大学本科课程《随机过程》第4章习题及参考答案
主讲教师：何松华 教授
30．设X(n)为均值为0、方差为
2
的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线
性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：
2
[()()](0)E X n Y n h σ=，22
20
()Y n h n σσ
∞
==∑
证：根据离散白噪声性质，220
()[()()]()0
X m R m E X n m X n m m σ
σδ?==+==?
≠? 0
()()()()()m Y n X n h n X n m h m ∞
==?=-∑
220
[()()]{()()()][()()]()
()()()()(0)
m m X m m E X n Y n E X n X n m h m E X n X n m h m R m h m m h m h σδσ∞∞
==∞∞
===-=-===∑∑∑∑
1212122
2
11220
2
1
2
1
2
212100
00
[()]{()()()()]
[()()]()()[()()]()
Y m m m m m m E Y n E X n m h m X n m h m E X n m X n m h m h m m m h m h m σσ
δ∞∞
==∞∞∞∞
======--=
--=-∑∑∑∑∑∑
(对于求和区间的每个m 1,在m 2的区间存在唯一的m 2=m 1,使得21()0m m δ-≠)
12
2
2110
()()()m n h m h m h n σ
σ
∞
∞
====∑∑(求和变量置换) 31．均值为0、方差为
2
的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h 1(n)=a n u(n)以及
h 2(n)=b n u(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求W
2。
解：该级联系统的单位脉冲响应为
121
2
1
1
1
00()()()()()()()
1(/)()
1/n m
m m m m
n n n n
n
n m m n n
m m h n h n h n h n m h m a
u n m b u m b b a a
b
a b a a u n a b a a b
∞∞
-=-∞=-∞+++-===?=
-=---??
====
?--??
∑∑∑∑
参照题30的结果可以得到
2
11
22
22
2211212000222222222()[()2()()]()2(1)[]()111(1)(1)(1)
n n n n n W n n n a b h n a ab b a b a b a ab b ab a b a ab b a b ab σσσσσσ++∞
∞
∞
+++===??-===-+??--??+=-+=-------∑∑∑
32．设离散系统的单位脉冲响应为()() (1)n h n na u n a -=>，输入为自相关函数为
2()()X X R m m σδ=的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。
解：根据离散时间随机过程通过离散时间线性系统理论，有
122
1
12121200
2122100
()()()()
[()]Y X
m m m m
X
m m R m R
m m m h m h m m m m m a m a σ
δ∞∞
==∞
∞
--===
-+=
-+∑∑∑∑
注：对比因果连续系统的输出过程与输入过程相关函数的关系
12120
()()()()Y X R R h h ττττττ∞
∞
=-+?
?
不妨设0m ≥，则只有当m 1
m 时，求和区间存在脉冲点21m m m =-，因此
1
1
11111()2
11
222211()()[]
m m m Y X m m m m m X m m
m m
R m m m m a a a m a m m a σσ∞
---=∞
∞
--===
-=-∑∑∑
令：1
1
1121
1
()m m m m
m m
x m a
m q
∞
∞
-===
=
∑∑，则
111
2
(1){}{}1(1)
m m m m m m d d q mq m q x q q q dq dq q q +∞=--=?=?=--∑ 令：1
1112
221
1
()
m m m m
m m
y m
a m
q ∞
∞
-===
=
∑∑，则
1
111222122
3
(1){}{}
(1)(221)(21)(1)m m m m m m m m d d mq m q y q m q q dq dq q m q m m q m m q
q +∞=++--=?=?----+-+=
-∑
2212221
2
32
1
2
42
223
23
(221)(21)(1)()[](1)(1)(1)(1)(1)(1)
(1)(1)m m m m m m
Y X m m m
m
X X m q m m q m m q m q m m q R m a q q m q
m q
a m a m a a q a σσσ+++++----+-+--=---+--+--==--
考虑到相关函数的偶函数特性，得到：
422
||
23
(||1)(||1)
()(1)m Y X a m a m R m a
a σ-+--=-
下面求功率谱密度函数，采用频域法。
-100
22
0()() ()
1{}{}1(1)()j n
n j n
n j n n n n j j n j n j j j n H j h n e
na e
np e p a d d pe ae p p e p dp dp pe pe a e ωωωω
ω
ωωωωω∞
∞
∞
----===--∞----======?
=?==---∑∑∑∑
2
2222222
22
22
()|()|()()(|cos()sin()|)[12cos()]j X Y X X j X a ae G H j G a e a j a
a a ω
ωσωωωσωωσω--===
--+=
+-
可以通过相关函数的傅立叶变换进行验证。典型双边序列的离散时间傅立叶变换对：
2||
||
2
1 (||1)12cos()m m m a a
a a a a ω∞
--=-∞
-?=>+-∑ 222||
222
1
2(1)cos()4||12cos()[12cos()]m d a a a a m a
a da a a a a ωωω-??-+-?-?=
?+-+-?? 242242422
||
||
||232323
2422422222322
23222
22
()()(||1)(||1)()||(1)(1)(1)()()2(1)cos()41
(1)[12cos()](1)12cos()
[12cos()]m m m X X Y X X X X a a a a a m a m R m a
m a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a σσσσσωωωσω----++--==+----++--?+-+--+-=
+-
33．序列X(n)和Y(n)满足差分方程
()()()Y n X n a X n a =+--
其中a 为整常数，试用X(n)的相关函数表示Y(n)的相关函数。 解：
1212112212121212(,)[()()]{[()()][()()]}(,)(,)(,)(,)
Y X X X X R n n E Y n Y n E X n a X n a X n a X n a R n a n a R n a n a R n a n a R n a n a ==+--+--=++--+-+-+--
当X(n)为平稳随机过程时，则Y(n)也为平稳的，且有
()2()(2)(2)Y X X X R m R m R m a R m a =---+
34．实值一阶自回归过程X(n)满足差分方程
1()(1)()X n a X n V n +-=
其中a 1为常数，V(n)为方差为
2
的白噪声，输入从n=0开始，(1)0X -=。
(1)证明：若V(n)均值非零，则X(n)非平稳；(2)证明：若V(n)均值为零、|a 1|<1，则当n 足够大时，2221[()]/(1)V E X n a σ=-；(3)若V(n)均值为零，|a 1|<1，求X(n)的自相关函数的平稳解。 证：(1) 采用Wold 分解方法
2111231111
11100
()()(1)()(1)(2)()(1)(2)(3)...()()()
(1)()()
n
n
m
n m m m X n V n a X n V n a V n a X n V n a V n a V n a X n a V n m a X a V n m +===--=--+-=--+---==--+--=--∑∑
1111001
[1()]
[()][()()]()1n n
n
m
m
V V m m m a E X n E a V n m a m a +==--=--=-=
+∑∑ 显然，若V(n)均值非零，则X(n)的均值函数不是一个常数，是非平稳的。 (2) 若V(n)均值为零，则X(n)的均值为常数0，则
2
10[()][()][()()]n
m m E X n Var X n Var a V n m ===--∑
根据相互独立随机变量的和的方差等于方差之和的性质，得到
2
2110
2
2(1)
221120
1
[()][()()]()[()]
[1]
()1n
n
m
m m m n n
m V V m E X n Var a V n m a Var V n m a
a a
σσ==+==--=---==
-∑∑∑
显然，若输入从n=0开始，则即使在V(n)均值为零的情况下，方差也不为常数，X(n)是非平稳的，当|a 1|<1且n 足够大时，渐近平稳，2
2
21
[()]1V E X n a
σ=-。
(3) 不妨假设时刻差m
0，则根据Wold 分解得到
1
2121
2121
21211120
1
1120021
11200
(,)[()()]{[()()][()()]}
()
()[()()]()
()()
n m
n
m m X m m n m
n
m m m m n m
n
m m V m m R n m n E X n m X n E a V n m m a V n m a a E V n m m V n m a a m m m σδ+==+==+==+=+=-+---=--+--=
---+∑∑∑∑∑∑
根据求和区间的脉冲点21m m m =-的存在条件：1n m m m +≥≥，得到：
1
1111()
2221
111
22(1)21112
1(,)()
()
()
()
[1]
()1n m
n m
m m m m m
X V V m m
m m
m n m
V R n m n a a a a
a a a a σσσ++--==+-+=--=--=--∑∑
当n 足够大时，输出过程是渐近平稳的，自相关函数的平稳解为：
212
1()()1m
V X a R m a σ-=
-
35．考察如下的二阶自回归过程X(n)
12()(1)(2)()X n a X n a X n V n =----+
(1)若已知随机过程的相关函数值(0)X R 、(1)X R 、(2)X R ，试写出用于计算系数a 1,a 2以及零均值白色噪声()V n 的方差2V σ的Yule-Walker 方程；(2)反过来，若已知a 1= -1,a 2=0.5, 20.5V σ=，求(0)X R 、(1)X R 、(2)X R 的值；(3)求相关函数的通解。 解：(1)按题意为求平稳解。根据回归方程(离散时间因果系统的差分方程)可知：对于任意的n ，()X n 只与V(n)以及V(n-m) (m>0)有关，即系统的输出只与当前时刻以及过去时刻的输入有关，则有：
212[()()]{[(1)(2)()]()}[()()]V E X n V n E a X n a X n V n V n E V n V n σ=----+==
((1)X n -、(2)X n -与V (n)无关)
换成另外一种写法，根据12()()(1)(2)V n X n a X n a X n =+-+-得到
212[()()]{()[()(1)(2)]}V E X n V n E X n X n a X n a X n σ=+-+-=
即：212(0)(1)(2)X X X V R a R a R σ++= (1)
差分方程两边分别乘X(n-1)、取数学期望，并利用V(n)与X(n-1)的不相关性以及相关函数的偶函数特性得到：
12(1)(0)(1)0X X X R a R a R ++= (2)
同理，差分方程两边分别乘X(n-1)、取数学期望
12(2)(1)(0)0X X X R a R a R ++= (3)
(1)(2)(3)式联立，即得到二阶AR 模型的Yule-Walker 方程(三个方程可以求解三个未知数2V σ,a 1,a 2)
2
12(0)(1)(2)1(1)(0)(1)0(2)(1)(0)0X X X V X X X X X X R R R R R R a R R R a σ????????????=?
?????????????????
(2)Yule-Walker 方程可以写成如下的等效形式
2121
22
11
(0)10(1)01(2)0X V X X a a R a a
R a a R σ??
??????????+=?
?????????????????
代入a 1,a 2, 2V σ的具体数值，得到
1
(0)110.50.5 1.2(1)1 1.5000.8(2)0.51100.2X X X R R R --????????
????????=-=????????????????-????????
(3) 当m>2时，差分方程两边分别乘X(n-m )、取数学期望,可得：
()(1)0.5(2)0X X X R m R m R m --+-=
上述差分方程的特征方程：1210.50z z ---+=，两个根为0.50.5j ±(
共轭复根，模为
，相角为
4
π
)，根据差分方程理论，则相关函数的通解为：
() [cos()sin()] (2)44m
X R m A m B m m p ππ=+>= 代入(3)(2)0.5(1)0.2X X X R R R =-=-、(4)(3)0.5(2)0.3X X X R R R =-=-，求得： 1.2A =，
0.4B =，于是
()[1.2cos()+0.4sin()] (2)44m
X R m m m m ππ=> 显然R X (0)=1.2、R X (1)=0.8、R X (2)=0.2也满足上式；考虑到相关函数的实、偶函数特性以及m<0的情况，得：
||
()[1.2cos(||)+0.4sin(||)] (-)44m X R m m m m ππ=∞<<∞ 36．察如下的二阶自回归过程X(n)