《数学实验》课程实验指导书
2006-4-29
目录
实验一、微积分基础 3实验二、怎样计算 5实验三、最佳分数近似值 6实验四、数列与级数 7实验五、素数 8实验六、概率 9实验七、几何变换 11实验八、天体运动 13实验九、迭代（一）——方程求解 15实验十、寻优 16实验十一、最速降线 18实验十二、迭代（二）——分形 20实验十三、迭代（三）——混沌 21实验十四、密码 22实验十五、初等几何定理的机器证明 23附表（实验报告） 24
实验一、微积分基础
一、实验目的及意义：1、熟悉Mathematic软件常见函数图形
2、通过作图，进一步加深对函数的理解，观察函数的性质
3、构造函数自变量与因变量的对应表，观察函数的变化。
二、实验内容：
1．1函数及其图象
1．2数e
1．3 积分与自然对数
1．4调和数列
1．5双曲函数
三、实验步骤
1.开启软件平台——Mathematics ，开启Mathematics编辑窗口；
2.根据各种问题编写程序文件
3.保存文件并运行；
4.观察运行结果(数值或图形)；
5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会
四、实验要求与任务
根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）
1、1函数及图形
(1)在区间[-0.1,0.1]上作出 y = sin(x)/x 的图象,观察图象在 x = 0 附近的形状
(2)在同一坐标系内作出函数y = sin(x) 和它的展开式的前几构成的多项式函数y = x-x^3/3!,y = x-x^3/3!+x^5/5! . . . 的图象,观察这些多项式函数图象对 y = sin x 的图象逼近的情况.
(3)分别取n =10,20,画出函数 y = sin(2k-1)x/(2k-1),k=1,2,...,n求和} 在区间[-3PI,3PI]上的图象.当N 趋向无穷时函数趋向什麽函数?
(4)别取n = 5,10,15, 在同一坐标系内作出函数f(x) = sin x 与p(x) = x * (1-x^2/PI^2)*(1-x^2/(2^2*PI^2))*...*(1-x^2/n^2*PI^2))在区间[-2PI,2PI]上的图象,观察 p(x) 图象对 y = sin x的图象逼近的情况.
1、2数e
观察当n趋于无穷大时数列a n=(1+1/n)n和A n=(1+1/n)n+1的变化趋势:
（1）n=10m,m=1,2,. . . ,7时的值,a n,A n观察变化趋势.
（2）在同一坐标系内作出三个函数地图象y=(1+1/10x)10^x , y=(1+1/10x)10^x , y=e观察当 x 增大时
图象变化趋势
（3）计算 e 的精确值.
1.3积分与自然对数
1）计算1/x的大和及小和以及两者的平均，观察变化趋势。
2）在同一坐标内作出 S[x] 和 lnx 的图象。
1.4调和数列
1）、在同一坐标内作出点集（n，H（n））连线和lnx的图象。
2）、在同一坐标内作出C(n)=H(n)-ln (n)和H(n)-ln (n+1)，观察C(n)变化趋势1．5双曲函数
1）、在同一坐标内作出u=1.5时cht和y=ax2 +1的图象。
2）、在同一坐标内作出u=0.1,0.01,0.001,...时cht和y=ax2 +1的图象。
]
实验二、怎样计算π
一、实验目的及意义：1、用现代技术实现π的近似值的计算。
2、掌握计算π的几种方法
二、实验内容：
2．1数值积分法
2．2泰勒级数法
2．3 蒙特卡罗方法
三、实验步骤
1.开启软件平台——Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口；
2.根据各种问题编写程序文件
3.保存文件并运行；
4.观察运行结果(数值或图形)；
5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会
四、实验要求与任务
根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）
2．1数值积分法
.梯形公式：S={(b-a)[y(0)+y(1)+y(2)+...+y(n)-y(0)/2-y(n)/2]}/n其中，[a,b]为积分区间，yi为函数在a+i(b-a)/n的值。辛普森公式(Simpson)：S= (b-a)[(y(0)+y(n))+2(y(1)+y(2)+...+y(n-1))
+4(y(1/2)+y(3/2)+y(n-1/2)]/(6n)
(1)对不同N，用梯形公式和辛普森公式计算Pi的近似值。
(2)对不同的N=1000，10000，100000，。。。，观察用梯形公式和辛普森公式计算Pi的误差。
(3)用梯形公式和辛普森公式计算s单位圆面积
2．2泰勒级数法
用反正切函数的泰勒级数
arctan(x)= x-(x^3)/3+(x^5)/5-...((-1)^(k-1))x^(2k-1)/(2k-1)+...计算pi。其中x^n 表示x的n次方：pi= 16arctan(1/5)-4arctan(1/239).这称为Maqin公式
2．3 蒙特卡罗方法
1）取不同的n做实验，将所得的π的近似值记录下来，与已知的π的值比较
2）请尝试设计一个方案，用以计算机模拟蒲丰投针法实验。得出π的近似值
实验三、最佳分数近似值
一、实验目的及意义：1、掌握怎样用分数近似值去对给定的无理数作最佳逼近。
二、实验内容：
3．1 分数对无理数的最佳逼近
3．2乐音的频率比
3．3实数的分数展开
3．4计算对数值
3．5二元一次不定方程的整数解
三、实验步骤
1.开启软件平台——Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口；
2.根据各种问题编写程序文件
3.保存文件并运行；
4.观察运行结果(数值或图形)；
5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会
四、实验要求与任务
根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）
3．1分数对无理数的最佳逼近
1） Pi分母q依次取遍1到100 000的最佳逼近分数。对每个分母q，取p=[]
0.5
qπ+
作为分子得到
一个最接近Pi的分数p/q
2）上述分数中比较精确者
3．2乐音的频率比
请自己用C语言将所给的频率产生乐音,如TC2.0 中的sound(a),a为频率。
3．3实数的分数展开
1)输入展开数（可用缺省值pi)及输入展开个数，当展开数小数部分少时，展开个数也应小。
(1)这些分数是否为最佳逼近的近似值；
(2)计算相临两个渐进分数之差的分子。
2)利用连分数展开重做练习2。
3．4计算对数值
1)用辗转相除法求lg2的前几个渐近分数，展开成小数近似值并估计他们的误差，将所得结果与练习四的结果作比较
2) 用辗转相除法求LogbN的前几个渐进分数，展开成小数并估计它们的误差
3．5二元一次不定方程的整数解
问题: 设a,b,c是整数,求二元一次方程ax+by=c的整数解.( a,b,c可以自己选择)
实验四、数列与级数
一、实验目的及意义：1、用计算机图示的方法去寻找数列的规律及其极限状态的性质
2、加深对极限概念的理解，进一步理解无穷小的概念和收敛速度问题
二、实验内容：
4．1 Fibonacci 数列
4．2调和级数
三、实验步骤
1.开启软件平台——Mathematica ，开启Mathematica 编辑窗口；
2.根据各种问题编写程序文件
3.保存文件并运行；
4.观察运行结果(数值或图形)；
5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会
四、实验要求与任务
根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）
4．1 Fibonacci 数列
1）分别取N=20，50，100，200，500，观察Fibonacci 数列的折线图，考察其性质。
2）分别取不同的N,用直线去拟合数据(n,log(Fn)),n=1,2,3,..., N, 由此求Fn 的近似表示 :( Log(Fn)=a+b*n,观察其线性项的系数b 与黄金分割数0.618...的联系。
3）证明:公式8不是Fibonacci 数列通项(推荐使用c=2.360679
4）公式9是Fibonacci 数列通项
4．2调和级数
1）取充分大的N ，观察调和级数的折线图，与
,y x y y === 2）对充分大的一系列n ，计算2n n S S -，猜测2n n S S -当n 趋于无穷的极限，更一般地2k n n S S -趋于无穷的极限是什么？反过来，固定n ，让k 趋于无穷，2k n S 趋于无穷的速度是什么？得出n S 当n 趋于无穷的极限阶。
3）用()J n 表示不小于n S 的最小整数
（1）对1,2,3
n N =，计算()()2J n J n -，对每个n ，设()()1J m J n =+，则/m n 的范围是？
（2）对每个1,2,3
30m =，另n 是使得()J n m =成立的最大整数，我们记为()L m ，试计算比值()()1/L m L m +，
我们可以得到什么结果，当m 趋于无穷，()L m 关于m 的阶是多大？由此，n S 关于n 的极限阶是多少？
实验五、素数
一、实验目的及意义：1、探讨素数懂得规律及相关的某些有趣问题，掌握几个生成素数的公式
二、实验内容：
5．1 素数的判别与求解
5．2生成素数的公式
5。3素数的分布
三、实验步骤
1.开启软件平台——Mathematica ，开启Mathematica 编辑窗口；
2.根据各种问题编写程序文件
3.保存文件并运行；
4.观察运行结果(数值或图形)；
5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会
四、实验要求与任务
根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）
5．1 素数的判别与求解
1）已知前n 个素数，按从小到大的顺序排列为12,n p p p ，计算121n n N p p p =+是否都是素数，如不是，是否含有不同于12,n p p p 的因子。以20为例。
2）利用Eratosthenes 筛选法，通过计算机编程求10000以内的所有素数。
3）利用试除法，通过计算机编程求10000以内的所有素数。比较那一个更有效
4）请输入n(1 (n-1)≡d mod[n]) 5）判断Mersenne 数M 7和M 11是否是素数. 6）请输入n (1 5．2生成素数的公式 1）对n=1,...,1000计算公式一： M=n 2 +n+41.它们是否都给出素数？在10000以内的素数中，由公式一：M=n 2+n+41给出的占多少？同样讨论公式二：M=n 2-79n+1601和公式三：M=6n 2+6n+31. 5.3素数的分布 1）将素数从小到大排序P 1=2,P 2=3,....用d n =P n+1-P n 表示相邻的素数间的间隔.计算d 1,d 2,...,d n 并画图 2）在二维坐标平面上标出点列(n,Π(n)),n=1,2,...,N。观察Π(n)趋于无穷的趋势，并和函数y=x,以及y=(x)1/2比较。类似观察(n,Π(n)/(x)1/2),以及(n,Π(n)/n),(n,n/log(n)),和(n,n/Π(n))。 3）对任意二到一百万之间一整数n,，计算Π(n),n/log(n),n/(log(n)-1.08366),看看哪个更接近Π(n)。 实验六、概率 一、实验目的及意义：1、将随机试验可视化，直观理解概率论中的一些基本概念，通过观察和分析实验 结果来加深对概率及随机变量知识理解 2、初步体验随机模拟方法 二、实验内容： 6．1概率的古典定义 6．2概率的统计定义 6．3二项分布与Poission分布 6．4正态分布 6.。5第一反正弦律 三、实验步骤 1.开启软件平台——Mathematica ，开启Mathematica编辑窗口； 2.根据各种问题编写程序文件 3.保存文件并运行； 4.观察运行结果(数值或图形)； 5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会 四、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会） 6．1概率的古典定义 1）乙两棋手棋艺相当，他们在五局三胜制的比赛中相遇。在甲已两胜一负的基础上，用计算机模拟他们以后的比赛，计算他们应得的奖金。 2）列举出同时抛掷三颗骰子的所有可能结果，比较掷出点数和为9与和为10，何者更容易。 3）利用概率古典定义计算在抛掷一对骰子的实验中，哪种点数和出现的概率最大，那种点数和出现的概率最小？ 4）计算下列两事件的概率大小：抛四次骰子至少有一次出现一点和抛掷一点骰子24次至少有一次出现两个一点。 5）试计算实验二的蒲丰（Buffon）投针实验中针与线相交的概率 6）在单位圆内随机地取一条弦，问“弦长超过该圆内接等边三角形的边长“这一事件的概率是多少？ 6．2概率的统计定义 1）设p是区间[0,1]内任一实数,在该区间内取随机数λ，则λ≤p的概率应等于p。取n(100,1000,10000)个这样的λ,计算λ≤P的次数m，看m/n是否接近于p。 2）利用概率的统计定义，通过计算机模拟本实验练习二中的(1)--(3)。
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