数学物理学是以研究物理问题为目标的数学理论和数学方法。它探讨物理现象的数学模型，即寻求物理现象的数学描述，并对模型已确立的物理问题研究其数学解法，然后根据解答来诠释和预见物理现象，或者根据物理事实来修正原有模型。
物理问题的研究一直和数学密切相关。作为近代物理学始点的牛顿力学中，质点和刚体的运动用常微分方程来刻画，求解这些方程就成为牛顿力学中的重要数学问题。这种研究一直持续到今天。例如，天体力学中的三体问题和各种经典的动力系统都是长期研究的对象。
在十八世纪中，牛顿力学的基础开始由变分原理所刻画，这又促进了变分法的发展，并且到后来，许多物理理论都以变分原理作为自己的基础。
十八世纪以来，在连续介质力学、传热学和电磁场理论中，归结出许多偏微分方程通称数学物理方程(也包括有物理意义的积分方程、微分积分方程和常微分方程)。直到二十世纪初期，数学物理方程的研究才成为数学物理的主要内容。
此后，联系于等离子体物理、固体物理、非线性光学、空间技术核技术等方面的需要，又有许多新的偏微分方程问题出现，例如孤立子波、间断解、分歧解、反问题等等。它们使数学物理方程的内容进一步丰富起来。复变函数、积分变换、特殊函数、变分法、调和分析、泛函分析以至于微分几何、代数几何都已是研究数学物理方程的有效工具。
从二十世纪开始，由于物理学内容的更新，数学物理也有了新的面貌。伴随着对电磁理论和引力场的深入研究，人们的时空观念发生了根本的变化，这使得闵科夫斯基空间和黎曼空间的几何学成为爱因斯坦狭义相对论和广义相对论所必需的数学理论。许多物理量以向量、张量和旋量作为表达形式在探讨大范围时空结构时，还需要整体微分几何。
量子力学和量子场论的产生，使数学物理添加了非常丰富的内容。在量子力学中物质的态用波函数刻画，物理量成为算子，测量到的物理量是算子的谱。在量子场论中波函数又被二次量子化成为算子，在电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用中描述粒子的产生和消灭。
因此，必须研究各种函数空间的算子谱、函数的谱分析和由算子所形成的代数。同时还要研究微扰展开和重正化(处理发散困难)的数学基础。此外，用非微扰方法研究非线性场论也是一个令人注目的课题。
物理对象中揭示出的多种多样的对称性，使得群论显得非常有用。晶体的结构就是由欧几里得空间运动群的若干子群给出。正交群和洛伦茨群的各种表示对讨论具有时空对称性的许多物理问题有很重要的作用。
基本粒子之间，也有种种对称性，可以按群论明确它们的某些关系。对基本粒子的内在对称性的研究更导致了杨-米尔斯理论的产生。它在粒子物理学中意义重大，统一了弱相互作用和电磁相互作用的理论，提供了研究强子结构的工具。这个理论以规范势为出发点，而它就是数学家所研究的纤维丛上的联络(这是现代微分几何学中非常重要的一个概念)。有关纤维丛的拓扑不变量也开始对物理学发挥作用。
微观的物理对象往往有随机性。在经典的统计物理学中需要对各种随机过程的统计规律
有深入的研究。
随着电子计算机的发展，数学物理中的许多问题可以通过数值计算来解决，由此发展起来的“计算力学”“计算物理”都发挥着越来越大的作用。计算机直接模拟物理模型也成为重要的方法。此外各种渐近方法也继续获得发展。
科学的发展表明，数学物理的内容将越来越丰富，解决物理问题的能力也越来越强。其他各门科学，如化学生物学、地学、经济学等也广泛地利用数学模型来进行研究。数学物理中的许多方法和结果对这些研究发挥了很好的作用。
在工程科学中，处处需要精确地求解物理问题，所以数学物理对于技术进步也有非常重要的意义。此外，数学物理的研究对数学有很大的促进作用。它是产生数学的新思想、新对象、新问题以及新方法的一个源泉。
高中物理中数学知识的应用
如图讨论绳子变长时，绳子的拉力和墙面的支持力如何变化？解析法： θ cos 2G F =如果绳子变长，θ角减小，θcos 变大，F 2减小；θtan 1 G F =，θ角减小，θtan 减小，F 1减小。此题图解法较容易在此省略。在力（速度、加速度）的合成与分解问 题中正弦、余弦、正切函数知识用的很多。 （2）正弦定理应用实例： 如图所示一挡板和一斜面夹住一球，挡板饶底端逆时针旋转直到水平，讨论挡板和斜面对球的弹力如何变化？此题图解法较容易在此省略。
解析法：βθαsin sin sin 12F F G == α θ sin sin 2G F = 因为θ不变α从锐角变成90 大再变小，所以F 2先变小后变大； () ()θβθβθβ βθβαβοcos cot sin sin sin 180sin sin sin sin 1-= =+= --== G G G G F β角从钝角变为零的过程中，βcot 一直变大，所以F 1一直变小。 （用到了正弦定理、诱导公式、两角和的正弦函数这种解法理论性较强。 ） （3）化θθcos sin b a +为一个角的正弦应用实例 如图所示物体匀速前进时，当拉力与水平方向夹角为多少度时最省力？动摩擦因数设为μ。 解答：匀速运动合力为零()θμθsin cos F G F -= ()() θβμμθβθβμμθμμθμμμθ μθμ++= ++= ??? ? ??++++= += sin 1sin cos cos sin 1sin 1cos 111sin cos 22222G G G G F 所以当θβ+为直角时F 最小，也就是当1 1 arcsin 2 2 2 +-= -= μπ βπ θ时F 最小。 5.组合应用实例 如图所示一群处于第四能级的原子，能发出几种频率的光子？这个还可以用一个一个查数的办法解决，如果是从第五能级开始向低能级跃迁问可以发出几种频率的光子就很难一个一个地数了。 利用组合知识很容易解决，处于第四能级有623 42 4=?==！ C N 种 处于第五能级有10! 24 5!3!2!52 5=?=?= =C N 种 6.平面几何（1）三角形相似应用实例 例题1：如图所示当小球沿着光滑圆柱缓慢上升时，讨论绳子的拉力 和支持力如何变化？ 由三角形相似可得 l T h G R N ==可以N 不变T 减小。 例题2：（2013新课标）水平桌面上有两个玩具车A 和B ，两者用一轻质 橡皮筋相连，在橡皮绳上有一红色标记R 。在初始时橡皮筋处于拉直状态，A 、B 和R 分别位于直角坐标系中的（0,l 2），（0,l -）和（0，0）点。已 知A 从静止开始沿y 轴正向做加速度大小为a 的匀加速运动：B 平行于x 轴朝x 轴正向匀速运动。两车此
专题七 数学方法（5） 微元法 【重要方法点津】 在物理学的问题中，往往是针对一个对象经历某一过程或出于某一状态来进行研究，而此过程或状态中，描述此研究对象的物理量有的可能是不变的，而更多的则可能是变化的，对于那些变化的物理量的研究，有一种方法是将全过程分为很多短暂的微小过程或将研究对象的整体分解为很多微小局部，这些微小过程或者是微小的局部常被称为“微元”，而且每个微元所遵行的规律是相同的，取某一微元加以分析，然后在将微元进行必要的数学方法或物理思想处理归纳出适用于全过程或者是整体的结论，这种方法被称为“微元法”。微元法是物理学研究连续变化量的一种常用方法。 微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。 应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。 【典例讲练突破】 【例1】 设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物 体的位移与时间的关系式为2012 x v t at =+，试推导。 【总结】这是我们最早接触的微元法的应用。总结应用微元法的一般步骤：（1）选取微元，时间t ?极短，认为速度不变，“化变为恒”，（2）写出所求量的微元表达式，微元段的意义是位移，写出位移表达式i i x v t =?，（3）对所求物理量求和，即对微元段的位移求和， i i x x v t =∑=∑?。
附录三关于数学在理科中应用的调查报告 我们对理科中物理、化学、计算机基础中数学知识的应用进行了相关的调查。调查过程中翻阅了大量的相关资料，并询问了不少相关的专家，现将结果公布如下： 一、物理学中的数学知识 数学是物理学的基础和工具。离开了数学，物理学几乎寸步难行。现行大学物理系的数学教材几乎囊括了所有高等数学的基础知识。理论物理和实验物理都必需具备相当高深的数学知识。 理论物理中所应用的数学知识有：空间及其拓朴、映射、实分析、群论、线性代数、方阵代数、微分流形和张量、黎曼流行、李导数、李群、矢量分析、积分变换（包括傅里叶变换和拉普拉斯变换）、偏微分方程、复变函数、球函数、柱函数、函数、格林函数、贝塞尔函数、勒让德多项式等。 实验物理中所应用的数学知识呈主要集中在概率统计学中。包括一维、多维随机变量及其分布、概率分布、大数定律、中心极限定理、参数估计、极大似然法等。其中概率分布包括伯努力分布、泊松分布、伽马分布、分布、t分布、F分布等。 从上可以看出，上述数学知识对物理专业来讲，必需了解，且有的需要深入了解。比如群论、空间及拓朴、积分变换、偏微分方程、概率分布、参数估计等。工科和理科、师范类和非师范类、物理专业和非物理专业、其物理学习中所应用的数学知识也有范围和程度上的变化。工科就没有理科要求高，物理专业中所涉及的数学知识也比非物理专业所学物理课本上的数学知识丰富的多。 二、化学中的数学知识 初等化学只是简单介绍物质的组成、结构、性质、变化及合成。除了相应的计算外，与数学的联系没有物理学那么紧密。高等化学需要更深入的研究物质，因此需要相应的高等数学知识为基础。下面我们就化学理论和化学实验两种课程来讨论。 化学理论中所应用的数学知识有：级数及其应用、幂级数与Taylor展开式、Fourier级数、Forbemus方法、Bessel方程、Euler-Maclaurh加法公式、String公式、有限差分、矩阵、一阶偏微分方程、二阶偏微分方程、常微分方程（包括一阶、二阶、线性、联立）、特殊函数（包括贝尔函数和勒让德多项式）积分变换、初步群论等。 化学实验中所应用的数学知识有：随机事件及其概率、随机变量的数字特征、随机分量及其分布、大数定理、中心极限定理、参数估计等。 从上面可以看出，化学中的数学知识主要应用于计算，因此大部分是一些数学公式和方程，并没有更深一步理论推导及逻辑思维、形象思维的要求。所以，化学专业中数学知识的要求不高，只限于了解并会套公式而已。
数学方法在物理学中的应用（一） 物理学中的数学方法是物理思维和数学思维高度融合的产物,借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性,能达到打通关卡、快速简捷地解决问题的目的。高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用,借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。可以说任何物理试题的求解过程实质上都是一个将物理问题转化为数学问题,然后经过求解再次还原为物理结论的过程。复习中应加强基本的运算能力的培养,同时要注意三角函数的运用,对于图象的运用要重视从图象中获取信息能力的培养与训练。在解决带电粒子运动的问题时,要注意几何知识、参数方程等数学方法的应用。在解决力学问题时,要注意极值法、微元法、数列法、分类讨论法等数学方法的应用。 一、极值法 数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等。 1．利用三角函数求极值 y ＝acos θ＋bsin θ ＝ ( + ) 令sin φ＝ ，cos φ＝ 则有：y ＝ (sin φcos θ＋cos φsin θ) ＝sin (φ＋θ) 所以当φ＋θ＝π2 时，y 有最大值，且y max ＝． 典例：在倾角θ= 30°的斜面上,放置一个重量为200 N 的物体,物体与斜面间的动摩擦因数为μ= 3 3,要使物体沿斜面匀速向上移动,所加的力至少要多大?方向如何?
【解析】设所加的外力F 与斜面夹角为α,物体受力情况如图所示。 由于物体做匀速直线运动,根据共点力的平衡条件,有 F cos α- mg sin θ-f = 0 N +F sin α - mg cos θ = 0 而f =μN 解得:F =α μαθμθsin cos cos (sin ++mg 因为θ已知,故分子为定值,分母是变量为α的三角函数 y=cos + = ( cos + sin ) = (sin cos + cos sin ) = sin(+ ) 其中 sin = ，cos = ，即 tan = 。 当+ = 90 时，即 = 90 - 时，y 取最大值 。 F 最小值为 ,由于 = ，即 tan = ，所以 = 60。 带入数据得 Fmin = 100 N,此时 = 30 。 【名师点睛】根据对物体的受力情况分析,然后根据物理规律写出相关物理量的方程,解出所求量的表达式,进而结合三角函数的公式求极值,这是利用三角函数求极值的常用方法,这也是数学中方程思想和函数思想在物理解题中的重要应用。 2．利用二次函数求极值 二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b a x ＋b 24a 2)＋c －b 24a ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 2 4a (其中a 、b 、c 为实常数)，当x ＝－b 2a 时，有极值y m ＝4ac －b 24a (若二次项系数a >0，y 有极小值；若a <0，y 有极大值)。 典例：在“十”字交叉互通的两条水平直行道路上,分别有甲、乙两辆汽车运动,以“十”字中心为原点,沿直道建立xOy 坐标系。在t = 0 时刻,甲车坐标为(1,0),以速度v 0=k m/s 沿 -x 轴方向做匀速直线运
高中物理数学物理法(一)解题方法和技巧及练习题及解析 一、数学物理法 1．如图所示，ABCD是柱体玻璃棱镜的横截面，其中AE⊥BD，DB⊥CB，∠DAE=30°， ∠BAE=45°，∠DCB=60°，一束单色细光束从AD面入射，在棱镜中的折射光线如图中ab所示，ab与AD面的夹角α=60°．已知玻璃的折射率n=1.5，求：（结果可用反三角函数表示） （1）这束入射光线的入射角多大？ （2）该束光线第一次从棱镜出射时的折射角． 【答案】（1）这束入射光线的入射角为48.6°； （2）该束光线第一次从棱镜出射时的折射角为48.6° 【解析】 试题分析：（1）设光在AD面的入射角、折射角分别为i、r，其中r=30°， 根据n=，得： sini=nsinr=1.5×sin30°=0.75 故i=arcsin0.75=48.6° （2）光路如图所示： ab光线在AB面的入射角为45°，设玻璃的临界角为C，则： sinC===0.67 sin45°＞0.67，因此光线ab在AB面会发生全反射 光线在CD面的入射角r′=r=30° 根据n=，光线在CD面的出射光线与法线的夹角： i′="i=arcsin" 0.75=48.6° 2．一玩具厂家设计了一款玩具，模型如下．游戏时玩家把压缩的弹簧释放后使得质量m＝0.2kg的小弹丸A获得动能，弹丸A再经过半径R0=0.1m的光滑半圆轨道后水平进入光滑水平平台，与静止的相同的小弹丸B发生碰撞，并在粘性物质作用下合为一体．然后从平台O点水平抛出，落于水平地面上设定的得分区域．已知压缩弹簧的弹性势能范围为
p 04E ≤≤J ，距离抛出点正下方O 点右方0.4m 处的M 点为得分最大值处，小弹丸均看作 质点． (1)要使得分最大，玩家释放弹簧时的弹性势能应为多少? (2)得分最大时，小弹丸A 经过圆弧最高点时对圆轨道的压力大小． (3)若半圆轨道半径R 可调(平台高度随之调节)弹簧的弹性势能范围为p 04E ≤≤J ，玩家要使得落地点离O 点最远，则半径应调为多少?最远距离多大? 【答案】(1)2J (2) 30N (3) 0.5m ，1m 【解析】 【分析】 【详解】 (1)根据机械能守恒定律得： 2 1p 012 2E v mg R m = +? A 、B 发生碰撞的过程，取向右为正方向，由动量守恒定律有： mv 1=2mv 2 200122gt R = x =v 2t 0 解得： E p =2J (2)小弹丸A 经过圆弧最高点时，由牛顿第二定律得： 2 1N v F mg m R += 解得： F N =30N 由牛顿第三定律知： F 压=F N =30N (3)根据 2 p 1122 E mv mg R = +? mv 1=2mv 2 2R =1 2gt 2， x =v 2t
高考物理数学物理法解题技巧讲解及练习题 一、数学物理法 1．如右图所示，一位重600N 的演员，悬挂在绳上．若AO 绳与水平方向的夹角为 37?，BO 绳水平，则AO 、BO 两绳受到的力各为多大？若B 点位置往上移动，则BO 绳的 拉力如何变化？(孩子：你可能需要用到的三角函数有： 3375 sin ?=，4cos375?=，3374tan ?=，4 373cot ?=) 【答案】AO 绳的拉力为1000N ，BO 绳的拉力为800N ，OB 绳的拉力先减小后增大. 【解析】 试题分析：把人的拉力F 沿AO 方向和BO 方向分解成两个分力，AO 绳上受到的拉力等于沿着AO 绳方向的分力，BO 绳上受到的拉力等于沿着BO 绳方向的分力．根据平衡条件进行分析即可求解． 把人的拉力F 沿AO 方向和BO 方向分解成两个分力．如图甲所示 由平衡条件得：AO 绳上受到的拉力为21000sin 37 OA G F F N == = BO 绳上受到的拉力为1cot 37800OB F F G N === 若B 点上移，人的拉力大小和方向一定不变，利用力的分解方法作出力的平行四边形，如图乙所示： 由上图可判断出AO 绳上的拉力一直在减小、BO 绳上的拉力先减小后增大．
2．［选修模块3-5］如图所示，玻璃砖的折射率2 3 n = ，一细光束从玻璃砖左端以入射角i 射入，光线进入玻璃砖后在上表面恰好发生全反射．求光速在玻璃砖中传播的速度v 及入射角i ．(已知光在真空中传播速度c =3.0×108 m/s ，计算结果可用三角函数表示)． 【答案】83310/v m s =?；3 sin i = 【解析】 【分析】 【详解】 根据c n v = ，83310/v m s =? 全反射条件1 sin C n =，解得C=600，r =300， 根据sin sin i n r = ，3 sin 3 i = 3．质量为M 的木楔倾角为θ (θ < 45°)，在水平面上保持静止，当将一质量为m 的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．当用与木楔斜面成α角的力F 拉木块，木块匀速上升，如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止)． (1)当α＝θ时，拉力F 有最小值，求此最小值； (2)求在(1)的情况下木楔对水平面的摩擦力是多少？ 【答案】（1）min sin 2F mg θ= （2）1 sin 42 mg θ 【解析】 【分析】 （1）对物块进行受力分析，根据共点力的平衡，利用正交分解，在沿斜面和垂直斜面两方向列方程，进行求解． （2）采用整体法，对整体受力分析，根据共点力的平衡，利用正交分解，分解为水平和竖直两方向列方程，进行求解． 【详解】 木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有mgsin mgcos θμθ＝，即tan μθ＝ (1)木块在力F 的作用下沿斜面向上匀速运动，则：
专题2 物理中常用的数学特殊方法 考点1. 利用数学方法求极值 1.利用三角函数求极值 (1)二倍角公式法:如果所求物理量的表达式可以化成y=A sin θcos θ,则根据二倍角公式,有y=A 2 sin 2θ,当θ=45°时,y 有最大值,y max =A 2 。 (2)辅助角公式法:如果所求物理量的表达式为y=a sin θ+b cos θ,通过辅助角公式转化为y=√a 2+b 2sin (θ+φ),当 θ+φ=90°时,y 有最大值y max =√a 2+b 2。 2.利用二次函数求极值 二次函数y=ax 2 +bx+c (a 、b 、c 为常数,且a ≠0),当 x=-b 2a 时,y 有极值 y m =4ac -b 2 4a (a>0时,y m 为极小值;a<0时,y m 为极大值)。 3.利用均值不等式求极值 对于两个大于零的变量a 、b ,若其和a+b 为一定值,则当a=b 时,其积ab 有极大值;若其积ab 为一定值,则当a=b 时,其和 a+b 有极小值。 1.(2019年衡水二调)(多选)如图甲所示,位于同一水平面上的两根平行导电导轨,放置在斜向左上方、与水平面成60°角足够大的匀强磁场中,现给出这一装置的侧视图,一根通有恒定电流的金属棒正在导轨上向右做匀速运动,在匀强磁场沿顺时针缓慢转过30°的过程中,金属棒始终保持匀速运动,则磁感应强度B 的大小变化可能是( )。 A .始终变大 B .始终变小 C .先变大后变小 D .先变小后变大 2.一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜,观测到了一组双星系统,它们绕两者连线上的某点O 做匀速圆周运动,如图所示。此双星系统中体积较小的成员能“吸食”另一颗体积较大的星体表面的物质,达到质量转移的目的,假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变,则在最初演变的过程中( )。 A .它们做圆周运动的万有引力保持不变 B .它们做圆周运动的角速度不断变大 C .体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度也变大 D .体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度变小 3.(2019年湖北省宜昌市高三模拟)(多选)如图所示,斜面底端上方高h 处有一小球以水平初速度v 0抛出, 恰好垂直打在斜面上,斜面的倾角为30°,重力加速度为g ,下列说法正确的是( )。 A .小球打到斜面上的时间为 √3v 0 g B .要让小球始终垂直打到斜面上,应满足h 和v 0成正比 C .要让小球始终垂直打到斜面上,应满足h 和v 0的平方成正比 D .若高度h 一定,现小球以不同的初速度v 0平抛,落到斜面上的速度最小值为√(√21-3)gh 考点2.函数图象及应用 图象问题是高考命题的高频考点,年年皆有。不管怎么考,我们只要深刻理解图象中的基本要素便可应对,具体为图 象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”等。 图象 函数形式 特例及物理意义 y=c 匀速直线运动的v-t 图象。“面积”表示位移 y=kx ①匀速直线运动的x-t 图象。斜率表示速度 ②初速度v 0=0的匀加速直线运动的v-t 图象。斜率表示加速度,“面积”表示位移
中学物理教学的数学思想运用 摘要：现阶段随着我国教育事业的全面发展，加上新课程教育改革事业的不断完善，对中学物理教学提出了更多更高的要求。在中学物理教学中，运用数学思想能够有效解决物理问题，使得物理表达公式更加简洁，能够对各项物理问题进行分析计算，辅助学生更好的解答各项问题。本文对中学物理教学中数学思想的运用进行探析，在物理教学过程中融入数学思想，更好地促进物理教学事业的发展，提高教学质量。 关键词：中学；物理；数学思想；应用 近些年来随着新课改进程不断加快，对于中学教学活动提出了更多更高的要求。从目前教材内容以及各项考试试题来看，物理学科中对于学生数学知识也做出了相应考查。如何在物理教学过程中，将物理问题有效转换为数学问题，是相关教育工作者关注的重点问题，对学生数学语言能力进行培育，让学生能够在物理理论以及实践学习的基础上通过数学知识点建立物理概念，培养学生推理和论证能力，让学生学习能力有效提升，便于教学活动的有序开展。 一、中学物理教学中应用数学思想的重要作用分析 物理学主要对物体运动形式以及基本结构进行研究，数学是探究现实空间形式以及数量关系之间的学科，虽然二者对不同的对象进行研究，但是实际目的却存在一定相似性。物理与数学都是对自然界中各项变化规律进行研究，从实践活动中更好的应用，二者之间相互影响，共同促进。新课程标准中针对物理学科的科学性做出了明确要求，通过科学化的物理实验以及数学思想方法是研究物理学的重要工具，更好的发现物理学中各项变化过程，找寻最常见的发展规律。从物理学长期发展历史中可以看出，将物理学相关知识与数学方法有效结合，能够使得物理学从定性描述转为实际计算。数学思想以及数学知识在物理教学中有效应用，能促进力学相关知识以及统计物理学的发展。数学思想是进行有效推理论证的重要手段，在现阶段物理教学中，有大多数公式能够全面反映出各项实验规律以及定义知识，通过数学方法进行推算，能够总结出更多公式。这样不仅能够让学生获取更多全新的理论知识，还能强化物理知识之间的内在联系，使得各个现象的实际本质有效显现。 二、中学物理教学中数学思想的运用探析 （一）逆向思维在物理教学中的应用
《高等数学》知识在物理学中的应用举例 一 导数与微分的应用 分析 利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量求变化率。在此基础上，灵活运用各类导数和微分公式解决具体问题。 例 1 如图，曲柄,r OA =以均匀角速度ω饶定点O 转动.此曲柄借连杆AB 使滑块B 沿直线Ox 运动.求连杆上C 点的轨道方程及速度.设,a CB AC == ,?=∠AOB .ψ=∠ABO y 解 1) 如图，点C 的坐标为： ψ?cos cos a r x +=， (1) .sin ψa y = (2) 由三角形的正弦定理，有 ,sin 2sin ? ψa r = o x 故得 .2sin 2sin r y r a == ψ? (3) 由(1)得 r y a x r a x 2 2cos cos --= -=ψ? (4) 由,1cos sin )4()3(2222=+=+??得 ,12422 222222=---++r y a x y a x r y 化简整理,得C 点的轨道方程为: .)3()(422222222r a y x y a x -++=- 2) 要求C 点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得 ,sin cos 2cos sin ψψ?ω?ωr r x --=' ,2 cos ? ωr y =' 其中.?ω'=
又因为,sin 2sin ψ?a r = 对该式两边分别求导,得 .cos 2cos ψ ? ωψa r = ' 所以C 点的速度 2 2 y x V '+'=4 cos )sin cos 2cos sin (2222 ?ωψψ?ω?ωr r r + --= .)sin(cos sin 4cos cos 22ψ?ψ??ψ ω ++= r 例2 若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为),2sin 1(T t c a π-=式中c 及 T 为常数,已知升降机的初速度为零,试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程. 解: 由题设及加速度的微分形式dt dv a = ,有 ,)2sin 1(dt T t c dv π-= 对等式两边同时积分 ? ?-=v t dt T t c dv 0 ,)2sin 1(π 得: ,2cos 2D T t T c ct v ++=ππ 其中D 为常数. 由初始条件:,0,0==t v 得,2c T D π - =于是 )].12(cos 2[-+ =T t T t c v ππ 又因为,dt ds v = 得 ,)]12(cos 2[dt T t T t c ds -+ =ππ 对等式两边同时积分,可得: )].2sin 2(221[2t T t T T t c s -+=πππ
物理学中逻辑 内容提要 本文探讨了形式逻辑，经典物理学逻辑，近代物理学逻辑。认为近代物理学的两大柱石即相对论和量子力学在理论完备性和可靠性存在问题。 李鑫2017年6月28日 目录 1形式逻辑 2经典物理学逻辑 2.1牛顿的理论体系 2.2经典电磁学理论体系 3近代物理学逻辑 3.1相对论 3.2量子力学
1形式逻辑 形式逻辑研究的推理中的前提和结论之间的关系，是由作为前提和结论的命题的逻辑形式决定的，而命题的逻辑形式（简称命题形式）的逻辑性质则是由逻辑常项决定的。要弄清逻辑常项的性质，系统地揭示推理规律，就要通过建立逻辑演算，进行元逻辑的研究。研究元逻辑的方法是形式化的公理方法。 形式逻辑的规则：同一律、矛盾律、排中律和理由充足律。这四条规律要求思维必须具备确定性、无矛盾性、一贯性和论证性。 形式逻辑是人们思维的法则，人的思维要把握全貌，辩证分析， 2经典物理学逻辑 2.1牛顿的理论体系 牛顿的理论体系包括牛顿绝对时空观、牛顿动力学三定律和牛顿万有引力规律。 牛顿的绝对时空观念认为空间三维坐标架是绝对静止的，空间坐标表示事件发生的地点和区域的大小，时间是永恒均匀流逝的，时间表示事件发生的先后次序和过程的久暂。 牛顿的动力学三定律包括惯性定律、作用力与质量和加速度乘积成正比和作用力和反作用大小相等，方向相反。 牛顿万有引力定律是引力作用力与质量乘积成正比，和距离平方成反比。 牛顿认为空间是空虚的，作用力是瞬时超距的。校时信号传播速度是无限大，各地的时钟都指向同一时刻，事件发生的同时性是绝对的。 Newton把他的力学理论命名为《自然哲学的数学原理》，可见牛顿对哲学和逻辑学重视。牛顿理论体系自成系统，符合形式逻辑。 牛顿的理论被后来的物理学家拉格朗日和哈密顿等人发展成理论力学。 2.2经典电磁学理论体系 19世纪中叶，描述电磁现象的基本实验规律：库仑定律、毕-萨-拉定律、安培定律、欧姆定律、法拉第电磁感应定律等已经先后提出，建立统一电磁理论的课题摆在了物理学家面前。J.C。Maxwell审查了当时已知的全部电磁学定律、定理的基础，提取了其中带有普遍意义的内容，提出了有旋电场的概念和位移电流的假设，揭示了电磁场的内在联系和相互依存，完成了建立电磁场理论的关键性突破。1865年Maxwell建立了包括电荷守恒定律、介质方程以及电磁场方程在内的完备方程组。麦克斯韦方程组关于电磁波等的预言在三十年后为德国物理学家H.-R.Hertz的实验所证实，证明了位移电流假设和电磁场理论的正确性。它是物理学继牛顿力学之后的又一伟大成就。荷兰物理学家H.-A.Lorentz于1895年提出了著名的洛伦兹力公式，完善了经典电磁理论。经典电磁理论被包括在经典电动力学理论体系之中。 经典理论力学和电动力学是人类认识自然界的两大丰碑，是形式逻辑典范。 3近代物理学逻辑 3.1相对论 1905年9月，德国《物理学年鉴》发表了爱因斯坦的《论动体的电动力学》，这篇论文包含了狭义相对论的基本思想和基本内容。[2]狭义相对论两个基本假设是物理规律在所有惯性系中都具有相同的形式和光速不变原理。光速不变原理有确定函义：第一，光在真空传播
初中物理中常用的数学方法简介 江苏省南通市第三中学：江宁 数学计算是指人们根据利用已有的知识，对一定的现象、规律进行数学计算，发现各个量之间的数学关系，从深一层次去认识新的事物的方法。 数学计算是研究性学习中必备的手段，是初中物理研究性学习中进一步认识事物中最可靠的工具。通过数学计算，学生可以从定性认识事物发展到定量认识事物，使感性认识上升到理性认识，从而更准确地认识事物各个量之间的内在规律。 以下所列是初中物理中常用的一些数学方法： 1、代入法 “代入法”是指在研究物理问题中，已知因变量与自变量之间关系公式，将物理量直接代入公式进行计算的方法。学会利用公式直接进行计算是学生解决问题的基本能力之一，它可以促进学生掌握物理量之间的来龙去脉，熟悉物理量在日常生活中的应用。 例：质量为的水，温度从 60℃降至40℃，会放出______J 的热量。若将这部分热量全部被初温为10℃、质量为的酒精吸收，则酒精的温度将上升______℃。[酒精的比热容为×103 J ／（kg ·℃），水的比热容为 ×103 J ／（kg ·℃）] 解：物体升、降温时吸、放的热量计算公式为：Q=c ·m ·Δt 应用“代入法”进行解题时，可以根据公式用自变量求因变量，也可以根据公式用因变量求自变量，但要注意在计算过程中，物理单位必统一。 2、比例法 “比例法”是指用两个已知的物理量的比值来表示第三个物理量的方法。比值法可以充分体现出在两个物理量同时变化的条件下影响物理过程的真正因素。 例：现有两杯质量不同的液体酒精和水，若两者的质量之比为2∶3，求两种液体的体积比？（ρ酒 精 = ×103kg/m 3，ρ水= ×103kg/m 3） 解：6 58.0132=?=?==酒水水酒水 水酒酒 水酒ρρρρm m m m V V 另外，初中物理中的许多物理量是通过比值来介绍的，如：速度、密度、热值、电阻等等。是中学生在初中物理学习中学到的第一个数学方法。 3、近似法 “近似法”是指在数学计算过程中，当个别量的微小变化并不影响整体结果时，为了计算与分析的方便，将个别量进行一定程度的近似代换或取舍的方法。利用近似法可以降低复杂的数学计算，帮助学生用最根本的数据去认识事物的内在规律，从而抓住各种物理现象中最本质的特征。 例：一位同学从一楼跑到三楼用了10s 时间，他的功率大概是多少？ 解：根据生活经验，一位中学生的质量约为50kg ，一层楼的高度约为3m ，g 取10N/kg 。 事实上，只要在误差允许范围内，任何一种测量和计算都是对所求物理量的实际情况的一个近似。运用近似法可以帮助学生理解物理研究中绝对性与相对性的真正含义。 4、方程法 “方程法”是指在求解某个物理量时，根据因变量与自变量之间的因果对应关系，列出方程，通过求解方程从而求出物理量的方法。方程法可以减少学生的数学过程思维，解决问题简捷明了，方便于学生发现因变量与自变量的因果关系。 W s m kg N kg t Gh t W P 300106/1050=??===
高中物理数学物理法技巧(很有用)及练习题含解析 一、数学物理法 1．两块平行正对的水平金属板AB ，极板长0.2m L =，板间距离0.2m d =，在金属板右端竖直边界MN 的右侧有一区域足够大的匀强磁场，磁感应强度3510T B -=?，方向垂直纸面向里。两极板间电势差U AB 随时间变化规律如右图所示。现有带正电的粒子流以 5010m/s v =的速度沿水平中线OO '连续射入电场中，粒子的比荷 810C/kg q m =，重力忽略不计，在每个粒子通过电场的极短时间内，电场视为匀强电场（两板外无电场）。求： (1)要使带电粒子射出水平金属板，两金属板间电势差U AB 取值范围； (2)若粒子在距O '点下方0.05m 处射入磁场，从MN 上某点射出磁场，此过程出射点与入射点间的距离y ?； (3)所有粒子在磁场中运动的最长时间t 。 【答案】(1)100V 100V AB U -≤≤；(2)0.4m ；(3) 69.4210s -? 【解析】 【分析】 【详解】 (1)带电粒子刚好穿过对应偏转电压最大为m U ，此时粒子在电场中做类平抛运动，加速大小为a ，时间为t 1。水平方向上 01L v t =① 竖直方向上 2 1122 d at =② 又由于 m U q ma d =③ 联立①②③得 m 100V U = 由题意可知，要使带电粒子射出水平金属板，两板间电势差 100V 100V AB U -≤≤ (2)如图所示
从O '点下方0.05m 处射入磁场的粒子速度大小为v ，速度水平分量大小为0v ，竖直分量大小为y v ，速度偏向角为θ。粒子在磁场中圆周运动的轨道半径为R ，则 2 mv qvB R =④ 0cos v v θ=⑤ 2cos y R θ?=⑥ 联立④⑤⑥得 2 0.4m mv y qB ?== (3)从极板下边界射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长。如图所示 粒子进入磁场速度大小为v 1，速度水平分量大小为01v ，竖直分量大小为v y 1，速度偏向角为α，则对粒子在电场中 011L v t =⑦ 11022 y v d t +=⑧ 联立⑦⑧得 101y v v = 101 tan y v v α= 得
高中物理解题中涉及的数学知识 物理和数学是联系最密切的两门学科。运用数学工具解决物理问题的能力,是中学物理教学的最基本的要求。高中物理中用到的数学方法有:方程函数的思维方法,不等式法,极限的思维方法,数形结合法,参数的思维方法,统计及近似的思维方法,矢量分析法,比例法,递推归纳法,等等。现就“力学”与“电磁学”中常用数学知识进行归纳。 Ⅰ.力学部分：静力学、运动学、动力学、万有引力、功和能量与几何、代数知识相结合，从而增大题目难度，更注重求极值的方法。 Ⅱ.电磁学部分：电磁学中的平衡、加速、偏转及能量与圆的知识、三角函数，正余弦定理、相似三角形的对应比、扇形面积、二次函数求极值（配方法或公式法）、均值不等式 、正余弦函数、积化和差、和差积化、半角倍角公式、直线方程（斜率，截距）、对称性、)sin(cos sin 22?θθθ++=+b a b a a b =?tan 、数学归纳法及数学作图等联系在一起。 第一章 解三角形 三角函数 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，则有2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 变形公式： ::sin :sin :sin a b c C =A B ； 2、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 3、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：222 cos 2b c a bc +-A = 4、均值定理： 若0a >，0b >，则a b +≥，即2 a b +≥ ()2 0,02a b ab a b +??≤>> ??? ； 2 a b +称为正数a 、b a 、b 的几何平均数． 5、均值定理的应用：设x 、y 都为正数，则有 ⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值 2 4 s ． ⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 1、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α= ． 2、弧度制与角度制的换算公式：2360π= ，1180 π = ． 3、若扇形的圆心角为()α α为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=， 2C r l =+，2112 2 S lr r α==． 4、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=；()sin 2tan cos α αα =． 5、函数的诱导公式：
高中物理中的数学知识与方法（选读） 目录： 前言 概念的描述与定义 矢量与矢量的运算 极限思想的体现 待定系数法的应用 （1）认识运动方程 （2）电学实验数据处理 解方程组 变力做功－数学和物理在解题思路中的差别 图象法解题 （1）识图辨析 （2）数形结合 导数在高中物理中的应用 （1）求速度和加速度 （2）求感应电动势 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，半径与轨迹的关系
前言 在多年的高中教学经历中，接触到很多学生在物理上学习得很努力、很认真，虽然在时间上大量的投入，但成绩总是差强人意。造成这种现象的原因其中之一是受到数学知识的制约，而很多物理问题都得用到数学工具和方法解决；另外一个原因是数学知识掌握得不错，平时数学成绩也好，但不能灵活运用到物理学习中来，对数学和物理两个学科只是独立地进行思考与学习，不能真正地融汇贯通。 高考《考试说明》中明确提出高中生应具备应用数学处理物理问题的能力，即能够根据具体问题列出物理量之间的数学关系式，根据数学的特点、规律进行推导、求解和合理外推，并根据结果得出物理判断、进行物理解释或作出物理结论。能根据物理问题的实际情况和所给条件，恰当地运用几何图形、函数图象等形式和方法进行分析、表达。能够从所给图象通过分析找出其所表达的物理容，用于分析和解决物理问题。 数学物理方法：对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：（1）利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；（2）解该数学问题，其中解数学物理方程占有很大的比重，有多种解法；（3）将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。 数学与物理的联系：数学是物理的表述形式之一。其学科特点具有高度的抽象性，它能够概括物理运动的所有空间形式和一切量的关系。数学是创立和发展物理学理论的主要工具。物理原理、定律、定理往往直接从实验概括抽象出来，首先是量的测定，然后再建立起量的联系即数学关系式，其中就包含着大量的数学整理工作，本身就要大量的数学运算，才能科学地整理实验所观测到的量，找出它们之间的联系。 用数学语言来描述具体物理问题的能力培养，即能将具体问题转化为数学问题的能力，以期在数学技能与具体问题之间架起桥梁．在解决实际物理问题的时候，从建立坐标开始，包括确定自变量，找出函数关系以至积分上下限的确定等，都要以物理思想来指导．例如，
物理学中的数学 物理学中的数学，这是一个论述范围十分宽广的话题。我是数学系的，学的是纯数学，可我对物理学从小就有着莫大的兴趣，至今对他仍是念念不忘，时刻关注着它的发展。所以，对于物理学中的数学这一话题，也有着浅浅的思考和感悟。物理学和数学是我一生最为感兴趣的学科，鉴于此，我想写一篇关于它们之间的论述，一点也许不着边际的泛泛之谈，以泄自己心头之爱。 数学对于整个自然科学（甚至社会科学也可以算在内）的重要性，我想任何语言都是无法言明的。上帝是数学家，唯一能够描述的语言是数学，这句话却一点也没错。往小一点说，如果没有数学，也就没有今天的现代科技。当然，现在要说的仅仅是物理学中的数学。 事实胜于雄辩，真实的历史往往能反映这一点。所以我们将跟随物理学这一门学科的发展历程，穿过历史的层层迷雾，从中我们可以发现，物理学的建立与发展应用了哪些数学工具，而数学又是如何对物理产生重要影响和推动的，从中我们也可以看到，整个的物理学大厦是如何建立在这些简洁优美的数学法则之上的。 近代物理学都沿袭了希腊古典科学的血统，延续着古希腊式的精神文明。古希腊人从以思辨为主的哲学逐渐地发展出了众多分支学科，其中最重要的分支就是数学和物理学。从很多的事例我们可以看出，古希腊那些有才学的人，当时对数学是非常之重视，例如，毕达哥拉斯学派曾提出了一个重要的理念，数即万物，光从字面意思理解，这句话是很有问题的，但从世界是按照数学逻辑运转的角度看的话，这句话是对于当时是很有前瞻性的，但不管如何，他们还是隐约地发现了数学逻辑在物质运转所诠释的作用。又一个例子，柏拉图在自己新开设的柏拉图学园的门口立了一块牌子：不懂数学者不得入内。以此种种表明他们对数学非常之看重。古希腊的百科全书式学者，亚里士多德，从日常的观察实践，凭借经验总结出万物运行的一套理论，虽然现在看来有些显得非常之荒谬和幼稚，但这至少是人类认识世界和改造世界的一个起始，是物理学的雏形。 伽利略，这位近代物理学之父，创造出了数学推理与实验相结合的科学传统，这是历史上数学与物理学第一次的大融合。数学推导加上物理实验，此后一直是科学发现的一把神器，合称双剑，后来，牛顿利用这把神器大刀阔斧地建立了他的经典物理学，人类也有史以来第一次建立起了整个物理世界的体系（牛顿很幸运，因为机会只有一次），万物毕恭毕敬地遵守着这些法则（laws）运转。这次帮助牛顿建立起的经典物理学大厦的数学工具就是它自己独自发明的流数和反流数（微积分）。今天，我们仍可以回顾那一段令人激动的历史，“1685年牛顿应用微积分证明了，地球吸外部物体时，恰像全部的质量集中在球心（球对称）一样。”其实这是发现万有引力定律很关键的一步，胡克就因为不懂微积分而与发现万有引力定律而无缘。有了万有引力定律，以后再利用数学上的微积分则可以随时计算出各行星的运行轨道（各类双曲线形）。这是多么美妙的一件事，上帝运行这个宇宙的法则和奥秘终于被发现了，有了牛顿，一切都光明了。 分析力学，牛顿力学的另一种表述，或者说是它的推广和严格化，不过这次登场的主要是数学家。其实可以看出，很多时候，数学家和物理学家是互通的，所谓数理不分家，以前的科学家动不动就是数学家兼物理学家，后面还有什么家家的，真的是牛人一个，不过自彭加莱以后，就再也没有这样的通才了（知识爆炸的今天，任何一个小领域都能吞噬一个人一辈子的时间）。18世纪的数学家们创立了分析力学，以先进的数学工具重新表述了牛顿力学体系，用独特的数学形式重新刷新了整个力学系统。数学家欧拉所发明的变分法（其实后来拉格朗日也独自发明了变分法，之间还有他们两人之间的一段小故事）则直接孕育了力学中的最小作用原理。其实上帝在创造宇宙必定是按照这个原理进行的，因为这是最为经济和实惠的创造方式。“分析力学最终的成就是拉格朗日方程。由虚功原理和达朗贝尔原理，可以得到所谓的力学普遍方程，在此基础上，拉格朗日进一步引进了广义坐标，广义速度和广义
【下载本文档，可以自由复制内容或自由编辑修改内容，更多精彩文章，期待你的好评和关注，我将一如既往为您服务】 浅谈初中物理教学中数理结合的问题 西川中学易兴晶 在初中物理教学中，学习、研究物理的同时也离不开数学知识的辅助，而深入系统地学习物理更是一个掌握物理学中数学方法的过程。所以，重视数理结合对于提高中学物理教学质量、降低学习难度、培养学生学习兴趣、促进素质教育有着重要的意义。 对初中学生而言，数学的学习习惯、方法和数学教师的教学方法已使他们有了某种“思维定势”，他们中有相当一部分学生在学习物理中仍摆脱不了数学模式，而且物理的学习内容、方法和教师教学方法的改变，学习物理的思维方式的多样性、灵活性，都使他们对学习物理不适应；再者，由于物理教师，特别像我们这样的年轻教师，对物理中所用数学知识在数学中的地位，以及对某些数学知识，学生是否学过，掌握的程度等等不够清楚，对物理思维特点和数学思维特点的区别不甚明确；加之，不太注意初中学生的心理变化，教学效果就不会很理想。 由此可见，在教学实践中做好数理结合的工作是很重要的。以下是从我这几年的工作中总结的心得体会。 一、备课中注重学生的数学基础 数学是学好物理知识的前提，是学习物理的工具。在备课中，应了解学生需具备哪些数学知识，学生已有的数学知识及对这些知识掌握的熟练程度，学习物理尚缺少的数学知识和方法和学生应用已有的数学知识的习惯和方法。根据以上情况有针对性地设计教学内容，选择教学方法和制定教案。如：学生已在小学学过长度、面积等单位换算，但小学的教师在数学中单位换算不写过程，只写结果这一特点，若在物理教学没有补充讲解单位换算过程，学生必然会出现类似于1.5米＝1.5米×100＝150厘米；1.5米=1.5米×100厘米=150厘米，等等错误。而且，我们物理习惯上的单位换算喜欢用字母来代替单位，于是在教学中需要给学生灌输这种思维。 二、教学过程注重承前启后，查漏补缺 在物理教学中，每个单元、每节课如涉及到学生已有数学知识掌握得不熟练，或数学要求与物理要求不尽一致等问题时，都要结合学生已有的知识和方法进行分析讲解，以激发学生的求知兴趣，降低学习中的难度阶梯，引导学生把数学方法和物理方法结合起来，达到温故知新之目的。 例如：正反比关系的基础知识，学生在小学阶段已学过，在初二学生学物理时涉及正反比的物理量时，可先复习正反比基础知识，结合物理意义讲解。到初三，学生在数学上学完正反比函数时，再进一步深化物理量的正反比意义，学生就会很自然地接受和运用。