三角函数恒等变换
()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ
αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2
1cos2sin 2
2tan tan 21tan 令 ＝
＝
αβαβαβαβααα
αααβα
αβααβα
αα
αα=±=???→=-↓=-=-±±=
?-↓=
-m m
说明：和差角公式和二倍角公式主要用于诱导公式无法使用的复合角求值问题，对于已知部分，要尽量和所求部分找出角度之间的关系。公式优先级：二倍角》诱导公式》和差角。 题型一，和差角公式的直接应用
分为展开计算和合并计算两类。对于展开计算即给角求角问题，无论所给的是否为单角，一律看成单角并用其凑出所求角；合并计算针对于给出正余弦的和差式，要想法朝角度的和差角展开式式凑，具体为先统一为两角再合并。 1计算：
（1）??+??20sin 80sin 20cos 80cos = ； （2）??+??55cos 10cos 35cos 80cos = ；
（3）cos 5πcos 103π-sin 5πsin 103π＝ ；
（4）－sin 3πcos 6π+sin 6πcos 3π
=__________；
（5） sin 2πcos 6π－cos 2πsin 6π
= _________ ；
（6）cos 3πcos 6π+sin 6πsin 3π
=____________；
（7）cos 4πcos 2π－sin 2πsin 4
π
=_____________；
2，已知4sin 5α=
，,,2παπ??∈ ???5cos ,13
ββ=-是第三象限角，求()cos αβ-的值。
3，已知sin α=53
，cos β=13
12求cos(α-β)的值。
4，化简：
（1），cos(2x －4π)cos χ+sin(2x －4π
)sin x =_______； （2），－sin(x －3π)sin(3x +6π)－cos(3x +6π)cos(x －3π
)=______；
（3），cos(x －12π)sin(2x －6π)－sin(x －12
π)cos(2x －6π
)=_____；
（4），cos(2x －3π)cos(x +6π)－sin(2x －3π)sin(x +6π
)=_________；
（5），-sin(2x +8π)cos(x -8π)+cos(2x +8π)sin(x -8π
)=___________；_
（6），sin(x +4π)cos2x -cos(x +4
π
)sin2x =-_______。
5，已知3
2
4sin =???
?
?+πα，求sin α。
6，已知2112sin =???
?
?+πα，求??? ?
?
+3cos πα。
7，已知212tan =??
?
?
?+
πx ，求 （1）??
?
?
?+3tan πx ；（2)??
?
?
?-
6tan πx ；（3）??
?
?
?-
6sin πx 。
题型二，二倍角公式
先找出未知角之间有无倍数关系，确定公式的应用。倍数关系高于其他所有公式。 二倍角公式的主要作用在于升降次和连乘问题。 1，计算：
（1）sin22?30’cos22?30’= ； （2）=π
πππ12
cos 24cos 48cos 48sin 8 ； （3）=π
-ππ+π)12
5cos 125)(sin 125cos 125(sin ； （4）=π
πππ12
cos 24cos 48cos 48sin 8 ； （5）=α
-α2
sin 2cos
44
。
2，若
25π≤α≤2
7π，则ααsin 1sin 1-++等于( ) A.2cos
B.2cos 22
C.2sin
D.2sin
22
αα
αα
--
3，4cos 2sin 22+-的值等于( )
Ａ，sin2 Ｂ，－cos2 Ｃ，3 cos2 Ｄ，－3cos2
4，已知sin ｘ＝215-，则sin2（ｘ－4
π
）的值等于 。
5，已知5sin()(0),4134
ππαα-=<<。
6，求证：
θ
θ
θθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=
-+。
7，sin6°cos24°sin78°cos48°的值为 。
8，9
4cos
93cos 92cos
9
cos π
πππ
的值等于 。
常用配角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，
2()()αβαβα=+--，22
αβ
αβ++=?
，
(
)()
2
2
2αβ
β
ααβ+=-
--
等），
4、821
.,sin ,cos(),cos .1729
αβααββ=-=已知为锐角，求的值 5，
12
cos ,sin ,,0,cos .2923222βαππαβαβαπβ+????-=--=<<<< ? ?????
已知且求
题型三，三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
1、已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4
π
α+的值是_____
2、已知02
π
βαπ<<<<，且129cos()β
α-
=-，2
23
sin()αβ-=，求cos()αβ+
3、已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5
αβ+=-，则y 与x 的函数关系为_____
考点四，三角函数名互化(切割化弦)，
1、
求值sin 50(1)o o
2、已知sin cos 2
1,tan()1cos 23
αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值
1、已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____
2、设ABC ?
中，tan A tan B Atan B +=
，sin Acos A =，则此三角形是____三角形
3tan
tan
tan
tan
;12
6
12
6
π
π
π
π
++?例、
针对性练习
tan111tan114tan111tan114?+?+???
考点五、公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±m 。
例4、tan18tan 42tan 42?+?+???
针对性练习
tan()tan()tan()tan()6666x x x x ππππ?-++++?-??
考点六、“1”的变换（22
1sin cos x x =+，
例1、已知tan 2α=，求2
2
sin sin cos 3cos αααα+-
例2、化简下列各式
1sin 2cos 21sin 2cos 22.(1)
;(2)
1sin 2cos 21sin 2cos 2θθθθ
θθθθ
+--+++--化简：
针对性练习
1
sin cos ,0,sin 2cos 2.3
x x x x x π+=<<1.已知求和
考点七，整体代换：两式相加减，平方相加减
34
1.sin sin ,cos cos ,cos().55
αβαβαβ+=+=-例已知求
针对性练习
1、11
cos sin ,sin cos ,sin().23
αβαβαβ+=
-=-已知求
2、sin sin sin 0,cos cos cos 0,cos()αβγαβγαβ++=++=-已知求
13
2.cos(),cos(),tan tan .55
αβαβαβ+=-=例已知求的值
针对性练习 1、11tan sin(),sin(),.23tan ααβαββ
+=-=已知求的值
考点八、三角函数次数的降升(降幂公式：2
1cos 2cos
2αα+=
，2
1cos 2sin 2
αα-=与升幂公式：2
1cos 22cos α+=，2
)。
例1、若32(,)αππ∈为_____
例2、函数2
5f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间为
练习
A 组
一、选择题：
1、 =-0
15cot 15tan （ ） A.2 B.32+ C.4 D. 32-
2．已知θ是第三象限的角，若sin cos sin 4
4
5
9
2θθθ+=
，则等于（ ） A.
22
3
B. -
223 C. 4
3
D. -
2
3
3．020
3sin 702cos 10--=（ ）A. 12
C. 2 4．函数)3
cos(cos π
-
?=x x y 的最小正周期是
（ ）
（A ）π2
（B ）π
（C ）
2
π
（D ）
4
π 5．若παπ223
<<，则
α2cos 2
1212121++等于
（ ）
（A ）2
sin
α
（B ）2
cos
α
（C ）2
cos
α
-
（D ）2
cos
α
±
6．若f (sinx )＝2－cos 2x ，则f (cosx )＝（ ）
A .2－sin 2x
B .2＋sin 2x
C .2－cos 2x
D .2＋cos 2x
7．已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）
二.填空题:
8．已知βα,均为锐角，且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 .
9已知，且，则的值为sin cos cos sin θθπθπ
θθ?=
<<-1842。 10已知1sin cos 5θθ+=，且324
θππ
≤≤，则cos2θ的值是 ________ ．
11．已知函数)cos(3)sin()(θθ-++=x x x f 为偶函数，θ的值是 。 三、解答题：
12．已知α为第二象限角，且 sin α=,415求1
2cos 2sin )
4sin(+++ααπ
α的值. 13．已知22,534cos αππα<
≤=???
?
?
+
求??? ?
?
+42cos πα的值 14．已知21)tan(=β-α，7
1
tan -=β，)0,(,π-∈βα，求β-α2的值。
B 组
一、选择题 1．已知(,0)2
x π
∈-，4
cos 5
x =
，则=x 2tan （ ） A ．
247 B ．247- C ．7
24 D ．724-
2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ）
A.
5π B.2
π
C.π
D.2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形 D
．无法判定 4．设0
sin14cos14a =+，0
sin16cos16b =+，c =
，则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b
a c << C ．c
b a << D ．a
c b << 5．函数)cos[2()]y x x ππ=
-+是（ ）
A.周期为
4π的奇函数 B.
周期为4π
的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2
π
的偶函数
6．已知cos 23
θ=
，则44
sin cos θθ+的值为（ ） A ．
1813 B ．18
11
C ．97
D ．1-
二、填空题
1．求值：0
tan 20tan 4020tan 40+=_____________。
2．若
1tan 2008,1tan αα+=-则1
tan 2cos 2αα
+= 。
3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。
4．已知sin
cos
2
2
3
θ
θ
+=
那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。 5．ABC ?的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2
B C
A ++取得最大值，且这个最大值为 。 三、解答题
1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.
2．若,2
2
sin sin =
+βα求βαcos cos +的取值范围。 3．求值：0
01000
1cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20
-+--
4．已知函数.,2
cos 32sin
R x x
x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合；
（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象.