 与x 轴垂直时的情况．
设直线l 的方程为x=c ，分别代入椭圆和双曲线方程可解得y l 、2=
.25542c -±
y 3、4=.||3||||3||.134122y y y y c -=-?=-±由即.24125,2412516255822=±=?-=-x l c c c 的方程为故
综上所述，直线l 的方程是：y=2516±x 、y=±1316和x=24125±
②当y 0=0，x 0≠0，由(2)得x 4=x 3≠0，这时l 平行y 轴．设l 的方程为x=c ，分别代入椭圆、双曲线方程得：y l 、2=
,25542c -±y3、4=.12-±c ∵y 2-y 1=3(y 4-y 3)2412516255
822±=?-=-?c c c 故l 的方程为：
24125±=x ③当x 0=0，y 0=0时，这时l 通过坐标原点且不与x 轴垂直．设l 的方程为y=kx ，分别代入椭
圆、双曲线方程得：x 1、2=
.11,251620
24,32k x k -±
=+±.2516)(33412±=?-=-k x x x x 故l 的方程为y=
.2516x y ±=综上所述，直线l 的方程是：y=x 2516±、y=1316±和x=
.24125± 5．设A 、B 是椭圆3x 2+y 2=λ上的两点，点N(1，3)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线
与椭圆相交于C 、D 两点． (1)确定A 的取值范围，并求直线AB 的方程； (Ⅱ)试判断是否存在这样的A ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上?并说明理由．(此题不要求在答题卡上画图)
[考场错解] (1)设A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)则有:??????=+=+λλ2222212133y x y x (x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y l -y 2)(y l +y 2)=0
依题意，x 1≠x 2 ∴k AB -2121)
(3x x y y ++∵N(1，3)是AB 的中点，∴x 1+x 2=2,y l +y 2=6从而k AB =-9又由N(1，3)在椭圆内，∴λ<3312+32
=12 ∴λ的取值范围是(-∞，12)直线AB 的方程为y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0
[专家把脉] ①用“差比法”求斜率时k AB =
2)(3121y y x x ++-这地方很容易出错．②N(1，3)在椭圆内，λ>3312+32=12应用结论时也易混淆．
[对症下药] (1)解法1：依题意，可设直线AB 的方程为y=A(x-1)+3，代入3x 2+y 2=λ，整理
得(k 2+3)x 2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0．① 设A(x 1，y 1)、B(x 2、y 2)，则x 1，x 2是方程①的两个
不同的根，
∴△=4[λ(k 2+3)-3(k-3)2]>0，② 且x 1+x 2=3)
3(22+-k k k ，由N(1，3)是线段AB 的中点，得1221=+x x ，
∴A(k-3)=k 2
+3．解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是(12，+∞)．于是，直线AB 的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．
解法2：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则有??????=+=+λλ2222212133y x y x (x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0 依题意，x 1≠x 2，∴k AB =-2121)
(3y y x x ++∵N(1，3)是AB 的中点，∴x 1+x 2=2，y l +y 2=6，从而k AB =-1．又由N(1，3)在椭圆内，∴λ>3312+32
=12， ∴λ的取值范围是(12，∞)．直线AB 的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．
(Ⅱ)解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，
整理得4x 2+4x+4
又设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，CD 的中点为M(x 0，y 0)，则x 3， x 4是方程③的两根，∴x 3+x 4=-1，
且x 0=21(x 3+x 4)=-21，y 0=x 0+2=23，即M(-21，23
)．于是由弦长公式可得|CD|=.)3(2||)1(1432-=-?-+λx x k ④将直线AB 的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得4x 2-8x+ 16-
λ=0 ⑤同理可得|AB|=.)12(2||.1212
-=-+λx x k ⑥ ∵当λ>12时，)3(2-λ>)12(2-λ,∴|AB|<|CD|
假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心．点M 到直线
AB 的距离为d=.2232|42321|2|4|00=-+-=-+y x ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d 2+.|2|2321229|2|22CD AB =-=-+=λλ
故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，|2|CD 为半径的圆上． (注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：) A 、B 、C 、D 共圆?△ACD 为直角三角形，A
为直角?|AN|2 =|CN|2|DN|，即)2||)(2||()2(
2d CD d CD AB -+=. ⑧
专家会诊 1．重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究．2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形3．注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等．求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等．
命题角度2对双曲线相关知识的考查
1．已知双曲线x 2-22
y =1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且021=?MF ，则点M 到x 轴的距离为 ( )
3.332.35.3
4.D C B A
[考场错解] B
[专家把脉] 没有理解M 到x 轴的距离的意义． [对症下药] C 由题意得a=1，b=2，c=3可设M (x 0，y 0)|MF 1|=|ex 0+a|=|3x 0+1|，
|MF 2|= |ex 0-a|=|3x 0-1| 由|MF 1|2+|MF 2|2=|F 1F 2|2得 x 02=.332||,343
5020==y y 则 即点M 到x 轴的距离为.332 2．已知双曲线22
22
b y a x -=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22
a (O 为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
[考场错解] B
[专家把脉] 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角．
[对症下药] D 由题意得A(c ab c a ,2)s △OAF =212c 2b a a ab c ab =?==2212
，则两条渐近线为了
y=x 与y=-x 则求两条渐近线的夹角为90°．
3．双曲线22
22
b y a x -=1(a>1，b>0)的焦距为2
c ，直线l 过点(a ，0)和(0,b)，且点(1，0)到直
线l 的距离与点(-1，0)到直线l 的距离之和s ≥54
c ，求双曲线的离心率e 的取值范围． [考场错解] 直线l 的方程为b y a x +=1即bx+ay-ab=0点(-1，0)到直线l 的距离：22)1(b a a b ++，
点(1，0)到直线l 的距离: 22)1(b a a b +-∴22)1(b a a b +++22)1(b a a b +-=c c ab b a ab 542222≥=+得5a 2222c a c ≥-于是得52221e e ≥-
即4e 4-25e 2+25≤0解不等式得45≤e 2≤5，所以e 的取值范围是].5,25[]25,5[?--
[专家把脉] 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围e>1．
[对症下药] 解法：直线J 的方程为
b y a x +=1，即 bx+ay-ab=0． 由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1，0)到直线l 的距离d 1=.)
1(22b
a a
b +- 同理得到点（-1，0）到直线l 的距离d 2=.)
1(22b a a b ++s=d 1+d 2=.2222c ab b a ab =+ 由025254.215.25,542,542222222≤+-≥-≥-≥≥e e e e c a c a c c ab c s 即于是得即得 解不等式，得.525,01.5452≤≤>>≤≤e e e e 的取值范围是所以由于
专家会诊 1．注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调e>1，必须明确焦点与准线的对应性 2．由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏． 3．掌握参数a 、b 、c 、e 的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用．
命题角度3对抛物线相关知识的考查。
1．过抛物线y 2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，
则这样的直线 ( )
A.有且仅只有一条 B ．有且仅有两条 C.有无穷多条 D ．不存在
[考场错解] D 由题意得|AB|=5 p=4，通径长为 234=8 5<8，故不存在这样的直线．
[专家把脉] 没有理解抛物线焦点的弦长及p 的意义．
[对症下药] B 解法一：由题意得P=2，通径长为4，而|AB|=x 1+x 2+p=7，由7>4，则这样的直线有且仅有两条，解法二：用待定系数法设直线方程为y=k(x-1)采用设而不求的方法求出k 有两个值，即直线有且仅有两条．
2．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点在抛物线y=2x 2上，l 是AB 的垂直平分线． (1)当且仅当x 1+x 2
取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F?证明你的结论； (Ⅱ)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围．
[考场错解] (Ⅱ)，设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为y=2x+b ，过点A 、B 的直线方程可写为y=
,21m x +-与y=2x 2联立得2x 2+21x-m=0．得x 1+ x 2=-41；设AB 的中点N 的坐
标为(x 0，y 0) 则x 0=21(x 1+x 2)=-81,y 0=-21x 0+m=161+m ．由N ∈l,得161+m=-41+b ，于是b=16516
5≥+m 即得l 在y
轴上截距的取值范围为[+∞,165].
[专家把脉] 没有借助“△>0”来求出m>
321-，无法进一步求出b 的范围，只好胡乱地把
m 当作大于或等于0．
[对症下药] (1)F ∈l ?|FA|=|FB|?A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等． ∵抛物线的
准线是x 轴的平行线，y 1≥0，y 2≥0，依题意 y 1、y 2不同时为0， ∴上述条件等价于y l =y 2?x 12
=x 22 (x 1+x 2)(x 1-x 2)=0；
∵x 1≠x 2，∴上述条件等价于 x 1+x 2=0． 即当且仅当x 1+x 2=0时，l 经过抛物线的焦点F 。 (Ⅱ)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为y=2x+b 过点A 、B 的直线方程可写为y=-21x+m ，所以x 1、x 2满足方程2x 2+21x-m=0，得x 1+x 2=-41
； A 、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式
41=?+8m>0，即m>321-设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0=21(x 1+x 2)=-81，y 0=-21x 0+m=161
+m
由N ∈l ，得161+m=-41+b ，于是b=165+m>329321165=- 即得l 在y 轴上截距的取值范围为(329，+∞)．
3．如图，过抛物线y 2
=2px(p>0)上一定点p(x 0，y 0)(y 0>0)，
作两条直线分别交抛物线于A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．(1)求该抛物线上纵坐标为2P
的点到其焦点F 的距离； (Ⅱ)当PA 与
PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求02
1y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数．
[考场错解] (1)当y=2p 时，x=8p
又抛物线的准线方程为
x=-P ，由抛物线定义得，所求距离为.89)(8
p p p =-- (Ⅱ)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB 由y 21=2px 1,y 2
0=2px 0
相减得(y l -y 0)(y 1+y 0)=2P(x 1-x 0) 故k PA = 012y y P
+(x 1≠x 0)．
同理可得k pB =012y y P +(x 2≠x 0)由k PA =-k PB 得y 0=-2 (y l +y 2
)故.21021-=+y y y 设直线AB 的斜率为k AB 。由y 22=2px 2,y 21=2px 1 相减得 (y 2-y 1)(y 2+y 1)=2P(x 2-x 1)
故k AB =).
()(221211212x x y y p x x y y ≠+=--将y 1+y 2=-21y 0(y 0>0)代入得k AB =-04y p 故k AB 是非零常数． [专家把脉] ①没有掌握抛物线的准线方程，②计算不够准确．
[对症下药] (1)当y=2p 时，x=8p ，又抛物线y 2= 2px 的准线方程为x=2p
， 由抛物线定义得，所求距离为8p -(-2p )=.85p
(Ⅱ)设直线PA 的斜率为kPA ，直线PB 的斜率为k PB
由y 12=2px 1，y 20=2px 0相减得(y 1-y 0)(y l +y 0)=2P(x 1-x 0)，
故k PA =0101012y y p x x y y +=
--(x 1≠x 0)．同理可得k PB =012y y p +(x 2≠x 0)．
由PA 、PB 倾斜角互补知k PA =-k PB ，即012y y p +=-022y y p
+，所以y l +y 2=-2y 0，
故02
1y y y +=-2. 设直线AB 的斜率为k AB
由y 22=2px 2，y 21=2px l
相减得(y 2-y 1)(y 2+y 1)=2p(x 2-x 1)， 所以
).(221211212x x y y p x x y y k AB ≠+=--= 将y l +y 2=-2y 0(y 0>0)代入得
,2021y p y y p k AB -=+=
所以k AB 是非零常数． 4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO(如
图所示)．
(1)求△AOB 的重心C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；
(Ⅱ)△AOB 的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
[考场错解]（Ⅰ）设△AOB 的重心为G(x,y)A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)
则
)1(332121???????+=+=y y y x x x ∵OA 0=?∴⊥OB OA OB x 1x 2+y l y 2=0(2)
又点A 、B 在抛物线上，有y 1=x 12，y 2=x 22
代入(2)化简得x l x 2=0
或-1
∴y=31)(313
222121=+=+x x y y [（x 1+x 2）2-2x 1x 2]=3x 2+32或3x 2，故重心为G 的轨迹方程为y=3x 2或y=3x 2+32
. [专家把脉]没有考虑到x1x2=0时，△AOB 不存在
[对症下药] （Ⅰ）设△AOB 的重心为G(x,y)A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)则)1(332121???????+=+=y y y x x x
)2(0,12121=+-=?∴⊥y y x x k k OB OA OB OA 即 又点A 、B 在抛物线上，有y 1=x 12，y 2=x 22
代入(2)化简得x l x 2=-1
∴y=31)(313
222121=+=+x x y y [（x 1+x 2）2-2x 1x 2]=32)3(312+?x =3x 2+32所以重心为G 的轨迹方程为y=3x 2+ 32
(Ⅱ)S △AOB =22211222222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA +++=++=
由(1)得S △AOB =12212)1(2212221221662616261=?=+-=+?≥++x x x x
当且仅当x 16=x 26
即x 1=-x 2=-1时，等号成立。所以△AOB 的面积存在最小值，最小值为1。 专家会诊用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。
222222212125,121217a a x a a x -=--=消去x 2得.1317602891222±=∴=--a a a
[专家把脉] (1)没有考虑到1-a 2≠0(Ⅱ)没有注意到题目本身的条件a>0．
[对症下药] (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组?????=+=-1,1222
y x y a x
有两个不同的实数解，消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x +2a 2x-2a 2=0所以?????>-+≠-0)1(84012242a a a a 解
得0
且e
≠
e 的取值范围为(26
)∪(2)．
(Ⅱ)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0，1)．∵PB PA 125=∴(x 1,y 1-1)=125(x 2,y 2-1)由此得x 1=125x 2，
由于x 1，x 2都是方程①的根，且1-a 2≠0，所以1217x 2=-
22222212125,12a a x a a --=-，消x 2，得-602891222
=-a
a ，由a>0，所以a=1317 2．给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点 (1)设l 的斜
率为1，求OA 与OB 夹角的大小； (Ⅱ)设AF FB λ=，若λ∈[4，9]，求l 在y 轴上截距的变化范围．
[考场错解] (1)设OA 与OB 夹角为α；由题意l 的方程为了y=x-1，将y=x-1代入y 2=4x 得x 2
-6x+1=0设A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)则有x 1+x 2=6，x 1x 2=1．易得OA 2OB =x 1x 2+y 1y 2=-3，
41||||22222121=+?+=y x y x OB OA cos α=41413-
=∴α=-arccos
(Ⅱ)由题意知AF FB AF FB λλ=∴=，过A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为A'、B'． ∴|FB|=|BB'|，|AF|=|AA'| ∴|BB ’|=λ|AA'|，λ∈[4， 9]
设l 的方程为y=k(x-1)由?????=-=x y x k y 4)1(2得k 2x 2-(2k 2 +4)x+k 2=0
∴x=
222122k k k +±+∴|AA'|=222122k k k +-++l =
2221
2)1(2k k k +-+ |BB'|=2
2222212)1(2122k k k k k k +++=+++ ]43,34[)0(912)1(21
2)1(241
2)1(212)1(2|'||'|22222222--∈∴<≤+-++++≤∴=+-++++=∴k k k k k k k k k k AA BB λ
[专家把脉] (Ⅰ)没有理解反余弦的意义．(Ⅱ)思路不清晰．
[对症下药] (1)C 的焦点为F(1，0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为了y=x-1．
将y=x-1代入方程y 2=4x ，并整理得x 2-6x+1=0．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有x l +x 2=6，
x 1x 2=1．
OB OA ?=(x 1，y 1)2(x 2,y 2)=x 1x 2+y l y 2=2x 1x 2-(x 1 +x 2)+1=-3．
所以O 与O 夹角的大小为π-arc cos 4141
3(Ⅱ)由题设AF FB λ=得 (x 2-1，y 2)=λ(1-x 1，-y 1)，
即???-=-=-1212),1(1y y x x λλ由②得y 22=λ2y 21．∵y 21=4x 1，y 22=4x 2，∴x 2=λ2x 1 ③
联立①、③解得x 2=λ，依题意有λ>0，∴B(λ，2 )或B (λ，-2 )，又9(1，0)，得直线l 方程为(λ-1)y= (x-1)或(λ-1)y=2λ(x-1)．当λ∈[4，9]时，l 在 y 轴上的截距为12-λλ或-12-λλ 由12-λλ=1
212-++λλ，可知：12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴43≤12-λλ≤34，-34≤-12-λλ≤-43
直线l 在y 轴上截距的变化范围为[-34，-43]∪[43，34
]．
(2)当|PF 1|=|F 1F 2|时，同理可得222222]1)3([]1
)3([c e c e c e c
e -+--+-解得e 2=3于是λ=1-3=-2． (3)当|PF 2|=|F 1F 2|时，同理可得222222]1)3([]1)3([c e c e c e c e -+---+-=4c 2 解得e 2=1 于是λ=1-1=0
综上所述，当λ=32
或-2或0时△PF 1F 2，F 2为等腰三角形．
[专家把脉] (1)没有注意到因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2| (2)没有注意到椭圆离心率的范围．
[对症下药] (1)证法一：因为A 、B 分别是直线l ：y= ex+a 与x 轴、y 轴的交点，所以A 、
B 的坐标分别是(-0,e a )(0,a). 由.,,,1,2222222b a c c b y c x b y a x a ex y +==-=?????=++=这里得
所以点M 的坐标是(-c,a b 2
)，由AB AM λ=得(-c+a b e a 2,)=λ(e a ，a)． 即
221e a a b e a c e a -=???????==-λλλ解得 证法二：因为A 、B 分别是直线l:y=ex+a 与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是(-e a ，
0)，(0，a)，设M 的坐标是(x 0，y 0)，由AB AM λ=得(
a e a x ,0+)， 所以
?????=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以220220b y a x +=1， 即.11)1(,1)()]1([22222222
=-+-=+-e e b a a e a λλλλ所以e 4-2(1-λ)e 2+(1-λ)2=0，解得e 2=1-λ 即λ
=1-e 2
．
(Ⅱ)解法一：因为PF 1⊥l ，所以 ∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|,即21|PF 1|=c. 设点F 1到l 的距离为d ，由21|PF 1|=d ， =
c e ec a e a c e =+-=+++-221||1|0)(|,得 2211e e +-=e ．所以e 2=31，于是λ=1-e 2=32.即当λ=32时，△PF 1F 2为等腰三角形．
解法二：因为PF 1⊥l ，所以，∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|,设点P 的坐标是(x 0，y 0)， 则???????+-=+-=+-a c x e y e c x y 220100000解得???????+-=+-=.1)1(2,13220220e a e y e e x 由|PF 1|=|F l F 2|得222222]1)1(2[]1)3([+-+++-e a e c e c e =4c 2，
两边同时除以4a 2，化简得1)
1(12+-e e =e 2．从而e 2=31于是λ=l-e 2=32．即当λ=32
时，△PF 1F 2为等腰三角形．
4．抛物线C 的方程为y=ax 2(a<0)，过抛物线C 上一点P(x 0，y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1，k 2的两条
直线分别交抛物线C 于A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)两点(P 、A 、B 三点互不相同)，且满足k 2+λk 1=0(λ≠0且λ≠-1)．
(Ⅰ)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程； (Ⅱ)设直线AB 上一点M 满足BM =λMA ，证明线段PM 的中点在y 轴上 (Ⅲ)当A=1时，若点P 的坐标为(1，-1)，求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范围．
[考场错解] (1)抛物线C 的方程y=ax 2(a<0)得，焦点坐标为(4a ，0)准线方程为x=-4a
(Ⅲ)∵P(-1，1)在y=ax 2上，故a=-1∴y=-x 2
由(Ⅱ)易得y 1=-(k 1+1)2，y 2=(k 2+1)2，因此，直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标
为A(-k 1 -1,-k 21-2k 1-1)，B(k 1-1，-k 21+2k 1-1) 于是AP = (k 1+2,k 21+2k 1)，AB =(2k 1，4k 1)，=AB AP ,2k 1(k 1+2)(2k 1+1)因∠PAB 为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有AP 2AB <0易得k 1的取值范围是 k 1<-2或21
故当k 1<-2时，y<-1;当-21 即y 1∈ ． [专家把脉] 没有掌握好抛物线的标准形式及交并集的概念． [对症下药] (1)由抛物线C 的方程y=ax 2(a<0)得，焦点坐标为(0，a 41)，准线方程为y=-a 41 ． (Ⅱ)证明：设直线PA 的方程为y-y 0=k 1(x-x 0)，直线 PB 的方程为y-y 0=k 2(x-x 0)． 点P(x 0，y 0)和2点A(x 1，y 1)的坐标是方程组?????=-=-)2()1()(2010ax y x x k y y 的解．将②式代入①式得ax 2-k 1x+k l x 0-y 0=0，于是 x 1+x 0=a k 1，故x 1=a k 1 -x 0③ 又点P(x 0，y 0)和点B(x 2，y 2)的坐标是方程组?????=-=-)5()4()(2010ax y x x k y y 的解．将⑤式代入④式得ax 2 -k 2x+k 2x 0-y 0=0．于是x 2+x 0=a k 2，故x 2=a k 2 -x 0, 由已知得，k 2=- λk l ，则x 2=01x k a --λ⑥设点M 的坐标为(x M ,y M )，由=λ，则x M =λλ++112x x .将③式和⑥式代入上式得-=+--=λλ100x x x M x 0，即x M +x 0=0．所以线段PM 的中点在y 轴上． (Ⅲ)因为点P (1，-1)在抛物线y=ax 2上，所以a=-1，抛物线方程为y=-x 2 ．由③式知x 1=-k 1-1， 代入y=-x 2得y 1=-(k 1+1)2．将λ=1代入⑥式得x 2=k 1-1，代入y=-x 2得y 2=- (k 2+1)2．因此，直 线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为 A(-k 1，-1，-k 21-2k 1-1)，B(k 1-1，-k 12+2k 1-1)． 于是=(k 1+2，k 12+2k 1)，=(2K 1，4K 1)，?= 2k 1(k 1+2)+4k l (k 12+2k 1)=2k 1(k 1+2)(2k 1+1)．因∠PAB 为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有 AB AP ?<0．求得k 1的取值范围是k 1<-2或-21 当k 1<-2时， y 1<-1；当-21 )． 专家会诊 1．判定直线与圆锥曲线交点个数的基本方法是联立方程组，判断方程组解的组数，对于直线与双曲线的交点个数问题还可借助直线与渐近线斜率的关系来判断，而直线与抛物线的位置关系则可借助直线与抛物线对称轴的位置关系来判定，不可混淆．2．涉及弦长的问题中，应熟练地利用韦达定理，设而不求计算弦长，不要蛮算，以免出现差错．3．涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化。 命题角度5对轨迹问题的考查 1．(典型例题)已知双曲线的中心在原点，离心率为若它的一条准线与抛物线y2=4x 的准线重 合，则该双曲线与抛物线y 2=4x 的交点到原点的距离是 ( ) A.263+ B ．21 C ．18+122 D ．21 [考场错解] C [专家把脉] 对双曲线的定义理解不够深刻． [对症下药] B 设双曲线方程为2 2 b y a x -=1，由题意得1,32 -=-=c a a c 则a=3b=6，则双曲线方程为6322y x -=1,由?????==-x y y x 416322 2得A （3，23），故交点到原点的距离为 .21)32(322=+ [考场错解] (1)W 1={(x,y)|y ≠±kx x<0|W 2=｛(x ，y)｝y=±kx,x>0| (Ⅱ)直线l 1:kx-y=0 直线l 2:kx+y=0由题意得 1| |2+-k y kx 21||2++k b kx =d 2即1||2222+-k y x k =d 2 ∴k 2x 2-y 2±(k 2+1)d 2=0故动点P 的轨迹C 的方程为k 2x 2-y 2±(k 2+1)d 2=0 (Ⅲ)略 [专家把脉] 没有很好地理解题意，第二问出现两解，致使第三问过于复杂难以完成． [对症下药] 解：(I)W 1={(x ，y)|kx (Ⅱ)直线l 1:kx-y=0 直线l 2:kx+y=0，由题意得1||2+-k y kx 21||2++k b kx =d 2，即122 22+-k y x k =d 2， 由P(x ，y)∈W ，知k 2x 2-y 2>0，所以122 22+-k y x k =d 2，即k 2x 2-y 2-(k 2+1)d 2 =0， 所以动点P 的轨迹C 的方程为k 2x 2-y 2-(k 2+1)d 2=0； (Ⅲ)当直线J 与，轴垂直时，可设直线J 的方程为，x=a (a ≠0)．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为(a ，0)，所以△OM 1M 2，△OM 3M 4 的重心坐标都为(32 a ，0)，即它们的重心重合， 当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线J 的方程为y=mx+n(n ≠0)． 由?????+==+--n mx y d k y x k 0)1(22222, 得(k 2-m 2)x 2-2mnx-n 2-k 2d 2-d 2=0 (Ⅱ)设点T 的坐标为(x 、y)由||||2TF ?=0 得222||||||TF PF TF =∴=⊥又， 在△QF 1F 2中a Q F OT ==||211故有x 2+b 2= a 2(x=±a) (Ⅲ)C 上存在M(x 0，y 0)使s=b 2的充要条件是：?????=?=+)2(||221)1(2022020b y c a y x 又1MF =(-C-x 0-y 0)，2MF =(c-x 0,y 0)由1MF 22MF =x 02-c 2+y 20=a 2-c 2 =b 2 即||||21MF MF cos ∠F 1MF 2=b 2又s=||||2121MF MF sin ∠F l MF 2得tan ∠F l MF 2=2 [专家把脉] (1)没有注意证明题的书写格式(2)思考问题不够全面． [对症下药] (1)证法一：设点P 的坐标为(x ，y)．由P(x ，y)在椭圆上，得 .)()()(||2222 22221x a c a x a b b c x y c x P F +=-++=++= 2 由|x|≤a ，知a+x a c ≥-c+a>0，所以||1P F =a+a c x ． 证法二：设点P 的坐标为(x ，y)．记,||,||2211r P F r P F == 当0||≠PT 且02≠TF 时，由02=?TF PT 又|PQ |=|2PF |，所以T 为线段F 2Q 的中点． 设点Q 的坐标为(x'，y')，则,.2'2'? ??????=+=y y c x x 因此???=-=.2',2'y y c x x ①由||1Q F =2a 得(x'+c)2+y'2=4a 2．② 将①代入②，可得x 2+y 2=a 2．综上所述，点T 的轨迹C 的方程是x 2+y 2=a 2 (Ⅲ)解法一：C 上存在点M(x 0，y 0)使S=b 2的充要条件是??????=+)4.(||221)3(,2022020b y c a y x 由③得，|y 0|≤a ，由④得，|y 0|≤c b 2，所以，当a ≥c b 2 时，存在点M ，使S=b 2； 当a ， .2tan ,sin ||||21, cos ||||2122121212121=∠=∠?=∠?=?MF F b MF F MF MF S MF F MF MF MF MF 得 解法二：C 上存在点M(x 0，y 0)使S=b 2的充要条件是?????=?=+)4.(||221)3(,2020202b y c a y x 由④得|y 0|c b 2≤，上式代入③得x 20=a 2-4c b =(a-c b 2) (a+c b 2 )≥0． 于是，当a ≥c b 2时，存在点M ，使s=b 2;当a 时，不存在满足条件的点M ． 2014年浙江省高考数学试卷（理科） 一、选择题（每小题5分，共50分） 2 2 3．（5分）（2014?浙江）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（） 4．（5分）（2014?浙江）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图 向右平移向左平移个单位 向右平移向左平移个单位 5．（5分）（2014?浙江）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n）， 6．（5分）（2014?浙江）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，其0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3） 7．（5分）（2014?浙江）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象可能是（） B ． ． D ． 8．（5分）（2014?浙江）记max{x ，y}=，min{x ，y}=，设，为 +||﹣min{|||} min{|+﹣|}min{||||} ||﹣||||max{|||﹣|+||9．（5分）（2014?浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球（m ≥3，n ≥3），从乙盒中随机抽取i （i=1，2）个球放入甲盒中． （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi （i=1，2） ； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i （i=1，2）． 10．（5分）（2014?浙江）设函数f 1（x ）=x 2 ，f 2（x ）=2（x ﹣x 2 ）， ， ，i=0，1，2，…，99 ．记I k =|f k （a 1）﹣f k （a 0）|+|f k （a 2）﹣f k （a 1）丨+…+|f k （a 99） 二、填空题 11．（4分）（2014?浙江）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是 ． 2012江苏高考数学19题-的几种解法及巧解。 19．（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 2 2 2 2 1(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1 (0)F c -，，2 (0)F c ，．已知(1)e ，和3e ? ?? ，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的离心率； （2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1 AF 与直线2 BF 平行，2 AF 与1 BF 交于点P ． （i ）若126AF BF -=，求直线1 AF 的斜率； （ii ）求证：1 2 PF PF +是定值． 这题难度较大，全省得分率不高，不过并没有像网上说的那样，有多变态。本题体现了江苏关于解析几何命题的一贯特点，求定值。这已延续了几年。值得我们思考。 今年解析几何题一个大的变化时题位后移，难度自然有所增加。这是否代表今后高考命题的一个方向呢。还是像09年的应用题那样， A B P O 1 F 2 F x y （第19 只是一个特例，这也值得我们思考。 另外，高考之前，有很多人猜测今年可能考圆。结果却有些出乎意料。其实无论考圆还是椭圆，思想方法都是一样的，没必要再这方面纠结。应该抓住问题的核心，而不是投机取巧。 现在就题论题。 首先看看命题组给出参考答案。 解(1)由题设知a c e c b a =+=,222. 由点(1,e)在椭圆上， 得11222 2=+b a c a 解得12= b ，于是122-=a c ， 又点）（23 ,e 在椭圆上，所以143222=+b a e ，即143142=+-a a ，解得22=a 因此，所求椭圆的方程是12 22 =+y x . (2)由(1)知)0,1(),0,1(21F F -,又直线1AF 与2BF 平行,所以可设直线1AF 的方程为 my x =+1,直线2BF 的方程为my x =-1.设0,0),,(),,(212211>>y y y x B y x A 由?????=+=+11 2 121112my x y x 得012)2(1212 =--+my y m ,解得2222 21+++=m m m y 2011年高考数学解析几何专题攻略 一、10年高考真题精典回顾： 1．（2010浙江理数）（本题满分15分）已知m ＞1，直线2 :02m l x my --=，椭圆2 22:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围. 解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 （Ⅰ）解：因为直线:l 202 m x my --= 经过20)F ， 22m =, 得22m =， 又因为1m > ，所以m 故直线l 的方程为02 x - =。 （Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y 。 由2222 2 1m x my x y m ?=+????+=??，消去x 得 22 2104 m y my ++-= 则由2 2 28(1)804 m m m ?=--=-+>，知28m <， 且有212121 ,282 m m y y y y +=-= - 。 由于12(,0),(,0),F c F c -， 故O 为12F F 的中点， 由2,2AG GO BH HO == ， 可知1121( ,),(,),3333 x y x y G h 22 2 1212()()99 x x y y GH --=+ 设M 是GH 的中点，则1212 (,)66 x x y y M ++， 由题意可知2,MO GH < 即22 2212121212()()4[()()]6699 x x y y x x y y ++--+<+ 即12120x x y y +< 而22 12121212()()22m m x x y y my my y y +=+++ 22 1(1 ()82 m m =+-） 所以 21082 m -< 即2 4m < 又因为1m >且0?> 所以12m <<。 所以m 的取值范围是(1,2)。 2．（2010辽宁理数）（本小题满分12分） 设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB = . 2012年浙江省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）（2012?浙江）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3， 2．（5分）（2012?浙江）已知i是虚数单位，则=（） 3．（5分）（2012?浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（） 形，面积是× ∴三棱锥的体积是 4．（5分）（2012?浙江）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平 6．（5分）（2012?浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 D ． ，（（， 7．（5分）（2012?浙江）设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（）|+|=|||，则⊥ ⊥|+|=||| |+|=|||，使得=λ =λ|+|=||| |+|=|||||+||?=|+||2||||?|||与 |+|||| |+|=|||||+|?=|||2||||?=|||| 与反向，因此存在实数，使得λ，所以 ?=||||||=|，因此≠|||||+|||| 8．（5分）（2012?浙江）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（） B 转化成（ =++≥+2当且仅当= ≥ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．（4分）（2012?浙江）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为160． ∴每个个体被抽到的概率是， ×=160 12．（4分）（2012?浙江）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取 两点，则该两点间的距离为的概率是． 的种数， =10其中两点间的距离为 2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年浙江，理1，5分】设全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥，则U A =e（ ） （A ）? （B ）{2} （C ）{5} （D ）{2,5} 【答案】B 【解析】2{|5}{|A x N x x N x =∈≥=∈，{|2{2}U C A x N x =∈≤=，故选B ． 【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题． （2）【2014年浙江，理2，5分】已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当1a b ==时，22(i)(1i)2i a b +=+=，反之，2 (i)2i a b +=，即222i 2i a b ab -+=，则22022 a b ab ?-=?=?， 解得11a b =??=? 或11a b =-??=-?，故选A ． 【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题． （3）【2014年浙江，理3，5分】某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表 面积是（ ） （A ）902cm （B ）1292cm （C ）1322cm （D ）1382cm 【答案】D 【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体，故几何体的表面积为： 1 246234363334352341382 S =??+??+?+?+?+?+???=，故选D ． 【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的 关键． （4）【2014年浙江，理4，5分】为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图像，可以将函数y x 的图像（ ） （A ）向右平移4π个单位 （B ）向左平移4 π个单位 （C ）向右平移12π个单位 （D ）向左平移12π 个单位 【答案】C 【解析】sin3cos3))]412y x x x x ππ=+=+=+，而)2y x x π=+)]6x π +， 由3()3()612x x ππ+→+，即12x x π→-，故只需将y x =的图象向右平移12 π 个单位，故选C ． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查． （5）【2014年浙江，理5，5分】在64(1)(1)x y ++的展开式中,记m n x y 项的系数(,)f m n ，则 (3,0)(2,1)(1,2)f f f f +++=（ ） （A ）45 （B ）60 （C ）120 （D ）210 【答案】C 【解析】令x y =，由题意知(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++即为10 (1)x +展开式中3x 的系数， 故(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=7 10120C =，故选C ． 【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力． （6）【2014年浙江，理6，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤（ ） （A ）3c ≤ （B ）36c <≤ （C ）69c <≤ （D ）9c > 2012年江苏省高考数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．（5分）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∪B=_________． 2．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_________名学生． 3．（5分）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为_________． 4．（5分）图是一个算法流程图，则输出的k的值是_________． 5．（5分）函数f（x）=的定义域为_________． 6．（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_________． 7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为_________ cm3． 8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为_________． 9．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则 的值是_________． 10．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为_________． 11．（5分）设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为_________． 12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_________． 13．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为_________． 14．（5分）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是_________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）在△ABC中，已知． （1）求证：tanB=3tanA； （2）若cosC=，求A的值． 近五年解析几何全国新课标2卷高考题 1.2010理科（12）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为 (A) 22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22 163x y -= (D) 22 154 x y -= 2. 2011（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 （A （B （C ）2 （D ）3 3. 2011（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离 心率为 2 。过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为 。 4. 2012（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上 一点， ?21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 5. 2012（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162 =的准线交 于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 6. 2013.11、设抛物线)0(22 ≥=p px y 的焦点为F ，点M 在C 上，｜MF ｜＝5，若以MF 为直径的圆过点（0,2），则C 的方程为（ ） （A ）x y 42 = 或x y 82 = （B ）x y 22 = 或x y 82 = （C ）x y 42 = 或x y 162 = （D ）x y 22 = 或x y 162 = 7. 2014.10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012?浙江）设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（?R B）=（） A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）2．（5分）（2012?浙江）已知i是虚数单位，则=（） A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i 3．（5分）（2012?浙江）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 4．（5分）（2012?浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（） A．B．C．D． 5．（5分）（2012?浙江）设，是两个非零向量（） A． 若|+|=||﹣||，则⊥B． 若⊥，则|+|=||﹣|| C． 若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λD． 若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣|| 6．（5分）（2012?浙江）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（） A．60种B．63种C．65种D．66种 7．（5分）（2012?浙江）设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则列数{S n}有最大项 B．若数列{S n}有最大项，则d＜0 C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0 D．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列 8．（5分）（2012?浙江）如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点， 直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是（） 2012江苏高考数学试卷 非选择题（第1题-第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。 参考公式： （1）样本数据x 1 ,x 2 ，…，x n 的方差s 2=n i=11n ∑（x i -x ）2,其中n i i=11x n ∑. （2）(2)直棱柱的侧面积S=ch ,其中c 为底面积，h 为高. （3）棱柱的体积V= Sh ，其中S 为底面积，h 为高. 一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置．．．．．．．．上。．． 1、已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{-=-=B A 则_______,=?B A 2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________ 3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________ 4、根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________ Read a ，b If a >b Then m ←a Else m ←b End If Print m 5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s 7、已知,2)4tan(=+π x 则x x 2tan tan 的值为__________ 8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2)(= 的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________ 9、函数??,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f 3ππ12 7 2 - 高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0）， 则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为 绝密★考试结束前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共50分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 如果事件,A B 互斥 ，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件,A B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B ?=? 如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()(1)(0,1,2,...,)k k n k n n P k C p p k n -=-= 台体的体积公式 121 ()3 V h S S = 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式1 3 V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R π= 球的体积公式 34 3 V R π= 其中R 表示球的半径 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1. 设集合{|14}A x x =<<，集合2 {|230}B x x x =--≤, 则()R A B ?= A (1,4) B. (3,4) C. (1,3) D. (1,2)∪（3,4） 2. 已知i 是虚数单位，则 31i i +-= A.12i - B.2i - C.2i + D.12i + 3. 设a R ∈，则“1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.把函数cos 21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是 5.设a ，b 是两个非零向量。 A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa D.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b| 6.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 7.设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误的是 A.若d ＜0，则列数{}n S 有最大项 B.若数列{}n S 有最大项，则d ＜0 C.若数列{}n S 是递增数列，则对任意* n N ∈，均有0n S > D.若对任意* n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列 8.如图，12,F F 分别是双曲线2 2 22:1(,0)x y C a b a b -=>的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，若212||||MF F F =,则C 的离心率是 2012江苏高考数学试卷(含答案) 2012江苏高考数学试卷 非选择题（第1题-第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。 参考公式： （1）样本数据x 1 ,x 2 ，…，x n 的方差s 2 = n i=1 1n ∑（x i -x ） 2 ,其中 n i i=1 1x n ∑. （2）(2)直棱柱的侧面积S=ch ,其中c 为底面积，h 为高. （3）棱柱的体积V= Sh ，其中S 为底面积，h 为高. 一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。．．．．．．．．．． 1、已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{-=-=B A 则_______,=?B A 2、函数) 12(log )(5 +=x x f 的单调增区间是__________ 3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的 实部是_________ 4、根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________ Read a ，b If a >b Then m ←a , ,22121→ →→→→→ +=-=e e k b e e a 若0=?→ →b a ，则k 的值为 11、已知实数 ≠a ，函数 ?? ?≥--<+=1 ,21,2)(x a x x a x x f ，若 ) 1()1(a f a f +=-，则a 的值为________ 12、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数 ) 0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线 l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ， 设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________ 13、设7 21 1a a a ≤≤≤≤ ，其中7 5 3 1 ,,,a a a a 成公比为q 的等 比数列，6 4 2 ,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最 小值是________ 14、设集合} ,,) 2(2 |),{(222 R y x m y x m y x A ∈≤+-≤=, } ,,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠?B A 则实数m 的 取值范围是______________ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤。 15、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6sin(A A =+π 求A 的值；（2）若c b A 3,3 1cos ==，求C sin 的值. F E A C D 十年真题 _解析几何 _全国高考理科数学 真题 2008-21 ．（12 分） 双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l 1， l 2 ，经过右焦点 F 垂直于 l 1 uuur uuur uuur uuur uuur 的直线分别交 l 1， l 2 于 A ， B 两点．已知 OA 、 、 成等差数列，且 BF 与 FA 同向． AB OB （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4 ，求双曲线的方程． 2009-21 ．（12 分） 如图，已知抛物线 E : y 2 x 与圆 M : ( x 4)2 y 2 r 2 (r ＞ 0）相交于 A 、B 、C 、D 四个 点。 （I ）求 r 的取值范围： (II)当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 A 、 B 、 C 、 D 的交点 p 的坐标。 2010-21 (12 分 ) 已知抛物线 C : y 2 4x 的焦点为 F ，过点 K ( 1,0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点， 点 A 关于 x 轴的对称点为 D . （Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上； uuur uuur 8 （Ⅱ）设 FAgFB BDK 的内切圆 M 的方程 . ，求 9 1 / 13 2011-20 （12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ， B 点在直线 y = -3 上， M 点满 足 MB//OA ， MA?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。 （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。 2012-20 （12 分） 设抛物线 C : x 2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准 线为 l ， A C ， 已知以 F 为圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点； （1）若 BFD 90 0 ， ABD 的面积为 4 2 ；求 p 的值及圆 F 的方程； （2）若 A, B, F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点， 求坐标原点到 m, n 距离的比值。 2013-21 (12 分 ) 2 2 已知双曲线 C ： x 2 y 2 =1 (a ＞ 0， b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，离心率为 3，直线 y a b ＝2 与 C 的两个交点间的距离为6 . (1)求 a ， b ； (2)设过 F 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A ， B 两点，且 | AF | ＝| BF | ，证明： | AF | ， 2 1 1 2 | AB| ， | BF 2| 成等比数列． 2014-20 已知点 A(0，－ 2)，椭圆 E ： x 2 2 3 ， F 是椭圆 E 的右焦点， 2 y 2 =1 (a>b>0) 的离心率为 a b 2 直线 AF 的斜率为 2 3 ， O 为坐标原点 . 3 2 / 13 2013年浙江省高考数学试卷（理科） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2013?浙江）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）＝（） A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i 2．（5分）（2013?浙江）设集合S＝{x|x＞﹣2}，T＝{x|x2+3x﹣4≤0}，则（?R S）∪T＝（）A．（﹣2，1]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）3．（5分）（2013?浙江）已知x，y为正实数，则（） A．2lgx+lgy＝2lgx+2lgy B．2lg（x+y）＝2lgx?2lgy C．2lgx?lgy＝2lgx+2lgy D．2lg（xy）＝2lgx?2lgy 4．（5分）（2013?浙江）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ＝”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 5．（5分）（2013?浙江）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（） A．a＝4B．a＝5C．a＝6D．a＝7 6．（5分）（2013?浙江）已知，则tan2α＝（）A．B．C．D． 7．（5分）（2013?浙江）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB 上任一点P，恒有则（） A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝AC D．AC＝BC 8．（5分）（2013?浙江）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）＝（e x﹣1）（x﹣1）k（k ＝1，2），则（） A．当k＝1时，f（x）在x＝1处取得极小值 B．当k＝1时，f（x）在x＝1处取得极大值 C．当k＝2时，f（x）在x＝1处取得极小值 D．当k＝2时，f（x）在x＝1处取得极大值 9．（5分）（2013?浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B 分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（） A．B．C．D．10．（5分）（2013?浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα（P）]，Q2＝fα[fβ（P）]，恒有PQ1＝PQ2，则（） A．平面α与平面β垂直 B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45° C．平面α与平面β平行 D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60° 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．（4分）（2013?浙江）设二项式的展开式中常数项为A，则A＝．12．（4分）（2013?浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于cm3． 2012年浙江高考理科数学(高清版含答案) 选择题部分（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝ A ．(1，4) B ．(3，4) C ．(1，3) D ．(1，2) 【解析】A ＝(1，4)，B ＝(－3，1)，则A ∩(C R B )＝(1，4)． 【答案】A 2．已知i 是虚数单位，则 3+i 1i -＝ A ．1－2i B ．2－i C ．2＋i D ．1＋2i 【解析】 3+i 1i -＝()()3+i 1+i 2 ＝2+4i 2＝1＋2i ． 【答案】D 3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0显然平行；若直线l 1与直线l 2平行，则有： 2 11 a a =+，解之得：a ＝1 or a ＝﹣2．所以为充分不必要条件． 【答案】A 4．把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x —1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x —1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12 π +，得：y 3＝0；观察即得答案． 【答案】B 5．设a ，b 是两个非零向量． A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b | C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb D ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实 数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立． 【答案】C 6．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有： 4个都是偶数：1种； 2个偶数，2个奇数：225460C C =种； 4个都是奇数：455C =种． 2014年浙江省高等职业技术教育招生考试 数学试卷 注意事项 1、所有试题均需在答题纸上作答,未在规定区域内答题,每错一个区域扣卷面总分1分,在试卷和草稿纸上作答无效。 2、答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸和试卷上。 3、选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。非选择题目用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上。 4、在答题纸上作图,可先用2B 铅笔,确定后必须用黑色字迹的签字或钢笔摸黑。 一、单项选择题(本大题共18小题,每小题2分,共36分 在每小题列出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的。错涂、多涂或未涂均无分. 1.已知集合{,,,}M a b c d =,则含有元素a 的所有真子集个数有 ( C A .5个 B .6个 C .7个 D .8个 2.已知函数(121x f x +=-,则(2f = ( B A .-1 B .1 C .2 D .3 3.“0a b +=”是“0a b ?=”的 ( D A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分又非必要条件 4.下列不等式(组的解集为{|0}x x <的是 ( A A .3323 x x -<- B .20231x x -? C .220x x -> D .|1|2x -< 5.下列函数在区间(0,+∞上为减函数的是 ( C A .31y x =- B .2(log f x x = C .1((2x g x = D .(sin A x x = 6.若α是第二象限角,则7απ-是 ( D A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角 7.已知向量(2,1a =-,(0,3b =,则|2|a b -= ( B A .(2,7- B C .7 2015江苏省高考数学19题别解 山石 2015江苏省高考数学19题： 已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=。 （1）试讨论)(x f 的单调性； （II ）若a c b -=（实数c 是与a 无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),2 3()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值。 （1）略。 （II ）解法一：由（1）知，函数)(x h 的两个极值为a c f -=)0(，a c a a f -+=- 3 274)32( 因为函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),2 3 ()23,1()3,(+∞--∞ 记=)(a h a c a -+3 27 4 ①当∈a )23,1(时，由（1）知，函数)(x f 递增区间为?? ? ?? -∞-32,a ，()+∞,0，函数)(x f 递减 区间为?? ? ??-0,32a ， 从而有0)0(2014年浙江省高考数学试卷(理科)
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