第三讲 函数连续与导数
一、一点连续的定义
1、 设f 在某0()U x 内有定义且0
0lim ()()x x f x f x →=，则称f 在0x 连续；
2、 设f 在某00()(())U x U x +-内有定义且0000()()(()())f x f x f x f x +=-=，则称f 在0x 右（左）连续；
3、 f 在0x 连续000,0:|||()()|x x f x f x εδδε??>?>-?>∈?-<； f 在0x 左连续000,0:(,)|()()|x U x f x f x εδδε-??>?>∈?-<.
4、0
00
00(,)
(,)
lim ()lim sup
(),lim ()lim inf
()x x x U x x x x U x f x f x f x f x δδδδ→→+→+∈→∈==；
00,(,)
()lim ()lim ()lim
sup (()())f x x x x x x U x x f x f x f x f x δδω→→+'→∈'=-=-；
f 在0x 连续0()0f x ω?=.
5、 间断点：
1） 第一类间断点：可去间断点：0
0lim ()()x x f x f x →≠；跳跃间断点00()()f x f x +≠-；
2） 第二类间断点：0()f x +与0()f x -至少有一个不存在. 二、性质：
1、 局部有界性：
2、 局部保号性：
3、 四则运算：
4、 复合函数连续性：若f 在0x 连续，g 在00()u f x =连续，则g f 在0x 连续.
5、 区间上的单调函数只有跳跃间断点.
三、区间上连续函数及性质
1、 若函数f 在区间I 上的每一点都连续（对于区间端点单边连续），则称f 为区间I 上的连续函数。
2、 闭区间上连续函数的性质：
1）(最大与最小值定理)若([,])f C a b ∈,则f 在[,]a b 上有最大与最小值. 2）(有界性定理) 若([,])f C a b ∈,则f 在[,]a b 上有界. 3）（介值定理）若([,])f C a b ∈，则([,])f a b 为闭区间. 4）（反函数的连续性）若f 在[,]a b 上严格单调且连续，则1
f -在闭区间([,])f a b 上连续.
四、一致连续
1、设f 定义在区间I 上，若0,0,εδ?>?>当,,||x x I x x δ''''''∈-<时，有|()()|f x f x ε'''-<，则称f 在区间I 上一致连续.
2、0,(,,)sup{()()|,,||}I f f x f x x x I x x δωδδ'''''''''>=-∈-<，则f 在区间I 上一致连续
0lim (,,)0I f δωδ→+
?=.
3、f 在区间
I 上不一致连0l i m (,,)0,n n I f x y I δωδ→+
?>??∈使得||
n n x y -→，inf |()()|0n n n
f x f y ->
4、f 在区间I 上一致连续0,0N ε??>?>，当
()()
,,f x f y N x y I x y
->∈-时，有|()()|f x f y ε-<.
证明: 必要性:设f 在区间I 上一致连续, 则0,0,εδ?>?>当,,||x x I x x δ''''''∈-<时，有
|()()|f x f x ε'''-<,从而当|()()|f x f x ε'''-≥时,必有||x x δ'''-≥. 令2N ε
δ
=
.则当
()()
,,f x f y N x y I x y
->∈-时，有|()()|f x f y ε-
<.若不然, ()()
,,
,f x f y x y I N x y
-?∈>-但
|()()|f x f y αε=-≥,因此||x y δ-≥. 取整数1k >,使得(1)k k εαε-≤<,令1
k α
β=
-,则2εβε≤<.
不妨设()()()f x f y x y <<,这时()()()(1).f y f x f x k αβ=+=+-由()()()f x f x f y β<+≤,则由介值性定理,11(,]:()()x x y f x f x β?∈=+.类似2121(,]:()
()
x x y f x f x β?∈=+.如此下去得011
k x x x x y -=<<<= ,1()()()i i f x f x f x i ββ-=+=+,1,,1i k =- .于是1i i x x δ--≥,从而()()
()()(1)2
(1)f x f y f y f x k N x y y x k βεδδ
---=
≤<=---,矛盾.
充分性: 设0,0N ε?>?>，当
()()
,,f x f y N x y I x y
->∈-时，有|()()
|f x f y ε-<.取N εδ=,若|()()|f x f y ε-≥,则
()()f x f y N x y -≤-,从而|||()()|()()x y x y f x f y f x f y N
ε
δ--=-≥=-.
5、（一致连续性定理）若([,])f C a b ∈,则f 在[,]a b 上一致连续.
6、((,))f C a b ∈，则f 在(,)a b 上一致连续(),()f a f b ?+-都存在([,])F C a b ??∈使得()(),(,f x F x x
a b
=∈. 证明: 必要性:设f 在(,)a b 上一致连续,则0,0,εδ?>?>当,,||x x I x x δ''''''∈-<时，有
|()()|f x f x ε'''-<,从而当,(,)x x a a δ'''∈+时,有|()()|f x f x ε'''-<,由Cauchy 准则()f a +存在,类似可
得()f b -存在.
充分性:设((,))f C a b ∈,(),()f a f b +-存在,0,0,,(,2),(2,)x x a a x x b b εδδδ'''''''''?>?>∈+∨∈-时有|()()|f x f x ε
'''-<.由
f 在[,]a b δδ''+-上一致连续,所以0,,
δδδ'?><当,[,]x x a b δδ'''''∈+-,||x x δ'''-<时有|()()|f x f x ε'''-<,从而当,(,)x x a b '''∈,||x x δ'''-<时有|()()|f x f x ε'''-<.即f 在(,)a b 上一致连续.
7、若函数)(x f 在),1[+∞上一致连续，求证：
x
x f )
(在),1[+∞上有界. (华东师大04) 证明: 由函数)(x f 在),1[+∞上一致连续,所以0,δ?>当,[1,),||2x x x x δ''''''∈+∞-<时,有
|()()|1f x f x '''-<,对1x >,有1111x x x δδδ---????≤<+????????,令1x n δ-??
=????,则11n x n δδδ+≤<++,有1()[((1))()]()n
k f x f x k f x k f x n δδδ==----+-∑,故
11|()|max |()|
t f x n f t δ
≤≤+≤+,令
11max |()|t M f t δ
≤≤+=,
()1
1f x n M x x x δ
≤+≤+.
五、初等函数在其定义区间上连续.
六、举例：
1、设([,))f C a ∈+∞且lim ()x f x →+∞
存在，则f 在[,)a +∞上一致连续。(1
sin
x
在(0,1]有界连续,但不一致连续
.x 在[,)a +∞上一致连续
,2sin
22
=-) 2、设([0,1])f C ∈，(0)(1)f f -，则,[0,1]n ξ??∈，使得1()().f f n ξξ+=
证明：当1n =时，取0ξ=. 当1,n >令1()()()F x f x f x n =+-,则1
([0,1])F C n
∈-,且
111
[(0)()(1)]0F F F n n n +++-= ,所以110101min ()0max ()x x n
n
F x F x ≤≤-≤≤-
≤≤.
3、 设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。证明)(x f 在),(b a 一致连续.（北大05）
4、 设实函数f 在[0,+∞]上连续,在(0,+∞)内处处可导且lim x →∞
A x f =)(' (存在).证明:当且仅当A<+∞时,f
在[0,+∞)上一致连续.(清华99)
证明: 当A <+∞时,则0,M ?>当x M >时,|()|1f x A '<+,从而f 在(,)M +∞上一致连续.又f 在
[0,]M 上一致连续.故f 在[0,)+∞上一致连续.
反之若f 在[0,)+∞上一致连续,则0,δ?>当,[0,),||x x x x δ''''''∈+∞-<时,有|()()|1f x f x '''-<,从而
[,],1|()()||()|2
22n n x n n f n f n f x δ
δ
δ'?∈+
>-+
=,故2
lim |()|lim |()|n x n A f x f x δ
→+∞→∞''==≤.
5、 证明函数()f x x =在[1,)∞上一致连续. （北大01）
证明: ()0()
f x x '=
→→+∞. 6、 函数()f x 在[,]a b 上一致连续，又在[,]b c 上一致连续，a b c <<，用定义来证明()f x 在[,]a c 上一
致连续. （北大00）
7、 设((,))f C a b ∈，若存在lim ()0,lim ()0x a x b f x A f x B →+
→-
=<=>，则必存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=.
（北大99）
8、 函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞
→ 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值.(华
东师大04)
9、 若函数)(x f 在),1[+∞上一致连续，求证：
x
x f )
(在),1[+∞上有界. (华东师大04) 证明: 由函数)(x f 在),1[+∞上一致连续,所以0,δ?>当,[1,),||2x x x x δ''''''∈+∞-<时,有
|()()|1f x f x '''-<,对1x >,有1111x x x δδδ---????≤<+????????,令1x n δ-??
=????,则11n x n δδδ+≤<++,有1()[((1))()]()n
k f x f x k f x k f x n δδδ==----+-∑,故
11|()|max |()|
t f x n f t δ
≤≤+≤+,令
11max |()|t M f t δ
≤≤+=,
()1
1f x n M x x x δ
≤+≤+. 10、设f(x)在[],a b 中任意两点之间都具有介质性，而且f 在（a ，b ）内可导，'()f x K ≤ （K 为正常数），(,)x a b ∈证明：f 在点a 右连续，在点b 左连续. (华东师大00)
11、设f 在(0,1]上连续，在(0,1)上可导，且0(0,1),lim ()x x f x α
α→+
'?∈存在，证明f 在(0,1]上一致连续.(北
师大04)
证明:,设0lim ()x x f x A α
→+
'=.
1) 当0A >时, 只要证明(0)f +存在,由0lim ()x x f x A α
→+
'=, 则0,δ?>当(0,)x δ∈时()0f x '>,且
|()|1x f x A α'≤+,从而
()
f x 在
(0,)
δ上严格增, 当
12n
δ<时,存在
11122n n n ξ+<<,11111()()()222n n n n f f f ξ++'-=1()2n n n n f α
αξξξ+'=11(2)(1)()2n n A α++≤+ 1
11(1)2n A α+-??=+ ???
,故正
项级数
1
1
11
[(
)()]
22n n n f f ∞
+=-∑收敛,于是1lim ()2n n f →∞存在,由单调收敛原理得(0)f +存在. 2) 当0A <时,由1)知f -在(0,1]上一致连续,从而f 在(0,1]上一致连续. 3) 当0A =时,10lim [()]10x x f x x
αα
α-→+
'+=->,由1)1()f x x α-+ 在(0,1]上一致连续.又因为1x α-在
(0,1]上一致连续,故f 在(0,1]上一致连续.
12、设f 在[,]a b 上定义，且[,],lim ()t x
x a b f t →?∈存在（,x a b =时为单侧极限），证明f 在[,]a b 上有界. (北
师大03)
证明: 用反证法.若f 在[,]a b 上无界,则[,],lim |()|n n n x a b f x →∞
?∈=+∞,不妨lim ()n n f x →∞
=+∞.由致密性定
理{}n x 有收敛子列,不妨{}n x 收敛,lim [,]n n x x a b →∞
=∈,这与lim ()t x
f t →存在矛盾.
13、设f 在[,)a b 上连续，无上界且对任意(,)[,)c d a b ?，f 在(,)c d 上不取最小值.证明f 在[,)a b 上严格增.
证明: 用反证法.若a x y b ?≤<<,使得()()f x f y ≥.由f 无上界,则存在y d b <<使得()()f d f y >,于是f 在(,)x d 上取最小值.这与题设矛盾.
14、设f 在[,)a +∞上一致连续，?在[,)a +∞上连续，且lim[()()]0x f x x ?→∞
-=.证明?在[,)a +∞上一致
连续.
15()[,][,]()inf ().()[,]a t x
f x a b x a b m x f t m x a b ≤≤∈=设在上连续，对，定义证明：在上连续.(大连理工04)
证明:0[,]x a b ∈,0,0,εδ?>?>当00(,)x x x δδ∈-+时,有00()()()f x f x f x εε-<<+.
下证()m x 在0x 右连续,00x x x δ<<+,00()()()inf ()a t x
f x m x m x f t ≤≤≥≥=00()inf ()x t x
m x f t <≤=∧
00()(())m x f x ε≥∧-, 从而00()()m x m x ε≤-<.
16、3
'2
0()(0,1]lim ():()(0,1].x f x x f x f x →+
设在上连续，可导，并且存在。求证在上一致连续(大连理工
04)(
取()f x =,3
'
201lim ()2x x f x →+
=-,但f 在(0,1]上不一致连续)
专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法； 2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题； 3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式； 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质； 5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系； 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用； 7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题； 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取 值范围； 9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数 .,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值； （3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点，求证：221>+x x 【答案】（1）6n =（2）1ln m n --（3）见解析 【解析】（1）由， ，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行， 故 2 14 n -=，解得6n =。 （2） ，由()0f x '<时，x n >；()0f x '>时，x n <，所以 ①当1n ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ；
高二数学函数与导数综合复习 一、知识梳理： 1．基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则： 常用函数导数公式：='x ； =')(2 x ；=')(3 x ；=')1 (x ； 初等函数导数公式：='c ； =')(n x ；=')(sin x ；=')(cos x ； =')(x a ； =')(x e ；=')(log x a ；=')(ln x ； 导数运算法则：（1）/ [()()]f x g x ±= ；（2）)]'()([x g x f ?= ； （3）/ ()[ ]() f x g x = [()0].g x ≠ 2．导数的几何意义：______________________________________________________________________； 曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为________________________________________． 3．用导数求函数单调区间的一般步骤： （1）__________________________________; （2）________的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；_______的解集与定义域的交集的对应区间为减区间 4. 利用导数求函数的最值步骤: ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值； ⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值. 二．巩固练习： 1．一个物体的运动方程为21s t t =-+ 其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时 速度是 （ ） A 、 7米/秒 B 、6米/秒 C 、 5米/秒 D 、 8米/秒 2. 在0000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?中，x ?不可能 （ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．大于0或小于0 3. 已知曲线3 2x y =上一点)2,1(A ，则A 处的切线斜率等于 ( ) A ．2 B ．4 C ．6＋6x ?＋2(x ?)2 D ．6 4. 设)(x f y =存在导函数，且满足12) 21()1(lim 0 -=??--→?x x f f x ，则曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线 斜率为（ ） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2
§1 函数的连续性定义：设函数y =f (x )在点x 0的某一邻域内有定义，如果那么就称函数f (x )在点x 0连续.)()(lim 00 x f x f x x =→一、连续函数的概念 函数连续要满足三个条件 (1) 在x =x 0有定义； (2) 存在；(3))(lim 0 x f x x →)()(lim 00 x f x f x x =→
例1. 2sin 21 ,0(),0ax x e x f x x a x ?+-≠?=??=? 在(-∞，+ ∞)上连续， 求的值 a 解：
定义：若函数?(x)在开区间(a , b)内的每一点都连续, 则称函数?(x)在开区间(a , b)内连续; 定义：若函数?(x)在开区间(a , b)内连续, 且在左端点a右连续, 在右端点b 左连续, 则称函数?(x) 在闭区间[a , b]内连续. 一个函数在定义域上连续，从图像上看是连 续不断的，“一笔”可以画出来的。
二、函数的间断点极其类型(1)在x =x 0没有定义； (2)虽在x = x 0有定义，但不存在；(3)虽在x = x 0有定义，且存在,但则函数f (x )在点x 0为不连续，而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点. )(lim 0 x f x x →)(lim 0 x f x x →)()(lim 00 x f x f x x ≠→
x 1 A 2A 0 x 0 x 1 A 2A 0 x A x 1 A 2A 0 x 1 A 0 x
间断点? ? ???? ???????振荡间断点极限为无穷的间断点无穷间断点第二类间断点存在，但不相等）跳跃间断点（左右极限相等）可去间断点（左右极限第一类间断点)(例2.解：
导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( )
函数与导数大题训练 1已知函数.2 3)32ln()(2x x x f -+= （I ）求f (x )在[0，1]上的极值； （II ）若对任意0]3)(ln[|ln |],3 1,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的 取值范围； （III ）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的 取值范围. 2. 设.2)(ln )()(2)(--==-- =e p qe e g x x f x f x q px x g ，且，其中（e 为自然对数的底数） （Ⅰ）求p 与q 的关系； （Ⅱ）若)(x g 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （Ⅲ）证明：①)1(,1)(->-≤x x x f ②).2,()1(412ln 33ln 22ln 2222≥∈+--<+++n N n n n n n n Λ 3．设函数a x x a x f +++-=1)(2，]1,0(∈x ，+ ∈R a ． （1）若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围； （2）求)(x f 在]1,0(上的最大值．
答案 1解：（I ）2 3)13)(1(33323)(+-+-=-+= 'x x x x x x f ， 令13 10)(-==='x x x f 或得（舍去） )(,0)(,3 10x f x f x >'<≤∴时当单调递增； 当)(,0)(,13 1x f x f x <'≤<时单调递减. ……………………………………3分 ]1,0[)(613ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值 ……………………………4分 （II ）由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得 x x a x x a 323ln ln 323ln ln ++<+->或， …………① ……………………5分 设3 32ln 323ln ln )(2 x x x x x h +=+-=， x x x x x g 323ln 323ln ln )(+=++=， 依题意知]31,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立， 0)32(2) 32(33)32(3332)(2>+=+?-+?+='x x x x x x x x g Θ， 03262)62(31323)(22>++=+?+= 'x x x x x x x h ，………………………………6分 ]3 1,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立， 当且仅当.5 1ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或 ………………………8分 （III ）由.0223)32ln(2)(2=-+-+?+-=b x x x b x x f 令x x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2 2+-=+-+='-+-+=??则， 当]3 7,0[)(,0)(,]37,0[在于是时x x x ??>'∈上递增；
高中数学（函数和导数）综合练习含解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈．3253()422 g x x x x =-+-+ （1）当1a =时，求证：()12,1,x x ?∈+∞，均有12()()f x g x ≥ （2）当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 2．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)1(f a =，)2(2--=f b ， )21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 3．函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,4 B ．()0,1 C ．()0,4 D ．()4,4- 4．在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可能为（ ） A ．()21f x x =+ B ．()2 4f x x = C ．()3log f x x = D ．()34x f x ??= ??? 5．设:x p y c =是R 上的单调递减函数；q ：函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R ．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则正实数c 的取值范围是（ ） A ．1,12?? ??? B ．1,2??+∞ ??? C ．[)10,1,2??+∞ ??? D ．10,2?? ??? 6．如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围 是（ ） A ．{2}∪(4,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．{2,4} D ．(4,)+∞
基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答案） 选修2-21.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则 一、选择题 1 .函数y = (x+ 1)2(x—1)在x= 1处的导数等于() A．1B．2 C. 3 D. 4 答案］D 解析］y = (x+1)2］'—x1 )+(x+ 1)2(x—1)' =2(x + 1)?(x—1) + (x+ 1)2= 3x2 + 2x—1, y‘ =1= 4. 2.若对任意x€ R, f‘ =)4x3, f(1) = —1,则f(x)=() A. x4 B. x4— 2 C. 4x3—5 D. x4+ 2 答案］B 解析］丁f‘(=4x3.f(x) = x4+c,又f(1) = — 1 ? ? ? 1 + c= — 1 ,? ? ? c= —2,—f(x) = x4 — 2. 3 .设函数f(x) = xm + ax 的导数为f‘ =)2x+1,则数列{1f(n)}(n € N*) 的前n 项和是() A.nn+1 B.n+2n+1 C.nn—1 D.n+1n 答案］A 解析］T f(x) = xm+ ax 的导数为f‘(x)2x + 1,
/. m = 2, a= 1,二f(x) = x2+ x, 即f(n) = n2+n=n(n+ 1), 二数列{1f(n)}(n € N*)的前n项和为： Sn= 11 X2 12X3 13 x+…+ 1n(n+ 1) =1 —12+ 12—13+…+ 1n —1n + 1 =1 —1n+ 1= nn+ 1, 故选 A. 4.二次函数y = f(x)的图象过原点，且它的导函数y= f‘的)图象是过第 一、二、三象限的一条直线，贝卩函数y= f(x)的图象的顶点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案］C 解析］由题意可设f(x)= ax2 + bx, f' (=2ax + b,由于f‘(的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0, b>0,则f(x) = ax+ b2a2—b24a, 顶点—b2a,—b24a 在第三象限,故选 C. 5 .函数y = (2 + x3)2的导数为() A. 6x5+ 12x2 B. 4+ 2x3 C. 2(2+ x3)2 D. 2(2+ x3)?3x 答案］A 解析］t y= (2+ x3)2= 4+ 4x3+ x6, /. y = 6x5 + 12x2.
1．导数与导函数的概念 (1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作f ′(x 0)． (2)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )． 2．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 1．(教材改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为 ________． 2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是________． 3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________. 4．已知点P 在曲线y ＝ 4e x ＋1 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________． 5．(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．
函数与导数解答题训练2 1．设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a . （1）求)(x f 的单调区间； （2）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数． 2．已知函数322()4361,f x x tx t x t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （1）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （3）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 3．设01a <<，集合{|0}A x R x =∈>，2{|23(1)60}B x R x a x a =∈-++>，D A B =. （1）求集合D （用区间表示）； （2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.
4．已知函数321()3 f x x x ax =++． （1）讨论()f x 的单调性； （2）设()f x 有两个极值点12,x x ，若过两点11(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求a 的值. 5．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23 x =-与1x =时都取得极值. （1）求a 、b 的值与函数()f x 的单调区间； （2）若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围. 6．设函数2()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =过(1,0)P ，且在P 点处的切斜线率为2. （1）求,a b 的值； （2）证明：()2 2.f x x ≤-
高等数学习题库 淮南联合大学基础部 2008年10月
第一章 映射，极限，连续 习题一 集合与实数集 基本能力层次： 1: 已知：A ＝{x|1≤x ≤2}∪{x|5≤x ≤6}∪{3},B={y|2≤y ≤3} 求：在直角坐标系内画出 A ×B 解：如图所示A ×B ＝{（x,y ）| ,x A y B ∈∈ }. 2： 证明：∵ P 为正整数，∴p ＝2n 或p ＝2n+1，当p ＝2n+1时，p 2＝4n 2+4n+1，不能被2整除，故p ＝2n 。即结论成立。 基本理论层次： 习题二 函数、数列与函数极限 基本能力层次 1： 解： 2： 证明：由得cxy ay ax b -=+即 ay b x cy a += -，所以 ()x f y = 所以命题成立
3： （1）2 2x y -= （2）lg(sin )y x = （3 []y x = （4）0,01,0x y x ≥?? =??取N ＝[1 ω ]，则当n>N 时,就有 11|1|n n n ω--=<有定义变知1lim 1n n n →∞-=成立 5：求下列数列的极限 （1）lim 3n n n →∞ （2）222 3 12lim n n n →∞+++ （3） （4）lim n 解：（1） 233n n n n <,又 2lim 03n n x →∞=,所以 0lim 03n n n →∞≤≤ , 故：lim 3n n n →∞＝0 （2）由于 222 3 312(1)(21)111 (1)(2)6n n n n n n n n n ++ +++= =++ 又因为：1111 lim (1)(2)63 n n n n →∞++=,所以：2223121 lim 3 n n n →∞+++ （3）因为： 所以： （4） 因为：111n n ≤+，并且1 lim(1)1n n →∞+=, 故由夹逼原理得 1n =
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.
函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征)()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数321()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x =+()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 326()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数 ()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数33)()(22 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ）'2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时'()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2(2)3f a =+. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a ->恒成立，只需22(2)3f a >+， 即22233a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ） a ax x x f ++='23)(2． 由题意知???=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵3>a ，∴01242>-=?a a ．
函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x
导数综合讲义 第1讲导数的计算与几何意义 (3) 第2讲函数图像 (4) 第3讲三次函数 (7) 第4讲导数与单调性 (8) 第5讲导数与极最值 (9) 第6讲导数与零点 (10) 第7讲导数中的恒成立与存在性问题 (11) 第8讲原函数导函数混合还原（构造函数解不等式） (13) 第9讲导数中的距离问题 (17) 第10讲导数解答题 (18) 10.1 导数基础练习题 (21) 10.2 分离参数类 (24) 10.3 构造新函数类 (26) 10.4 导数中的函数不等式放缩 (29) 10.5 导数中的卡根思想 (30) 10.6 洛必达法则应用 (32) 10.7 先构造，再赋值，证明和式或积式不等式 (33) 10.8 极值点偏移问题 (35) 10.9 多元变量消元思想 (37) 10.10 导数解决含有ln x与e x的证明题（凹凸反转） (39) 10.11 导数解决含三角函数式的证明 (40) 10.12 隐零点问题 (42) 10.13 端点效应 (44) 10.14 其它省市高考导数真题研究 (45)
导数 【高考命题规律】 2014 年理科高考考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，文科考查了求曲线的切线方程，导数在研究函数性质中的运用；2015 年文理试卷分别涉及到切线、零点、单调性、最值、不等式证明、恒成立问题；2016 文科考查了导数的几何意义，理科涉及到不等式的证明，含参数的函数性质的研究，极值点偏移；2017 年高考考查了导数判断函数的单调性，含参零点的分类讨论。近四年的高考试题基本形成了一个模式，第一问求解函数的解析式，以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方程从而确定解析式，或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题，较为简单；第二问均为不等式相联系，考查不等式恒成立、证明不等式等综合问题，难度较大。预测 2018 年高考导数大题以对数函数、指数函数、反比例函数以及一次函数、二次函数中的两个或三个为背景，组合成一个函数，考查利用导数研究函数的单调性与极值及切线，不等 式结合考查恒成立问题，另外 2016 年全国卷 1 理考查了极值点偏移问题，这一变化趋势应引起考生注意。 【基础知识整合】 1、导数的定义： f ' (x ) = lim f (x 0 + ?x ) - f (x 0 ) ， f ' (x ) = lim f (x + ?x ) - f (x ) 0 ?x →0 ?x ?x →0 ?x 2、导数的几何意义：导数值 f ' (x ) 是曲线 y = f (x ) 上点 (x , f (x )) 处切线的斜率 3、常见函数的导数： C ' = 0 ； (x n )' = nx n -1 ； (sin x )' = cos x ； (cos x )' = -sin x ； (ln x )' = 1x ； (log a x )' = x ln 1 a ； (e x )' = e x ； (a x )' = a x ln a 4、导数的四则运算： (u ± v )' = u ' ± v ' ；； (u ?v )' = u ' v + v ' u ； (u )' = u 'v -2 v 'u v v 5、复合函数的单调性： f ' x (g (x )) = f ' (u )g ' (x ) 6、导函数与单调性：求增区间，解 f ' (x ) > 0 ；求减区间，解 f ' (x ) < 0 若函数在 f (x ) 在区间 (a , b ) 上是增函数 ? f ' (x ) ≥ 0 在 (a , b ) 上恒成立；若函数在 f (x ) 在区间 (a , b ) 上是减函数 ? f ' (x ) ≤ 0 在 (a , b ) 上恒成立；若函数在 f (x ) 在区间 (a , b ) 上存在增区间 ? f ' (x ) > 0 在 (a , b ) 上恒成立；若函数在 f (x ) 在区间 (a , b ) 上存在减区间 ? f ' (x ) < 0 在 (a , b ) 上恒成立； 7、导函数与极值、最值：确定定义域，求导，解单调区间，列表，下结论 8、导数压轴题：强化变形技巧、巧妙构造函数、一定要多练记题型，总结方法
第三讲 函数连续与导数 一、一点连续的定义 1、 设f 在某0()U x 内有定义且0 0lim ()()x x f x f x →=，则称f 在0x 连续； 2、 设f 在某00()(())U x U x +-内有定义且0000()()(()())f x f x f x f x +=-=，则称f 在0x 右（左）连续； 3、 f 在0x 连续000,0:|||()()|x x f x f x εδδε??>?>-?>∈?-<； f 在0x 左连续000,0:(,)|()()|x U x f x f x εδδε-??>?>∈?-<. 4、0 00 00(,) (,) lim ()lim sup (),lim ()lim inf ()x x x U x x x x U x f x f x f x f x δδδδ→→+→+∈→∈==； 00,(,) ()lim ()lim ()lim sup (()())f x x x x x x U x x f x f x f x f x δδω→→+'→∈'=-=-； f 在0x 连续0()0f x ω?=. 5、 间断点： 1） 第一类间断点：可去间断点：0 0lim ()()x x f x f x →≠；跳跃间断点00()()f x f x +≠-； 2） 第二类间断点：0()f x +与0()f x -至少有一个不存在. 二、性质： 1、 局部有界性： 2、 局部保号性： 3、 四则运算： 4、 复合函数连续性：若f 在0x 连续，g 在00()u f x =连续，则g f 在0x 连续. 5、 区间上的单调函数只有跳跃间断点. 三、区间上连续函数及性质 1、 若函数f 在区间I 上的每一点都连续（对于区间端点单边连续），则称f 为区间I 上的连续函数。 2、 闭区间上连续函数的性质： 1）(最大与最小值定理)若([,])f C a b ∈,则f 在[,]a b 上有最大与最小值. 2）(有界性定理) 若([,])f C a b ∈,则f 在[,]a b 上有界. 3）（介值定理）若([,])f C a b ∈，则([,])f a b 为闭区间. 4）（反函数的连续性）若f 在[,]a b 上严格单调且连续，则1 f -在闭区间([,])f a b 上连续. 四、一致连续
2015专题五：函数与导数 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 (3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 （若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ， 若对11x I ?∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大 于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <->
考点06 函数与导数的综合应用（1） 【知识框图】 【自主热身，归纳提炼】 1、(2016南京学情调研）已知函数f (x )＝1 3x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值 范围为________． 【答案】???? 32，4 【解析】因为函数f (x )在(1,2)上有极值，则需函数f (x ) 在(1,2)上有极值点． 解法 1 令f ′(x )＝x 2＋2x －2a ＝0，得x 1＝－1－1＋2a ，x 2＝－1＋1＋2a ，因为x 1?(1,2)，因此则需1 1、设函数()f x 在区间[,]a b 上可导， 证明()f x 在[,]a b 上一致可导的充分必要条件是()f x '在[,]a b 上连续。 这里()f x 在[,]a b 上一致可导是指：对任给0ε>，存在0δ>，使得对任意,[,]x y a b ∈， 当0||x y δ<-<时，就有()() ()f y f x f x y x ε -'-<-成立。 证明 充分性 设()f x '在[,]a b 上连续，于是()f x '在[,]a b 上一致连续， 对任给0ε>，存在0δ>，使得对任意,[,]x y a b ∈，当||x y δ-<时，就有 ()()f x f y ε''-<成立； 对任意,[,]x y a b ∈，0||x y δ<-<，存在ξ位于,x y 之间，使得 ()()()()f x f y f x y ξ'-=-， 显然||x ξδ-<，()()f f x ξε''-<， 于是()() ()()()f y f x f x f f x y x ξε -'''-=-<-， 即得()f x 在[,]a b 上一致可导； 必要性 设()f x 在[,]a b 上一致可导， 注到,x y 的地位对称， 因此有对任给0ε>，存在0δ>，当,[,]x y a b ∈，0||x y δ<-<时， 就有()()()f y f x f x y x ε-'-<-，()() ()f y f x f y y x ε -'-<- 从而 ()() f x f y ''-()()()()() ()2f y f x f y f x f x f y y x y x ε --''≤ -+-<--， 故得到()f x '在[,]a b 上一致连续，因此()f x '在[,]a b 上连续。 2、设函数()f x 在区间I 上非李普希兹连续， 证明()f x 在区间I 上一致连续的充分必要条件是：对任给的0ε>，总存在正数M ，一致连续函数性质的应用(I)
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