第十二讲 矩阵特征值估计 特征值计算较困难,希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。 一、 特征值界的估计 定理1. 设n n A R ?∈,λ为A 的任意特征值,则有 () Im M λ≤其中,ij ji 1i ,j n a a M m a x 2 ≤≤-= 证明:设x 为A 的属于特征值λ的单位特征向量,即A x x =λ, H x x 1=, 则 H x A x λ= → ( ) () H H H H H x A x x A x x A x λ== = () ()()H H H T 2jIm x A A x x A A x λ-λ=λ=-=- 将x 写成[] T 12n x ,,,=ξξξ ()()n n H T i ij ji j i 1 j 1 x A A x a a ==-=ξ-ξ∑∑ () ()()n n i ij ji j i 1j 1 n n i ij ji j i 1 j 1 2I m a a a a ====λ= ξ-ξ≤ ξ-ξ∑∑ ∑∑ n ' i j ij ji i ,j 1 a a == ξξ-∑ ('∑表示不含i =j ) n ' i j i ,j 1 2M =≤ξξ∑ () 2 n 2 2 ' i j i ,j 1 I m M =? ?λ≤ξξ ? ? ? ∑
() n 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1=≤-ξξ∑ () n 2 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1==-ξξ∑ n n n n n 2 2 2 2 4 2 4 ' i j i j i i i i ,j 1 i ,j 1 i 1 i 1 i 1 =====ξξ= ξξ- ξ≤ ξ- ξ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( )n 2 2 i i i 11== ξ-ξ∑ 不妨写为: ( ) ( ) ( )n 2 222 2 2 1 1 2 2 i i i 3 111==ξ-ξ +ξ -ξ + ξ -ξ∑ ( )( )( )2 2 2 2 2 2 n 11 22 2 2 i i i 3 1112 2 =????ξ +-ξξ +-ξ ? ? ≤++ ξ-ξ ? ? ? ???? ? ∑ 12 ≤ 取等号的条件为2 2 1 2 12 ξ=ξ= ,但 2 x 1 =,所以其它2 i ξ= ∴ () Im M λ≤定理2. 设n n A R ?∈,λ为A 的任意特征值,则有 n λ≤ρ ()R e n λ≤τ () I m n s λ≤ 其中,ij 1i,j n m a x a ≤≤ρ =,ij ji 1i,j n m a x a a ≤≤τ =+,ij ji 1i,j n s m a x a a ≤≤=- 二、 盖尔圆法 定义:设() n n ij n n A a C ??= ∈,由方程 n ii i ij j 1 i j z a R a =≠-≤= ∑ 所确定的圆称 为A 的第i 个盖尔圆,i R 称为盖尔圆的半径。
求矩阵特征值算法及程序简介 1.幂法 1、幂法规范化算法 (1)输入矩阵A、初始向量( 0),误差eps; (2) k 1; (3)计算V(k)A(k 1); (4)m k max(V(k)) ,m k1max( V ( k 1)); (5) (k)V(k)/m k; (6)如果m k m k 1eps,则显示特征值1和对应的特征向量x(1) ),终止; (7)k k 1, 转(3) 注:如上算法中的符号max(V )表示取向量V 中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。 2、规范化幂法程序 Clear[a,u,x]; a=Input[" 系数矩阵A="]; u=Input[" 初始迭代向量u(0)="]; n=Length[u]; eps=Input[" 误差精度eps ="]; nmax=Input[" 迭代允许最大次数nmax="]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2}, Do[m1=Abs[x[[k]]]; If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[u]; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; k=0; While[t>eps&&k 第三部分 矩阵特征值的估计 引言: 矩阵特征值的计算与估计在理论上和实际应用中都是很重要的,但要精确计算特征值并非总是可能的,即使在某些特殊情况下有可能,可是付出的代价也是很大的。幸好在许多应用中并不需要精确计算矩阵的特征值,而只需有一个粗略的估计就够了。比如:在线性系统理论中,通过估计系统矩阵A 的特征值是否有负实部,便可判定系统的稳定性;当研究一个迭代法的收敛性时便要判断迭代矩阵的特征值是否都落在单位圆内;在差分方程的稳定性理论以及自动控制理论中都需要估计矩阵的特征值是否在复平面上的某一确定的区域中。 §1. 特征值的界的估计 引理1. n 阶复矩阵A ,酉相似于一个上(或下)三角矩阵,且三角矩阵的对角线元素是A 的特征值。即存在一个酉矩阵U 和三角矩阵T ,使T AU U T = 引理2. 设n n n n ij C a A ??∈=)(,则∑∑====n i n j F ij H A a AA tr 11 2 2 )( Proof :设n n ij H b AA B ?==)(则 ∑∑===++==n j j n n n j j j a a a a a a a a a b 1 2 11112121 11111111 ∑∑====n j j n j j j a a a b 1 2 21 2222 ∑∑====n j ij n j ij ij ii a a a b 12 1 ∑∑∑======n i n j ij n i ii H a b B tr AA tr 11 2 1 )()( 引理3. A 为正规矩阵?A 酉相似于对角矩阵。 (注:正规矩阵:A A A A H H ?=?)即存在酉矩阵U 使 ),,,(21n H diag AU U λλλ = Th 1.设A 为n 阶矩阵,n λλλ,,,21 为其特征值,则: ?=≤∑∑∑===n i n i n j F ij i A a 1 11 2 2 2 λA 为正规矩阵,等号成立。 Proof:由引理1.存在酉阵U ,使T AU U H =(三角阵)——① 对①两边取共轭转置:U A U AU U T H H H H H ==)(——② ①?②得 H H H H T T U A U AU U ?=?)()( H H H T T U AA U ?=?(为酉阵) )()()(H H H H T T tr AA tr U AA U tr ?==? 即∑∑∑∑∑∑=======≥=n i n j n i n i i ii ij n i n j ij t t a 11 1 1 2 2 2 11 2 λ 设n n C A ?∈,令2 ,2H H A A C A A B -=+=, 则A =B +C : 其中B 为Hermit 阵(即H B B =)实 C 为反Hermit 阵(即H C C -=)虚 收稿日期:2008-11-14 作者简介:薛建明(1982- ),女,硕士,研究方向为泛函分析和矩阵计算.Email:xuejianmi ng104@https://www.doczj.com/doc/1a495256.html, 文章编号:1671-9352(2009)12-0048-04 矩阵特征值的估计及其应用 薛建明,邹黎敏 (重庆三峡学院数学与计算机科学学院,重庆404000) 摘要:讨论矩阵特征值估计及其在稳定性理论中的应用。证明了矩阵的所有特征值都位于一个圆盘中,给出了定常线性系统在平衡位置渐近稳定的一个充分条件,并给出了数值算例。关键词:特征值;F 函数;范数;估计;稳定性中图分类号:O15112 文献标志码:A Estimation for eigenvalues and its application XUE Jian -ming,ZOU L-i min (College of Mathematics and Computer Science of Chongqing,Three Gorges University ,Chongqing 404000,China)Abstract :T he purpose of this paper is to discuss the estimation for eigenvalues of matrices and its application in stability theory.We prove that all the eigenvalues of any complex matrix are located in one di sk.After that,we present a sufficient conditi on that a linear time -invariant sys tem is asymp totically stable in equilibrium position.Some numerical examples are given.Key w ords :eigenvalues;F function;norm;esti mation;stability 特征值的估计一直是矩阵分析领域非常热门的课题。特征值的定位与分布就是在复平面上对给出的矩阵的特征值的大小,所属区域给出一个范围。在自然科学的许多分支中,并不需要精确计算出矩阵的特征值,而只需要给出一个大体的分布范围。如在控制理论中,只需要判断系统方程中系统矩阵的特征值是否都具有非负的实部,就可以判断系统是否稳定;而在统计线性模型或是数值算法分析中,有时需要判断Her mite 矩阵是正定的,即所有的特征值都大于零 [1-4] 。 众所周知,动力系统d x d t =f (x )的稳定性理论有着广泛的应用,而非线性系统的稳定性往往可以用其线性部分来处理。涉及常系数线性微分方程组 d x d t =Ax 的解的稳定性问题时,判断A 是否是稳定矩阵的方法有很多,如Routh -Hur witz,李亚普诺夫等方法。然而对于阶数较大的矩阵,上面的方法是比较复杂的,故寻求A 是稳定矩阵的简单判据是有必要的。文中先得到了矩阵特征值的估计,然后给出了定常线性系统在平衡位置渐近稳定的一个充分条件,并给出了数值算例验证估计的优越性。 设C n @n 表示n @n 阶复矩阵的集合,若A =(a ij )I C n @n ,称+A +F =tr(A * A )为矩阵A 的F -范数, 其中A * 表示的A 的共轭转置。 1 矩阵特征值的估计 定义111 令映射f :C n @n y R + G {0},若f 满足 第44卷 第12期 Vol.44 No.12 山 东 大 学 学 报 (理 学 版) Journal of Shandong University(Natural Science) 2009年12月 Dec.2009 9 矩阵特征值计算 在实际的工程计算中,经常会遇到求n 阶方阵 A 的特征值(Eigenvalue)与特征向量(Eigenvector)的问题。对于一个方阵A,如果数值λ使方程组 Ax=λx 即(A-λI n )x=0 有非零解向量(Solution Vector)x,则称λ为方阵A的特征值,而非零向量x为特征值λ所对应的特征向量,其中I n 为n阶单位矩阵。 由于根据定义直接求矩阵特征值的过程比较复杂,因此在实际计算中,往往采取一些数值方法。本章主要介绍求一般方阵绝对值最大的特征值的乘幂(Power)法、求对称方阵特征值的雅可比法和单侧旋转(One-side Rotation)法以及求一般矩阵全部特征值的QR 方法及一些相关的并行算法。 1.1 求解矩阵最大特征值的乘幂法 1.1.1 乘幂法及其串行算法 在许多实际问题中,只需要计算绝对值最大的特征值,而并不需要求矩阵的全部特征值。乘幂法是一种求矩阵绝对值最大的特征值的方法。记实方阵A的n个特征值为λi i=(1,2, …,n),且满足: │λ1 │≥│λ2 │≥│λ3 │≥…≥│λn │ 特征值λi 对应的特征向量为x i 。乘幂法的做法是:①取n维非零向量v0 作为初始向量;②对于 k=1,2, …,做如下迭代: 直至u k+1 ∞ - u k u k =Av k-1 v k = u k /║u k ║∞ <ε为止,这时v k+1 就是A的绝对值最大的特征值λ1 所对应的特征向∞ 量x1 。若v k-1 与v k 的各个分量同号且成比例,则λ1 =║u k ║∞;若v k-1 与v k 的各个分量异号且成比例,则λ1 = -║u k ║∞。若各取一次乘法和加法运算时间、一次除法运算时间、一次比较运算时间为一个单位时间,则因为一轮计算要做一次矩阵向量相乘、一次求最大元操作和一次规格化操作,所以下述乘幂法串行算法21.1 的一轮计算时间为n2+2n=O(n2 )。 算法21.1 单处理器上乘幂法求解矩阵最大特征值的算法 输入:系数矩阵A n×n ,初始向量v n×1 ,ε 输出:最大的特征值m ax Begin while (│diff│>ε) do (1)for i=1 to n do (1.1)sum=0 (1.2)for j= 1 to n do sum=sum+a[i,j]*x[j] end for 第3章 矩阵特征值与特征向量的计算 一些工程技术问题需要用数值方法求得矩阵的全部或部分特征值及相关的特征向量。 3.1 特征值的估计 较粗估计ρ(A ) ≤ ||A || 欲将复平面上的特征值一个个用圆盘围起来。 3.1.1 盖氏图 定义3.1-1 设A = [a ij ]n ?n ,称由不等式∑≠=≤-n i j j ij ii a a z 1 所确定的复区域为A 的第i 个盖氏图, 记为G i ,i = 1,2,…,n 。 >≤-=<∑≠=}:{1n i j j ij ii i a a z z G 定理3.1-1 若λ为A 的特征值,则 n i i G 1 =∈ λ 证明:设Ax = λx (x ≠ 0),若k 使得∞ ≤≤==x x x i n i k 1max 因为 k n j j kj x x a λ=∑=1 ?∑≠= -n k j j kj k kk x a x a )(λ ?∑∑∑ ≠=≠=≠≤≤= -n k j j kj n k j j k j kj n k j k j kj kk a x x a x x a a 11λ ? n i i k G G 1 =? ∈λ 例1 估计方阵????? ?? ?? ???----=41 .03.02.05.013.012.01 .035.03.02.01.01A 特征值的范围 解: G 1 = {z :|z – 1|≤ 0.6};G 2 = {z :|z – 3|≤ 0.8}; G 3 = {z :|z + 1|≤ 1.8};G 4 = {z :|z + 4|≤ 0.6}。 注:定理称A 的n 个特征值全落在n 个盖氏圆上,但未说明每个圆盘内都有一个特征值。 3.1.2 盖氏圆的连通部分 称相交盖氏圆之并构成的连通部分为连通部分。 孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分。 定理3.1-2 若由A 的k 个盖氏圆组成的连通部分,含且仅含A 的k 个特征值。 证明: 令D = diag(a 11,a 12,…,a nn ),M = A – D ,记 )10(00 0)(2 1 22111222 11≤≤?? ?? ? ? ? ??+??????? ? ?=+=εεεε n n n n nn a a a a a a a a a M D A 则显然有A (1) = A ,A (0) = D ,易知A (ε)的特征多项式的系数是ε的多项式,从而A (ε)的特征 值λ1(ε),λ2(ε),…,λn (ε)为ε的连续函数。 A (ε)的盖氏圆为:)10(,}||||:{)(11≤≤?=≤ -=∑∑≠=≠=εεεεi n i j j ij n i j j ij ii i G a a a z z G 因为A (0) = D 的n 个特征值a 11,a 12,…,a nn ,恰为A 的盖氏圆圆心,当ε由0增大到1时,λi (ε)画出一条以λi (0) = a ii 为始点,λi (1) = λi 为终点的连续曲线,且始终不会越过G i ; 不失一般性,设A 开头的k 个圆盘是连通的,其并集为S ,它与后n – k 个圆盘严格分离,显然,A (ε)的前k 个盖氏圆盘与后n – k 个圆盘严格分离。 当ε = 0时,A (0) = D 的前k 个特征值刚好落在前k 个圆盘G 1,…,G k 中,而另n – k 个特征值则在区域S 之外,ε从0变到1时, k i i G 1 )(=ε与 n k i i G 1 )(+=ε始终分离(严格) 。连续曲线始终在S 中,所以S 中有且仅有A 的k 个特征值。 注:1) 每个孤立圆中恰有一个特征值。 2) 例1中G 2,G 4为仅由一个盖氏圆构成的连通部分,故它们各有一个特征值,而G 1,G 3构成的连通部分应含有两个特征值。 3) 因为例1中A 为实方阵,所以若λ为A 的特征值,则λ也是A 的特征值,所以G 2,G 4矩阵理论3.1 特征值界的估计
矩阵特征值的估计及其应用
并行计算-矩阵特征值计算--
3矩阵特征值与特征向量的计算