一个比拉阿比判别法更精细的正项级数判别法
摘要：本文用级数∑
∞
=3
ln 1
n p
n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法，笔者称之为“对数判别法”。
关键词：比较判别法 级数判别法的极限形式 拉格朗日中值定理 对数判别法
目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法，然而此判别法有时精确度仍然不够。以下本文就以级数∑
∞
=3
ln 1
n p
n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法——“对数判别法”。
我们先看级数∑
∞
=3ln 1
n p
n
n 的敛散性：当1>p 时级数收敛；当1≤p 时级数发散。这个结论可用柯西积分判别法证明（具体证明请参见邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》），本文不再细述。
先考虑发散的情况。由比较判别法有：设数列}{n u 是正项数列，若n 足够大时，有
n
n n n u u n n ln )
1ln()1(1++<
+ 成立，则∑∞
=1
n n u 发散。
为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”：
n n n n u u n n ln )1ln()1(1++<+n
n
n u n nu n n ln ln )1ln(1)1(1-+<
-+?+， 由拉格朗日中值定理知，对任意n ，存在)1,(+∈n n n ξ，使得 n
n n ξ1
ln )1ln(=
-+,
故
n n n n u u n n ln )
1ln()1(1++<+1]1)1([ln 1
<-+?+n n n u n nu n ξ， 要使n 足够大时有1]1)1([
ln 1
<-++n n
n u n nu n ξ成立，只需
1]1)1([
ln lim 1
<-++∞
→n n
n n u n nu n ξ，
而显然 1lim =∞→n n
n ξ，故当 1]1)1([ln lim 1<-++∞→n n
n u n nu n n 时，∑∞=1
n n u 发散。
收敛的情况可类似讨论：设数列}{n u 是正项数列，若存在1>p 使得n 足够大时，有
p
p n n n n n n u u )
(ln )]1)[ln(1(1++>+ 成立，则∑∞
=1n n u 收敛。
因为
p p n n n n n n u u )(ln )]1)[ln(1(1++>+n
n
n u n nu p
p p n n ln ln )1(ln 1)1(1-+>-+?+， 由拉格朗日中值定理知，对任意n ，存在)1,(+∈n n n ξ,使得 n
p n p
p
p n n ξξ1
][ln ln )1ln(-=
-+,
故 p p
n n n n n n u u )(ln )]1)[ln(1(1++>+1
11][ln ][ln ]1)1([ln --+>-+?p n p n n n n n p u n nu n n ξξ， 要使n 足够大时有 1
1
1][ln ][ln ]1)1([ln --+>-+p n p n n n n n p u n nu n n ξξ 成立，只需 ∞→n lim p n n p u n nu n n p n p n n n n =>-+--∞→+11
1]
[ln ][ln lim ]1)1([ln ξξ， 若 ∞
→n lim 1]1)1([
ln 1
>=-++s u n nu n n n n ，取121>+=s
p ,就有 ∞→n lim p n n p u n nu n n p n p
n n n n =>-+∞→+]
[ln ][ln lim ]1)1([ln 1ξξ， 故当∞→n lim 1]1)1([ln 1>=-++s u n nu n n n n 时，∑∞=1
n n u 收敛。
综合上述，得到下面的定理
定理（“对数判别法”）：设正项级数∑∞
=1
n n u 满足：
∞
→n lim s u n nu n n n n
=-++]1)1([
ln 1
，
则（1）当s>1时，∑∞
=1n n u 收敛
（2）当s<1时，∑∞
=1
n n u 发散
参考文献：
《数学分析简明教程》，邓东皋、尹小玲编著，高等教育出版社，1999年6月
正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较 摘 要 数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。 这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。 在通常的微积分学教程中，审敛正项级数的敛散性有许多有效的方法，比如达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法等，本文就达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法与几个新审敛法进行一些适当的比较总结，另对其应用做一些举例验证。 关键词 数学分析 正项级数 推广比值审敛法 一.预备知识 1.正项级数的定义 如果级数1n n x ∞ =∑的各项都是非负实数，即0,1,2,, n x n ≥= 则称 此级数为正项级数 2..收敛定理 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。 若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到+∞ 例 级数22(1)(1) n n n n ∞ =??-+? ∑是正项级数。它的部分和数列的通项 21 12212ln ln ln 2ln ln 2(1)(1)11n n n k k k k k n s k k k k n ++==?++??=<- =-，若1 lim n n n U L U +→∞=，当 L<1，级数收敛，当L>1，级数发散，L=1，不能审敛。
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有
一个比拉阿比判别法更精细的正项级数判别法 摘要：本文用级数∑ ∞ =3 ln 1 n p n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法，笔者称之为“对数判别法”。 关键词：比较判别法 级数判别法的极限形式 拉格朗日中值定理 对数判别法 目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法，然而此判别法有时精确度仍然不够。以下本文就以级数∑ ∞ =3 ln 1 n p n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法——“对数判别法”。 我们先看级数∑ ∞ =3ln 1 n p n n 的敛散性：当1>p 时级数收敛；当1≤p 时级数发散。这个结论可用柯西积分判别法证明（具体证明请参见邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》），本文不再细述。 先考虑发散的情况。由比较判别法有：设数列}{n u 是正项数列，若n 足够大时，有 n n n n u u n n ln ) 1ln()1(1++< + 成立，则∑∞ =1 n n u 发散。 为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”： n n n n u u n n ln )1ln()1(1++<+n n n u n nu n n ln ln )1ln(1)1(1-+< -+?+， 由拉格朗日中值定理知，对任意n ，存在)1,(+∈n n n ξ，使得 n n n ξ1 ln )1ln(= -+, 故 n n n n u u n n ln ) 1ln()1(1++<+1]1)1([ln 1 <-+?+n n n u n nu n ξ， 要使n 足够大时有1]1)1([ ln 1 <-++n n n u n nu n ξ成立，只需
ONT故障件简易判别方法 华为技术有限公司 Huawei Technologies Co., Ltd. 版权所有侵权必究 All rights reserved
注意 ●下文图示中出现的ONT均为示意，实际操作的设备外观、接口 可能会有不同。文章在叙述操作方法时会分类对待。 ●文中需要输入操作命令时一律用引号“”标注，输入的命令 并不包括“”这两个引号，所有命令输入后都要进行一次回车。操作命令大小写不通配。 ●操作前先进行一次恢复出厂设置操作。方法为按住“reset”键10 秒。 ●文中所有命令在单板重新启动后会自动失效，无需特别恢复操作。
目录 准备工作 (4) HG8240系列 (6) 上电 (6) 开始检查 (7) HG850a系列 (11) 上电 (11) 开始检查 (12) HG850e系列 (16) 上电 (16) 开始检查 (17) HG850系列 (20) 上电 (20) 开始检查 (21) FAQ (26)
准备工作本文档针对的产品类型 HG8240系列：HG8240/8245/8242/8247/8010/8110/8120/8120R/8240R HG850a系列：HG850a/863/813/860/861 HG850e系列：HG850e/813e/810e HG850系列：HG810/850/865 开始自检工作前，需准备以下设备 必备设备： 1) 光功率计×1台 2) 电话机(含电话线) ×2部 3) APC接头光纤（绿色接头）×1根 4) UPC接头光纤（蓝色接头）×1根 5) 网线×1根 6)PC(台式/便携)×1台 7) 电源插排若干，建议大于2个 8) 酒精棉（清洁光纤头）若干 选配设备： 跟局方确认有无OLT环境，如有，则需要准备如下物料 1) 分光器若干 2) 尾纤若干
不可数名词专项习题 不可数名词的最简单的判断方法： 如果一个名词说代表的事物，切成两半之后仍为该物，比如说water分成两半之后仍称做water 那它就是不可数名词，反之，如果bike分成两半之后它就不是自行车了，所以自行车是可数。 一、常用不可数名词表： bread面包beer啤酒coffee咖啡glass玻璃oil油paper纸soap肥皂tea茶water 水juice 果汁wood 木头hope 希望information 信息furniture 家具money 金钱hair头发homework 作业news 新闻sugar 糖butter 黄油chocolate 巧克力fish鱼肉 ?习题：区分下列哪些是可数名词，哪些是不可数名词。 bread coffee homework table bike man tea glass（玻璃）juice hair book building water cup paper tree money foot body hand butter sugar cow mouth 二、我们在描述/、可数数量的 时， a piece of paper 一张纸要用合适的量词 a cup of tea 一杯茶 a piece of information 一条信息 a piece of news 一条新闻 a bar of chocolate 一块巧克力a glass of water 一杯水 a bottle of juice 一瓶果汁 a drop of oil 一滴油 a set of furniture 一套家具a cake of soap ——块月巴皂 a bottle of ink 一瓶墨水 a bottle of milk 一瓶牛奶?习题：用正确的量词填空 a of paper a of water a of tea a of information a of juice a of chocolate a of news a of milk a of ink 三、有些名词既可以当可数名词，也可以当不可数名词，意义不同 fish （鱼肉是不可数）（条数可数，单复数相同）（鱼的种类，复数fishes） glass （玻璃杯可数）（玻璃不可数）复数glasses paper （报纸可数）（纸不可数）复数papers iron （熨斗可数）（铁不可数）复数irons food （当食物讲不可数）（当食物种类讲是可数）复数foods fruit （当水果讲不可数）（当水果种类讲是可数）复数fruits bamboo （当竹子讲是不可数）（当竹竿讲可数）复数bamboos ?习题：用所给单词的适当形式填空 1 The Chinese (people) are brave and handworking people . There are fifty- six (people) in China. 2 Can you prepare (准备) some (paper) for me. What news is there in the (paper) this morning. There are many pieces of (paper) on the table. 3 We can ' tlive without (food) and water . There are all kinds of (food ) on table. 4 He doesn ' like to eat much(fruit).
一、本课题研究现状及可行性分析 目前通用的数学分析教材（如华东师范大学，复旦大学，吉林大学，北京师范大学等）其介绍的主要内容如下：M 判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，柯西收敛准则等，用来判别一些级数的一致收敛性问题，其他一些数学方面的工作者对某些特殊级数的收敛性进行了讨论。当前对级数的收敛性的讨论研究已经到达比较高级阶段，分枝也比较细，发展也相对较完善。但在许多实际解题过程中，往往不是特定的级数，用特殊的方法不能解决。故需对特殊级数情况要总结和发展。 函数项级数的一致收敛性的判定是数学分析中的一个重要知识点，函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广，同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例。它们在研究内容上有许多相似之处，如研究其收敛性及和等问题，并且它们很多问题都是借助数列和函数极限来解决，同时它们敛散性的判别方法也具有相似之处，如Cauchy 判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等。教材中给出了对于()n u x 一致收敛性的判别法，如Cauchy 判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等，但在具体进行一致收敛的判别时，往往会有一定的困难，这就需要我们有效地运用函数项级数一致收敛的判别法。而此课题除了叙述以上判别法外，还对这些判别方法进行了一些推广，从而进一步丰富了判别函数项级数一致收敛的方法。 二、本课题研究的关键问题及解决问题的思路 关键问题：对函数项级数一致收敛性判别法总结和推广。 基本思路：首先从定义出发，让读者了解函数项级数及一致收敛的定义，对函数项级数一致收敛有一个大致的认识，并对其进行一定的说明，且将收敛与一致收敛做一个比较，使读者对其有一个更深刻的认识。随后给出一些常见的一致收敛的判别法，并附上例题加以说明。当熟悉了一般的判别法后，我将其加以推广，得到一些特殊的判别法，如比式判别法，根式判别法，对数判别法等。
句子成分的简单判断方法 句子成分的划分在初中语法体系中具有非常重要的地位，因为能否正确划分句子成分不仅关系到同学们能否掌握一个句子的中心意思，更对写作能力的培养起着举足轻重的作用。 一、注意句子成分的位置 初中语法体系中句子成分共分为“主、谓、宾、定、状、补”六种，六种成分各有自己的位置，在对其进行初步判断时，可借用过去语法书中口诀进行。即： 主、谓、宾，定、状、补， 主干枝叶分清楚， 主干成分主、谓、宾， 枝叶成分定、状、补； 定语必居主宾前， 谓前为状谓后补。 由这一口诀可看出各句子成分间的关系，即定语是主语和宾语的附加语，补语和状语是谓语的附加语。 例如“皎洁的月亮在夜空中发出明亮的光芒。”这个句子中要表达的基本意思是“月亮发出光芒”，我们按照顺序划出主干“月亮”（主语），“发出”（谓语），“光芒”（宾语）。再根据口诀，找出附加成分，根据其位置判断各自的成分，即：“皎洁”（位置在主语之前，是定语）“明亮”（位于宾语之前，所以也是定语）“在夜空中”（位于谓语之前，故是状语）。用符号法划分为“（皎洁）的月亮〔在夜空中〕发出（明亮）的光芒。”（一般情况下助词不划入句子成分） 应注意的是这一口诀只是句子成分常见的位置判断，是初学成分划分者判断成分位置的简单方法。因为汉语言的语法是十分复杂的，它变化多端，对于具体的句子成分的判断应根据具体情况进行分析。 二、根据标志确定句子成分 在句子主干中，各成分常用词的词性不同，它的附加语所使用的助词也不一样，对于简单的句子，我们就可以根据助词来判断其句子成分，这些助词标志是 “的”——定语的标志； “地”——状语的标志； “得”——补语的标志。 记住这些标志，就可以在句子成分划分时起到省时省力的效果。 例“他的语法学得好极了。”句子中的主语是“他”还是“语法”呢？因为在“他”和“语法”中间有“的”做标志，因此，主语是“语法”，“他”做“语法”的定语。那么，“好极了”是宾语还是补语呢？因为有“得”做标志，我们就很快判断它应是补语。因此该句的成分应为： “（他）的语法学得〈好极了〉。” 三、注意句子成分划分中的一些原则 在句子成分划分时，注意一些划分原则对准确划分成分有重要的作用，常见的原则有： 1、介词结构不能做句子主干 所谓介词结构是指由介词“在、对、向、于、在……中、对……来说、……”引出的一种语法结构，这种结构只能做附加成分，且一般做状语或补语，例如“他在我们学校非常出名。”这句话中的“在我们学校”就是一个介词结构，我们可不考虑它做主干，只要划分出主干，然后根据它所处的位置判断出它的成分。
数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法
摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足
“同名端”的简易判别法 广东省惠州商业学校何建文 在电子电路中，对于两个或两个以上的有电磁耦合的线圈，常常需要知道互感电动势的极性。例如，LC正弦波振荡器中，必须使互感线圈的极性正确连接，才能产生振荡。如何确定两电磁线圈的同名端呢？笔者在担任《电工基础》教学过程中注意对知识规律的总结，归纳一些简易的“口诀”、“方法”等，让学生在理解的基础上进行记忆，在解题方面能快速应用并降低难度。 我们知道：在同一变化磁通的作用下，互感线圈的感应电动势极性始终保持一致的 端点，称为同名端。为了说明同名端的意义，先来研究图1所示的互感线圈。在判别时分 两种情况来加以说明：当线圈L1通入电流i ，并且假定电流i是随着时间增大的，则电 流i所产生的自感磁通和互感磁通也随时间增加。由于磁通的变化，线圈L1中要产生自 感电动势，线圈L2中要产生互感电动势。它们的感应电流产生的磁通与Φ方向相反，以 反对原磁通Φ的增加（若i随时间而减少，则感应电流产生的磁通，与Φ方向相同，以反 对原磁通Φ的减少）。根据右手螺旋法则，在图（a）中，线圈L1的自感电动势从B指向 A，线圈L2的互感电动势从D指向C。由此可见，A与C、B与D的极性相同。在图（b）中，线圈L1的自感电动势从B指向A，线圈L2的互感电动势从C指向D，可见A与D、B与C的极性相同。另外，无论电流从哪端流入线圈，在图（a）中A与C、B与D的极性仍然保持相同，在图（b）中，A与D、B与C的极性保持相同。 上述方法是在知道两线圈绕向的情况下，应用楞次定律，假定一线圈通入电流并按 照下列步骤进行：1、确定原磁通方向；2、判定穿过回路的原磁通的变化情况（根据原线 圈中电流的变化）；3、根据楞次定律再假定互感线圈闭合来确定感应电流的磁场方向；4、 根据右手螺旋法则，由感应电流的磁场方向来确定感应电流方向，从而推导得出自感电动 势和互感电动势的指向，由此确定两线圈的同名端。
题目含参量反常积分一致收敛的判别法学生姓名 学号 系别数学系 年级2010级 专业数学与应用数学 指导教师 职称 完成日期
摘要 含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法
Abstract Improper integral with variable is the study and expression tool function. To better function of parameter improper integral expression of the key problem lies in the judgment, the uniform convergence of his. Through the study of judging function discriminant method of parameter improper integral converges uniformly to help the study of parameter improper integral expression. Key words: Improper integral with variable;uniform convergence; discriminant analysis
目录 1引言 (1) 2基本概念 (1) 2.1含参量反常积分 (1) 2.2含参量反常积分一致收敛 (2) 3含参量反常积分一致收敛的判别方法 (2) 3.1定义法 (2) 3.2柯西准则法 (3) 3.3变上限积分的有界性法 (3) 3.4确界法 (4) 3.5微分法 (5) 3.6级数判别法 (6) 3.7维尔斯特拉斯判别法（简称M判别法） (6) 3.8狄里克莱判别法 (8) 3.9阿贝尔判别法 (8) 4结束语 (1) 参考文献 (10) 致谢 (11)
一、判断内存问题 *Memory->Page Read/Sec 的值持续大于5表示内存出现瓶颈或磁盘出现瓶颈，监控Physical Disk->%Disk Time,Physical Disk->Avg.Disk Queue Length和Memory->Page Read/Sec进行判断：1）如果Memory->Page Read/Sec 比较低，但Physical Disk->%Disk Time,Physical Disk->Avg.Disk Queue Length 比较高，判断磁盘出现瓶颈。 2）如果Physical Disk->Avg.Disk Queue Length增加时，而Memory->Page Read/Sec并没有减少，则表明内存出现瓶颈。 二、硬盘相关判断 *Avg.Disk Sec/Transfer 反应磁盘完成请求所用的时间，一般平均时间大于0.3秒表示磁盘传送时间较高。 *Avg.Disk Bytes/Transfer 值大于20KB表示磁盘驱动器通常运行良好。 *Disk Transfer/Sec 一般来说，定义该值小于15ms最为优异，介于15-30ms之间为良好，30-60ms直接可以接受，超过60ms可以考虑更换硬盘或硬盘的Raid方式。 1）磁盘超负荷判断：Avg.Disk Sec/Read，Avg.Disk Sec/Write，Avg.Disk Sec/Transfer的值（之一）大于20ms。 2）在Physical Disk计数器中，只有%Disk Time比较大，其他的值比较适中，硬盘可能是瓶颈；若几个值都比较大，且持续超过80%，则可能是内存泄漏。 三、工作负载平衡 计数器Physical Disk->%Disk Time显示驱动器活动时间的百分比，当Physical Disk->%Disk Time 持续高于90%，查看Physical Disk->Current Disk Queue Length(一般不大于磁盘主轴数的1.5-2倍)来检查磁盘子系统中的瓶颈。 解决方法：1）使用速度更快的磁盘驱动器 2）将某些文件移至其他磁盘或服务器 3）如果使用Raid阵列，向改阵列中添加磁盘 监控内容： Memory->Page Read/Sec Physical Disk->%Disk Time Physical Disk->Avg.Disk Sec/Read Physical Disk->Avg.Disk Sec/Write Physical Disk->Avg.Disk Sec/Transfer Physical Disk->Avg.Disk Queue Length Physical Disk->Current Disk Queue Length
1对数的概念 如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 由定义知： ①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化 式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R). 问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0? ②logaan=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较.(学生填表) 式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数 b— N—a—对数的底数 b— N—运 算 性 质am?an=am+n am÷an= (am)n= (a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1? 理由如下： ①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28 ②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数 ③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数 解题方法技巧 1
§2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 定理11.1 无穷积分()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便 有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()221 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=-
无穷积分敛散性的判别法 郑汉彬 摘 要：无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题,是求解无穷积分近似值的—个先决条件。由于判别方法比较多,学生不易掌握,从而是数学分析的一个难点,也一直是一个重要的研究课题。本文就一些常见和不常见的判定方法做一个归纳,这样将有助于我们灵活地运用各种判别法判定无穷积分的敛散性。 关键词：无穷积分；瑕积分；收敛性；判别法 无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题,是求解无穷积分近似值的一个先决条件。由于判断方法比较多,不易掌握,从而是数学分析和高等数学的一个难点。最原始的判别方法是对积分区间无穷型的反常积分先将积分限视为有限的积分区间,按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,再用极限去判定原积分是否收敛。 本文以文献中相关定理为基础,并对相关的文献资料中给出的无穷积分敛散性判定方法的相关理论进行总结及一定的改进和补充,使之能够更广泛地应用于无穷积分敛散性判定中,对比了各种类型的无穷积分敛散性判定方法的应用以及在应用过程中应注意的一些巧妙方法,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误。 1 无穷积分的敛散性 定义1 设函数)(x f 在 ),[+∞a 上有定义,且对)(,x f a b >?在上],[b a 可积,当 ()lim b a b f x dx J →+∞=? 存在,称此极限J 为函数)(x f 在区间),[+∞a 上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记为 ()a J f x dx +∞ =? 这时称积分 ? +∞ a dx x f )(是收敛的.如果上述极限不存在,为方便起见,并称无穷积分? +∞a dx x f )(发散. 2 无穷积分敛散性的判别法 如何判断一个无穷积分的敛散性,这是无穷积分理论的重要内容之一。对此,我们首先建立一个收敛准则,然后再介绍几种常有的敛散性判别法。 柯西收敛准则 因为无穷积分 ? +∞ a dx x f )(的收敛问题即是极限? +∞→A a A dx x f )(lim 的存在问题,所以由极限的柯西收敛
三相三线电能表正确接线的简易判别法 三相三线有功电能表计量三相三线有功电能，有两种非标准正确接线方式：(1)元件1采用线电压UＢＣ和相电流ib，元件2采用线电压UAC和相电流iA，这种接线方式的瞬间功率表达式为P=UＢＣib+UACiA；(2)元件1采用线电压UＣA和相电流ic，元件2采用线电压UＢA和相电流ib，这种接线方式的瞬间功率表达式为P=UＣAic+UBAib。在三相三线系统中，如果B相接地，则这两种非标准接线方式就可能漏计电度。比如：高压两线一地输电方式或低压三相三线供电方式，B相在电能表外的电源侧和负荷侧若同时接地运行，则三相三线有功电能表必然漏计电度，因此通常不采用这两种接线方式。而常用的标准正确接线只有一种(如图1)，错误接线却有许多种。为了迅速地判别电能表接线是否正确，可采用下述简易方法： (1)首先对任何正转的电能表，如果原电能表接线正确，通过三次对调任意两根电压进线后，三次电能表都应停转，如不停转或有一次不停转，则证明原电能表接线肯定有错误。因为原电能表接线如果正确，对调任意两根电压进线后，其功率计算如下： ①对调A、B两相电压(矢量图如图2a所示)其功率为： P1=UBAIAcos(150°-φA)=-UIcos(30°+φ) P2=UCAICcos(30°+φC)=UIcos(30°+φ) P=P1+P2=0 ②对调B、C两相电压(矢量图如图2b所示)，其功率为： P1=UACIAcos(30°-φA)=UIcos(30°-φ) P2=UBCICcos(150°+φC)=-UIcos(30°-φ) P=P1+P2=0 ③对调A、C两相电压(矢量图如图2c所示)，其功率为： P1=UCBIAcos(90°+φA)=-UIcos(90°-φ) P2=UABICcos(90°-φC)=UIcos(90°-φ) P=P1+P2=0
三、等价无穷小替换公式 <7> 正确地使用等价无穷小替换，将会快速化繁为简，得出结果，是求极限最得力的工具。 (请特别注意：自变量→？，无穷小？因子？) 例11 ∵ 0ln(1)lim x x x →+=10limln(1)x x x →+=10lnlim(1)x x x →+=ln e =1。 ∴? ln(1)~x x + 得证。 说明：上面运算交换了求极限与求对数的运算次序,这一步的合理性在以后的文档中给出证明__规则是:只要过程中没有出见“无意义”的情况,结果都是正确的！ 由定理5及?，?，? 可以直接得到等价无穷小关系式?，?，? (∵ln(1+x)=t ,x=e t -1是ln(1+x)的反函数)。 例12 令 ()1+1a x -= t ,x→0时,t→0, t 的反函数x =1ln(1)t a e +-1～1ln(1)t a +～t a 【?,?】, ∴ 0(1)1lim →+-a x x ax =0lim (/) →t t a t a =1, 【x ～ t /a 】 ∴?得证。 下面将多用箭头演算式中,为了简洁,用符号“#”表示原题中去掉极限运算后的函数式。 例7又一解法: 0x →【∵-2x →0, ?】=1 20(2) lim x x x →-=-1。 例13 lim )x x x →∞ ；y=#【o /x 】→2[(11/)1]x x x 1 2?+-【?】→2 211()2x x =12 。 例14 22201cos lim sin x x x x →-；y=#【??】221 222()x x x →=12 。 <8> 有界量与无穷小之积仍然是无穷小。简单标记为[M o] 例15 sin lim x x x →∞。解：原式=0 【M o,|sin x |≤1,10x →,注意sin x 不是无穷小！】。 例16 arctan lim x x x →∞。解：arctan lim x x x →∞=0【M o,|arctan x |≤π/2】。 四、取对数法。简记为: [对] ； 该方法有以下特点: 1) 冪指函数() [()] v v x y u u x ==当x→&时,若u→1,v→∞这时称为1∞ 型未定式。 2) 解决这一类求极限的问题,都有相当的难度！但是,本方法却是套用一个简单的模式,几乎可以心算得到结果,不用复杂的技巧,在化简中也不容易发生错误！ 3) 本方法只要记住名称就不会忘记该怎么计算。 4) 求解原理及步骤: 对于() [()] v v x y u u x ==及u→1,v→∞；设u=1+α,α=u -1是无穷小。 先取对数 ln y =v ln u =v ln(1+α),再求x→&时的极限ln y 【?】→v ·α→【结果W 】。 再根据情况进行分类:
函数项级数一致收敛性的判别法 摘 要 函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易. 关键词 函数项级数；一致收敛性；判别法. 中图分类号 O173.1 Function Seies Convergence Criterion Abstrac t ：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the series of uniform convergence of Function of some of the problems is easier. Key words ：Function series; Uniform convergence of; Discriminance 1 引言及预备知识 如果函数项级数具有一致收敛性,函数项级数的和函数或余和易于求得,判别它的一致收敛性可应用一致收敛定义,如果很难求得它的和函数或余和，就根据函数自身的结构,找到判别一致收敛性的判别法. 定义1.1[1] 设()12(),,u x u x …()n u x ,…是一列定义在D 上的函数,把这些函数的各项用加号连接起来的表达式 ()()12u x u x ++…+()n u x +…或()1n n u x ∞ =∑, (1) 称为函数项级数.a D ?∈ 函数级数在a 对应一个数值级数 1 ()U n a ∞ =∑ =12()()u a u a ++...+()n u a +. (2) 它的敛散性可用数值级数敛散性的判别法判别,若级数(2)收敛,则称a 是函数级数(1)的收敛点;若级数(2)发散,则称a 是函数级数(1)的发散点. 定义 1.2[1] 函数项级数(1)的收敛点的集合,称为函数项级数(1)的收敛域,若收敛域是一个区间,则称此区间是函数项级数的收敛区间. 定义 1.3[1] 设数集E 为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的收敛域,则对每个x E ∈记S(x)= ()1 n n u x ∞=∑称S(x)为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的和函数.
运用Bland-Altman分析水稻测量方法一致性 摘要：在农业生产中，对水稻穗长进行测量的数据是预测水稻产量，观测农作物生长情况的重要指标。在实际测量中，经常会遇到评价两种或多种检测、测量方法结果一致性的问题。一般情况下，其中一种方法是目前广泛应用的或被称为“金标准”的方法，在对水稻穗长进行测量的过程中，水稻穗长的手动测量方法即人工对每棵水稻的穗长进行测量，此测量数据可作为“金标准”。而另一种方法则是更先进、更便于应用、更经济的方法，在对水稻穗长进行测量的过程中，水稻穗长的自动测量方法即使用机器视觉采集水稻穗长图像，然后用图像识别的方法获得每个水稻的穗长。本文将通过运用Bland-Altman方法对水稻穗长测量实例的分析，来判断这两种方法是否可以互相替代。 一、原理和方法 Bland-Altman方法的基本思想是计算出两种测量结果的一致性界限，并用图形的方法直观地反映这个一致性界限。最后结合水稻穗长的实际状况，得出两种测量方法是否具有一致性的结论。 1．一致性界限 在进行两种方法的测定时，通常是对同一批受试对象同时进行测量。这两种方法一般不会获得完全相同的结果，总是存在着有一定趋势的差异，如一种方法的测量结果经常大于(或小于)另一种方法的结果，这种差异被称为偏倚。偏倚可以用两种方法测定结果的差值的均数d进行估计，均数d的变异情况则用差值的来描述。如果差值的分布服从正态分布，则95％的差值应该位于标准差S d 和d+1．96Sd之间。我们称这个区间为95％的一致性界限，绝大多数d-1．96S d 差值都位于该区间内。如果两种测量结果的差异位于一致性界限内在实际上是可以接受的，则可以认为这两种方法具有较好的一致性，这两种方法可以互换使用。当样本量较小时，抽样误差会相对较大，因此还要给出95％一致性界限的上下限的置信区间。差值均数的标准差SE(d)，一致性界限的上、下限的标准误近似等于1．71SE(d)，则可以分别计算出一致性界限上限的95％置信区间和下限的95％置信区间。
1.聚四氟乙烯(PTFE) 外观：半透明至不透明，易弯曲，有弹性。 燃烧性：不燃。在炽热状况下有刺激性气味(HF)。 2.聚酰胺(PA) 外观：半透明至不透明。 燃烧性：难燃，离开火焰后立即熄灭。当在火焰中燃烧时有蓝烟，上端呈桔红色；有融熔、滴落、起泡现象；可以闻到羊毛烧焦气味。 3.聚碳酸酯(PC) 外观：透明至不透明，质硬。 燃烧性：难燃。在火焰中燃烧黑烟多、明亮，有炭化、起泡现象；可闻到酚的气味。 4.酚醛树脂(PF) 外观：(通常含有填充料)呈深色调。 燃烧性：难燃。在火焰中燃烧可见明亮的黄色火焰，黑烟多，有开裂和颜色加深现象。 5.聚氯乙烯(PVC) 外观：(同聚碳酸酯) 燃烧性：难燃。在火焰中燃烧呈黄色，火苗边缘呈绿色，白烟；有软化现象。可闻到糊焦味。 6.氨基树脂(UF脲/甲醛；MF三聚氰胺/甲醛) 外观：(含填料)质硬。 燃烧性：难燃。在火焰中燃烧呈鲜黄色；有炭化、膨胀、开裂现象。可闻到氨、甲醛、鱼腥味。 7.聚乙烯(PE) 外观：半透明至不透明，质硬；透明薄膜。 燃烧性：在火焰中可燃，离开火焰后缓缓熄灭或继续燃烧。燃烧时火焰上端呈黄色，下端呈蓝色；有融熔、滴落现象。可闻到石蜡味。 8.聚丙烯(PP) (外观和燃烧性同聚乙烯) 9.聚氨酯(PUR) 外观：半透明至不透明，有填料，质硬。
燃烧性：(同聚乙烯)火焰呈黄色，边缘呈蓝色，有黄透明沫、成滴现象。可闻到刺激味(异氰酸酯)。 10.聚苯乙烯(PS) 外观：透明至不透明，质硬。 燃烧性：易燃，离开火焰继续燃烧。燃烧时呈橙黄色、闪光，浓黑烟；有软化、起泡现象。可闻到芳香味。 11.聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA，有机玻璃) 外观：透明、质硬。 燃烧性：(同聚苯乙烯)燃烧时呈浅蓝色、明亮、顶端呈白色；有融熔、起泡现象。可闻到水果香味。 12.聚酯树脂(PET) 外观：透明薄片等。 燃烧性：(同聚苯乙烯)火焰呈黄色，黑烟；微微膨胀，有时开裂。有苯乙烯气味
含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε-