高中数学必修4课本知识点

第一章 三角函数

一、基本概念 （1）任意角

①正角：按逆时针方向旋转的角 ②负角：按顺时针方向旋转的角 ③零角：不做任何旋转形成的角 （2）任意角的大小 ①角度制

设角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，若0

30=α，则终边 在其上的角的集合为

{}

Z k k ∈?+=,36030

00

ββ

终边在x 轴上的角的集合为{}

180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z

与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z

②弧度制

弧度制是角度的另一种表示方法.

概念：把长度等于半径长的弧所对应的圆心角叫做1弧度的角.单位：rad . 有概念可得：<1>角度制和弧度制单位换算：π

180

1=

rad ，则180

1π=

?

<2>设α是半径是r 的圆，弧长为l 所对应的圆心角. 则r

l

=α ③角度制和弧度制单位换算 π

180

1=

rad ，则180

1π=

?

常见的角度制和弧度制的转化：

（4）象限角（任意角的归类）

设角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限， 则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<

二、三角函数 （1）求三角函数值

设α是任意角，它的终边与圆心在原点的圆交于点()y x P ,，那么 2

2sin y x y +=

α、2

2cos y x x +=

α、x

y

=

αtan ① 特例：若原始单位圆，则y =αsin 、x =αcos 、x

y =αtan ② 终点在y 轴的角的正切值不存在 ③ 1cos sin

22

=+αα、α

α

αcos sin tan =

（★★★★★） ④ 终边相同的角的同一三角函数值相等. 即

()απαs i n 2s i n

=?+k 、()απαcos 2cos =?+k 、()απαtan tan =?+k 其中z k ∈

⑤ 三角函数在各象限的符号：

（2）三角函数图像与性质 1） 正弦函数图像 <1>图像来源 ①描点法（略）

②平移、拉伸

A 、sin y x =的图象上所有点向左（右）平移

?个单位长度，得到函数

()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长

（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象

B 、sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）

平移

?

ω

个单位长度，得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标

不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象

<2>图像性质

函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质： A 、.振幅：A ；B 、周期：2π

ω

T =；C 、.频率：12f ω

π

=

=T ；D 、相位：x ω?+； E 、初相：?

F 、函数()()0,0cos >>+=w A wx A y ?，1x 、2x 为相邻的取得函数最大值与 函数最小值的自变量的取值，则()max min 12y y A =-，()21122

x x x x T

=-< <3>诱导公式

A 、()()Z k x k x ∈=+sin 2sin π：函数x sin 图像周期性

B 、()x x sin sin -=+π：函数x sin 图像在任意相距π的两个自变量所对应的 函数值互为相反数

C 、()ααsin sin -=-：函数x sin 图像关于原点对称，或者函数x sin 图像在 互为相反数的两个自变量所对应的函数值也互为相反数

D 、()ααπsin sin =-：函数x sin 图像关于2

π=x 对称

2）余弦函数

<1>余弦函数图像来源（略） ①描点法（五点法） ②平移旋转 <2>图像性质

函数()()0,0cos >>+=w A wx A y ?的性质： A 、.振幅：A ；B 、周期：2π

ω

T =；C 、.频率：12f ω

π

=

=

T ；D 、相位：x ω?+； E 、初相：?

F 、函数()()0,0cos >>+=w A wx A y ?，1x 、2x 为相邻的取得函数最大值与 函数最小值的自变量的取值，则()max min 12y y A =-，()21122x x x x T

=-<

<3>诱导公式

A 、()()Z k x k x ∈=+cos 2cos π：函数x cos 图像周期性

B 、()x x cos cos -=+π：函数x cos 图像在任意相距π的 两个自变量所对应 的函数值相反

C 、()ααcos cos =-：函数x cos 图像关于y 轴对称，或函数x cos 图像在互为 相反数的两个自变量所对应的函数值相等

D 、()ααπcos cos -=-：函数x cos 图像关于??

?

??0,2π对称 3）正切函数 <1>诱导公式

A 、()()Z k x k x ∈=+tan tan π：函数x tan 图像周期性

B 、()ααtan tan -=-：函数x tan 图像关于原点对称，或函数x tan 图像在互 为相反数的两个自变量所对应的函数值也互为相反数

C 、()ααπtan tan -=-：函数x tan 图像关于??

?

??0,2π对称 4）正弦函数与余弦函数关系： <1>诱导公式

A 、函数x cos 是由x sin 向左平移而来的，即x x cos 2sin =??

?

??+π B 、x x cos 2sin =??

?

??-π函数x cos 与x sin 的图像关于4π=x 对称

5） 三角函数表格：

,2x x k k ππ??≠+∈Z ????

（3）三角函数的诱导公式

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．

()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．

()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

()5sin cos 2π

αα??-=

???，cos sin 2παα??-= ???．

()6sin cos 2παα??

+= ???，

cos sin 2παα??

+=- ???．

小结：

① 图像中w 的作用是压缩或者伸长，影响的是周期、单调区间；?的作用是平移，影响的是奇偶性；A 的作用是纵向拉伸，影响的是最值、值域。

② 一般地，函数()()0.0sin >>+=w A wx A y ?的图像，可以看成是由下面的方法得到的：先画出x y sin =的图像；再把正弦曲线向左（右）平移?个单位长度，得到函数

()?+=x y sin 的图像；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的

w

1

倍，得到函数()?+=wx y sin 的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍，这时的曲线就是函

数()?+=wx A y sin 的图像。

③ ()?+=wx A y sin x y sin =由平移拉伸而来，但是用此方法画()?+=wx A y sin 图 像较繁琐. 方法是“五点（画图法）”！原因就是说任何()?+=wx A y sin 的图像都可以由

x y sin =平移，压缩，拉伸而来的，所以说x y sin =的一个周期中的五个点对应到()?+=wx A y sin 的五个点也是一个周期，0>w 注定单调性也是一致的

④A 是振幅，?+wx 是相位，?是初相，周期w T π2=，频率π

21w

T f ==

第二章 平面向量

一、基本概念

向量：既有大小，又有方向的量

有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量． 零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向量． 二、向量的运算

（1）向量的加法

①三角形法则的特点：首尾相连 ②平行四边形法则的特点：共起点 ③三角形不等式：a b a b a b

-≤+≤+

当a ，b 不共线时，b a b a b a +<+<- 当a ，b 同向时，b a b a +=+ 当a ，b 反向时，b

a b a -=-

④运算性质： A 、交换律：a b b a +=+

B 、结合律：()()

a b c a b c ++=++ C 、00a a a +=+=

⑤坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++ （2） 向量的减法：

①三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ②转化成加法

()b a b a -+=- 注：-=

③坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =， 则()1212,a b x x y y -=--

（3） 向量的数乘：

①()()a a λμμλ=、()a a a μλμλ+=+、

()b a b a λλλ+=+、()()()a a a -=-=-λλλ、()b a b a λλλ-=- a a λλ=

②当0>λ时，a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时，a λ的方向与a 的方向相 反；当0=λ时，=a λ ⑧向量共线定理：

向量()0≠a a 与b

共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.设()11,a x y =，

b

a

C

B

A

a b C C -=A -AB =B

()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()

0b b ≠ 共线

⑨坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==

（4） 平面向量基本定理：

如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ， 有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一 平面内所有向量的一组基底） （5） 分点坐标公式：

设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当

12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++??

?++??

时，1=λ就为中点公式） （6） 平面向量的数量积：

①()

cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ 零向量与任一向量的数量积为0．

②性质：设a 和b 都是非零向量，则0a b a b ⊥??=

设a 与b 同向时，a b a b ?=、2

2

a a a a ?==或a a a =? 设a 与

b 反向时，a b a b

?=-

a b a b ?≤当且仅当a 、b 是共线向量时满足等号成立

③运算律：a b b a ?=?、()()()a b a b a b λλλ?=?=?、()

a b c a c b c

+?=?+

?

()()夹角是,22

2

2

θ

θ+=++

=+

()()夹角是,22

22θθ-=+-=-

④坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ?=+ 设(),a x y =，则2

2

2

a x y =+，或2a x y =

+

设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥?+=

设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角， 则121

cos a b a b

x θ?=

=

+．

第三章 三角恒等变换

一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-

⑶()sin

sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+

⑸()tan tan tan

1tan tan αβ

αβαβ

--=+ ?()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+

⑹()tan tan tan

1tan tan αβ

αβαβ

++=

- ?()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-、 （7）

()()βαβαβαcos sin 2sin sin =-++

2

cos

2sin

2sin sin ?

θ?

θ?θ-+=+? （8）()()βαβαβαsin cos 2sin sin =--+2

sin 2cos 2sin sin ?

θ?θ?θ-+=-?

二、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

sin22sin cos ααα=2

2

2

)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? 2

222cos2cos

sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

?升幂公式2sin 2cos 1,2cos

2cos 12

2

α

αα

α=-=+αα

α

cos 1cos 12tan 2

+-=

?

?降幂公式2cos 21cos 2αα+=

，2

1cos 2sin 2αα-=ααα2cos 12cos 1tan 2+-=? 22tan tan 21tan α

αα

=-．

三、

四、合一变形（★★★★）

2

tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan

2

sin :

2

2

2α

α

αααα万能公式+-=+=

（1）???

? ??++++=

+x b a b

x b a a b a x b x a cos sin cos sin 2

22222 ()x x b a cos sin cos sin 22??++= ()?++=x b a sin 22??

? ??

=

a b ?tan （2）???

? ??++++=

+x b a b

x b a a b a x b x a cos sin cos sin 2

22222 ()x x b a cos cos sin sin 22??++= ()?-+=x b a cos 22??

? ??

=

b a ?tan

例1、（课本例题，19P ）已知5

3

sin -

=α，求αcos 、αtan 的值 目的：已知某角的正切、正弦、余弦三者之一，快速求其余两个

解析一：因为05

3

sin <-

=α，且1sin -≠α，所以α是第三或第四象限 由于1cos sin 22=+αα得：25

16sin 1cos 2

2=-=αα

若α是第三象限角，则54cos -=α，4

3

5453cos sin tan =--

==ααα

若α是第四象限角，则54cos =α，43

5

453cos sin tan -=-

==ααα

解析二：联立方程组???

??=

=+αααααcos sin tan 1cos sin 22即是???

????-==??? ??-+αααcos 5

3

tan 153cos 2

2 则可得：54cos -

=α、43tan =α或54cos =α、4

3

tan -=α 思路：此题若是一道选择题，用方法一、方法二太繁琐! 方法：①我们先判断α是第三或第四象限

②若α是第三象限角，则0cos <α、0tan >α. 我们心里可以假设一个

直角三角形，假设一个角是α，因为53

sin -=α. 所以α的对边是3， 斜边是5. 有勾股定理可得邻边是4，故54cos =α、4

3

tan =α，然后

判断符号即可得到54cos -=α、43tan =α或54cos =α、4

3

tan -=α

例2、（课本练习20P 、证明22P ）

目的：快速应用1cos sin

22

=+αα、α

α

αcos sin tan =

进行恒等变形 （1）()ααααα

ααα2222

2

2244cos sin 21cos sin

2cos sin cos sin -=-+=+

(

)(

)

αααααααα2

22

2

2

24

4

cos sin cos sin cos sin cos sin -=-+=- （2）()2

sin cos cos sin 21x x x x -=-

（3）

x x x x x x sin cos sin cos tan 1tan 1+-=+-、1

tan 1

tan cos sin cos sin -+=

-+x x x x x x 、 ()()()()()()x

x x x x x x x x x 22

22

cos sin 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin 1+=

-+=+-++=-+ （4）???

? ??-=??? ??-=-=-x x x x x x x x x x 22

2222222

2

cos cos 1sin 1cos 1sin sin cos sin sin tan x x x x x 2

2222

tan sin cos sin sin =?

??

? ??= 例3、（课本例题26P 、27P ）（1）证明：x x cos 23sin -=??

?

??-π （2）化简

()()()()()?

?

?

??+----?

??

??-??? ??++-x x x x x x x x 29sin sin 3sin cos 211cos 2cos cos 2sin ππππππππ

目的：灵活应用三角函数的诱导公式

（1）解析① 第一步，利用x y sin =图像上任意相差π的两个自变量所对应的函数 值互为相反数，即是??

?

??--=???

??-x x 2sin 23sin ππ 第二步，利用x y sin = x y cos =关于4

π=

x 对称得x x cos 2sin =???

??-π，故x x cos 23sin -=??

?

??-π ② 第一步，利用x y sin =图像上任意相差π的两个自变量所对应的函数 值互为相反数，即是??

?

??--=???

??-x x 2sin 23sin ππ 第二步，利用x y sin = 图像是由x y cos =图像平移而来的，故()x x -=??

?

??-cos 2sin π 第三步 x y cos =的图像关于y 轴对称故()x x cos cos =-故x x cos 23sin -=??

?

??-π （2）解析：()()x x x sin sin 2sin -=-=-π ()x x cos cos -=+π

()x x x sin sin 2cos -=+=??

?

??+ππ x x x x sin 2cos 23cos 211cos -=??

?

??--=??? ??-=???

??-πππ ()()x x x cos cos cos -=--=-π

()()()()x x x x x sin sin sin sin 3sin =--=--=-=-ππ ()()()x x x x sin sin sin sin =--=--=--π x x x cos 2sin 29sin =??

?

??+=???

??+ππ 思考：奇变偶不变，符号看象限！

小结：（1）对于此类型题，我们的方法一般式：周期性、半周期、函数平移或奇 偶性

（2）思考：奇变偶不变，符号看象限（理解记忆！）

例4、（课本探究31P ）你能根据诱导公式，以正弦函数的图像为基础，通过适当的图像变形 得到余弦函数的图像吗？

目的：用正余弦函数图像来解释诱导公式x x cos 2sin =??

?

?

?

+π的含义，一变我 们能灵活应用公式！ 解析：x x cos 2sin =??

?

?

?+

π告诉我们：正弦函数x y sin =的自变量取值比余弦 函数x y cos =自变量取值大2

π

时，函数值相等，即是：正弦函数是由 余弦函数向右平移而来的 小结：思考其他诱导公式的含义！

例5、（课本思考33P ）你能否从函数图像变换的角度，利用函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 来得到[]π2,0,sin 1∈+=x x y 的图像？同样的，能否从函数[]π2,0,cos ∈=x x y 的图像得到函数[]π2,0,cos ∈-=x x y 的图像？ 目的：函数的平移、对称、旋转

解析：[]π2,0,sin 1∈+=x x y 图像是由[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像向上平移1个单位 长度而来的，理由：相等的自变量取值，[]π2,0,sin 1∈+=x x y 的函数值总比 []π2,0,sin ∈=x x y 的函数值大1

函数[]π2,0,cos ∈-=x x y 的图像是由函数[]π2,0,cos ∈=x x y 的图像关于 x 轴对称而来的，理由：相等的自变量取值，[]π2,0,cos ∈-=x x y 的函数值与 []π2,0,cos ∈=x x y 的函数值互为相反数

思考：如何求函数平移、对称、旋转（特例关于原点对称），比如说：已知函数是奇函 数，且已知0>x 时的函数表达式，求0

1

sin 2π，并从中你归纳这些函数的周期与解析式中的哪些

量有关

目的：利用周期函数的概念（或函数平移旋转对称）求三角函数的周期 解析一：R x x y ∈???

??-=,621sin 2π，设周期是πk ，则()??? ??-+62

1

sin 2ππk x

???

??-=621sin 2πx ，整理得??? ??-=??? ??+

-62

1

sin 22621

sin 2πππx k x ，则可知

4=k ，即：原函数的周期是π4 解析二：R x x y ∈???

??-=,62

1

sin 2π图像是由函数R x x y ∈=,sin 先向右平移6π得到

函数R x x y ∈???

?

?-

=,6sin π的图像，然后由R x x y ∈??? ?

?

-=,6sin π的图像水 平拉伸2倍得到函数R x x y ∈???

??-=,62

1

sin π的图像，最后将函数

R x x y ∈???

??-=,621sin π的图像竖直拉伸2倍得到??? ??-=62

1

sin 2πx y ，

R x ∈图像

已知R x x y ∈=,sin 的周期是π2，因为R x x y ∈??

?

?

?-

=,6sin π是由函数 R x x y ∈=,sin 平移而来的，所以说周期仍是π2；R x x y ∈???

??-=,62

1

sin π

的图像是由R x x y ∈??

?

?

?

-=,6sin π水平拉伸2倍而来，故周期增大为 ππ

42

12==T ；??? ??-=621sin 2πx y R x ∈是由R x x y ∈??? ??

-=,6sin π图 像纵向拉伸，胡周期不变，综合上述可知：??? ??-=62

1

sin 2πx y R x ∈的周期

是ππ

42

12==T 即：()?+=wx A y sin 周期为w

T π

2=

，既可以推广到 如果函数()x f y =的周期是T ，那么函数()wx f y =的周期是w

T

例7、（课本例题39P ）求函数[]πππ2,2,32

1

sin -∈???

??+=x x y 的单调递增区间

目的:由已知函数的单调性求复合函数的单调性、三角函数的“五点作图法” 解析一：令321π+=

x z ，函数z y sin =的单调增区间是???

???++-ππππk k 22,22

由ππ

ππ

k z k 2222

+≤

≤+-

，解得：ππ

ππk x k 43

435+≤≤+- 当且仅当0=k 时[]ππππ2,233

5-∈?

???

??≤≤-x x ，

满足定义域取 值范围，故函数[]πππ2,2,32

1

sin -∈???

??+=x x y 的单调递增区间是：

?

?

??

??≤≤-33

5ππx x 解析二：利用“五点作图法”（描点法）画图，由函数图像进行单调性判断：

故函数[]πππ2,2,32

1

sin -∈???

??+=x x y 的单调递增区间是：

?

?

??

??≤≤-33

5ππx x 例8、（课本例题39P ）利用三角函数单调性，比较下列各组数的大小： （1）??? ??-??? ??-

10sin 18sin ππ与 （2）??

?

??-??? ??-4

17cos 523cos π

π与 目的：用函数单调性比大小

解析：利用三角函数的单调性比较同名三角函数的大小，可以先利用诱导公式将已知 角化为同一单调区间内的角，然后比较大小 例9、（课本例题44P ）求函数???

??+=32

tan ππ

x y 的定义域、周期和单调区间

目的：求正切函数的定义域、周期、单调区间 解析：正切函数与正、余弦函数的区别：

（1）正切函数定义域不是全体实数，而正、余弦函数的定义域是全体实数 （2）正切函数只有单调递增区间，没有单调递减区间！而正、余弦函数既有单 调递增区间，又有单调递减区间 （3）正切函数的周期为w

T π

=

，正、余弦函数的周期为w

T π

2=

理由：函数x y tan =周期是π，函数x y sin =、x y cos =周期均是π2 小结：（1）三角函数周期两种求法：三角函数概念；公式法

（2）三角函数单调性的两种求法：复合函数求单调性；五点作图法（描点法） 例10、（课本习题A10，46P ）已知函数()x f 是以2为最小正周期的周期函数，且[]2,0∈x 时，()()2

1-=x x f ，求()3f 、??

?

??27f 的值

目的：利用周期函数的性质，由已知区间的函数表达式求未知区间的函数表达式 解析：略

方法：仿照下面此题方法一致，多思考！

（课本必修一习题1.3，39P ）已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，

()()x x x f +=1，画出函数()x f 的图像，求出函数解析式

解析一：因为函数()x f 是定义在R 上的奇函数，所以函数在0

点关于原点对称后的坐标点满足()()x x x f +=1我们可以设0

1，

即：()2

x x x f -=

此方法利用函数图象上点的特征来寻找到关于x 与()x f 的一个等式，通过

化简即可得到()x f 解析二：找规律

例11、（课本习题B3，47P ）已知函数()x f 的图像如图所示，试回答下列问题

（1）求函数的周期

（2）画出函数()1+=x f y 的图像

（3）你能写出函数()x f y =的解析式 目的：函数的平移 解析：（1）周期：2

（2）()1+=x f y 函数图像是由()x f y =向左平移一个单位长度而来的 （3）11<≤-x 时，()x x f = 31<≤x 时，()2-=x x f 53<≤x ，()4-=x x f

1212+<≤-n x n 时，()z n n x x f ∈-=,2 例12、（课本练习56P ，3）函数??

?

??-=

421sin 32πx y 的振幅、周期和频率各是多少？它的图 像与正弦曲线有什么关系？

目的：知道三角函数振幅、周期、频率、单调性、定义域怎么求得，并能利用平移 拉伸（压缩）来画函数的图像 解析：??? ??-=

421sin 32πx y 是由x y sin =先向右平移4

π

，然后横坐标变为原来的 2倍，纵坐标缩短为原来的

3

2

倍 或??

?

??-=

421sin 32πx y 是由x y sin =先横坐标变为原来的2倍，然后向右 平移

2π，最后纵坐标缩短为原来的3

2倍 小结：??

?

??-=

421sin 32πx y 图像形成的两种方法，先平移后压缩；或者先压缩后平 移，两种方法，但是一种思路

例1、（课本探究82P ）数的加法满足交换律和结合律，即对于任意R b a ∈,,有+=+ ()()

c b a c b a ++=++，任意a 、b 的加法是否也满足交换律和结合律？请 画图进行探索

目的：向量加法交换律和结合律的理解！ 解析：

由向量加法的三角形法则可知：+=+=、

()

++=++= 即是：+=+、()()

++=++ 例2、（课本探究85P ）向量是否有减法？如何理解向量减法？我们知道，减去一个数等于加 上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？ 目的：向量减法和加法的灵活转化 解析：

()

-=-+=

例3、（课本探究87P ）已知非零向量，作出++和()()()

a a a -+-+-，你能说明它 们的几何含义吗？

（课本思考88P ）你能解释上述运算律的几何意义吗？ 目的：理解向量数乘的几何含义

高中数学必修4知识点总结归纳

高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

高中数学必修4知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修4知识点汇总 第一章：三角函数 1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

高中数学必修4知识总结(完整版)

高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．

2017-2018学年人教版高中数学必修四教材用书word文件

1．1任意角和弧度制 1．1.1任意角 [提出问题] 问题1：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？ 提示：旋转方向不同． 问题2：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？ 提示：顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°，顺时针方向旋转了900°. [导入新知] 角的分类 1．按旋转方向 2. (1)角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角； (2)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限． [化解疑难] 1．任意角的概念 认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边． (1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．

(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字． ①要明确旋转方向； ②要明确旋转角度的大小； ③要明确射线未作任何旋转时的位置． 2．象限角的前提条件 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. [提出问题] 在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合”下，研究下列角：30°，390°，－330°. 问题1：这三个角的终边位置相同吗？ 提示：相同． 问题2：如何用含30°的式子表示390°和－330°？ 提示：390°＝1×360°＋30°，－330°＝－1×360°＋30°. 问题3：确定一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？ 提示：不唯一． [导入新知] 终边相同的角 β|β＝α＋k·360°，k∈Z，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{}即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [化解疑难] 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点． (1)k是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角． (3)k·360°，k∈Z与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°，k∈Z应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．

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高中数学必修4知识点 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落 在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

①角度化为弧度： 180180ππ n n n o o o = ? =，②弧度化为角度：o o 180180?? ? ??=?=παπαα （3）若扇形的圆心角为α（α是角的弧度数），半径为r ，则： 弧长公式： ①,180 （用度表示的）π n l = ② （用弧度表示的）r l ||α=； 扇形面积：①)(3602用度表示的扇r n s π=② lr r S 2 1 ||212==α扇（用弧度表示的） 5、三角函数: （1）定义①：设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点 是(),x y ，它与原点的距离是( ) 0r OP r ==>， 则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠ 定义②：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α=y ; u 叫做α的余 弦，记作cos α，即cos α=x ; 当α的终边不在y 轴上时， x y 叫做α的正切，记作tan α, 即tan α=x y . （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，S 正，T 正，C 正。 口诀：第一象限全为正； 二正三切四余弦. （3）特殊角的三角函数值 αsin x y + + _ _ O x y + + _ _ αcos O αtan x y + + _ _ O

最新北师大版高中数学必修3必修4课后习题答案

第一章 算法初步 1．1算法与程序框图 练习（P5） 1、算法步骤：第一步，给定一个正实数r . 第二步，计算以r 为半径的圆的面积2 S r π=. 第三步，得到圆的面积S . 2、算法步骤：第一步，给定一个大于1的正整数n . 第二步，令1i =. 第三步，用i 除n ，等到余数r . 第四步，判断“0r =”是否成立. 若是，则i 是n 的因数；否则，i 不是n 的因数. 第五步，使i 的值增加1，仍用i 表示. 第六步，判断“i n >”是否成立. 若是，则结束算法；否则，返回第三步. 练习（P19） 算法步骤：第一步，给定精确度d ，令1i =. 的到小数点后第i 位的不足近似值，赋给a 的到小数点 后第i 位的过剩近似值，赋给b . 第三步，计算55b a m =-. 第四步，若m d <，则得到5a ；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示. 返回第二步. 第五步，输出5a . 程序框图：

习题1.1 A 组（P20） 1、下面是关于城市居民生活用水收费的问题. 为了加强居民的节水意识，某市制订了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7 m 3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m 3的部分，每立方收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费. 设某户每月用水量为x m 3，应交纳水费y 元， 那么y 与x 之间的函数关系为 1.2,07 1.9 4.9,7x x y x x ≤≤?=?->? 我们设计一个算法来求上述分段函数的值. 算法步骤：第一步：输入用户每月用水量x . 第二步：判断输入的x 是否不超过7. 若是，则计算 1.2y x =； 若不是，则计算 1.9 4.9y x =-. 第三步：输出用户应交纳的水费y . 程序框图： 2、算法步骤：第一步，令i =1，S=0. 第二步：若i ≤100成立，则执行第三步；否则输出S. 第三步：计算S=S+i 2. 第四步：i = i +1，返回第二步. 程序框图：

高中数学必修4课本知识点

第一章 三角函数 一、基本概念 （1）任意角 ①正角：按逆时针方向旋转的角 ②负角：按顺时针方向旋转的角 ③零角：不做任何旋转形成的角 （2）任意角的大小 ①角度制 设角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，若0 30=α，则终边 在其上的角的集合为 {} Z k k ∈?+=,36030 00 ββ 终边在x 轴上的角的集合为{} 180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z ②弧度制 弧度制是角度的另一种表示方法. 概念：把长度等于半径长的弧所对应的圆心角叫做1弧度的角.单位：rad . 有概念可得：<1>角度制和弧度制单位换算：π 180 1= rad ，则180 1π= ? <2>设α是半径是r 的圆，弧长为l 所对应的圆心角. 则r l =α ③角度制和弧度制单位换算 π 180 1= rad ，则180 1π= ? 常见的角度制和弧度制的转化：

（4）象限角（任意角的归类） 设角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限， 则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

高中数学必修4知识点整理

高中数学必修4知识点自测题 一、填空题（每空1分,共100分） 1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l =__________，C=_________，S=_____________ 2、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是r ，则r=__________sin α=_______，cos α=________，tan α=________． 3、三角函数在各象限的符号：第一象限________为正，第二象限__________为正，第三象限___________为正，第四象限______________为正． 4、三角函数线：sin α=________，cos α=____，tan α 5、同角三角函数的基本关系：(1)___________ =1, cos 2α=__________________; sin 2α=__________________ (3)tan α=____________． 6、三角函数的诱导公式： (1)Sin(2k +πα)=___________ cos(2k +πα)=___________ tan(2k +πα)=___________ (2) Sin(π-α)=___________ cos(π-α)=___________ tan(π-α)=___________ (3) Sin(π+α)=___________ cos(π+α)=___________ tan(π+α)=___________ (4) Sin(-α)=___________ cos(-α)=___________ tan(-α)=___________ (5)sin(2π-α)=_________cos(2π -α)=_________ (6) sin(2π+α)=_________cos(2 π +α)=_________ 7、函数sin y x =的图象上所有点向_____（_____）平移?个单位长度，得到函数()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的_______倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；

高中数学必修4第一章知识点总结及典型例题

高中数学必修四 第一章 知识点归纳 第一:任意角的三角函数 一：角的概念:角的定义,角的三要素,角的分类(正角、负角、零角和象限角）,正确理解角,与角终边相同的 角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ , 弧度制，弧度与角度的换算， 弧长l r α=、扇形面积2112 2 s lr r α==， 二:任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是(ｘ,ｙ）,它与原点的距离是 22r x y =+（r>0），那么角α的正弦r y a = sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。 三：同角三角函数的关系式与诱导公式： １.平方关系: 22sin cos 1 αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 正弦 余弦 正切 第二、三角函数图象和性质 基础知识:１、三角函数图像和性质 1-1 y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2π π -π o y x 1-1y=cosx -3π2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π 4π 3π 2π π -π o y x

2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域,最值,周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ,会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图:五点分别为： 、 、 、 、 。

3、图象的基本变换：相位变换:sin sin()y x y x ?=?=+ 周期变换：sin()sin()y x y x ?ω?=+?=+ 振幅变换：sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+ 4、求函数sin()y A x ω?=+的解析式:即求A 由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。 基础练习： 1、tan(600)-= . sin 225?= 。 2、已知扇形AOB 的周长是6cm ，该圆心角是１弧度,则扇形的面积= cm 2 . 3、设a <0，角α的终边经过点P （-3a ，4a ），那么ｓin α+2cos α的值等于 ４、函数 y =的定义域是＿____ __ 5、. 的结果是 。 6、函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3 x 2sin(3y π -=的图象-------( ） (A)向左平移个6π单位 (B ）向右平移个6π单位(C ）向左平移个3π单位 （D ）向右平移个3 π 单位 7、已知0tan ,0sin ><θθ,那么θ是 。 8.已知点P (tan α,ｃｏｓα）在第三象限，则角α的终边在 ９、下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 π = x 对称的是( ) A ．sin(2)3π=-y x Ｂ.sin(2)6π=-y x Ｃ．sin(2)6π=+y x D ．sin()23 π =+x y 10、下列函数中,周期为π的偶函数是（ ) A.cos y x = B.sin 2y x = C. tan y x = D. sin(2)2 y x π =+ 解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 第一类型:1、已知角α终边上一点P(－4,3)，求) 2 9sin()211cos() sin()2cos(απαπαπαπ +---+的值

高一数学必修四(公式总结)

高一数学公式总结 复习指南 1．注重基础和通性通法 在平时的学习中，应立足教材，学好用好教材，深入地钻研教材，挖掘教材的潜力，注意避免眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础知识和基本方法的不良倾向，当然注重基础和通性通法的同时，应注重一题多解的探索，经常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析问题、解决问题的能力。 2.注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上，因为听懂了不一定会，会了不一定对，对了不一定美。即数学学习的五种境界：听——懂——会——对——美。 我们今后要在第五种境界上下功夫，每年的高考结束，结果下来都可以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大，这就是其中的一个原因。 另外我们的学生的解题的素养不够，比如仅仅一点“规范答题”问题，我们老师也强调很多遍，但作为学生的你们又有几人能够听进去！ 希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观”： 1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养 注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题，提高数学的兴趣，增强学好数学的信心，达到培养创新精神和实践能力的目的。 4.培养学习与反思的整合 建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的，而只能由学生依据自身已有的知识、经验，主动地加以建构。学习是一个创造的过程，一个批判、选择、和存疑的过程，一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学，老师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大，俗话说“强扭的瓜不甜”嘛！数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆，积累和模仿，而且还要动手实践，自主探索，并且在获得知识的基础上进行反思和修正。（这也就是我们经常将让大家一定要好好预习，养成自学的好习惯。）记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义：科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问，仔细想来确实很有道理！ 所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固，知识的得到拓展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯！ 5.注重平时的听课效率 听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识，而且事半功倍，可以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听不到什么，索性就不听，抓紧课堂上的每一点时间做题，多做几道题心里就踏实。这种认识是不科学的，想象如果上课没有用的话，国家还开办学校干嘛？只要印刷课本就足够了，学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。 想想好多东西还是在课堂上聆听的，听听老师对问题的分析和解题技巧，老师是如何想到的，与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西，更重要的是跟着老师的思路，注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记，因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造！回忆课堂上老师是怎样讲的，自己在整理时有比较好的想法，就记下来，抓住自己思维的火花，因为较为深刻的思维火花往往是稍纵即逝的。 在这里我再一次强调听课要做到“五得” 听得懂想得通记得住说得出用得上

新人教版高中数学必修4知识点

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新课标高中数学必修4知识点详细总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

新人教版高中数学必修四教材分析

新人教版高中数学必修四教材分析

一、教材分析的理论 本文分析的内容为新人A教版高中数学（必修四），运用系统理论进行研究，其出发点就是将教材看成是一个系统。分析系统的要素之间整体与部分的构成关系，以及形成的不同质态的分系统及其排列次序。 进行教材分析，首先从整个数学教育发展到教师个人专业成长，再到课堂教学等方面研究教材分析的意义；然后，按照树立正确教材观、深刻理解课标、分析教材特点、分析教材内容结构、处理教材等步骤研究如何科学分析高中数学教材，其中的案例均来自人教A版高中数学(必修四)；最后，结合典例分析的感悟，提出了高中数学教材分析时应坚持的思想性、实践性、整体性及发展性原则，以提升教材分析的效果。 二、数学必修四第三章的教材分析 从系统上看作为新课程高中数学非常重要的必修四，它是由“第一章三角函数、第二章平面向量、第三章三角恒等变换”三部分内容组成。内容层层递进，逐步深入，这对于发展学生的运算和推理能力都有好处。 本章内容以三角恒等变换重点，体会向量方法的作用，并利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立的正弦、余弦值的等量关系。在两角差的余弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生

体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、特殊化、化归等思想方法。特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用，对学生解决问题的一般思路进行引导。教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。 本章还强调了用向量方法推导差角的余弦公式，并用三角函数之间的关系推导和（差）角公式、二倍角公式。要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧性要求。教学时应当把握好这种“度”，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充知识点（如半角公式、积化和差与和差化积公式，这些公式只是作为基本训练的素材，结果不要求记忆，更不要求运用）。 三、数学必修四第三章第一课时的教材分析 3.1教学要求： 基本要求： ①能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形，并证明三角恒等式。 ②能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。 ③能把一些实际问题化为三角问题，通过三角变换解决。 发展要求： ①了解和、差、倍角公式的特点，并进行变形应用。 ②理解三角变换的基本特点和基本功能。 ③了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。 3.2重点难点：

人教版高中数学必修4知识点总结

高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、角三角函数的基本关 系

高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全)

必修四常考公式及高频考点 第一部分 三角函数与三角恒等变换 考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以构成一个集合：{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z } 2.象限角的表示方法： 第一象限角的集合为{α| k ·360 °<α

高中数学必修4知识点(完美版)

高中数学必修 4 第一章三角函数 正角: 按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角 零角: 不作任何旋转形成的角 2、角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角． o o o 第一象限角的集合为k 360 k 360 90 , k o o o o 第二象限角的集合为k 360 90 k 360 180 ,k o o o o 第三象限角的集合为k 360 180 k 360 270 ,k o o o o 第四象限角的集合为k 360 270 k 360 360 ,k o 终边在x 轴上的角的集合为k 180 ,k o o 终边在 y 轴上的角的集合为k 180 90 ,k o 终边在坐标轴上的角的集合为k 90 , k 2 Ⅰ Ⅰ、Ⅲ 2 Ⅱ Ⅰ、Ⅲ 2 Ⅲ Ⅱ、Ⅳ 2 Ⅳ Ⅱ、Ⅳ 2 o 3、与角终边相同的角的集合为k 360 , k 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 5、半径为r 的圆的圆心角所对弧的长为l ，则角的弧度数的绝对值是l r ． o o ， 1 180 57.3 o，1 o． 6、弧度制与角度制的换算公式： 2 360 180

7、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为 C ，面积为S，则l r ，C 2r l ， 1

1 1 2 S lr r ． 2 2 8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x, y ，它与原点的距离是 2 2 0 r r x y ， 则sin y r ，cos x r y ，tan x 0 x ．y P T 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin ，cos ，tan ． O M x A 11 、角三角函数的基本关系： 2 2 1 sin cos 1 2 2 2 2 sin 1 cos ,cos 1 sin ； sin 2 tan cos sin tan cos ,cos s in tan ． 12、函数的诱导公式： 1 sin 2k sin ，c os 2k cos ，t an 2k tan k ． 2 sin sin ，cos cos ，t an tan ． 3 sin sin ，cos cos ，tan tan ． 4 sin sin ，cos cos ，tan tan ． 口诀：函数名称不变，符号看象限． 5 sin cos 2 ，cos sin 2 ． 6 sin cos 2 ，cos sin 2 ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数y sin x 的图象；再将函数y sin x 1 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y sin x 的图象；再将 函数y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数y sin x 的图象． 1 ②数y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 y sin x 的图象；再将函数y sin x 的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数y sin x 的图象；再将函数y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横

人教A版高中数学必修4知识点总结

高中数学必修4知识点总结 第一章：三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ. §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l = α. 3、弧长公式：R R n l απ== 180 . 4、扇形面积公式：lR R n S 2 1 3602== π. §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：x y x y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点，那么： （设r = sin y r α= ，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、 特殊角0°，30°，45°，60°， §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：α α αcos sin tan = . 3、 倒数关系：tan cot 1αα= §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为Z k ∈）

1、 诱导公式一： ()()().tan 2tan ,cos 2cos , sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、 诱导公式二： ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos , sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四： ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ-=--=-=- 5、诱导公式五： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=??? ??-=??? ??- 6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=?? ? ??+=??? ??+ §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、 单调性、周期性. 3、会用五点法作图. sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-1202 2 π πππ（ ，）（，，）（，，）（，，）（，，）. §1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：

高中数学必修四知识点归纳

必修4 第一章 三角函数 一、任意角和弧度制 1.任意角 （1）角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角，射线的起始位置叫做角的始边，终止位置叫做角的终边.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果射线没有作任何旋转，则形成零角.在坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的终边与x 轴的正半轴重合，则角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. （2）终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合 0{360} ==?+∈S k ,k Z ββα （3）坐标轴上的角： 2.弧度制 （1）定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. （2）计算：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α弧度数的绝对值是 = l r α 其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定. 注意：弧长公式: =l r α.

扇形面积公式: 211 22 = =S lr r α. （3）换算:360°＝2π 180°＝π 1001745180π ≈= . 180 1=( )5730≈.π 说明：①1800 ＝π是所有换算的关键，如ππ= ===,1801803045 6644；②πm n 形式的角当n ＝2，3，4，6时都是特殊角. 二、任意角的三角函数 1.任意角三角函数的定义 （1）定义：设P (x , y )是角α终边上任意一点, =>OP r 0,则有 sin α= y r c o s α=x r tan α=y x （2）三角函数值的符号： 口诀：一全二正弦，三切四余弦. 注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值.

高中数学必修4知识点(填空版)

第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按_______方向旋转形成的角1、任意角负角:按_______方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、与角α终边相同的角的集合为________________________________________ 3、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为_____________________________________________ 第二象限角的集合为_____________________________________________ 第三象限角的集合为_____________________________________________ 第四象限角的集合为_____________________________________________ 终边在x 轴上的角的集合为_____________________________________________ 终边在y 轴上的角的集合为_____________________________________________ 终边在坐标轴上的角的集合为_____________________________________________ 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 5、弧度制与角度制的换算公式． ______________________________________________________________________________________________________________________________________________ 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是____________________． 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ， 则 ________________________________________________________________________