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电网络理论习题解

阅前提示：以下习题答案仅供参考，未经仔细核实，定有不少谬误，如有发现，请及时指正，谢谢！

习题1

1. 一个非线性电阻元件的电压、电流分别为：u(t) = cos ωt ，i(t) = cos4ωt(u 、i 参考方向一致)。求该电阻元件的构成关系。

i(t) = cos4ωt = 8cos 4ωt -8cos 2ωt+1 = 8u 4(t)-8u 2(t)+1

2．二端元件的电压、电流分别为u(t) = 2cost ，i(t) = 0.5-cost ，试确定元件类型(即属于电阻、电感、电容等中的哪一类)，并论证其无源性。

i(t) = 0.5-cost = 0.5-0.5u(t)

0T d )cos 5.0(cos 2d )(i )(u )t ,t (W T

0<-=ττ-τ=τττ=??

电阻，有源。

3．有两个二端元件，其电压、电流关系方程分别为

)

t (di )

t (2i u(t) (2) dt du(t)2u(t)i(t) )1(2== 试确定各元件类型，并论证各元件的无源性。

（1）因为dt du dt dq i 2

=，所以q = u 2+A ，A 为常数，电容元件。 )t (u 3

d d du u 2u d )(i )(u )t (W 3t t =ττ?=τττ=??∞-∞-，当u<0时，W(t)<0，有源。

（2）因为dt

di 32dt d u 3

ψ=，所以ψ = 32i 3+A ，电感元件。 0)t (i 2

id d di i 2d )(i )(u )t (W 4t 2t ≥=τ?τ=τττ=??∞-∞-，无源。

4．如题图1所示二端口电路，其中非线性电阻r 的构成关系为u r = i r 3。此二端口是有源的还是无源的。

p = u 1i 1+u 2i 2 = i = (i 1R 1+u R )i 1+(i 2R 2+u R )i 2 = i 12R 1+i 22R 2+i R 4≥0

0pd d )()()t (W t

=≥τ=τττ=??∞

-∞

-i u ，无源。

5．图1.23中对四种线性受控源给出了其一种零泛器模型。证明各含零泛器电路与对应受控源间的等效性。

6．图1.16给出了用运放和电阻元件实现的CNIC 和VNIC 的电路。试证明各含运放电路与对应的负阻抗变换器间的等效性。

题图1

习题2

1. 对题图1所示有向图：(1)若以节点④为参考节点，写出关联矩阵A ；(2)若选树T(1，2，3，4，5)，写出基本割集矩阵Q f 和基本回路矩阵B f 。

???????

?????????-------=1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A

?????

????

???????????---------=1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 f B

???????

?????????-----= 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 f Q

2. 已知图G 对应于某一树的基本割集矩阵如下，(1)试写出对应于同一树的基本回路矩阵；(2)作出对应的有向图。

????????????????--------=0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 00 0 1 1 1 0 0 1 0 0 01 1 0 1 1 0 0 0 1 0 00 0 0 1 1 1 0 0 0 1 01 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1f Q ?????

????

???????????------=-= 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 5 4 3 2 1 T l t Q B

基本回路矩阵：B f = [B t 1l ]

网络图如右所示，图中红线表示的是树枝。

3. 若考虑网络中电感和电容的初始值不为0，试写出矩阵表示的网络VCR 方程。图2.11(a)电路中，电感、电容的初值分别为i L5(0?)、u C6(0?)和u C7(0?)，求支路电压向量U b (s)。

③

题图1 ①

② ③ ⑤ ⑥

设初值向量i L (0?)，u C (0?)，变换为s 域的电压源L T i L (0?)，u C (0?)/s ，L 为支路电感向量。支路电压向量 U b (s) = Z b (s)[I b (s)+I s (s)]?U 's (s) 支路电流向量 I b (s) = Y b (s)[U b (s)+U 's (s)]?I s (s) 考虑初值时上式中 U 's (s) = U s (s)+L T i L (0?)?u C (0?)/s

本题中L T i L (0?) = [0 0 0 0 L 5i L5(0?) 0 0]T ，u C (0?)/s = [0 0 0 0 0 u C6(0?)/s u C7(0?)/s]T

??????????

??????????????-+????

???

???---------=??????????????????????----0 0 0 0 0 )0(i s 1)0(u C )0(u C )s (U G 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 G g g 0 C s /sL 1 0 0 0 g sC 0 0 G 0 g 0 )s (U )s (U )s (U )s (U )s (U )s (U )s (U 5L 6C 67C 7s 41

365747654321

4. 用导纳矩阵法求题图2所示网络的支路电压向量。

作出网络图，以结点5为参考结点，取树(1、3、4、6、8)，列出矩阵。

???????

?????????= 1- 0 0 1- 0 0 0 0 0 1- 0 0 0 0 0 1- 1 0 0 0 0 1- 1- 0 0 0 1- 0 1- 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 8 7 6 5 4 3 2 1 A ??

???

?????= 0 1 1- 0 1 0 0 1-1- 0 1- 1 0 1- 0 0 0 0 0 0 1- 1- 1 0 8

7 6 5 4 3 2 1 f B ?????????

??????????????

1/R 1/R 1/R 1/sL 1/sL sC C s C s 87654321b Y

0 0 (s)

I s1题图2

[]T

C3C2s T

s8s1s 0 0 0 0 0 s )0(U s )0(U 0 (s)I - 0 0 0 0 0 0 I (s)?

????--==--U I

)s ( )s ( )s ()s ( )s ()s (s b 1

f b s 1f b b U 0

AY B AY I 0A B AY U ???

?????????-????????????=--

5. 在题图3所示电路中，以I 5和I 2为直接求解的支路电流，列写改进结点方程。

??????----==0 1 0 0 0 1 10 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 ] [5 2 7 6 4 3 1 x E 0A A A A Y 0 = diag[G 1 G 2 G 4 G 6] Y x = diag[G 2 G 5]

?????+--+=31141610n G G 0 G 0 G 0 G 0 G G )s (Y ??

???-=0 0 G G G 0 )s (522T x x A Y

I s (s) = [?I s1 0 0 0]T ，U s (s) = [U s1 0 0 ?U s6]T

???

??????++--=1s 1s16s 61s 11s 0n U G I 0 U G U G I )s (I

改进结点方程

?????????

????

??++--=????????????

???

?????????????????????????--+-----+0 0

U U G I 0

U G U G I I I I U U U 1 0 0 0 0 G 0 1 0 G G 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 G G 0 G 0 1 1 0 G 0 1 0 1 G 0 G G 7s 1

s 1s16s 61s 11s 5273n 2n 1n 5223114161

6. 列写题图5所示网络以两条5Ω电阻支路为撕裂支路的撕裂结点方程。

题图3

习题3

1．利用不定导纳矩阵计算题图1所示二端口网络的短路导纳矩阵。

图示电路原始不定导纳矩阵为

????

????????++-----+---+=

2122212222111111'i sC sC G G sC sC G G 0 0 sC 0 sC G G sC 0 G sC G Y 消除不可及端子4得三端网络不定导纳矩阵

?????

????

??????----

-+------+=44222442244124422442222144211441244211

4421211'i Y G G Y C s G Y C s G Y C s G Y C s sC G Y C s C s G Y C s G Y C s C s G Y C s sC G Y ??????

????

???-

+-----+=44222214421144211

4421211i Y C s sC G Y C s C s G Y C s C s G Y C s sC G Y

2．题图2所示网络，试求：

(1) 根据不定导纳矩阵的定义求三端网络的不定导纳矩阵；

(2) 用首先形成网络的原始不定导纳矩阵的方法，求三端网络的不定导纳矩阵。

10V

题图5

6V 12

题图1

(1) 将VCVS 变换为VCCS ，2、3端接地，1端接电源u 1，计算得

g g )

sC g (g Y 212

111+++= sC

g g )

sC Ag g (g Y 2132121++++-=

g g g Ag Y 213

131++=

1、3端接地，2端接电源u 2，计算得 Y 12 = ?Y 11

3111

1122g Y g Ag Y Y +-= 3111

32g Y g Ag Y -=

矩阵第3列可由1、2列相加取负可得 Y 13 = 0 Y 23 = Y 21＋Y 22 Y 33 = ?Y 31＋Y 32

?????=333231232221131211i Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y (2) 将VCVS 变换为VCCS ：i 23 = ?Ag 3u 43＝Ag 3u 34，原始不定导纳矩阵为 ????

?????

???++---+-----+-++-=sC g g 0 sC g g Ag Ag g g 0 sC Ag g Ag g sC g g 0 g 0 0 g 2121333332333211'i Y 消除不可及端子4可得三端网络不定导纳矩阵

????

???????????-++-+-+++-++++-+--=3

344233443133443223244321442144211i Ag g Y )sC g (Ag g Y g Ag Ag g Y )sC Ag g )(sC g (sC g g Y )sC Ag g (g 0 Y )sC g (g Y g g Y

3．题图3所示一个不含独立源的线性三端网络，其输出端3开路。分别以1端、2端作为输入端的转移函数为

)s (U 23

)s (U 13

112)

s (U )

s (U )s (H )

s (U )

s (U )s (H ====

用不定导纳矩阵分析法证明H 1(s)与H 2(s)互为互补转移函数，即H 1(s)+H 2(s) = 1。

三端网络的Y 参数方程

???

???????=??????

??????????????)s (I )s (I )s (I )s (U )s (U )s (U Y Y Y Y Y Y Y Y Y 321321333231232221131211

输出端3开路，则有I 3 = 0；1端、2端作为输入端则有I 1 = －I 2。由此可得

题图

U 123(s) - -

1321

110

)s (U 131Y Y Y Y )

s (U )s (U )s (H 2++-

同理可得T 2(s)。根据不定导纳矩阵的零和性质，所以

1Y Y Y Y Y Y )s (H )s (H 33

3332333121==--

4. 题图4为以结点c 为公共终端的二端口网络，用不定导纳矩阵分析法求该二端口网络的短路导纳矩阵Y sc (s)。

以结点5为参考结点，写出原始不定导纳矩阵，由此得定导纳矩阵

????

???---+--=0 g 0 0 g sC sC 0 0 sC g C s G G 0 0 G G )s (m d Y 应用式(3?25)，去掉第2、3行列，得二端口网络的短路导纳矩阵

???

???????

---+=sC )sC (G g G g sC )sC gG(g G g G g 1)s (2

m m m sc Y

5. 用不定导纳矩阵分析法求题图5所示滤波器的传递函数H(s) = U o (s)/U i (s)(设运放为理想的)。

2121121122

121i o C

C R R 1

C R 1C R 1s s C C R R 1

)s (U )s (U )s (H +???? ??++==

习题4

1. 列出题图1所示网络的状态方程：(1) 以电容电压与电感电流为状态变量；(2) 以电容电荷与电感磁链为状态变量。

(1) 网络的状态方程：

s L 3L s 2

s 2122C 221C 2122C s 1

s 2C 1C 111C u L

1i L R i i C 1

u )R 1R 1(C 1u R C 1u )R 1R 1(C 1u

i C 1

)u u u (C R 1u

+-=++---=-++-=

题图4

题图5

u C2 题图1

(2) 网络的状态方程：

s 3

s s 2

122211112s

s 1

2211111u L

R i u )R 1

R 1(q C 1)R 1R 1(q C R 1q i u R 1

q C R 1q C R 1q +ψ-=ψ

++-+--=-++-=

2. 用系统公式法建立题图2所示网络的状态方程。

复杂性阶数为3，取树T(1，2，3，4，5，6)，基本割集矩阵

???????????????????

?-----= 0 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 01 0 0 0 0 0 0 1 0 01 1 0 1 0 0 0 0 1 01 0 0 0 0 0 0 0 0 1f Q

网络状态方程

??????????????

??????????++-+++-+???????????????????????

????

???++-++-+++-=??????????????????10s 1s 7372327737232739L 3C 2C 965473723

2877372328739L 3C 2C i u 0 0C C C C C C C 0C C C C C C )C C ( 0i u u L L L R 0 0 0 0 )C C C C C C (R C 0 0 )C C C C C C (R )C C (dt di dt du dt du ??

???????

?????

??????

???????????

?++-++-++-dt di dt du L L L L 0 0 C C C C C C C C 0 C C C C C C C C 10s 1s 9655737232727372327

3. 用多端口法建立题图3所示网络的状态方程。

网络的状态方程

u s1 C _ + 题图2

C R 4

u C3

+ u +

u 题图3

?????????

?????

?-+??????????????????----=????????????s s 1L C 1L C i u 92 031 21i

u 92 9431 32dt di dt du

4. 网络的状态方程和初始状态为

[]201)t (x )t (x 0 2 1 3)t (x )t (x

2121??????+???????????

?--=?????? ??

????=??????52)0(x )0(x

21 试求该状态方程的解。

网络的预解矩阵和状态方程的解：

????

???

???+++++++-++=-=-2s 3s 3s 2s 3s 22s 3s 1 2s 3s s )s ()s (22221

A I Φ ???

?????-++-=??????--2t -t -2t t 217e e 0127e e 5)t (x )t (x

习题5

1. 试导出式(5?5)和式(5?6)。

0~~~)~~(~)(~~~~~~~b T b b b T b t T f b T t T f t T f b f T t t c T t c T t ======I U U Y U U Q Y U Q U Q Y Q U U Y U I U

0)()(b T b b b T b T f b T T f T f T b f T T T T T =======U I I Z I I B Z I B I B Z B I I Z I I I Z I U ~~~~~~~~~l

l l l l l l l l l l l

2. 根据伴随网络定义试确定题图1(a)、(b)给出的两个二端口元件在伴随网络中的对应元件及其参数。

回转器方程

???????????

?-=??????2121i i 0 r r 0u u

伴随网络方程

??????????????-=??????2121i i 0 r r 0 u u ~~

~~ CNIC 方程

??????????=??????121221u i 0 1/k 1/k 0 u i 伴随网络方程

????????????--=??????122121u i 0 1/k 1/k 0 u i ~~~~ 这是VNIC 。题图1

(a)

21(b)

(u 1 = k 1u 2，i 2 = k 2i

回转器伴随网络

CNIC 伴随网络

3. 求题图2所示网络的对偶网络及其网络方程。电路的网络图及其对偶图：

网络元件对偶关系：

L'1 = C 1， L'4 = C 4， C'3 = L 3， R'2 = G 2， R'5 = G 5， R'6 = G 6， i's = u s ， u's = i s 初始值对偶关系：

i'L 1(0-) = u C 1(0-)， i'L 4(0-) = u C 4(0-)， u'C 3(0-) = i L 3(0-) 原电路结点电压方程

????????

??????????-+-+?????

?????-=???????????

???????

?????????++---++---++-----)0(u C s )0(i )0(u C s )0(i )0(u C I 0 )s (U sC U U U G G sC sC G sC sL 1G sC sL 1 G sL 1 sL 1G sC 43431C 4L C 4L C 1s s 13n 2n 1n 624424354323321 对偶电路网孔电流方程

????????

??????????-+-+?????

?????-=???????????

???????

?????????++---++---++-----)0('i 'L s )0('u )0('i 'L s )0('u )0('i 'L U' 0 )s ('I 'sL I I I 'R 'R 'sL 'sL 'R 'sL 'sC 1'R 'sL 'sC 1 'R 'sC 1 'sC 1'R 'sL 43431L 4C L 4C L 1s s 13m 2m 1m 624424354323321

习题6

1. 题图1所示二阶LC 滤波电路中：R 1 = R 2 = 1Ω，L = 0.7014H ，C = 0.9403F ，令H(j ω) = U o (j ω)/U i (j ω)，试求H(j ω)对各元件参数的灵敏度。

题图1 u

C 题图2

③

④

对偶图

)

j (D 1

)CR R L

(j LC R R 11

)

j (U )

j (U )j (H 12

221i o ω=

+ω+ω-+

ωω=

ω )j (D R /L j LC L )j (D )j (D L S S 2

2)j (D L

)j (H L

ωω-ω=?ω?ω-=-=ωω )

j (D CR j LC C )j (D )j (D C S S 12)j (D C

)

j (H C ωω-ω=?ω?ω-=-=

ωω )

j (D R /)L j R (R )j (D )j (D R S S )

j (D )

C j R /1(R R )j (

D )j (D R S S 2

122)

j (D R

)j (H R 21

11)j (D R

)j (H R 2

ωω+=

?ω?ω-=-=ωω+-=?ω?ω-=-=ωωωω

2. 用增量网络法求题图2所示网络中的电压U 4对β和对G 2的非归一化灵敏度。图中，G 1 = 3S ，G 2 = 2S ，G 3 = 6S ，G 4 = 7S ，β = 2。

?????--=1 1 0 0 01 0 1 1 00 0 1 0 1A ?????

???

???????=????????????????β=0 0 2 0 00 7 0 0 00 0 6 0 00 0 0 2 00 0 0 0 30 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 G 4321b Y

I s = [1 0 0 0 0]T ，U s = 0

?????-=-=

-0136.0191.0238.0)(s b s

1n n U Y I A Y U ??

????

????????β-????????????------=+??-=????????????-0476.0G 0136.0G 0476.0G 191.0G 238.0x .1220 0.143 0340.0 0.0204 0136.0214.0 0 0238.0 .2140 .1910 143.0 0 0.0952 .1430 .2380 )(x U U U x 4321n T s b 1n 3n 2n 1n U A U Y A Y 图中U n3 = U 4，对U 4的偏导数为

34321410)81.5G 94.1G 62.1G 9.3G 24.3(x

x U -?β-++-??

=?? 343443343243141081.5U

1094.1G U 1062.1G U 109.3G U 1024.3G U -----?-=β

???=???=???-=???=??，，，，

3. 题图3所示网络中各元件参数为：R 2 = 2Ω，R 3 = 8Ω，r m = 4Ω，I s = 0.5A 。用伴随网络法求U 2对R 2、R 3、r m 的非归一化灵敏度

3222r U R U R U ??????、、。

题图2

R 3

题图3

R 3

3 R 3

????

???=0 0 0 r 0 R 0 00 0 R 00 0 0 0m 32b Z I b = [1 6/5 ?1/5 ?1/5]T ?b = [1 8/5 1/5 1/5]T

32m m 32b b T

b i R 251R 2548r 515/15/15/6 1 0 0 0 r 0 R 0 0 0 0 R 0 0 0 0 0 51 51 58 1?-?+?=????

???????--?????????????????????=?=?I Z I Z

I s = 0.5A

r Z I r U

501

R Z I R U 2524

R Z I R I Z R U m i s m 23i s 322i s 2s i 22=??=??-=??=??=??=??=??

习题7

1. 题图1为积分器电路，采用无源补偿方法可使电路的相位误差为零，试求C c 与电阻R 、电容C 以及运放时间常数τ的关系式。

网络函数

c c c i 0sRC 1s 1RC )s (H )

s (H sRC 1s 1RC sRC 1

)

s 1(sRC )sRC 1(s sRC 1U U )s (H ~+τ++τ=+τ++τ-

=τ+++τ+-== 当τ = C c R = CR 时，相位误差为0，但幅值误差不为0。

2. 设计萨林?基低通滤波器，要求f p = 2kHz ，Q = 10，取R 1 = R 2，C 1 = C 2。设运放的A 0f 0值为500kHz ，运放的时间常数对ωp 和Q 的影响有多大？

根据设计方法二：

ωp = 1/RC = 2πf p ，取C = 10nF ，得R = 8k Ω。K = 3?1/Q = 2.9，取R b = 10k Ω，得R a = 19k Ω。

Q 155.1Q ~,8157.0~p p =ω=ω

3. 试求题图2电路传递函数H(s) = U o (s)/U i (s)。

题图1

)K /11(C C R R R K 1R /R s )K /11(C R R 1

R 1R 1R 1C 1s )

K /11(C C R R 1

)

s (U )

s (U 2132112231321122131i o --++????????-+?

??? ??+++-=

式中 b

a R R

1K +=

4. 试导出图7.22的低通、带通和高通传递函数。

习题8

1. 将下列LC 策动点函数实现为福斯特I 型和II 型、考尔I 型和II 型电路。

(1) )

2s (s )4s )(1s ()s (Z 222+++= (2) )

16s )(4s (s )9s )(1s ()s (Z 2222++++=

题(2)的实现：福斯特I 型

福斯特II 型

考尔I 型

考尔II 型

题图

C 2

2. 题图1所示低通原型滤波电路，现要求实际截止频率ω0 = 2.4MHz ，实际电阻为R 1 = 150Ω，R 2 = 75Ω，试求电感、电容的实际值。

k z = 75，k ω = 2.4×106，元件实际值

61.3104.27565.0k k C 'C H

9.46104.25.175L k k 'L 6z 6

z =??==μ=??==ωω

3. 设计实现满足下列技术指标的巴特沃斯低通滤波器：通带起伏：?1dB 0≤f ≤10kHz 阻带衰减：≤?20dB 20kHz ≤f<∞

信号源内阻R s 和负载电阻R L 相等，R s = R L = 1k Ω。

先求阶数n 和截止频率ωc ：

29.41021022log

21101

10log n 4

410/110/20=?π??π--=

取n = 5 s

/rad 1026.121

10102210102211

|)j (H |410

10/204

c 20

/205

2c 4s ??π=-??π=

ω=???

?ω??π+=

ω-?

查巴特沃斯低通原型滤波器归一化元件值表得归一化电路

归一化系数k z = R s ，k ω = ωc ，元件去归一化：

81.7101026.12618.0C R 1C mH

5.21102

6.12618.110L R L 3

41s c '

32c s '

2=???π=ω==??π?=ω=

类似可求其他元件值。

习题9

1. 采用频变负电阻实现4阶巴特沃斯低通滤波器，并求出各元件值。设R s = R L = 1k Ω，要求截止频

E s

题图1

率为5kHz ，最小电阻值为1k Ω。

4阶巴特沃斯低通原型滤波器：频变负电阻构成的4阶巴特沃斯低通原型滤波器

归一化系数k z = 1000，k ω = 5000×2π。由于最小原型电阻R min ＝0.7654，直接去归一化后阻值小于1k Ω，所以归一化前所有原型元件值乘以K ＝1/0.7654。归一化计算式为：

R Kk 'R k Kk C 'C z z ==ω

例如

=??===???π==

ωk 1107654.07654

.01R Kk R nF

241010527654

.0k Kk C C 31z '

3z s 's

2.题图1为基于电流传输器的RC 电路，试说明当R 2＝R 5时，该电路为一个频变负电阻。

)

C sR R R

1(sC 1

)

s (I )

s (U Z 435

21i i i +-==

当R 2＝R 5时，则有

132i C C R s 1Z =

3. 求解题图2所示电路的传递函数，并说明其为何种类型的滤波器。

(a) 2

2Q 22

i o C R 1

s C R 1s s 2)s (U )s (U )s (H ++=

= 二阶高通函数 (b) 1

s R C R )sRC (1

s R C

R )sRC ()

s (U )s (U )s (H Q

i o +++-==

二阶全通函数

4. 用萨林?基低通滤波器实现以下传递函数，并正确实现增益常数。

)

200s 5s )(100s 2s (20000

)s (U )s (U )s (H 22i o ++++==

题图1

u i

(a)

题图2

(b)

200

s 5s K 200100s 2s K 100K K 1

200

s 5s 200

100s 2s 100

)s (H 22212122++?++?=

++?

++=

ωp1 = 10，Q 1 = 5，K 1 = 2.8 ωp2 = 14.14，Q 2 = 2.828，K 2 = 2.65 用设计方法二，取C = 10μF ，计算得

C 1 = 10μF ，R 1 = 10k Ω，R a1 = 18k Ω，R b1 = 10k Ω C 2 = 10μF ，R 2 = 7.07k Ω，R a2 = 16.5k Ω，R b2 = 10k Ω

设计电路两级增益为K 1K 2，给定传递函数增益为1，加入衰减常数为1/K 1K 2的衰减器

r 1 = 74.2k Ω，r 2 = 11.6k Ω。

习题10

1. 题图1所示电路为升降压式变换电路，设电感电流为连续导通模式，试用状态平均法求直流稳态输出电压。

开关占空比用d 表示，则开关合上时

i u 0L 1u i RC 1 00 0u i dt d ????

????+?????????????

=?????? 开关断开时

i u 00u i RC 1 C 1L 1 0u i dt d ??

????+???????????

???????--

=?????? 状态平均公式为

i u 0L d u i RC 1 C d 1L d -1 0 u i dt d ????

????+??????????????????

---=??????

直流稳态方程为

u i

u 题图1

i U 0L d U I RC 1 C d 1L d -1 0 ????????-=??

???????????????

---

直流输出电压

i U d 1d U -=

2. 设传递函数为10s 625s s 2000)s (H ++=，如果取样频率为：f s = 8kHz ，用双线性变换求出z 域传递函数

H(z)。

222)1z (100)1z (10)1z (256)

1z (32)z (H ++-+--=

3. 设输入电压为全周期保持，求题图2所示电路的传递函数U o (z)/U i (z)。

)

n ,1(u C )n ,1(u C )n ,2(u )C C ()

n ,1(u C C C )n ,1(u )1n ,2(u )n ,1(u 22o 3o 32i 2

2o o +=++=

由以上三式得

)n ,1(u C C C C )n ,1(u C )1n ,1(u )C C (i 2

o 3o 32++=++

取z 变换得

322

1i o C z )C C (C C C C )z ,1(U )z ,1(U -++=

4. 试导出式(10?24)和式(10?25)。根据图10.30(a)所示电路列出方程 u i (1，n)C 2+u o (1，n)C 1 = u o (2，n ?1)C 1 u o (2，n)C 1 = u o (1，n)C 1 根据图10.30(b)所示电路列出方程 u o (1，n)C 1 = u o (2，n ?1)C 1 u o (2，n)C 1 = u i (1，n)C 2+u o (1，n)C 1

习题11

1. 求题图1所示电路各条支路电流，其中非线性电阻r 的伏安特性为

?????>≤=0u ,u 0

u ,0i r 2

r r 当以电压源U s1作为激励端口时，求一端口的驱动点特性。若以b 、c 两端作为输出端口，试求其转移特性。

u u o

题图2

列出电路方程可得：u r 2+2u r ?15 = 0，求得u r = 3V ，各支路电流分别为 i 1 = 4.5A i 2 = 4.5A i r = 9A 一端口驱动点特性

6u 2+9u ?24ui ?24i+8i 2 = 54 二端口转移特性 2u bc 2+28u bc +78 = u s1

2. 题图2(a)所示电路中，已知U s1 = 50V ，U s2 = 64V ，R 1 =

3.5Ω，R 2 = 3Ω，R 3 = 55Ω，非线性电阻r 的伏安特性曲线如题图2(b)所示。若r 的工作范围为20～50V ，试用折线法计算r 中的电流。

求得在r 的工作范围为20～50V 的折线方程：u r = 214i r ?40

非线性电阻r 用折线方程代替求得i r = 0.36A ，显然i r 在有效区域内。

3. 用牛顿?拉夫逊法求题图3

所示电路的电压u r 和电流i r 。其中非线性电阻r 的电压电流关系为i r = u r 2+2u r ，R = 3Ω，I s = 2A 。

迭代方程

u 66

u 3u 6u 7u 3)u (f k 2k

k k 2k k ++=-+=+

迭代结果u k = 0，0.8571，0.6756，0.6667

得所求电压、电流：u r = 0.6667V ，i r = u r 2+2u r = 1.778A

习题12

1. 试求出下列微分方程所有平衡点，围绕平衡点将其线性化，如果可能试确定每一平衡点的性质。

21222111x x x x x x x x

-=+-=

平衡点（0，0），鞍点； U R R 题图1

题图2

(b)

U (a)

题图3

平衡点（1，1），中心，围绕平衡点的闭曲线。

2. 对下列方程：

2122211x x x 2x

x 2x x +=+-=

利用函数W(x 1，x 2) = ?x 12+x 22，证明平衡点(0，0)是一个不稳定平衡点。

W(0，0) = 0，dW(x 1，x 2)/dt = 2(x 12+x 24)≥0，在原点领域，只要|x 1|<|x 2|，就有W(x 1，x 2)>0，符合不稳定定理。

3. 设微分方程为0x x x 1x =+-+

|)|(，试说明极限环是否存在。 |x|<1时，阻尼为正，x 不断衰减，直到为0；|x|>0，阻尼为负，x 不断增加，直到无穷。不产生振荡。

4. 蔡氏等效负阻如图12.38所示，元件值为R 1 = R 2 = 220Ω，R 3 = 2.2k Ω，R 4 = R 5 = 22k Ω，R 6 = 3.3k Ω，电源为±9V ，U sat = 8.3V ，试确定负阻参数m 0、m 1、U p1、U p2。 m 0 = ?4.1×10?4Ω?1，m 1 = ?7.6×10?4Ω?1，U p1 = 7.5V ，U p2 = 1.1V 。

5. 蔡氏电路如图12.40所示，试用仿真软件模拟该电路，确定不同类型u C1?u C2相图与电位器R 值的关系。

习题13

1. 用四阶龙格?库塔法计算式(12?14)的洛伦茨方程，取a = 16，b = 45.92，c = 4，初始值(x 0，y 0，z 0)分别为(7.453，-5.467，53.34)和(7.2，-5.2，53.0)。

2. 试用平均值法求下列微分方程的近似解

|x |x x x 2

0 ε-=ω+

3. 试用谐波平衡法求下列微分方程的近似解

)t cos(f x x x 132

0ωε=ε+ω+

必修五解三角形常考题型非常全面

必修五解三角形常考题型 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =Q 而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例2在ABC 中，已知，C=30°，求a+b 的取值范围。【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。解：∵C=30°，，∴由正弦定理得： sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin （150°-A ）. ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ； ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。

小学解方程经典50题

小学解方程（经典50题） 35 3141=+ x x 2、45 9 4=- x ）（ 3、 18 5 1=+ x x 4、8 516 5=+ x 5、15 84 3 = ÷x 6、185 1=+x x 7、2753=x 8、 14 17 2= - x x 9、 9 88 9= ÷ x 10、33 211 3=-x 11、 0.4x=0.72 12、 3212 5=-x 13、283 11(=+x ） 14、 40 )7 21(=- x 15、 365 2=- x x 16、5574=+ x x 17、 16 5 4=÷ x 18、 6 53 2= x

19、10 495 13 2= - x x 20 5)4 18 3( =- x 21、 4 92 14 3= + x x 22、8 35 4= -x x 23、 9 55 68= ÷ x 24、 16 510 9=- x x 25、3 216 34 12 1? = - x x 26、 10 95 14 1= + x x 27、 6 53 510 15 3= ? + x 28、40 7)4 13 1(= + ?x 29、 10 1489 1÷ =- x x 30、 18 59 5= x 31、5 412=x 32、 156 5=x 33、 3 28 3= ÷ x

34、9 84 3= +x 35、 5 215 4= - x 36、 20 74 3= + x x 37、3 27 6= ÷x 38、 2 74 72 3= - x 39、 8 9 44 3÷= ÷ x 40、56 1=-x x 41、 214 3=+ x x 42、 12 )3 11(=+ x 43、15 5 25 1=+ x x 44、10 )4 18 3( =+ x 45、 24)7 11(=- x 46、4 36 1= ÷x 47、 5 215 7= ? x 49、 3 17 6= ÷ x 50、25 1852= x 51、6x+4(50-x)=260 52、 8x+6(10-x)=68 53、5x+2(20-x)=82 54、 4x+2(35-x)=94

人教版高一必修五解三角形单元试题及答案

高一必修5 解三角形单元测试题 1．在△ABC 中，sinA=sinB ，则必有（） A ．A=B B ．A ≠B C ．A=B 或A=C －B D ．A+B= 2 π 2．在△ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则△ABC 是（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 3．在ABC ?中，若 b B a A cos sin =，则B 的值为（） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 4．在ABC ?中，bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 等于（） A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 5．在△ABC 中，b =，，C=600，则A 等于（） A ．1500 B ．750 C ．1050 D ．750或1050 6．在△ABC 中，A:B:C=1:2:3，则a:b:c 等于（） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ． 2: D ． 7．△ABC 中，a=2，A=300，C=450，则S △ABC = （） A B ． C 1 D ．11)2 8．在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则acosB+bcosA 等于（） A ． 2 b a + B ． b C ． c D ．a 9．设m 、m ＋1、m ＋2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是（） A ．0＜m ＜3 B ．1＜m ＜3 C ．3＜m ＜4 D ．4＜m ＜6 10．在△ABC 中，已知a=x ， A=450，如果利用正弦定理解这个三角形有两个解，则x 的取值范围为（） A ． B ．22 D ．x<2 11．已知△ABC 中，A=600，，c=4，那么sinC= ； 12．已知△ABC 中，b=3， B=300，则a= ； 13．在△ABC 中，|AB |＝3，||＝2，AB 与的夹角为60°，则|AB -|＝____ __； 15．在ABC ?中，5=a ， 105=B ， 15=C ，则此三角形的最大边的长为__________；

解三角形的必备知识和典型例题及习题

解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式：（1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝2 1ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

解方程练习题【经典】

解方程测试题请使用任意方法解下列方程，带*的必须检验。 x-104=33.5 x+118=11.9 26.4×x=40 62.2-x=70.7 x÷31=21.0 69.4+x=87.4 94.8+x=48.2 37.3x=84.1 91.1x=38.7 x÷13.3=14.5 31.4x=59.8 41.7x=69.9 105x=82.6 x×7.1=10.7 x+75.4=16 x÷63=42.2 x-8=32.8 64.2x=78 14÷x=21 59.9-x=40 9.8+x=99.3 44.2-x=86.1 x÷35.0=9.0 52.6-x=52.0 x×63.4=62.7 2.8-x=52 x÷41.0=139 9.6x=97.2 51x=42.9 x-48.8=95 x×6.8=25.4 118+x=35 56.6x=54.0 23x=145 x+50.3=28.1 54.6+x=96.2 x+89.2=59.1 45x=48 28.7x=83.5 17.3x=60.8 x+101=20.8 55.9x=75.2 59.7-x=23 x÷61.6=55.0 45.3÷x=79.5 x-48.2=85 x×43.6=62.6 5.9x=6.1 80.3x=11.7 104x=47.7 x×100.7=70 92.1x=27.3

56x=56 x÷16.8=88.3 95x=90.8 49.6x=125 2.1+x=73.4 16.7÷x=76.8 x+99=37.9 33÷x=56.6 48.5÷x=61.8 x÷3.6=96.5 68.0÷x=73 x×16.8=5.0 26.9x=88.0 45.5x=87 x×82=48.1 88.5+x=20.8 53.3x=21.3 95x=42.1 68÷x=139 x+34.7=135 x-63.1=43 19.5÷x=116 1.6x=5.7 2.3x=68.1 55.6+x=99.4 94.8÷x=28.9 100.3÷x=101 x+21.0=128 17-x=6.6 x-51=95.5 33.7×x=126 1.8x=111 48.4x=56 x×43.3=93.6 65.6x=100.9 6.8÷x=78.7 38.7-x=90.8 100x=143 64+x=31.9 x×122=28.7 x-55.1=95 17-x=92.8 x+20.8=53.1 90.9x=80.1 30.6x=58 43.9-x=37.2 6x=25.6 66.6x=113 x×21.0=65.6 x×30.6=51.1 58x=88.5 86.1x=89.5 x÷19.2=22.3 8.9×x=55 94.5+x=36.4 129x=86.3

解三角形试题精选

解三角形试题精选（自我测试）一、选择题：（每小题5分，计40分）题号12345678 答案 1．已知△ABC 中，a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于（）（A ）135° (B)90° (C)45° (D)30° 2.在ABC ?中，,75,45,30 ===C A AB 则BC =（） A.33- B.2 C.2 D.33+ 3.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =3 π,a = 3 ,b =1，则c =( ) （A ）1 （B ）2 （C ） 3 —1 （D ） 3 4．在中，角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若2 2 2 3a c b ac +-=，则角B 的值为（）Ａ．6 π Ｂ．3 π Ｃ．6 π或 56 π Ｄ．3 π或 23 π 5．在△ABC 中，若 C c B b A a cos cos cos = = ，则△ABC 是（）（A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形. 6. A B C ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（） A ．1 4 B ．3 4 C ． 24 D ． 23 7．在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 8．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23 ，那么b =（）

解三角形典型例题

1．正弦定理和余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A c; a-b

解三角形经典练习题集锦

解三角形一、选择题 1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（） A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。三、解答题在△ABC 中，设,3,2π= -=+C A b c a 求B sin 的值。

解三角形测试题(附答案)

一、选择题： 1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（） A ． 30° B ．45° C ．60° D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于（） A ．310+ B ．( ) 1310 - C ．13+ D ．310 3、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（） A ．30° B ．60° C ．30°或120° D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（） A ．无解 B ．一解 C ．二解 D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 为（） A ． 3 π B ． 6 π C ．32π D ． 3π或32π 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（） A ．()10,8 B ． ( ) 10,8 C ． ( ) 10,8 D ． ()8,10 8、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 9、△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( ) A ．2>x B ．2

解三角形典型例题答案

1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=-

五年级数学简易方程典型练习题

简易方程【知识分析】大家在课堂上已经学了简单的解方程，现在我们学习比较复杂的解方程。首先，我们要对方程进行观察，将能够先计算的部分先计算或合并，使其化简，然后求出X的值。【例题解读】例1解方程：6X+9X-13=17 【分析】方程左边的6X与9X可以合并为15X，因此，可以将原方程转化成15X-13=17，从而顺利地求出方程的解。解：6X+9X-13=17， 15X-13=17 15X=30 X=2。例2解方程：10X-7=4.5X+20.5 【分析】方程的两边都有X,运用等式的性质,我们先将方程的两边同时减去4.5X,然后再在两边同时加上7,最后求出X. 解:10X-7-4.5X=4.5X+20.5-4.5X, 5.5X-7=20.5 5.5X-7+7=20.5+7 5.5X=27.5, X=5. 【经典题型练习】解方程:7.5X-4.1X+1.8=12 解方程:13X+4X-19.5=40

解方程:5X+0.7X-3X=10-1.9 解方程练习课【巩固练习】 1、解方程：7（2X-6）=84 2、解方程5（X-8）=3X 3、解方程4X+8=6X-4 4、解方程7．4X-3.9=4.8X+11.7

列方程解应用题【知识分析】大家在三四年级的时候一定学过“年龄问题”吧！记得那时候思考这样的问题挺麻烦的，现在可好啦！我们学习了列方程解应用题，就可以轻松地解决类似于这样的应用题。【例题解读】例题1 今年王老师的年龄是陈强的3倍，王老师6年前的年龄和陈强10年后的年龄相等，陈强和王老师今年各是多少岁？【分析】要求陈强和王老师两个人的年龄，我们不妨设今年陈强的年龄是X岁，王老师的年龄是3X岁，然后根据“王老师在6年前的年龄和陈强10年后的年龄相等”这个数量关系式，列出方程。解：设今年陈强的年龄是X岁，王老师的年龄是3X岁，可列方程：3X-6=X+10，2X=16，X=8 3X=3×8=24 答：陈强今年8岁，王老师今年24岁。例题2 今年哥哥的年龄比弟弟年龄的3倍多1岁，弟弟5年后的年龄比3年前哥哥的年龄大1岁，兄弟俩现在各多少岁？【分析】先表示出哥哥和弟弟今年的年龄，然后运用弟弟5年后，哥哥3年前的年龄作为等量关系。解：设弟弟今年X，那么哥哥今年（3X+1）岁，可列方程 X+5=3X+1-3+1，X+5=3X-1，6=2X，X=3。 3X+1=3X3+1=10 答：哥哥今年10岁，弟弟今年3岁。

解三角形的必备知识和典型例题及习题

解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 2 2 2 （1）三边之间的关系： a ＋ b ＝c 。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b 。 2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 a sin A b sin B c sin C 2R （R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c －2bc cos A； b ＝c ＋a －2ca cos B； c ＝a ＋b －2ab cos C。 3 ．三角形的面积公式：（1）S ＝1 2 ah a＝ 1 2 bh b＝ 1 2 ch c（h a、h b、h c 分别表示a、b、c 上的高）；（2）S ＝1 2 ab sin C＝ 1 2 bc sin A＝ 1 2 ac sin B； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

三角函数与解三角形练习题

三角函数及解三角形练习题一．解答题（共16小题） 1．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，求C的大小． 2．已知3sinθtanθ=8，且0＜θ＜π．（Ⅰ）求cosθ；（Ⅱ）求函数f（x）=6cosxcos（x﹣θ）在[0，]上的值域． 3．已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点．（Ⅰ）数a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间． 4．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在[﹣，]上的值域． 5．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间． 6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值． 7．已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值． 8．已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值围． 9．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，M 为最高点，该图象与y轴交于点F（0，），与x轴交于点B，C，且△MBC的面积为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（α﹣）=，求cos2α的值． 10．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x值；（Ⅱ）设函数，如图，点P，M，N分别是函数y=g（x）图象的零值点、最高点和最低点，求cos∠MPN的值． 11．设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0．

正弦定理余弦定理综合应用解三角形经典例题老师

一、知识梳理 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二： ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解三、课堂精讲例题问题一：利用正弦定理解三角形

小学解方程经典例题

列方程解应用题及解析例1甲乙两个数，甲数除以乙数商2余17．乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．分析：被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如果设乙数为x，则根据甲数除以乙数商2余17，得甲数=2x＋17．又根据乙数的10倍除以甲数商3余45得10x=3（2x＋17）＋45，列出方程．解：设乙数为x，则甲数为2x+17． 10x=3（2x＋17）+45 10x=6x＋51+45 4x=96 x＝24 2x+17=2×24+17=65．答：甲数是65，乙数是24．例2电扇厂计划20天生产电扇1600台．生产5天后，由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天思路1：分析依题意，看到工效（每天生产的台数）和时间（完成任务需要的天数）是变量，而生产5天后剩下的台数是不变量（剩余工作量）．原有的工效：1600÷20=80（台），提高后的工效：80×（1＋25 ％）=100（台）．时间有原计划的天数，又有提高效率后的天数，因此列出方程的等量关系是：提高后的工效x 所需的天数=剩下台数．解：设完成计划还需x天． 1600÷20×（1+25％）×x=1600-1600÷20×5 80×=1600-400 100x=1200 x=12．答：完成计划还需12天．例4 中关村中学数学邀请赛中，中关村一、二、三小六年级大约有380～450人参赛．比赛结果全体学生的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分．求男、女生至少各有多少人参赛分析若把男、女生人数分别设为x人和y 人．依题意全体学生的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分，可以确定等量关系：男生平均分数×男生人数+女生平均分数×女生人数= （男生人数+女生人数）×总平均分数．解方程后可以确定男、女生人数的比，再根据总人数的取值范围确定参加比赛的最少人数，从而使问题得解．解：设参加数学邀请赛的男生有x人，女生有y人． 79x+71y＝（x+y）×76 79x+71y＝76x+76y 3x＝5y ∴x：y=5：3 总份数：5＋3=8．在380～450之间能被8整除的最小三位数是384，所以参加邀请赛学生至少有384人．男生：384×=240（人） 5 8 女生：384×=144（人） 3 8 答：男生至少有240人参加，女生至少有144人参加．例 5 瓶子里装有浓度为15％的酒精1000克．现在又分别倒入 100克和400克的A、B两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为14％．已知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A

较为全面的解三角形专题高考题附答案

.. 这是经过我整理的一些解三角形的题目，部分题目没有答案，自己去问老师同学，针对高考数学第一道大题，一定不要失分。——（下载之后删掉我） 1、在b 、c ，向量m2sinB,3， 2 B nB ，且m//n 。 cos2,2cos1 2 （I ）求锐角B 的大小；（II ）如果b2，求ABC 的面积S ABC 的最大值。 (1)解：m ∥n2sinB(2cos2 B －1)＝－3cos2B 2 2sinBcosB ＝－3cos2Btan2B ＝－3??4分 2π π ∵0＜2B ＜π,∴2B ＝ 3,∴锐角B ＝ 3 ??2分 (2)由tan2B ＝－3B ＝ 5π π 或 36 π ①当B ＝ 3 时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 4＝a2＋c2－ac ≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)??3分 1 2 ∵△ABC 的面积S △ABC ＝ acsinB ＝ 3 ac ≤3 4 ∴△ABC 的面积最大值为3??1分 5π ②当B ＝时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 6 4＝a2＋c2＋3ac ≥2ac ＋3ac ＝(2＋3)ac(当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立) ∴ac ≤4(2－3)??1分 1 2 1 acsinB ＝ac ≤2－3 4

∵△ABC的面积S△ABC＝ 2－3??1分∴△ABC的面积最大值为

.. 5、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC3acosBccosB. （I）求cosB的值；（II）若BABC2，且b22，求a和c b的值. 解：（I）由正弦定理得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC，则 2RsinBcosC6RsinAcosB2RsinCcosB, 故sinBcosC3sinAcosBsinCcosB, 可得sinBcosCsinCcosB3sinAcosB, 即sin(BC)3sinAcosB, 可得sinA3sinAcosB.sinA0, 又因此cosB 1 3 . ????6分（II）解：由BABC2,可得acosB2，又cosB 1 3 ,故ac 6, 2 由b 2 a 2 c2accosB, 2 可得a 2 c 12, 2 所以(ac)0,ac, 即所以a＝c＝6 6、在ABC中，cos 5 A， 5 cos 10 B. 10 （Ⅰ）求角C；（Ⅱ）设A B2，求ABC的面积 . cosA 5 5 ， cos B 10 10 ，得 A、B0， 2 （Ⅰ）解：由，所以 23 sinA，sinB. 510 ??3分 cosCcos[(A B)]cos(AB)cosAcosBsinAsinB 因为 2 2 ?6分 C. 且0C故 4

解三角形大题及答案

1。（2013大纲）设得内角得对边分别为,、（I ）求 (ＩI)若，求、 2．（2０13四川）在中，角得对边分别为，且、 (Ⅰ）求得值；（Ⅱ)若,,求向量在方向上得投影、 3.（２０13山东）设△得内角所对得边分别为,且,，、 (Ⅰ）求得值; (Ⅱ）求得值、 4。（２013湖北）在 ABC ?中,角A ，B ，C 对应得边分别就是a ,b ，c 、已知 ()cos23cos 1A B C -+=、 (I)求角A 得大小； (II)若ABC ?得面积53S =，5b =,求sin sin B C 得值、 5.(２0１3新课标)△在内角得对边分别为,已知、（Ⅰ）求; (Ⅱ）若，求△面积得最大值、 6.(201３新课标１）如图,在△ABC 中，∠ＡBC=90°,ＡB=错误!，ＢC=１,Ｐ为△A ＢC 内一点， ∠ＢPC=90° (1）若ＰB ＝错误!，求PA;（2）若∠APB=１50°,求tan ∠ＰBA [ 7.（201３江西）在△ABC 中,角A,B ，C 所对得边分别为a ，b,ｃ,已知ｃosC+（conA — sinA)cosB=０、 (１）?求角B 得大小;（2）若a+c=1，求b 得取值范围 33。（2013大纲)设得内角得对边分别为,、（I ）求（ＩI ）若，求、【答案】

?4．（2013年高考四川卷（理））在中,角得对边分别为,且、（Ⅰ）求得值；（Ⅱ）若,，求向量在方向上得投影、【答案】解:由,得?, 即，则，即?由，得,?由正弦定理，有,所以,、由题知，则,故、根据余弦定理，有，?解得或（舍去)、?故向量在方向上得投影为 35。(2０13年普通高等学校招生统一考试山东数学（理)试题(含答案))设△得内角所对得边分别为，且,，、 (Ⅰ)求得值；（Ⅱ)求得值、【答案】解:（Ⅰ）由余弦定理,得，又,,，所以，解得，、（Ⅱ）在△中,，?由正弦定理得，?因为，所以为锐角，所以?因此、 36．(2０１３年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题(纯WORD 版））已知函数得最小正周期为、 (Ⅰ）求得值; (Ⅱ）讨论在区间上得单调性、【答案】解：（Ⅰ） 2)4 2sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++ =++=+?π ωωωωωωx x x x x x ?、所以?（Ⅱ）；解得，令时，当8 242]4,4[)42(]2 ,0[π ππππππ π ==++∈+ ∈x x x x 所以３7.（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯W ＯR Ｄ版））已知函数得周期为,图像得一个对称中心为,将函数图像上得所有点得横坐标伸长为原来得2倍（纵坐标不变)，在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数得图像、 (1）求函数与得解析式；

高二数学解三角形测试题附答案

解三角形测试题一、选择题： 1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于（） A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120° 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b=2,∠A=30°C．a=1,b=2,∠A=100°D．b=c=1, ∠B=45° 3、在锐角三角形ABC中，有（） A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosAsinB且cosBsinA 4、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形 5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根，那么角B （）A．B>60°B．B≥60°C．B<60°D．B ≤60° 6、满足A=45,c=6,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为（） A．4 B．2 C．1 D．不定 7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β, α(α<β),则A点离地面的高度AB等于（） A B

A ． )sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβ α-?a C ． )sin(cos sin αββα-a D ．) cos(sin cos βαβ α-a 8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间的相距（） A ．a (km) B ．3a(km) C ．2a(km) D ．2a (km) 二、填空题： 9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____. 11、在ΔABC 中，若S ΔABC = 4 1 (a 2+b 2－c 2 ),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=32 31 ,则cosC=_______. 三、解答题： 13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B). 14、已知ΔABC 三个内角A 、B 、C 满足A+C=2B, A cos 1+ C cos 1 =－ B cos 2 , 求2 cos C A -的值. 15、二次方程ax 2－2bx+c=0,其中a 、b 、c 是一钝角三角形的三边,且以b 为最长. D C

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