高中数学一轮复习资料
第十四章立体几何
第三节平行关系
A组
1．已知m、n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题中的真命题是_．
①如果m?α，n?β，m∥n，那么α∥β
②如果m?α，n?β，α∥β，那么m∥n
③如果m?α，n?β，α∥β且m，n共面，那么m∥n
④如果m∥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β
解析：m?α，n?β，α∥β?m，n没有公共点．又m，n共面，
所以m∥n.答案：③
2．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：
①若m∥α，则m平行于平面α内的无数条直线；
②若α∥β，m?α，n?β，则m∥n；
③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
④若α∥β，m?α，则m∥β.
其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
解析：②中α∥β，m?α，n?β?m∥n或m，n异面，所以②错误．而其它命题都正确．答案：①③④
3．(2010年苏北四市调研)给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若m?α，l∩α＝A，点A?m, 则l与m不共面；
②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
④若l?α，m?α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.
其中为真命题的是________．
解析：③中若l?β，m?α，α∥β?l∥m或l，m异面，所以②错误．而其它命题都正确．答案：①②④
4．(2009年高考福建卷改编)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是________．
①m∥β且l1∥α②m∥l1且n∥l2 ③m∥β且n∥β④m∥β且n∥l2
解析：∵m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，
∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2，可能异面．答案：②
5．(原创题)直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有________条．
答案：1或0
6．如图，ABCD为直角梯形，∠C＝∠CDA＝90°，AD＝2BC ＝2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD.
(1)求证：P A⊥BD；
(2)若PC与CD不垂直，求证：P A≠PD；
(3)若直线l过点P，且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC∥平面EBD.
解：(1)证明：∵ABCD为直角梯形，AD＝2AB＝2BD，∴AB⊥BD，PB⊥BD，AB∩PB＝B，
AB，PB?平面P AB，BD⊥平面P AB，
P A?平面P AB，∴P A⊥BD.
(2)证明：假设P A＝PD，取AD中点N，连结PN，BN，
则PN⊥AD，BN⊥AD，
AD⊥平面PNB，得PB⊥AD，
又PB⊥BD，得PB⊥平面ABCD，
∴PB⊥CD.
又∵BC⊥CD，∴CD⊥平面PBC，
∴CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾．
∴P A≠PD.
(3)在l上取一点E，使PE＝BC，连结BE，DE，
∵PE∥BC，∴四边形BCPE是平行四边形，
∴PC∥BE，PC?平面EBD，BE?平面EBD，
∴PC∥平面EBD.
B组
1．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是________．
①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β②若m∥n，m?α，n?β，则α∥β
③若m∥n，m∥α，则n∥α④若n⊥α，n⊥β，则α∥β
解析：①错，两平面也可相交；②错，不符合面面平行的判定定理条件，需两平面内有两条相交直线互相平行；③错，直线n不一定在平面内；④由空间想象知垂直于同一直线的两平面平行，命题正确．答案：④
2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列4个命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若m⊥n，m⊥α，n?α，则n∥α；
③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；
④若m，n是异面直线，m?α，n?β，m∥β，则n∥α.其中正确的命题有_．
解析：对于①，m有可能也在α上，因此命题不成立；对于②，过直线n作垂直于m 的平面β，由m⊥α，n?α可知β与α平行，于是必有n与α平行，因此命题成立；对于③，由条件易知m平行于β或在β上，n平行于α或在α上，因此必有m⊥n；对于④，取正方体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两个面即可判断命题不成立．综上可知②③正确．答案：②③
3．已知m，n是平面α外的两条直线，且m∥n，则“m∥α”是“n∥α”的________条件．解析：由于直线m，n在平面外，且m∥n，故若m∥α，则必有n∥α，反之也成立．答案：充要
4．设l1，l2是两条直线，α，β是两个平面，A为一点，下列命题中正确的命题是________．
①若l1?α，l2∩α＝A，则l1与l2必为异面直线
②若α⊥β，l1?α，则l1⊥β
③l1?α，l2?β，l1∥β，l2∥α，则α∥β
④若l1∥α，l2∥l1，则l2∥α或l2?α
解析：①错，两直线可相交于点A；②错，不符合面面垂直的性质定理的条件；③错，不符合面面平行的判定定理条件；④正确，空间想象即可．答案：
④
5．(2010年广东深圳模拟)若a不平行于平面α，且a?α，则下列结论成立的是________．
①α内的所有直线与a异面
②α内与a平行的直线不存在
③α内存在唯一的直线与a平行
④α内的直线与a都相交
解析：由题设知，a和α相交，设a∩α＝P，如图，在α内过点P的直线与a共面，①错；在α内不过点P的直线与a异面，④错；(反证)假设α内直线b∥a，∵a?α，∴a∥α，与已知矛盾，③错．答案：②
6．设m、n是异面直线，则(1)一定存在平面α，使m?α且n∥α；(2)一定存在平面α，使m?α且n⊥α；(3)一定存在平面γ，使m、n到γ的距离相等；(4)一定存在无数对平面α与
β，使m ?α，n ?β，且α∥β.上述4个命题中正确命题的序号为________．
解析：(1)成立；(2)不成立，m 、n 不一定垂直；(3)过m 、n 公垂线段中点分别作m 、n 的平行线所确定平面到m 、n 距离就相等，(3)正确；满足条件的平面只有一对，(4)错．答案：(1)(3)
7．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下
AP ＝a 3，底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝
______. 答案：223
a
8．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．
解析：①∵面AB ∥面MNP ，∴AB ∥面MNP .
②若下底面中心为O ，易知NO ∥AB ，NO ?面MNP ，∴AB 与面MNP 不平行． ③易知AB ∥MP ，∴AB ∥面MNP .
④易知存在一直线MC ∥AB ，且MC ?平面MNP ，∴AB 与面MNP 不平行． 答案：①③
9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 中点．点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.
答案：M ∈FH
AA 1＝2，10．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，E 为BC 的中点，点M 为棱AA 1的中点．
(1)证明：DE ⊥平面A 1AE ； (2)证明：BM ∥平面A 1ED .
证明：(1)在△AED 中，AE ＝DE ＝2，AD ＝2， ∴AE ⊥DE . ∵A
1A ⊥平面ABCD ， ∴A 1A ⊥DE ，
∴DE ⊥平面A 1AE .
(2) 设AD 的中点为N ，连结MN 、BN .
在△A 1AD 中，AM ＝MA 1，AN ＝ND ，∴MN ∥A 1D ，
∵BE ∥ND 且BE ＝ND ，
∴四边形BEDN 是平行四边形， ∴BN ∥ED ，
∴平面BMN ∥平面A 1ED ，
∴BM ∥平面A 1ED . 11．(2010年扬州调研)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1
中，M ，N
分别是AB ，BC 的中点．
(1)求证：平面B 1MN ⊥平面BB 1D 1D ；
(2)若在棱DD 1上有一点P ，使BD 1∥平面PMN ，求线段DP 与PD 1的比 解：(1)证明：连结AC ，则AC ⊥BD ， 又M ，N 分别是AB ，BC 的中点， ∴MN ∥AC ，∴MN ⊥BD .
∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，
∴BB 1⊥平面ABCD ， ∵MN ?平面ABCD ， ∴BB 1⊥MN ， ∵BD ∩BB 1＝B ，
∴MN ⊥平面BB 1D 1D ， ∵MN ?平面B 1MN ，
∴平面B 1MN ⊥平面BB 1D 1D .
(2)设MN 与BD 的交点是Q ，连结PQ ，PM ，
PN ∵BD 1∥平面PMN ，BD 1?平面BB 1D 1D ，平面BB 1D 1D ∩平面PMN ＝PQ ， ∴BD 1∥PQ ，
∴DP ∶PD 1＝DQ ∶QB ＝3∶1.
12．如图，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F
为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .
(1)求证：AE ⊥BE ；
(2)设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点．求证：MN ∥平面DAE .
证明：(1)因为BC ⊥平面ABE ，AE ?平面ABE ， 所以AE ⊥BC ，
又BF ⊥平面ACE ，AE ?平面ACE ， 所以AE ⊥BF ，
又BF ∩BC ＝B ，所以AE ⊥平面BCE ， 又BE ?平面BCE ，所以AE ⊥BE .
(2)取DE 的中点P ，连结P A ，PN ，因为点N 为线段CE 的中点．
所以PN ∥DC ，且PN ＝1
2
DC ，
又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，所以
AM ∥DC ，且AM ＝1
2
DC ，
所以PN ∥AM ，且PN ＝AM ，故四边形AMNP 是平行四边形，所以MN ∥AP ， 而AP ?平面DAE ，MN ?平面DAE ，所以MN ∥平面DAE .
第四节 垂直关系
A 组
1．(2010年宁波十校联考)设b 、c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是________．
①若b ?α，c ∥α，则b ∥c ②若b ?α，b ∥c ，则c ∥α ③若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β ④若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β
解析：①中，b ，c 亦可能异面；②中，也可能是c ?α；③中，c 与β的关系还可能是斜交、平行或c ?β；④中，由面面垂直的判定定理可知正确．
答案：④
2．(2010年青岛质检)已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，下面有三个命题：
①α∥β?l ⊥m ；②α⊥β?l ∥m ；③l ∥m ?α⊥β.则真命题的个数为________．
解析：对于①，由直线l ⊥平面α，α∥β，得l ⊥β，又直线m ?平面β，故l ⊥m ，故①正确；对于②，由条件不一定得到l ∥m ，还有l 与m 垂直和异面的情况，故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的个数为2.答案：2个
3．(2009年高考山东卷改编)已知α、β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β ”是“m ⊥β ”的________条件．
解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果m 为平面α内的一条直线，m ⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
4．(2009年高考浙江卷)如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．
解析：如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连结GK ，∵平面ABD ⊥平面ABC ，又DK ⊥AB ， ∴DK ⊥平面ABC ，∴DK ⊥AF .
∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK . 容易得到，当F 接近E 点时，K 接近AB 的中点，当F 接
围是(1
2
，近C 点时，K 接近AB 的四等分点．∴t 的取值范1)．答案：(1
2
，1)
5．(原创题)已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中假命题的有________．
①若a ∥b ，则α∥β；②若α⊥β，则a ⊥b ；③若a 、b 相交，则α、β相交；④若α、β相交，则a ，b 相交．
解析：若α、β相交，则a 、b 既可以是相交直线，也可以是异面直线． 答案：④
6．(2009年高考山东卷)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1分别是棱AD ，AA 1的中点．
(1)设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1；
(2)证明：平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C .
证明：(1)法一：取A 1B 1的中点为F 1，连结FF 1，
C 1F 1. 由于FF 1∥BB 1∥CC 1，
所以F 1∈平面FCC 1.
因此平面FCC 1即为平面C 1CFF 1. 连结A 1D ，F 1C ，
由于A 1F 1綊D 1C 1綊CD ，
所以四边形A 1DCF 1为平行四边形， 因此A 1D ∥F 1C .又EE 1∥A 1D ， 得EE 1∥F 1C .
而EE 1?平面FCC 1，F 1C ?平面FCC 1， 故EE 1∥平面FCC 1.
法二：因为F为AB的中点，
CD＝2，AB＝4，AB∥CD，
所以CD綊AF，
因此四边形AFCD为平行四边形，
所以AD∥FC.
又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC?平面FCC1，CC1?平面FCC1，AD∩DD1＝D，AD ?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1.
A1∥平面FCC1.
所以平面ADD
又EE1?平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.
(2)连结AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，
又F为AB的中点，所以AF＝FC＝FB.
因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC.
又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，
所以AC⊥平面BB1C1C.
而AC?平面D1AC，
故平面D1AC⊥平面BB1C1C.
B组
1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是____．
①a⊥α，b∥β，α⊥β②a⊥α，b⊥β，α∥β
③a?α，b⊥β，α∥β④a?α，b∥β，α⊥β
解析：由α∥β，b⊥β?b⊥α，又a?α，故a⊥b.答案：③
2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是________．
①若m?α，n?β，m∥n，则α∥β
②若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
③若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
④若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α
解析：由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因m⊥β，所以m⊥α.答案：②
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是．
①m⊥α，n?β，m⊥n?α⊥β②α∥β，m⊥α，n∥β?m⊥n
③α⊥β，m⊥α，n∥β?m⊥n④α⊥β，α∩β＝m，n⊥m?n⊥β
解析：①错，不符合面面垂直的判断定理的条件；②由空间想象易知命题正确；③错，两直线可平行；④错，由面面垂直的性质定理可知只有当直线n在平面α内时命题才成立．答案：②
4．已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是_．
①若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
②若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
③若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
④若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n
解析：易知①正确．而②中α⊥β且m⊥α?m∥β或m∈β，又n∥β，容易知道m，n 的位置关系不定，因此②错误．而③中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定，因此③错误．而④中因为②不对，此项也不对．综上可知①正确．答案：①
5．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是________．
①c⊥α，若c⊥β，则α∥β
②b?β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则a⊥b
③b?β，若b⊥α，则β⊥α
④b?α，c?α，若c∥α，则b∥c
解析：当b?β，若β⊥α，则未必有b⊥α.答案：③
6．已知二面角α－l－β的大小为30°，m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则m、n 所成的角为________．
解析：∵m⊥α，n⊥β，
∴m 、n 所成的夹角与二面角α－l －β所成的角相等或互补． ∵二面角α－l －β为30°，
∴异面直线m 、n 所成的角为30°.答案：30°
7．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在直线______上．
解析：由AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，AC ⊥平面ABC 1，AC ?平面ABC ，∴平面ABC 1⊥平面ABC ，C 1在平面ABC 上的射影H 必在两平面的交线AB 上．答案：AB 8．(2010年江苏昆山模拟)在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 在AD 上运动，设∠ABP ＝θ，将△ABP 沿BP 折起，使得平面ABP 垂直于平面BPDC ，AC 长最小时θ的值为________．
解析：过A 作AH ⊥BP 于H ，连CH ，∴AH ⊥平面BCDP . ∴在Rt △ABH 中，AH ＝3sin θ，BH ＝3cos θ.
在△BHC 中，CH 2＝(3cos θ)2＋42－2×4×3cos θ×cos(90°－θ)，
∴在Rt △ACH 中， AC 2＝25－12sin2θ， ∴θ＝45°时，AC 长最小．答案：45°
9．在正四棱锥P －ABCD 中，P A ＝3
2
AB ，M 是BC 的中点，G 是△P AD 的重心，则在平面
P AD 中经过G 点且与直线PM 垂直的直线有________条．
为32
a . 解析：设正四棱锥的底面边长为a ，则侧棱长由PM ⊥BC ，
∴PM ＝????3
2a 2－????a 22＝22
a ，
连结PG 并延长与AD 相交于N 点，
则PN ＝2
2a ，MN ＝AB ＝a ，
∴PM 2
＋PN 2＝MN 2， ∴PM ⊥PN ，又PM ⊥AD ，
∴PM ⊥面P AD ，
∴在平面P AD 中经过G 点的任意一条直线都与PM 垂
直．答案：无数
10．如图，在三棱锥S －ABC 中，OA ＝OB ，O 为BC 中点，
SO ⊥平面ABC ，E 为SC 中点，F 为AB 中点．
(1)求证：OE ∥平面SAB ； (2)求证：平面SOF ⊥平面SAB .
证明：(1)取AC 的中点G ，连结OG ，EG ，
∵OG ∥AB ，EG ∥AS ，EG ∩OG ＝G ，SA ∩AB ＝A ， ∴平面EGO ∥平面SAB ，OE ?平面OEG
∴OE ∥平面SAB
(2)∵SO ⊥平面ABC ， ∴SO ⊥OB ，SO ⊥OA ，
又∵OA ＝OB ，SA 2＝SO 2＋OA 2，SB 2＝SO 2＋OB 2，
∴SA ＝SB ，又F 为AB 中点， ∴SF ⊥AB ，∵SO ⊥AB ，
∵SF ∩SO ＝S ，∴AB ⊥平面SOF ，
∵AB ?平面SAB ，∴平面SOF ⊥平面SAB .
11．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．
(1)求证：CE ∥平面C 1E 1F ；
(2)求证：平面C 1E 1F ⊥平面CEF . 证明：(1)取CC 1的中点G ，连结B 1G 交C 1F 于点F 1，连结E 1F 1，A 1G ，FG ，
∵F 是BB 1的中点，BCC 1B 1是矩形， ∵四边形FGC 1B 1也是矩形，
∴FC 1与B 1G 相互平分，即F 1是B 1G 的中点． 又E 1是A 1B 1的中点，∴A 1G ∥E 1F 1.
又在长方体中，AA 1綊CC 1，E ，G 分别为AA 1，CC 1的中点，
∴A 1E 綊CG ，∴四边形A 1ECG 是平行四边形， ∴A 1G ∥CE ，∴E 1F 1∥CE .
∵CE ?平面C 1E 1F ，E 1F 1?平面C 1E 1F ， ∴CE ∥平面C
1E 1F .
(2)∵长方形BCC 1B 1中，BB 1＝2BC ，F 是BB 1的中点， ∴△BCF 、△B 1C 1F 都是等腰直角三角形， ∴∠BFC ＝∠B 1FC 1＝45°， ∴∠CFC 1＝180°－45°－45°＝90°， ∴C 1F ⊥CF .
∵E ，F 分别是矩形ABB 1A 1的边AA 1，BB 1的中点， ∴EF ∥AB .
又AB ⊥平面BCC 1B 1，又C 1F ?平面BCC 1B 1， ∴AB ⊥C 1F ，∴EF ⊥C 1F .
又CF ∩EF ＝F ，∴C 1F ⊥平面CEF .
∵C 1F ?平面C 1E 1F ，∴平面C 1E 1F ⊥平面CEF .
12．(2010年江苏淮安模拟)如图，已知空间四边形
ABCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，E 是AB 的中点．
求证：(1)AB ⊥平面CDE ； (2)平面CDE ⊥平面ABC ；
(3)若G 为△ADC 的重心，试在线段AE 上确定一点F ，使得GF ∥平面CDE .
证明：(1)
?
???
?BC ＝AC AE ＝BE ?CE ⊥AB ，同理，
?
???
?AD ＝BD AE ＝BE ?DE ⊥AB ，
又∵CE ∩DE ＝E ，∴AB ⊥平面CDE . (2)由(1)知AB ⊥平面CDE ， 又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC .
AG GH ＝21
， (3)连结AG 并延长交CD 于H ，连结EH ，则在AE 上取点F 使得AF FE ＝2
1
，
则GF∥EH，