大学物理练习三
一．选择题
1．一力学系统由两个质点组成，它们之间只有引力作用。若两质点所受外力的矢量和为零，则此系统 [ ] (A) 动量、机械能以及对一轴的角动量都守恒。 (B) 动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能断定。 (C) 动量守恒，但机械能和角动量守恒与否不能断定。 (D) 动量和角动量守恒，但机械能是否守恒不能断定。
解：[ C ] 按守恒条件：
∑=0i
F 动量守恒，
但∑≠0i M 角动量不守恒， 机械能不能断定是否守恒。
2．如图所示，有一个小物体，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔，该物体原以角速度ω在距孔为R 的圆周上转动，今将绳从小孔往下拉。则物体 [ ] (A)动能不变，动量改变。 (B)动量不变，动能改变。 (C)角动量不变，动量不变。 (D)角动量改变，动量改变。 (E)角动量不变，动能、动量都改变。
解：[ E ] 因对
o 点，合外力矩为0，角动量守恒
3．有两个半径相同，质量相等的细圆环A 和B 。A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀。它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则 [ ]
O
R
(A)A J >B J (B) A J < B J (C) A J =B J (D) 不能确定A J 、B J 哪个大。
解：[ C ] 细圆环的转动惯量与质量是否均匀分布无关
?==220mR dmR J
4．光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O 自由转动，其
转动惯量为3
1m L 2
，起初杆静止。桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同的速率v 相向运动，如图所示。当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度为 [ ] (A)
L v 32. (B) L v 54 (C)L v 76 (D) L
v
98 解：[ C ]
角动量守恒
二．填空题
1．绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t = 0时角速度ω0 =5 rad/s ，t = 20s 时角速
度ω=ω0，则飞轮的角加速度β= ，t=0到t=100s 时间内飞轮
所转过的角度θ= 。
解：因均匀减速，可用t βωω=-0 ，
O v
俯视图
20
/05.020
2.0s rad -=-=∴ωβ
rad
t t 250100)05.0(2
1
100521220=?-+?=+=βω?
2．半径为30cm 的飞轮，从静止开始以2/s rad 的匀角加速度转动，则飞轮 边缘上一点在飞轮转 2400 时的切向加速度a t = ，
法向加速度a n = 。
解：2
/15.05.03.0s m r a t =?==β
βθωr r a n 22==
2
/26.14.0240
360
25.03.022s
m r a n ==????==ππβθ
3．一轴承光滑的定滑轮，质量为M ＝2.00 kg ，半径为R ＝0.100 m ，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m ＝5.00 kg 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为J ＝
22
1
MR ，其初角速度0ω＝ rad/s ，方向垂直纸面向里．定滑轮的角加速度的大小 ，定滑轮的角速度变化到＝0
时，物体上升的高度 。
解法一：
ma T mg =- βJ TR =
βR a =
m
M
R ω02
2
/7.81s
rad mR J mgR =+=
β
解法二：
（1）设在任意时刻定滑轮的角速度为，物体的速度大小为v ，则有v=R .
则物体与定滑轮的系统总角动量为：ωωω2
mR J mvR J L +=+=
根据角动量定理，刚体系统所受的合外力矩等于系统角动量对时间的变化率： dt
dL
M =
,该系统所受的合外力矩即物体的重力矩:M=mgR 所以：2
2
/7.81s rad mR
J mgR dt d =+==
ωβ （2）该系统只有重力矩做功（物体的重力），所以机械能守恒。
m h h mg J mv 22
0201012.62
121-?=???=+ω 4．质量为m 的质点以速度v ?
沿一直线运动，则它对
直线外垂直距离为d 的一点的角动量大小是 。
解：mvd
5．长为L 、质量为M 的匀质杆可绕通过杆一端O 的水平光滑固
定轴转动，转动惯量为3
1ML 2
，开始时杆竖直下垂，如图所示。有一质量为m 的子弹以水平速度0v ?
射入杆上A 点，并嵌在杆
中，OA=2L /3，则子弹射入后瞬间杆的角速度ω= 。
解：系统（子弹+杆）角动量守恒，
ω
])3
2(3[322
2
0l m Ml l mv += =
ωl
m M mv )43(60
+
0v ?
A
O
2l /3 m
6．一长为L 、质量为m 的细杆，两端分别固定质量为m 和2m 的小球，此系统在竖直平面内可绕过中点O 且与杆垂直的水平光滑固定轴(O 轴)转动．开始时杆与水平成60°角，处于静止状态．无初转速地释放以后，杆球这一刚体系统绕O 轴转 动．系统绕O 轴的转动惯量J ＝ 。释放后，
当杆转到水平位置时，刚体受到的合外力矩M ＝______________；角加速度＝________________。
解：
三． 计算题：
1．质量为m ，长度为L 的匀质杆可绕通过其下端的水平光滑固定轴O 在竖直平面内转动，如图。设它从竖直位置由静止倒下，求它倾倒到与水平面成θ角时的角速度ω和角加速度β。
解法一：
取O 点为重力势能零点，杆在倒下过程中只有重力做功,机械能守恒，有：
L mg L mg J 2
1sin 21212
?=?+θω 而 23
1mL J =
O
60°
m 2m
O
θ
2222
6
5)2()2(2ml
l m l m ml J =++=1212
222l
mg
l mg l mg M =-=l
g
J M 53=
=β
所以 L
g )
sin 1(3θω-=
θω
ω
θθωωβd d dt d d d dt d -===
L g L
L g L
2cos 3)
sin -3g(12
cos 3)sin -3g(1 θ
θθθ=
?-?
-=
解法二： 由刚体转动定律：
βJ M = 得
L g mL mgL J M 2cos 33
1cos 21
2θθβ=
==
再由 θω
ωθθωωβd d dt d d d dt d -=== 得
θβωωd d -=
两边积分：??-=θ
πω
θθωω2
cos 23d L g d 得 )sin 1(23212θω-=L
g
则： L
g )sin 1(3θω-=
2．质量为M 1＝24 kg 的圆轮，可绕水平光滑固定轴转动，一轻绳缠绕于轮上，另一端通过质量为M 2＝5 kg 的圆盘形定滑轮悬有m ＝10 kg 的物体。设绳与定滑轮间无相对滑动，圆轮、定滑轮绕通过轮心且垂直于横截面的水平光滑轴的转动
N 惯量分别为21121R M J =，2222
1
r M J =。求当重物由静止开始下降了h ＝0.5 m 时，
(1) 物体的速度； (2)
解：顺时针转向为正：
1M ： 111βJ R T = ⑴1βR a = 2112
1R M J = 2M ： 2212βJ r T r T =- ⑵
2βr a = 2222
1r M J =
m ： ma T mg =-2 ⑶
由⑴得：121121
βR M R T =
a M T 112
1
=
由⑵得： a M T T 21221
=-
a M M T )(2
1
212+=
由⑶得：a M M m mg ??
?
???++=)(2121
)/(4222
2
1s m M M m mg a =++= ah v 22
= )/(2242
1s m M M m mgh
v
=++=
N
a M M M m mg M T 482
1
212111==++=
N a g m M M m mg
M M T 58)(2)(2
1212=-=+++=
3．长为l 的匀质细杆，可绕过杆的一端O 点的水平光滑固定轴转动，开始时静止于竖直位置。紧挨O 点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l ，摆球质量为m 。若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止。求：
(1) 细杆的质量。 (2) 细杆摆起的最大角度。
解：（1）单摆下落过程机械能守恒：
mgl
mv =2
2
1 gl v 2=?
碰撞过程角动量守恒：ω
23
1Ml mvl = 碰撞过程能量守恒：
2
22312121ω??=Ml mv ω
ωmvl Ml mv =?=2
22
3
1 ωl v =
O θ
M
m
l
l
则细杆的质量：
m M 3=
（2）细杆摆动过程机械能守恒：
)cos 1(2
1
312122θω-?=??l Mg Ml 即
：
mgl mv l Mg Ml ==-?=??2
222
1)cos 1(213121θω 则：31
arccos 1cos =?=θθ3
4. 一圆盘的质量为m 2、半径为R 可绕固定的过圆心的水平轴O 转动，原来处于静止状态，现有一质量为m 1，速度为v 的子弹嵌入圆盘的边缘，如图所示。求： （1）子弹嵌入圆盘后，圆盘的角速度ω；
（2）由子弹与圆盘组成的系统在此过程中的动能增量。 解：（1）子弹与圆盘碰撞过程角动量守恒：
ω
)21(2
1221R m R m vR m +=
（2）