第六章 实数复习题及答案
一、选择题
1．一个正数a 的平方根是2x ﹣3与5﹣x ，则这个正数a 的值是（ ）
A ．25
B ．49
C ．64
D ．81 2．下列式子正确的是（ ）
A ±5
B 9
C 10
D ．3 3．下列说法中正确的是（ ）
A ．若a a =，则0a >
B ．若22a b =，则a b =
C ．若a b >，则
11a b
> D ．若01a <<，则32a a a << 4．2-是（ ） A ．负有理数 B ．正有理数 C ．自然数 D ．无理数
5．观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，……，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22019的末位数字是（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6 6．估计65的立方根大小在（ ）
A ．8与9之间
B ．3与4之间
C ．4与5之间
D ．5与6之间 7．若一个数的平方根与它的立方根完全相同.则这个数是() A ．1
B ．1-
C ．0
D ．10±， 8．4的平方根是（ ）
A ．±16
B ．2
C ．﹣2
D ．±2
9．已知m 是整数，当|m |取最小值时，m 的值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
10．下列判断正确的有几个（ ）
①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；
3的立方根；④无理数是带根号的数；⑤2．
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题
11．一个数的平方为16，这个数是 ．
12___________．
13．已知，x 、y 是有理数，且y 4，则2x +3y 的立方根为_____．
14．某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k 棵树种植在点k x 处，其中11x =，当2k ≥时，112()()55
k k k k x x T T ---=+-，()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(26)2T .=，(02)0T .=. 按此方案，第6棵树种植点6x 为
________；第2011棵树种植点2011x ________.
15．按下面的程序计算：
若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n 值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n 值可以是________．
16．27的立方根为 ． 17．对于实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不大于[]a 的最大整数，称为a 的根整数，例如：，如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次： [10]3[3]1=→=这时候结果为1．则只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是__________．
18．若34330035.12=，30.3512x =-，则x =_____________．
19．如果一个正数的两个平方根为a+1和2a-7，则这个正数为_____________． 20．如图，直径为1个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点'O ，则点'O 对应的数是_______．
三、解答题
21．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：
a ⊕
b ⊕
c =2a b c a b c --+++.如：(1)-⊕2⊕3=123(1)2352
---+-++=. ①根据题意，3⊕(7)-⊕
113的值为__________； ②在651128,,,,0,,,,7
77999
---这15个数中，任意取三个数作为a ，b ，c 的值，进行“a ⊕b ⊕c ”运算，在所有计算结果中的最大值为__________；最小值为__________．
22．定义：对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．将一个“奇异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为()f a
例如：19=a ，对调个位数字与十位数字后得到新两位数是91，新两位数与原两位数的和为9119110+=，和与11的商为1101110÷=，所以()1910f =
根据以上定义，完成下列问题：
（1）填空：①下列两位数：10，21，33中，“奇异数”有 .
②计算：()15f = .()10f m n += . （2）如果一个“奇异数”b 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8f b =请求出这个“奇异数”b
（3）如果一个“奇异数”a 的十位数字是x ，个位数字是y ，且满足()510a f a -=，请直接写出满足条件的a 的值．
23．规定两数a ，b 之间的一种运算，记作(a ，b )：如果c a b =，那么(a ，b )=c ． 例如：因为23=8，所以(2，8)=3．
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）=_______，（5，1）=_______，（2， 14
）=_______． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n ，4n ）=（3，4）小明给出了如下的证明： 设（3n ，4n ）=x ，则（3n ）x =4n ，即（3x ）n =4n
所以3x =4，即（3，4）=x ，
所以（3n ，4n ）=（3，4）．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由：(4，5)+(4，6)=(4，30)
24．观察下列两个等式：1122133-=?+，2255133
-=?+，给出定义如下：我们称使等式 1a b ab -=+成立的一对有理数,a b 为“共生有理数对”，记为(),a b ，如：数对12,3?? ???，25,3?? ???
，都是“共生有理数对”． （1）判断下列数对是不是“共生有理数对”，（直接填“是”或“不是”）．
(2,1)- ，(13,2
) ． （2）若 5,2a ?
?- ???
是“共生有理数对”，求a 的值； （3）若(),m n 是“共生有理数对”，则(),n m --必是“共生有理数对”．请说明理由； （4）请再写出一对符合条件的 “共生有理数对”为 （注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）．
25．我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：
(1)线段OA 的长度是多少?(要求写出求解过程)
(2)这个图形的目的是为了说明什么?
(3)这种研究和解决问题的方式体现了的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)
A．数形结合 B．代入 C．换元 D．归纳
26．计算：
2
-+--
(1)|2|(3)
+-
(2)||2||1|
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据一个正数的两个平方根互为相反数可得（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，可求得x，再由平方根的定义即可解答．
【详解】
解：由正数的两个平方根互为相反数可得
（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，
解得x＝﹣2，
所以5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7，
所以a＝72＝49．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了平方根的性质,理解平方根与算术平方根的区别及联系是解答本题的关键．2．B
解析：B
【分析】
根据平方根、算术平方根的定义求出每个式子的值，再进行判断即可．
【详解】
A5，故选项A错误；
B9，故选项B正确；
C ＝10，故选项C 错误；
D 、＝±3，故选项D 错误．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义与性质．
3．D
解析：D
【分析】
根据绝对值的性质、平方根的性质、倒数的性质、平方和立方的性质对各项进行判断即可．
【详解】 若a a =则0a ≥，故A 错误；
若22a b =则a b =或=-a b ，故B 错误；
当0a b >>时11b a
<，故C 错误； 若01a <<，则32a a a <<，正确，
故答案为：D ．
【点睛】
本题考查了有理数的运算，掌握有理数性质的运算是解题的关键．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
由于开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，根据有理数和无理数的定义及分类作答．
【详解】
∵2-是整数，整数是有理数，
∴D 错误；
∵2-小于0，正有理数大于0，自然数不小于0，
∴B 、C 错误；
∴2-是负有理数，A 正确．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了有理数和实数的定义及分类，其中开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
5．C
解析：C
【分析】
观察已知等式，发现末位数字以2，4，8，6进行循环，每4个数一个循环的和位数为0，只要把原式的数的个数除以4得出余数即可求解.
【详解】
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，……
∴末位数字以2，4，8，6循环
∵2019÷4=504…3，
∴21+22+23+24+…+22019的末位数字与（2+4+8+6）×504+2+4+8的末位数字相同为4 故选：C.
【点睛】
本题考查了尾数特征，弄清题中的数字循环规律是解本题的关键.
6．C
解析：C
【分析】
先确定65介于64、125这两个立方数之间，从而可以得到45<
<，即可求得答案． 【详解】
解：∵3464=，35125=
∴6465125<<
∴45<．
故选：C
【点睛】
本题考查了无理数的估算，“夹逼法”是估算的一种常用方法，找到与65临界的两个立方数是解决问题的关键．
7．C
解析：C
【详解】
任何实数的立方根都只有一个，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，所以这个数是0，
故选C ．
8．D
解析：D
【分析】
根据平方根的定义以及性质进行计算即可．
【详解】
4的平方根是±2，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平方根的问题，掌握平方根的定义以及性质是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
根据绝对值是非负数，所以不考虑m为整数,则m取最小值是0，又0的绝对值为
0，令0
m=，得出m=m的整数可得：m ＝6．
【详解】
解：因为m取最小值，
∴=，
m
∴=，
m
解得：m=
240
m=，
∴<<，且m更接近6，
67
m
∴当6
m=时，m有最小值.
故选：B．
【点睛】
本题考查绝对值的非负性，以及估算二次根式的大小，理解并熟练掌握绝对值的非负性是本题解题关键；在估算二次根式大小的时候，先算出二次根式的平方，再看这个平方在哪两个平方数之间，就相应的得出二次根式在哪两个整数之间，即可估算出二次根式的大小. 10．B
解析：B
【分析】
根据平方根的定义判断①；根据实数的定义判断②；根据立方根的定义判断③；根据无理数的定义判断④；根据算术平方根的定义判断⑤．
【详解】
解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，因为1的平方根是±1，故①错误；
②实数包括无理数和有理数，故②正确；
3的立方根，故③正确；
④π是无理数，而π不带根号，所以无理数不一定是带根号的数，故④错误；
⑤2，故⑤正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方根、立方根、算术平方根及无理数、实数的定义，是基础知识，需熟练掌握．
二、填空题
11．【详解】
解：这个数是 解析：
【详解】
解：2(4)16,±=∴这个数是4±
12．2
【分析】
的值为8，根据立方根的定义即可求解．
【详解】
解：，8的立方根是2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
解析：2
【分析】
648，根据立方根的定义即可求解．
【详解】 648=，8的立方根是2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
13．-2．
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得x ＝2，进而可得y 的值，然后计算出2x+3y 的值，进而可得立方根．
【详解】
解：由题意得：，
解得：x ＝2，
则y ＝﹣4，
2x+3y ＝2×2+3×（
解析：-2．
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得x ＝2，进而可得y 的值，然后计算出2x +3y 的值，进而可得立方根．
【详解】
解：由题意得：2020x x -≥??-≥?
， 解得：x ＝2，
则y ＝﹣4，
2x+3y ＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
2=-．
故答案是：﹣2．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 14．403
【解析】
当k=6时，x6=T （1）+1=1+1=2，
当k=2011时,=T()+1=403.
故答案是:2,403.
【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解xk 的表达
解析：403
【解析】
当k=6时，x 6=T （1）+1=1+1=2，
当k=2011时,2011
x =T(20105
)+1=403. 故答案是:2,403. 【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解xk 的表达式并写出用T 表示出的表达式是解题的关键．
15．131或26或5.
【解析】
试题解析：由题意得，5n+1=656，
解得n=131，
5n+1=131，
解得n=26，
5n+1=26，
解得n=5.
解析：131或26或5.
【解析】
试题解析：由题意得，5n+1=656，
解得n=131，
5n+1=131，
解得n=26，
5n+1=26，
解得n=5.
16．3
【解析】
找到立方等于27的数即可．
解：∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为3．
考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算 解析：3
【解析】
找到立方等于27的数即可．
解：∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为3．
考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算
17．255
【分析】
根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【详解】
解：
∴对255只需要进行3次操作后变成1，
∴对256需要进行4次操作
解析：255
【分析】
根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【详解】
解：25515,3,1,??===?? ∴对255只需要进行3次操作后变成1，
25616,4,2,1,??====??
∴对256需要进行4次操作后变成1，
∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255；
故答案为：255．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也要考了一个数的平方数的计算能力．
18．－0.0433
【分析】
三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．
【详解】
从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添
解析：－0.0433
【分析】
三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．
【详解】
从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－”
∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－”
故答案为：－0.0433
【点睛】
本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小100倍，则得到的结果扩大或缩小10倍．
19．9
【分析】
根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出a的值，即可确定出这个正数．
【详解】
解：根据一个正数的两个平方根为a+1和2a-7得：，
解得：，
则这个正数是．
故答案为：9．
【
解析：9
【分析】
根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出a的值，即可确定出这个正数．
【详解】
解：根据一个正数的两个平方根为a+1和2a-7得： 1270a a ++-=，
解得：2a =，
则这个正数是2
(21)9+=．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 20．【分析】
点对应的数为该半圆的周长．
【详解】
解：半圆周长为直径半圆弧周长
即
故答案为：．
【点睛】
本题考查数轴上的点与实数的关系．明确的长即为半圆周长是解答的关键． 解析：12π
+
【分析】
点O '对应的数为该半圆的周长．
【详解】
解：半圆周长为直径+半圆弧周长 即12π
+ 故答案为：
12π+．
【点睛】 本题考查数轴上的点与实数的关系．明确OO '的长即为半圆周长是解答的关键．
三、解答题
21．（1）3
（2）53
（3）117
-
【分析】 （1）根据给定的新定义，代入数据即可得出结论；
（2）分a-b-c≥0和a-b-c≤0两种情况考虑，分别代入定义式中找出最大值，比较后即可得出结论．
【详解】
解：①根据题中的新定义得：
3⊕()7-⊕113=()()111137373332
---++-+= ②当a-b-c≥0时，
原式()12
a b c a b c a =
--+++=, 则取a 的最大值，最小值即可，
此时最大值为89，最小值为67-； 当a-b-c≤0时，
原式()12a b c a b c b c =-+++++=+， 此时最大值为785993b c +=
+=，最小值为6511777b c ????+=-+-=- ? ?????， ∵586113977
>>->- ∴综上所述最大值为53，最小值为117
-. 【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，读懂题意弄清新定义式的运算是解题的关键．
22．（1）①21，②6，m n +；（2）35b =；（3）65a =
【分析】
（1）①由“奇异数”的定义可得；②根据定义计算可得；
（2）由f （10m+n ）=m+n ，可求k 的值，即可求b ；
（3）根据题意可列出等式，可求出x 、y 的值，即可求a 的值.
【详解】
解：（1）①∵对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．
∴“奇异数”为21；
②f （15）=（15+51）÷11=6，f （10m+n ）=（10m+n+10n+m ）÷11=m+n ；
（2）∵f （10m+n ）=m+n ，且f （b ）=8
∴k+2k-1=8
∴k=3
∴b=10×3+2×3-1=35；
（3）根据题意有()f a x y =+
∵()510a f a -=
∴()10510x y x y +-+=
∴5410x y -=
∵x 、y 为正数，且x≠y
∴x=6，y=5
∴a=6×10+5=65
故答案为：（1）①21，②6，m n +；（2）35b =；（3）65a =
【点睛】
本题考查了新定义下的实数运算，能理解“奇异数”定义是本题的关键．
23．（1）3，0，-2 (2) (4，30)
【解析】
分析：（1）根据阅读材料，应用规定的运算方式计算即可；
（2）应用规定和同底数幂相乘的性质逆用变形计算即可.
详解：（1）∵33=27
∴（3，27）=3
∵50=1
∴（5，1）=1
∵2-2=
14
∴（2，14）=-2 （2）设（4，5）=x ，（4，6）=y
则x 45=，y 4=6
∴x y x y 44430+=?=
∴（4，30）=x+y
∴(4，5)+(4，6)=(4，30)
点睛：此题是一个规定计算的应用型的题目，关键是灵活应用规定的关系式计算，熟练记忆幂的相关性质.
24．（1）不是；是；（2）a=37-
；（3）见解析；（4）（4，35）或（6，57） 【分析】
（1）根据“共生有理数对”的定义即可判断；
（2）根据“共生有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；
（3）根据“共生有理数对”的定义即可判断；
（4）根据“共生有理数对”的定义即可解决问题；
【详解】
解：（1）-2-1=-3，-2×1+1=1，
∴-2-1≠-2×1+1，
∴（-2，1）不是“共生有理数对”，
∵3-12=52，3×12+1=52
，
∴3-1
2
=3×
1
2
+1，
∴（3，1
2
）是“共生有理数对”；
故答案为：不是；是；（2）由题意得：
a-
5
()
2
- =
5
1
2
a
-+，
解得a=
3
7 -．
（3）是．
理由：-n-（-m）=-n+m，
-n?（-m）+1=mn+1
∵（m，n）是“共生有理数对”
∴m-n=mn+1
∴-n+m=mn+1
∴（-n，-m）是“共生有理数对”，
（4）
33
441
55
-=?+；
55
661
77
-=?+
∴（4，3
5
）或（6，
5
7
）等．
故答案为：是，（4，3
5
）或（6，
5
7
）
【点睛】
本题考查有理数的混合运算、“共生有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A.
【分析】
（1）首先根据勾股定理求出线段OB的长度，然后结合数轴的知识即可求解；
（2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；
（3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答．
【详解】
解：(1)OB2＝12+12＝2，
∴OB，
∴OA＝
(2)数轴上的点和实数是一一对应关系
(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．
故选A.
【点睛】
本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．
26．（1）9；（2）3-；（3）-3；（4）1
【分析】
（1）分别根据绝对值的代数意义、有理数的乘方以及算术平方根运算法则进行计算即可； （2）先去绝对值，再合并即可；
（3）先分别根据算术平方根以及立方根的意义进行化简，再进行回头运算即可得解； （4）先分别根据算术平方根以及立方根的意义进行化简，再进行回头运算即可得解．
【详解】
（1）2|2|(3)-+-=2+9-2
=9；
（2）|2||1|+-
=21
=3-
（3 =1
3
+522-
=-3；
（4
= =5
2
4433--+
=1．
【点睛】
此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．