北京三帆中学2014-2015学年度第一学期期中考试试卷
初二 数学
班级______分层班________ 姓名＿＿＿＿＿ 学号＿＿＿＿＿ 成绩＿＿＿＿＿
一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 若分式
3
1
x -有意义，则x 的取值范围是( ). A ．x ≠ ? 1 B ．x =1 C ．x ≠1
D ．x = ? 1
2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( ).
A ．a (x －y )＝ax －ay
B ．x 3－x ＝x (x +1)(x －1)
C ．(x +1)(x +3)＝x 2+4x +3
D ．x 2+2x +1＝x (x +2)+1
3. 下列计算正确的是( ).
4. 5. y +2 )2=0，则( x +y )2014等于( ).
A ． ? 1
B ． 1
C ．32014
D ． ? 32014 6. 若分式
3y
x y
+中的x 、y 的值同时扩大到原来的5倍，则分式的值( ). A ．是原来的15倍 B ．是原来的5倍 C ．是原来的15
D ．不变
7. 下列运算错误的是( ). A ．2
2
()1()a b b a -=-
B. 1a b
a b --=-+
C.
0.55100.20.323a b a b
a b a b
++=
-- D.
a b b a
a b b a
--=
++ 8. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出'''A O B AOB ∠=∠的依据是( ).
A ．SAA
B ．SSS
D 'A
A '
C ．ASA
D ．AAS
9. 点P 在∠AOB 的平分线上，点P 到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，下列选项
正确的是( ).
A. PQ ≥ 5
B. PQ > 5
C. PQ < 5
D. PQ ≤ 5 10. 如右图，已知图中有3个正方形ABCD 、EBFG 和KHIJ ，若把图中全 等的三角形看成一类，则图中三角形的种类数量为( ).
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11.
x 的取值范围是_______________. 12. 分解因式：229ax ay -=___________________ ．
13. 如图，AB AC =，要使ABE ACD △≌△，应添加的条件
是_____________________.（添加一个条件即可）.
14. 已知：m 、n 为两个连续的整数，且m
n ，则m +n = ． 15. 已知
51
33
m m n =+，则 m n =____________________.
16. 某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每
天修建道路的速度比原计划快了20米，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路x 米，则根据题意可列方程为_________________________________________.
17. 如图,已知△ABC 中，点D 为BC 上一点，E 、F 两点分别在边AB 、AC 上，
若 BE=CD , BD=CF , ∠B=∠C , ∠A=50°，则∠EDF =__________°. 18. 设a 1，a 2，…，a 2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，
若a 1+a 2+…+a 2014=73，（a 1+1）2+（a 2+1）2+…+（a 2014+1）2=4001，
则a 1，a 2，…，a 2014中为0的个数是 ．
三、解答题（本题共30分，第19题每小题3分，第20～23题每小题5分，第24题4分） 19. 因式分解
（1）481m - （2） 2
2
363x xy y
-+-
解： 解：
20. 计算：
解：
21. 解分式方程 3
1122
x x x +=
--． 解：
22．先化简，再求值：1
21112
++÷??? ??+-
a a a
a ，其中13-=a ． 解：
求证：A E ∠=∠. 证明：
24. 已知：如图，∠MON 及边ON 上一点A ．在∠MON 内部求作：点P ，使得P A ⊥ON ，且点P
到∠MON 两边的距离相等．（请用尺规作图．．．．，保留作图痕迹，不要求写出作法，不必证明）．
四、解答题（本题共10分，每小题5分）
25. 小马自驾私家车从A 地到B 地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车
所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的 电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费. 解：
N
M
26.已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，DB=DA, DM⊥BE于M，若AC=2，BC=1，求CM的长.
解：
B
五、解答题（本题6分）
27. 已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90 ．
①延长BC到点D，使CD=BC；
②延长CA到点E，使AE=2CA；
③连接AD，BE.
（2）猜想（1）中线段AD与BE的大小关系, 并证明你的结论.
解：（1）完成作图
（2）AD与BE的大小关系是．
证明：
六、填空题（本题共6分） 28． 观察下列等式：
第一个等式：122311;1221222a =
=-???? 第二个等式：2323
411
;2322232
a ==-???? 第三个等式：3434511;3423242a ==-???? 第四个等式：4
545
611
.4524252a ==-???? 按上述规律，回答以下问题：
(1) 则第六个等式：6a =_________________________________________;
(2) 用含n 的代数式表示第n 个等式：n a =___________________________________________. 七、解答题（本题共14分，第29题6分，第30题8分） 29． 已知关于x 、y 的方程 2
230.x y --=． (1) 请你直接写出该方程的两组整数解；
(2) 若x m y n =??=?和x n y m
=??=?是方程2
230x y --=的两组不同的解，
求3
3
222m mn n -+的值.
解：(1) (2)
30. 【问题提出】
同学们已经学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ” 、“HL ”）， 请大家继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】
不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】
第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．
如图①，在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E
根据判定方法 ，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．
第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．
如图②，在△
ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角， 求证：△ABC ≌△DEF ． 证明:
第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．
（1） 在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，
图①
图②
且∠B 、∠E 都是锐角，请你用尺规在图．③．中作出△DEF ， 使△DEF 和△ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹） （2）∠B 还要满足什么条件，就可以使△ABC ≌△DEF ？
请直接写出结论：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，若_____________________，则△ABC ≌△DEF ．
北京三帆中学2014-2015学年度第一学期期中考试
初二数学 答案及评分参考标准
班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿ 学号＿＿＿＿＿ 成绩＿＿＿＿＿
一、选择题（本题共30分每小题3分，）
三、解答题（本题共30分，第19题每小题3分，第20～23题每小题5分，第24题4分） 19. 因式分解
（1）481m -
解： 481m -
=2
2
(9)(9)m m +- …………………1分
=2(9)(3)(3)m m m ++- ………………… 3分
（2） 2
2
363x xy y
-+-
解：2
2
363x xy y -+-
=-3(x 2-2xy +y 2) …………………………………………………………… 1分
=-3(x -y )2 …………………………………………………………… 3分
20. 计算：(83)632+?-． 解：(83)632+?-
481832=+-………………………………………………… 1分
433242=+-………………………………………………… 4分
432=- …………………………………………………5分 21. 解分式方程
3
1122
x x x +=
--．
22．先化简，再求值：1
21112
++÷??? ??+-
a a a
a ，其中13-=a ． 解：原式=1211112
++÷??
?
??+-++a a a a a a ……………………………………………1分 =
1
21112
++÷+-+a a a
a a ………………………………………………………2分 =()a
a a a 2
11+?+ ………………………………………………………………3分 =1+a ………………………………………………………………4分 当13-=
a 时，
原式=3113=
+-．……………………………………………………………… 5分
23. 如图，点B 在线段AD 上，BC DE ∥，AB ED =，BC DB =.
求证：A E ∠=∠. 证明：∵BC ∥DE ，
∴∠ABC=∠EDB …………………2分 在△ABC 与△EDB 中
BC DB ABC EDB AB ED =??
∠=∠??=?
∴△ABC ≌△EDB （SAS ）…………………4分 ∴A E ∠=∠. …………………………………5分
24. 已知：如图，∠MON 及边ON 上一点A ．在∠MON 内部求作：点P ，使得P A ⊥ON ，且点P 到∠MON 两边的距离相等．（请用尺规作图．．．．
，保留作图痕迹，不要求写出作法，不必证明）． 解：作∠MON 的平分线OB ； …………………2分
作∠OAN 的平分线OC ； …………………4分 OB 、OC 交于点P ，则点P 为所求作的点.
四、解答题（本题共10分，每小题5分）
25. 小马自驾私家车从A 地到B 地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车
所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的 电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.
解：设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需电费为x 元，…………………1分 由题意可得：
10827
;0.54x x
=+ ………………………………………………2分
解得： x =0.18；………………………………………………………………3分
经检验：x =0.18是原分式方程多解，且符合题意；………………………4分 答：新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需电费为0.18元. …………………5分
E
C
P A
C
26. 已知：如图，点B 、C 、E 三点在同一条直线上，CD 平分∠ACE ， DB=DA, DM ⊥BE 于M ，
若AC =2，BC =1，求CM 的长. 解：作DN ⊥AC 于N ，
∵CD 平分∠ACE ，DM ⊥BE
∴DN =DM ……………………1分
在Rt △DCN 和Rt △DCM 中，
,
,
CD CD DN DM =??
=? ∴Rt △DCN ≌Rt △DCM （HL ），
∴CN=CM ， …………………………………2分 在Rt △ADN 和Rt △BDM 中，
,
,
AD BD DN DM =??
=? ∴Rt △ADN ≌Rt △BDM （HL ），
∴AN=BM ， …………………………………3分
∵AN=AC-CN, BM=BC+CM,
∴AC-CN=BC+CM ∴AC-CM=BC+CM
∴2CM=AC-BC , …………………………………4分 ∵AC =2，BC =1，
∴CM =0.5 …………………………………5分
五、解答题（本题6分）
27. 已知：如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90?．
（1）按要求作图：（保留作图痕迹）
①延长BC 到点D ，使CD=BC ； ②延长CA 到点E ，使AE=2CA ；
③连接AD ，BE, 并猜想线段 AD 与BE 的大小关系； （2）证明（1）中你对线段AD 与BE 大小关系的猜想．
B
解：（1）按要求作图见图7，………………………………………………1分 猜想AD=BE ………………………………………………2分 （2）在AE 上截取AF=AC ，连结BF ， ∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=180°-90°=90°， ∴∠BAC=∠BAF ，
在△ABF 与△ABC 中
,,,AB AB BAF BAC AF AC =??
∠=∠??=?
∴△ABF ≌△ABC （SAS ）， ∴∠2=∠1.
B
F
43
21
图8
D
E
B
C
A
∴∠BAE=180°-90°=90°， ∴∠BAF=∠BAE ，
在△ABE 与△ABF 中
,,,AB AB BAE BAF AE AF =??
∠=∠??=?
∴△ABE ≌△ABF （SAS ），
∴BE=BF ……………………………………………5分 ∴BE=AD ……………………………………………6分
六、填空题（本题共6分） 28． 观察下列等式：
第一个等式：122311;1221222a =
=-???? 第二个等式：2
323
411
;2322232a ==-???? 第三个等式：3434511;3423242a ==-???? 第四个等式：4545
611
.4524252
a ==-???? 按上述规律，回答以下问题： (1) 则第六个等式：6767
811
;6726272a =
=-????……………………3分
(2) 用含n 的代数式表示第n 个等式：611
211
.(1)22(1)2n n n n a n n n n +++=
=-?+??+?……6分
八、解答题（本题共14分，第29题6分，第30题8分） 29． 已知关于x 、y 的方程 2
230.x y --=． (1) 请你直接写出该方程的两组整数解； (2) 若x m y n =??
=?和x n y m
=??=?是方程2230x y --=的两组不同的解，求33
222m mn n -+的值.
解：(1) 11x y =??=-?,1
1x y =-??=-?
(对1个1分答案不唯一)，…………………2分
(2) （3）解：∵x m y n =??
=?和x n y m
=??=?是方程2
230x y --=的两组不同的解，
∴2
230,m n --= 2
230,n m --= ……………………3分 ∴2
2
2()0m n m n -+-=. ∴2()()()0m n m n m n -++-=. ∴()[2()1]0m n m n -++=. ∵m n ≠， ∴2()10m n ++=. ∴1
2
m n +=-
. ……………………………… 4分 ∵223m n =+，2
23n m =+， ∴3
3
222m mn n -+ 2
2
222m m mn n n =?-+? n m mn m n ?++-?+=)3(2)3(
).(3n m += …………………………………………………5分
3
2
=-. …………………………………………………………6分
30. 【问题提出】
同学们已经学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ” 、“HL ”）， 请大家继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】
不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，然后，对∠B
【深入探究】
第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．
如图①，在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E
根据判定方法 ，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．
第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．
如图②，在△ABC
和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角， 求证：△ABC ≌△DEF ． 证明:
第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．
（2） 在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、
∠E 都是锐角，请你用尺规在图．③．中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）∠B 还要满足什么条件，就可以使△ABC ≌△DEF ？
请直接写出结论：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，若 ___ ，则△ABC ≌△DEF ． 解答：
第一种情况 HL ； ……………………………………1分 第二种情况：
证明：如图，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于H ，
CBG FEH ∠=∠=90°，
∵∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角， ∴180°﹣∠B =180°﹣∠E ，
即∠CBG =∠FEH ， ……………………………2分
图①
图②图③
在△CBG 和△FEH 中，
,,
,CBG FEH G H BC EF ∠=∠??
∠=∠??=?
∴△CBG ≌△FEH （AAS ），
∴CG =FH ， ……………………………………4分 在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，
,
,
AC DF CG FH =??
=? ∴Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ），
∴∠A =∠D ， …………………………………5分
在△ABC 和△DEF 中，,
,,A D B E AC DF ∠=∠??
∠=∠??=?
，
∴△ABC ≌△DEF （AAS ）；………………………6分
（3）解：如图， ………………………7分 （4）解：∠B ≥∠A ，……………………8分