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专题训练求二次函数的解析式
一、已知三点求解析式
1.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点，求它的开口方
2.
3.
4.
5.
6.
7.
线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N.（1）求抛物线C的解析式；（2）求点M的坐标；
8.已知：如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点.求此抛物线的解析式.
9.如图所示，求此抛物线的解析式。
10.如图，抛物线c bx x y ++-=2
2
1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3．求抛物线的解析式．
11．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过点A （－1，0），C （0，
4）.
（1（212.. 13.3）.
和y 二、已知顶点或对称轴求解析式
1.在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A （1，－4），且过点B （3，0），求该二次函数的解析式.
2.已知二次函数图象的顶点是（1，－3），且经过点M （2，0），求这个函数的解析式.
3.如果抛物线的顶点坐标是（3，－1），与y 轴的交点是（0，－4），求它的解析式。
4.已知抛物线y ＝x 2＋kx ＋k ＋3，若抛物线的顶点在y 轴上，求此抛物线的解析式。
5.已知抛物线经过点A （1，0），B （0，3），且对称轴是直线x ＝2，求该抛物线的解析式.
6.已知某二次函数，当x =3时，函数有最小值－2，且函数图象与y 轴交于)2
5
,0(，求此二次函数的解析式。
7.
8.9.10.直线x ＝1的函
11.如图，已知抛物线的顶点为A （1，
4），抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C ，D 两点.P 是x 轴上的一个动点.（1）求此抛物线的解析式；（2）当P A ＋PB
的
1 0 1
2
3 10
5
2
1
2
值最小时，求点P的坐标.
12.已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式
三、已知抛物线与x轴的交点求解析式
1.抛物线与x轴交于点（－1，0）和（3，0），与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的解析式。
2..求这
3.
4.，0），且3AB＝
5.2，－4
值.
1.一个二次函数图象的形状与抛物线y＝－2x相同，顶点坐标为（2，1），则这个函数的解析式
2.把抛物线y=x2沿直线y=x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，求平移后抛物线的解析式
3.把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图所示的二次函数的图象.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标
相交于
4.如图，经过点A （0，－6）的抛物线c bx x y ++=22
1
与x 轴B （－2，0），C 两点.
）个.
二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考 试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2 -3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2 +bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2 +bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2 +8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2 +8x-9 的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y=x x 23 2 12 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2 +k.在本题中可设y=a(x+1)2 +4. 再将点(1,2)代入求得a=-21
∴y=-, 4)1(21 2++x 即y=-.27 2 12+ -x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函 数 ,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(2 2--=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2 +bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d= a ? 就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2 +8x-6. 六、识图型 例 6 如图1， 抛物线y=c x b x +++)2(212与y=d x b x +-+)2(212 其中一条的顶点为P ，
用待定系数法解二次函数 解析式教案 Prepared on 24 November 2020
宝坻区中学课堂教学教案
教学教学内容教师活动学生活动 例题讲解合 作 探 究 通过例题讲解让学生 熟悉二次函数解析式的求 法。 例1、已知一个二次函数 的图象过点三点，求这个 函数的解析式 例2、已知抛物线的顶点 为，与轴交点为求抛物线 的解析式 例3、已知抛物线与轴交 于并经过点，求抛物线的 解析式 教师出示问题，引导让学 生先以小组为单位自学、 讨论。 师板书：根据题意 a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 去解这个三元一次方程组 得： a=2，b=-3，c=5； 所求二次函数 5 3- 22+ =x x y 师分析：二次函数y＝ax2 ＋bx＋c通过配方可得y ＝a(x-h)2＋k的形式称为 顶点式，(h，k)为抛物线 的顶点坐标，因为这个二 次函数的图象顶点坐标是 -1，-3)，因此，可以设 函数关系式为：y＝ a(x+1)2-3 由于二次函数的图象过点 (0，-5)，代入所设函数 关系式，即可求出a的 值。 师：二次函数y＝ax2＋bx ＋c与x轴的两个交点为 所以应设二次函数y=a （x-x1）（x-x2） （a≠0）再把01 M（，） 代入求a的值。 锻炼学生会根据题目中不 同条件设不同的解析式的 能力。 学生动手自主操解出二次函 数解析式 锻炼学生的计算能力
教学环节教学内容教师活动学生活动 巩固提升达标检测课堂小结1.已知二次函数当x＝－3时， 有最大值－1，且当x＝0时，y ＝－3，求二次函数的关系式。 1.已知抛物线的顶点坐标为(－ 1，－3)，与y轴交点为(0，－ 5)，求二次函数的关系式。 2．函数y＝x2＋px＋q的最小值 是4，且当x＝2时，y＝5，求 p和q。 3．若抛物线y＝－x2＋bx＋c的 最高点为(－1，－3)，求b和 c。 4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋ c的图象经过A(0，1)，B(－ 1，0)，C(1，0)，那么此函数 的关系式是______。如果y随x 的增大而减少，那么自变量x 的变化范围是______。 5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋ c的图象过A(0，－5)，B(5， 0)两点，它的对称轴为直线x＝ 2，求这个二次函数的关系式。 小结：让学生讨论、交流、归 纳得到：已知二次函数的最大 值或最小值，就是已知该函数 顶点坐标，应用顶点式求解方 便，用一般式求解计算量较 大。 教师与学生一起回顾本节课内容， 并请学生回答：想一想,你的收获是 什么困惑有哪些说出来,与同学们分 享。 1． 让学生体验用不 同的方法解决问 题。 教师适时引导、 点拨，然后由小 组推荐学生板书 问题，其他小组 学生评价。 让学生理清求二 次函数 c bx ax y+ + =2 解析式的研究内 容和方法，让学 生会分析问题、 解决问题的方 法。 学生在自主探究的 基础上，尝试解决 问题。 学生梳理本节课学 习内容，方法及获 得结果，感受过程 体验成功。
求二次函数解析式的四种基本方法 二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2 +bx+c (a ≠0)。 2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。 3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。 4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0) 求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。 4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。 探究问题，典例指津： 例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。 解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：?????=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：?? ???-===432c b a ∴这个二次函数的解析式为y=2x 2 +3x －4。 例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。 分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。 解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2 －1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考 试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2 -3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2 +bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2 +bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2 +8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2 +8x-9 的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23 212 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2 +k.在本题中可设y=a(x+1)2 +4.
再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-, 4)1(21 2++x 即y=-.27 2 12+ -x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函 数 ,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(2 2 --=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2 +bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d= a ? 就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2 +8x-6. 六、识图型
二次函数解析式的几种求法 初三《数学》“函数及其图象”的难点是二次函数，其重点是求函数的解析式。近几年全国各省市初中毕业会考、中考等，大都有求函数解析式这类题目出现。为使学生更好地掌握这部分知识，就如何求二次函数解析式的问题，谈谈下面几种方法。 一、 已知三点求二次函数的解析式 当已知二次函数的图象经过三已知点时，通常把这三点的坐标 代入一般式c bx ax y ++=2中，可得以a 、b 、c 为未知数的三元方程组，解此方程组求得a 、b 、c 的值再代入一般式可得所求函数解析式。 例1、已知二次函数的图象经过点A )2 3,2(-、B )6,7(、C )30,5(-，求这个二次函数的解析式。 解：设这个二次函数的解析式为c ba ax y ++=2，则由题意得： ???????=+-=++-=++3052567492324c b a c b a c b a 解这个方程组，得21=a ，3-=b ，25=c . 故所求的二次函数的解析式为2 53212+-=x x y . 二、已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式 当已知顶点坐标、对称轴、或极值时，可设其解析式为n m x a y +-=2)(（即顶点式）较为简便。 例2、已知二次函数图象的顶点为（2，5），且与y 轴的交点的 纵坐标为13，求这个二次函数的解析式。 解：设这个二次函数的解析式为5)2(2+-=x a y . ∵它与y 轴的交点为（0，13）， ∴135)20(2=+-a ， ∴2=a 故 所求的解析式为5)2(22+-=x y . 即 13822+-=x x y 例3、已知二次函数的图象过点（－1，2），对称轴为1=x 且最小值为－2，求这个函数的解析式。 解：由题设知抛物线的顶点为（1，－2），因此，设所求二次函
精心整理 精心整理 专题1-用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的解析式常见的三种表达形式： 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0） 顶点式：y=a(x －h)2+k （a ≠0，（h ，k ）是抛物线的顶点坐标） 交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)（a ≠0，x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标） 例1.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点坐标为（－2，4），且经过原点，求二次函数解析式. 求二次4例2x=－1x=－11. 2.3.4.二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式 6.抛物线的顶点为（－1，－8），它与x 轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。 7.二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 8.把二次函数25 3212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的
精心整理 精心整理 解析式。 9.二次函数y=ax 2+bx+c ，当x ＜6时y 随x 的增大而减小，x ＞6时y 随x 的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x 轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。 10.已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1--）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。 11.已知二次函数图象的顶点为（2,k ）,在一次函数y=x+1上，并且点（1,1）在图像上，求此二次函数解析式 12.已知二次函数y=ax 2-2ax+c(a 不为0)的图像与x 轴交于A 、B 两点，A 左B 右，与y 轴正半轴交于点C ，AB=4，OA=OC,求二次函数的解析式 13. 2且x 114.3,0）， （1Q 点坐15（1（2）
二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考 试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代 入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系 数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过A 点， 且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23212 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.
再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-,4)1(212++x 即y=-.272 12+-x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函 数,122+-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移 两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(22--=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为 2，求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=a ?
求二次函数解析式分类练习题 类型一：已知顶点和另外一点用顶点式 例1、已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数关系式． 练习： 1．已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10），求其解析式 类型二：已知图像上任意三点（现一般有一点在y轴上）用一般式 例2、已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式． 练习： 1、已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．求解析式 类型三：已知图像与x轴两个交点坐标和另外一点坐标，用两根式 例3、已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 练习：已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）． （1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）.写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）.这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 巩固练习： 1、已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．
2、 已知二次函数的图象过（3，-2）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 3、已知二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 。若AC=20,BC=15, ∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式 4、已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式． 小测： 1、二次函数y=0.5x 2-x-3写成y=a(x-h)2+k 的形式后,h=___,k=___ 2、抛物线y=－x 2－2x ＋3的开口向 ，对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y 最__值 = ,与x 轴交点 ,与y 轴交点 。 3、二次函数y=x 2－2x －k 的最小值为－5，则解析式为 。 4、已知抛物线y=x 2+4x+c 的的顶点在x 轴上，则c 的值为_________ 6、抛物线 的顶点是(－2,3)，则m= ,n= ;当x 时,y 随x 的增大而增大。 7、已知二次函数 的最小值 为1，则m= 。 8、m 为 时，抛物线 的顶点在x 轴上。 9、已知一个二次函数的图象经过点(6,0), 且抛物线的顶点是(4,－8)，求它的解析式。 10、已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1，且通过点(2,8). 1．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式； 2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式． 3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式． 4． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。 5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝－1时有最小值－4，且图象在x 轴上截得线段长为 4，求函数解析式． 6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 7.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 8. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴相切．(1)求二次函数的解析式。 n m x y ++=2)(2m x x y +-=624 22++=mx x y
待定系数法求二次函数解析式的十种类型 一、 三点型----一般式 y=ax2+bx+c 即已知抛物线经过确定的三点,求其解析式.这时可以设解析式为标准形式y=ax 2+bx+c 然后将三点坐标代入解析式得三元一次方程组,求出a 、b 、c 即得解析式 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故 所求函数解析式为y=2x 2-3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析 式y=ax 2+bx+c. 二、交点型----交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 即已知抛物线与X 轴的两个交点的坐标A(x 1 ,0 ) ,B(x 2, 0) 或交点间的距离及对称轴,求抛物线的解析式.这时可以设解析式为y=a(x —x 1)(x — x 2),求出a 即得解析式 例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9 的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23212-. 三、顶点型------y=a(x-h)2 +k 即已知抛物线的顶点坐标( h, k ),求其解析式.这时可设解析式为顶点形式 y=a ( x —h )2 +k ，求出a 、k 可即得解析式 。 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(h,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-,4)1(212++x 即y=-.272 12+-x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型 左加右减自变量，上加下减常数项 例 4 二次函数y=x 2+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(22--=++x c bx =x .662+-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型（设两根为x1, x2, 则弦长=|x1-x2|
求二次函数的解析式的几种方法 山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉 二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。 一、二次函数常见的三种表达式： （1）一般式：y ax bx c a =++≠2 0()； （2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点； （3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。 二、利用待定系数法求二次函数关系式 (1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。 例1、已知抛物线2 y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=??-+=-??=-? 解之得1, 4,3,a b c =-??=??=-? 所以抛物线为2 43;y x x =-+- 说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解． (2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。 若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，， ，则相当于方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而2 12()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为 12()()(0)y a x x x x a =--≠． 例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式． 解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-． 又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =． 因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即2 23y x x =--． 说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号． (3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0) 例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。 解：设所求解析式为y =a (x -h )2+k ， 由已知得 y =a (x +2)2-1 ∴ a (1+2)2-1=0 1 9 a ∴= ∴()2 1219y x =+-即2145999 y x x =+-
专题复习一、待定系数法求解析式 1、根据条件求二次函数的解析式 （1）抛物线过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点； （2）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点； （3）已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点 （4）二次函数的图象经过点（－1，0），（3，0）， （1，－2），求抛物线的解析式。 且最大值是3。 （5）抛物线在x 轴上截得的线段长为4，且顶点坐标 （6）已知抛物线的对称轴平行于y 轴，顶点为M 是（3，－2）； （2，—3），且过点（0，1）。 2、如图，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D. （1）、求二次函数的解析式，并求此二次函数的顶点坐标. （2）、求D 点的坐标. （3）、求一次函数的表达式. （4）、根据图象写出当二次函数值0≥y 时，x 的取值范围是 .当 二次函数值3≥y 时，x 的取值范围是 。 (5)、根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围 .
3．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如下图所示的坐标系。（1）求抛物线的表达式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？ 4、某商场经营一批进价为3元一件的小商品，物价部门规定此种商品每件售价不得高于7元，在销售中发现此商品的日销售单价x （元）与日销售量y （件） 间有如下关系： x （元） 4 5 6 7 y （件） 16 14 12 10 ⑴根据上表提供的数据，在坐标系中画出y 与x 的函数图象,猜测并确定．．．．． 日销 售量y （件）与日销售单价x （元）间的函数关系式； ⑵设经营此商品的日销售利润为P 元，试写出日销售利润P （元）与日销售单 价x （元）的函数表达式，并求出日销售单价为多少元时，才能获得最大日销 售利润，最大日销售利润为多少元？ 5、如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB ＝3，AD ＝5．若矩形以每秒2个单位长 度沿x 轴正方向作匀速运动．同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A －B －C －D 的路线作匀速运动．当P 点运动 到D 点时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动． （1）求P 点从A 点运动到D 点所需的时间； （2）设P 点运动时间为t （秒）。求：①当t ＝5时，求出点P 的坐标； ②若⊿OAP 的面积为s ，试求出s 与t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量t 的取值范围）． x y B C A P O
精心整理 专题训练求二次函数的解析式 一、已知三点求解析式 1.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点，求它的开口方 2. 3. 4. 5. 6. 7. 线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N.（1）求抛物线C的解析式；（2）求点M的坐标； 8.已知：如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点.求此抛物线的解析式.
9.如图所示，求此抛物线的解析式。 10.如图，抛物线c bx x y ++-=2 2 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3．求抛物线的解析式． 11．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过点A （－1，0），C （0， 4）. （1（212.. 13.3）. 和y 二、已知顶点或对称轴求解析式 1.在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A （1，－4），且过点B （3，0），求该二次函数的解析式. 2.已知二次函数图象的顶点是（1，－3），且经过点M （2，0），求这个函数的解析式.
3.如果抛物线的顶点坐标是（3，－1），与y 轴的交点是（0，－4），求它的解析式。 4.已知抛物线y ＝x 2＋kx ＋k ＋3，若抛物线的顶点在y 轴上，求此抛物线的解析式。 5.已知抛物线经过点A （1，0），B （0，3），且对称轴是直线x ＝2，求该抛物线的解析式. 6.已知某二次函数，当x =3时，函数有最小值－2，且函数图象与y 轴交于)2 5 ,0(，求此二次函数的解析式。 7. 8.9.10.直线x ＝1的函 11.如图，已知抛物线的顶点为A （1， 4），抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C ，D 两点.P 是x 轴上的一个动点.（1）求此抛物线的解析式；（2）当P A ＋PB 的 1 0 1 2 3 10 5 2 1 2
二次函数解析式的8种求法 二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉： 一、定义型： 此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次． 例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ． 解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1 由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3 ∴ m = 3 ． 二、开放型 此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ． 分析：根据给出的条件，点A 在y 轴上，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2 中的C =3，且a ≠0即可∴32++=χχy （注：答案不唯一） 三、平移型： 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．
例3、二次函数 2 53212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的． 解：Θ253212++= χχy = ()232 12-+χ， ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的． 这两类题目多出现在选择题或是填空题目中 四、一般式 当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2 ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值； 五、顶点式 若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数； 六、两根式 已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，， ，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值． 例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式： 1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5） 2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5） 3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－ 29） 解：1、设二次函数的解析式为：c b a ++=χχγ2，依题意得：
??? ?? 待定系数法求二次函数解析式（讲义） 一、【基础知识精讲】 (一）、中考导航图 1.二次函数的意义; 2.二次函数的图象; 3.二次函数的性质?? ????? 顶点 对称轴 开口方向增减性 顶点式：y=a(x-h) 2 +k(a ≠0) 4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 两根式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) 5.二次函数与一元二次方程的关系。 6.抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象与a 、b 、c 之间的关系。 （二）、中考知识梳理 1.二次函数的图象 在画二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b 2a )2+ 4a 2 4ac-b 的形式,先确定顶点(-b 2a ,4a 2 4ac-b ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求 得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由a 的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y 随x 的增大而减小;在 对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b 2a 时,y 最小值=4a 2 4ac-b ;反之 当a
求二次函数解析式的基本方法及练习题 二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。 2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。 3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。 求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。 探究问题，典例指津： 例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。 解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：?????=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：?? ???-===432c b a ∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。 例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。 分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。 解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。 ∴a(0－4)2－1=3 ∴a= 4 1 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=4 1x 2－2x+3。
待定系数法求解析式 一、知识要点 近年高频考点中考频率所占分值 1、用待定系数法求解二次函数解析式 5~10分 1、设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数解析式 2、设顶点式y＝a(x－h)2＋k _用待定系数法求二次函数解析式 3、设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)_用待定系数法求二次函数解析式 知识点回顾： 二次函数的表达形式有那些？ 二、知识要点详解 1、知识点一：设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数的解析式 什么叫做待定系数法？ 一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 根据定义待定系数法求二次函数的解析式步骤如下： （1）、找出符合方程的点； （2）、根据相应的点设不同形式的函数方程； （3）、将相应点的坐标带入（2）步骤所设的函数方程得到关于系数关系的方程或方程组； （4）、解出方程或方程组得到相应的系数 （5）、将系数带入所设方程得到二次函数的解析式
如题： 二次函数的顶点为（2,1），函数图像经过点（1,0），求此二次函数的解析式。 解：∵二次函数的定点为（2,1）找点（1）∴设二次函数的解析式为： y＝a(x－2)2＋1 根据相应的点设立方程（2）∵点（1,0）在函数图像上，即（1,0）满足方程y＝a(x－2)2＋1 ∴0＝a(1－2)2＋1 将点带入得方程（3） 解之得：a=-1 解方程（4） ∴二次函数解析式为：y＝-(x－2)2＋1 将所求系数代入得方程解析式（5） 一般式y＝ax2＋bx＋c的求解方法： 若是已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，代入方程求得解析式 例题一 1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为____________． 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式． 3．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( ) A．y＝2x2＋x＋2B．y＝x2＋3x＋2 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋2 4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点， 求出抛物线的解析式． 5.已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)． (1)求抛物线C1的解析式； (2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．
专题训练求二次函数的解析式 一、已知三点求解析式 1.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点，求它的开口方向、对称轴和顶点. 2.一个二次函数的图像经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点．求这个二次函数的解析式． 3. 已知二次函数的图象经过点（－1，－6），（1，－2）和（2，3），求这个二次函数的解析式，并求它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（1，0），（2，0），（3，4）三点，则求抛物线的解析式。 5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，10），（2，7），且3a＋2b＝0，求该抛物线的解析式。 6.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式.
7. 已知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A （－3，0）和B （0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M ，它的对称轴与x 轴的交点记为N.（1）求抛物线C 的解析式；（2）求点M 的坐标； 8.已知：如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A ，B ，C 三点.求此抛物线的解析式. 9. 如图所示，求此抛物线的解析式。 10. 如图，抛物线c bx x y ++- =22 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3．求抛物线的解析式．
11．如图所示，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过点A（－1，0），C（0，4）. （1）求抛物线的解析式； （2）已知点D（m，m＋1）在第一象限的抛物线上，求点D关于x轴对称的点的坐标. 12.如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A（1，0），C（0，－3）. （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标. 13. 如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）. （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）.