中考数学十大解题思路之反证法
一、选择题
1否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（）
A.有一个解
B.有两个解 C .至少有三个解D .至少有两个解
［答案］C
［解析］在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+ 1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至
少有三个解”
故应选C.
2?否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为（）
A. a、b、c都是奇数 B . a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C. a、b、c都是偶数 D . a、b、c中至少有两个偶数
［答案］B
［解析］a, b, c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一
个奇数，两
个偶数；④三个偶数.因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B.
3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（）
A.假设三内角都不大于60° B .假设三内角都大于60 °
C.假设三内角至多有一个大于60° D .假设三内角至多有两个大于60°
［答案］B
［解析］“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”.故应选B.
4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+ bx+ c = 0（a工0）有有理根，那么a, b, c中至少
有一个是偶
数”
下列假设正确的是（)
时，
A.假设a, b, c都是偶数 B .假设a、b, c都不是偶数
C.假设a, b, c至多有一个偶数 D .假设a, b, c至多有两个偶数
［答案］B
9.用反证法证明命题在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应先假设（)
［解析］"至少有一个”反设词应为"没有一个”，也就是说本题应假设为a, b, c都不是偶数.
5.命题“△ ABC中，若/ A>/ B,则a>b”的结论的否定应该是（）
A. a b
［答案］B
［解析］“a>b”的否定应为“ a = b或a 6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”,乙 说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的， 则获奖的歌手是（） A.甲 B.乙 C.丙 D. 丁 ［答案］C ［解析］因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手.故应选C. 7.用反证法证明命题三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（） A.有一个内角大于60° B. 有一个内角小于60° C. 每一个内角都大于60° D.每一个内角都小于60° ［答案］C ［解析］用反证法证明三角形中必有一个内角小于或等于60° ”时，应先假设三角形中每一个内角都不 小于或等于60 ° ,即都大于60° . 8.用反证法证明命题’一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（） A.有两个角是直角 B. 有两个角是钝角 C. 有两个角是锐角 D. 一个角是钝角，一个角是 直角 ［答案］A ［解析］用反证法证明’一个三角形中不能有两个角是直角”，应先设这个三角形中有两个角是直角. A.有一个锐角小于45° B.每一个锐角都小于45° C.有一个锐角大于45° D.每一个锐角都大于45° ［答案］D ［解析］用反证法证明命题在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°时，应先假设每一个锐角都 大于45。. 10.在证明在厶ABC中至少有两个锐角”时，第一步应假设这个三角形中（） A.没有锐角 B.都是直角 C.最多有一个锐角 D.有三个锐角 ［答案］C ［解析］用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，应先假设同一三角形中最多有一个锐角. 11.用反证法证明：’一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设（） A. —个三角形中至少有两个钝角 B. 一个三角形中至多有一个钝角 C. 一个三角形中至少有一个钝角 D. 一个三角形中没有钝角 ［答案］A ［解析］从结论的反面出发进行假设，证明一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角. 12.用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90° ,应先假设（） A.四边形中有一个内角小于90° B.四边形中每一个内角都小于90° C.四边形中有一个内角大于90° D.四边形中每一个内角都大于90° ［答案］B ［解析］用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°应先假设：四边形中的每个角都小于 90 ° 13 ?用反证法证明一个三角形中至少有两个锐角”时，下列假设正确的是（） A.假设一个三角形中只有一个锐角 B.假设一个三角形中至多有两个锐角 C.假设一个三角形中没有一个锐角 D.假设一个三角形中至少有两个钝角 ［答案］D ［解析］用反证法应先假设一个三角形中最多有一个锐角"或者假设一个三角形中至少有两个钝角. 14.用反证法证明命题三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是（） 9.用反证法证明命题在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应先假设（) A.三角形中最少有一个角是直角或钝角 B.三角形中没有一个角是直角或钝角 C.三个角全是直角或钝角 D. 三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角 ［答案］D ［解析］假设正确的是：假设三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角. 二，填空题 1.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________ . ［答案］没有一个是三角形或四边形或五边形 ［解析］“至少有一个”的否定是“没有一个” 2?用反证法证明命题“a, b是自然数N, ab可被5整除，那么a, b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是__________________ . ［答案］a, b都不能被5整除 ［解析］“至少有一个”的否定是“都不能”. 3?用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①/ A+Z B+Z C= 90° + 90°+/ 0180°,这与三角形内角和为180。相矛盾，则/ A=Z B= 90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设Z A, / B,Z C中有两个角是直角，不妨设Z A=Z B= 90° . 正确顺序的序号排列为______________ . ［答案］③①② ［解析］由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即 顺序应为③①②? 4.若a〃b, b II c, 证明a II c.用反证法证明的第一步是假设a与c不平行 5.对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设对角线不互相平分的 四边形是平行四边形 6.用反证法证明三角形中最多有一个是直角或钝角 ___ ” 8.用反证法证明：多边形的内角中锐角的个数最多有三个的第一步应该是: 假设多边形的内角中锐 时应假设 7.用反证法证明四边形的四个内角不能都是锐角”时，应首先假设四边形的四个内角都是锐角______ 8.用反证法证明：多边形的内角中锐角的个数最多有三个的第一步应该是: 假设多边形的内角中锐 角的个数最少是4个. 9?用反证法证明命题三角形中最多有一个是直角”时，可以假设为三角形中最少有两个角是直角? 10.用反证法证明在△KBC中，至少有一个内角小于或等于60。时，第一步是假设SBC中，每一个 内角都大于60°? 11.用反证法证明命题一个三角形的三个内角中，至多有一个钝角"的第一步应假设一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角? 12.反证法”证明命题等腰三角形的底角是锐角”时，是先假设等腰三角形的两底都是直角或钝角? 三、解答题 1.已知：a+ b+ c>0, ab+ be + ca>0, abc>0. 求证：a>0, b>0, c>0. 证明：用反证法：假设a, b, c不都是正数， 由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设a<0, b<0, c>0，则由a+ b+ c>0, 可得c>—(a + b), 又a + b<0,二c(a + b)< —(a + b)(a + b) ab+ c(a + b)< —(a + b)(a + b) + ab 即ab+ bc + ca<—a —ab —b 2 2 2 2 2 2 -a >0, ab>0, b>0,.. —a —ab —b = —(a + ab + b )<0 ，即卩ab + bc + ca<0, 这与已知ab+ bc+ ca>0矛盾，所以假设不成立. 因此a>0, b>0, c>0成立. 2?用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角. 证明：①设等腰三角形底角/ B，/ C都是直角， 则/ B+ / C=180，而/ A+ / B+ / C=180 + / A > 180°这与三角形内角和等于180°矛盾. ②设等腰三角形的底角/ B ,ZC都是钝角， 则/ B+ / C> 180°而/ A+ / B+ / C=180，这与三角形内角和等于180°矛盾. 综上所述，假设①，②错误，所以/ B ,Z C只能为锐角. 故等腰三角形两底角必为锐角 3.用反证法证明：一条线段只有一个中点. 证明：假设线段AB有两个中点M N,不妨设M在N的左边， 贝U AMC AN,又AM=AB=AN=AB,这与AMK AN矛盾， \2 M 所以一条线段只有一个交点 4.用反证法证明："在一个三角形中，外角最多有一个锐角” 证明：假设三角形中的外角有两个角是锐角. 根据三角形的外角与相邻的内角互补，知：与这两个角相邻的两个内角一定是钝角，大于90 则这两个角的度数和一定大于180度，与三角形的内角和定理相矛盾. 因而假设错误. 故在一个三角形中，外角最多有一个锐角.
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