知识点、重点、难点 三角形的外心、内心、重心及垂心（以下简称“四心”）是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容，是初中数学竞赛的热点。 1.外心 三角形三条垂直平分线的交点叫三角形的外心，即该三角形外接圆的圆心，△ABC 的外心通常用字母O 表示。它具有如下性质： (1)外心到三角形三顶点的距离相等．这个距离就是外接圆的半径； (2)在△ABC 中，若∠A 是锐角，则∠BOC =2∠A ；若∠A 是钝角，则 ∠BOC ＝360°－2∠A . 2.内心 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即是该三角形内切圆的圆心，△ABC 的内心一般用字母I 表示．它具有如下性质： (1)内心在△ABC 三边距离相等，这个相等的距离是△ABC 内切圆的半径； (2)若I 是△ABC 的内心，则 11190,90,90222
BIC A CIA B AIB C ∠=+∠∠=+∠∠=+∠；
(3)若I 是△ABC 的内心，AI 延长线交△ABC 外接圆于D ，则有DI =
DB ＝DC ，即D 为△BCI 的外心。
3.重心
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，它具有如下性质：
(1)重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；
(2)若G 是△ABC 的重点，则1
3
GBC GCA GAB ABC S S S S ????===； (3)重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点。
4.垂心
三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心“如图”，它具有如下性质：
(1)图中有六组四点共圆（如A 、F 、H 、E ；A 、B 、D 、E 等）及三组（每组四个）相似直角三角形；特别的AH ·HD =BH ·HE =CH ·FH ；
(2)垂心H 关于三边的对称点均在△ABC 的外接圆上；
(3) H 、A 、B 、C 中任一点是另三点连成的三角形的垂心；
(4) △ABC 的内接三角形（即顶点在△ABC 的边上）中，以垂足△DEF
的周长最短。
例题精讲
例1：如图，在△ABC 中，AB =AC ，延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP = BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A 、P 、Q 四点共圆。 分析一 连结AO 、CO 、PO 、QO ，要证O 、A 、P 、Q 四点共圆，显然只要证∠P =∠Q .在△A QO 和△CPO 中，由AB =AC ，BQ =AP ，得AQ ＝CP ，又O 点是△ABC 的外心，故OA ＝OC ，∠OCP ＝∠OAC .由于等腰三角形的外心必在顶角的平分线上，所以∠OAC ＝∠OAQ .从而∠OCP ＝∠OAQ ，故△AQO ≌△CPO ，可得∠CPO ＝∠AQO .因此O 、A 、P 、Q 四点共圆。 分析二 O 是△ABC 的外心，作△ABC 的外接圆O ，并作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥AC 于 G ，连结OP 、OQ （图略）．易知OH ＝OG ，BH = AG ，从而
Rt △OQH ≌Rt △OPG ，于是∠P =∠Q ，故O 、P 、A 、Q 四点共圆。
例2：已知∠ACE =∠CDE = 90°，点B 在CE 上，CB = CD ，过A 、C 、D 三点的圆交AB 于点F （如图241），求证：F 是△CDE 的内心。 证明 连结DF 、DB 、CF ，则∠CDF =∠A =45°，∠EDF = 45°，即DF 是∠CDE 的平分线。 因为CD = CB ，所以∠CDB =∠CBD .又∠CDF = ∠CBF =45°，所以∠FDB =∠FBD ，所以DF =BF .又CF 为公共边，所以△DCF ≌△BCF ，所以∠DCF = ∠BCF ，即CF 为∠DCE 的平分线。因此F 为△CDE
的内心。 例3：如图，已知△ABC 的高AD 、BE 交于H ，△ABC 、△ABH 的外接圆分别为⊙O 与⊙1O ，求证：⊙O 与⊙1O 的半径相等。 证明 如图所示，过A 作⊙1O 和⊙O 的直径AP 、AQ ，连结PB 、QB ，则 ∠ABP =∠ABQ = 90°，故P 、B 、Q 三点共线。因为H 为△ABC 的垂心，所以D 、C 、E 、H 四点共圆，所以∠AHE =∠C .又∠C =∠Q ，所以∠AHE = ∠Q .因为A 、H 、B 、P 均在⊙1O 上，所以∠AHE =∠P ，所以∠P =∠Q ，所以AP = AQ .所以⊙O 与⊙1O 的半径相等。
例4：如图，直线AB 与⊙O 相交于点E 、F ，EF 为⊙O 的直径，且AE =EF = FB ，直线AP 与⊙O 半径OD 垂直于D ，求证：∠ADE =∠PDB ． 证明 如图，延长DO 交⊙O 于M ，连结AM ，延长DE 交AM 于N ，则△OAM ≌△OBD ，有∠OAM =∠OBD ，知AM ∥BD ，故∠PDB =∠DAN ．因为AE ＝EF ，O 为
EF 和DM 的中点，则E 为△ADM 的重心，
所以N 为AM 的中点。又AD ⊥OD ，即DN
为Rt △ADN 斜边A M 的中线，则DN =AN =NM ，则∠ADE=∠DAN =∠PDB ．
例5：设O 为△ABC 的外心，I 为△ABC 的内心，R 和r
分别为△ABC 的外接圆和内切圆的半径，求证：
222OI R Rr =-（欧拉定理）
证明 连AI 交⊙O 于D ，连DO 并延长交⊙O 于E ，
连结BD 、BE ，连结OI ，直线OI 交外接圆于G 、H (如
图)．过I 作IF ⊥AB 于F ，则IF = r ，DE =2R .由相交弦定理，AI ·ID = GI ·IH =(R ＋OI )(R －OI )=22
R OI -．又∠BAD = ∠BED ，则△AIE ∽△EDB ，,AI IF
DE BD
=AI ·BD =DE ·IF = 2Rr ．由I 是△ABC 的内心，则ID = BD ．于是AI ·ID =AI ·BD ＝22R OI -，2Rr =22
R OI -，
即22
2OI R Rr =-. 例6：如图，设O 、G 、H 分别为△ABC 的外心、重心、垂心，AF 是中线，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，求证：O 、G 、H 三点共线，且GH =2OG . 证明 如图，连结OG 、OH 、OF ，作△ABC 的外接圆O ，连结CO 并延长CO 交⊙O 于P ，连结AP 、BP .由垂心性质知H 为AD 与BE 交点，则
BP ∥AH ， AP ∥BE ，故APBH 是平行四边形，于是得PB = AH .在△BCP 中， OF =12PB ，所以OF=12AH .在△BCP 中，OF=12PB ，所以OF=12
AH .由
OF ∥PB ，PB ∥AH ，得OF ∥AH ，故∠OFG =∠HAG ．又GF =1
2AG ， 故△OFG ∽△HAG ，于是∠AGH =∠OGF ．又∠AGH ＋∠HGF = 180°，
所以∠OGF ＋∠HGF ＝180°，故O 、G 、H 三点共线，显然有GH = 2OG （通过三角形垂心、外心、重心的直线，称为欧拉线，这一结论是由瑞士数学家欧拉提出并解决）。 A 卷 一、填空题
1.如图，已知G 是△ABC 的重心，若AG =3，BG =4，CG =5，则△ABC 的面积等于 。
2.如图，已知AD 为△ABC 中BC 边上的中线，E
是AD 的中点，F 是BE 的延长线与AC 的交点，
则AC ：AF 的值等于 。
3.如图，△ABC 中，∠C = 90°，∠A 和∠B 的平分线相交于P 点，又PE ⊥AB 于E 点。若BC =4，AC =6，则AE ·EB = 。
4.已知O 点为锐角△ABC 的外心，连结AO 、BO 、CO ，并延长分别交对边于L 、M 、N (如图)，则AO BO CO
AL BM CN
++= 。
5.如图，在△ABC 中，H 为垂心，O 为外心，∠BAC =60°，
且△ABC 外接圆直径为10，则AH = 。
6.在△ABC中，∠A是钝角，O是垂心，AO=BC，则cos(∠OBC＋∠OCB)的值是。
7.已知AD、BE、CF是锐角△ABC的三条高线，垂心为H，则图中直角三角形的个数是。
8.如图，D是△ABC的内心，E是△ABD的内心，F是
△BDE的内心。若∠BFE的度数为整数，则∠BFE至
少是度。
9.设△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，内心为I，延长AI交外接圆于D，则AI·ID。
10.已知H、O分别是△ABC的垂心和外心，OE⊥BC于E，则AH：OE= 。
二、解答题
11.已知平行四边形ABCD的面积是120，E、F分别是AB、BC的中点，AF 分别与ED、BD交于G、H，求四边形BHGE的面积。
12.如图，已知AB是⊙O的直径，AH是弦，C是AH的中点，CD⊥AB 分别交AH、AB于E、D，BC交AH于F，求证：AF
= 2EF. 13.如图，已知△ABC的重心G与内心I的连线GI∥BC，求证：
AB＋AC=2BC.
14.如图，I是△ABC的内心，且I、D、C、E四点共圆。若ED＝2，试求ID＋IE的值。
B卷
一、填空题
1.在△ABC中，BC=3，AC=4，BC和AC的中线AE、BD互相垂直，则AB ＝。
2.在△ABC中，BC=a，AC＝b，AB＝c，∠C＝90°，CD和BE是△ABC 的两条中线，且CD⊥BE，那么a：b：c= 。
3.设M是△ABC的重心，过M的线段交AB、AC于P、Q且,
AP
p
PB
=,
AQ
q
QC
=
则11
p q
+=。
4.在△ABC中，高AD和BE所在直线交于H点，且BH= AC，则∠ABC = 。
5.在△ABC中，∠A是钝角，O是重心，AO＝BC，则∠OBC＋∠OCB= 。
6.如图，在△ABC中，G是重心，I为∠B和∠C的
平分线的交点。若IG∥BC，且BC=5，则AB＋AC
= 。
7.若△ABC的重心为G，AG
，BG
CG
ABC的面积
是。
8.在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，且BD⊥CE，BD =4，CE=6，则△ABC的面积= 。
9.设O为锐角三角形△ABC的外心，连结AO、BO、CO，并延长分别交对
边于L、M、N，则
111
AC BM CN
++的值是。
10.P点在△ABC中，PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与BP交于点D，且PB=4，PD =3，则AD·DC= 。
二、解答题
11.已知ABCD中，E是AB的中点，AB=10，AC =9，DE=12，求ABCD 的面积。12.如图，已知P为△ABC内一点，且∠PAB =∠PCB，∠PBC =∠PAC.
求证：P为△ABC垂心。
13.已知△ABC中，高AD在其内部，过△ABD、△ACD的内心
1
I、
2
I引直线分别交AB、AC于E、F.
（1）求证：若∠BAC=90°，则AE = AF；
（2）若AE=AF，则∠BAC=90°成立吗？若仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由，并指出不成立的情形。
14. △ABC的外心为O，AB=AC，D是AB的中点，E是△ACD的重心。
证明：OE⊥CD．
C 卷
一、填空题
1.在直角△ABC 中，∠A =90°，G 为重心，且GA =2，则GB
2
＋
GC 2= 。
2.以三角形的三条中线长为边作三角形，则它的面积与原三角形面积之比为 。
3.已知凸四边形ABCD 的面积为1，其对角线交于点P ，△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心分别为1M 、2M 、3M 、4M ，则四边形1234M M M M 的面积等于 。
4.不等边△ABC 的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，则第三条高长是 。
5. △ABC 的周长为25厘米，BC =10厘米，I 为三角形的内心，线段EF 过点I 分别交AB 、AC 于E 、F ，且EF ∥BC ，则△AEF 的周长为 。
6.如图，在△ABC 中，点D 、E 是∠ABC 、∠ACB 三等分线的交点。当∠A =60°时，∠BDE 的度数为 。
7.在△ABC 中，BC =5，M 和I 分别是△ABC 的重心与内心。若MI ∥BC ，则AB ＋AC = 。
8.已知△ABC 的两条中线BD 、CE 的中点分别为M 、N ，则
MN
BC
= 。
9.在△ABC 中，D 是△ABC 的内心，E 是△ABD 的内心，F 过△BDE 的内心，且∠BFE 的度数是一个整数，则这个整数的最小值为 。
10.已知△ABC 的高AD 的延长线交外接圆于E ，H 为△ABC 的垂心，且
HD
，则DE = 。
二、解答题
11.如图，已知M 点是锐角∠POQ 内一点，由M 点作1MA ⊥OP ，1MB ⊥OQ ，垂足分别为1A 、1B ，过1A 作12A A OQ ⊥，垂足为2A ，过1B 作
12B B OP ⊥，垂足为2B ，连结22B A 、OM ，求证：22.OM B A ⊥
12.如图，点P 是△ABC 的内心，M 、N 为AB 边上两点，且AN =AC ，BM =BC ，求证：∠MPN =∠A ＋∠B .
13.在△ABC 中是否存在一点P ，使得过P 点的任一直线都将该△ABC 分成等积的两部分？若存在，请找出P 点位置；若不存在，说明理由。
14.（第22届俄罗斯中学奥林匹克决赛题）等腰△ABC 中，BC = AC ，O 是它的外心，I 是它的内心，点D 在边BC 上，且OD ⊥BI ，求证：ID ∥AC .
1.如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻店去配一块完 全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A.带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 2. 三角形三条高的交点一定在 （ ） A. 三角形的内部 B. 三角形的外部 C. 三角形的内部或外部 D. 三角形的内部、外部或顶点 3．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是 （ ） A 、3cm ，5cm ，8cm B 、8cm ，8cm ，18cm C 、0.1cm ，0.1cm ，0.1cm D 、3cm ，40cm ，8cm 4、已知∠A ：∠B ：∠C=1:2:2，则△ABC 三个角度数分别是（ ） A ．40o、 80o、 80o B ．35o 、70o 、70o C ．30o、 60o、 60o D ．36o、 72o、 72o 5、三角形中，有一个外角是79o，则这个三角形的形状是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定形状 6. 一个三角形的三个内角中（ ） A. 至少有一个等于90° B. 至少有一个大于90° C. 不可能有两个大于89° D. 不可能都小于60° 7.如图，点O 是△ABC 内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°， 则∠BOC 等于（ ） A. 95° B. 120° C. 135° D. 无法确定 8.能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是（ ） A.角平分线 B.中线 C.高 D. A 、B 、C 都可以 9.一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 10.一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 11．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ） A ．17 B ．13 C ．17或22 D ．22 12、适合条件C B A ∠=∠=∠2 1的三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、等边三角形 C 、钝角三角形 D 、直角三角形 13.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3; ③∠A=90°－∠B; ④∠A=∠B=1 2 ∠C,能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14．在△ABC 中，∠A=60°，∠C=2∠B ，则∠C=_____. 15．一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是 _____________ 16．四条线段的长分别为5cm 、6cm 、8cm 、13cm ，?以其中任意三条线段为边可以构成________个三角形． 17.若三角形三个内角度数的比为2:3:4,则相应的外角比是 . 18.多边形每一个内角都等于150°，则该多边形是_____边形。 19．等腰三角形的一边长等于5，一边长等于9，则它的周长是__________ , 若一边长等于5，一边长等于10，它的周长是_______________ 20.在△ABC 中，已知∠A=3∠C=54°，则∠B 的度数是___________ 21.已知不等边三角形的两边长分别是2cm 和9cm ，如果第三边的长为整数， 那么第三边的长为_____________ 22、如图所示： （1）在△ABC 中，BC 边上的高是 ； （2）在△AEC 中，AE 边上的高是 ； 23. 如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点， 且ABC S △＝4平方厘米，则BEF S △的值为 _______________ 图1
例1．如图，P是△ABC内任一点，求证： 1 2 (a+b+c)＜PA+PB+PC＜a+b+c。 例2．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，求证：AC＜2AB 。 例3．如图，设正△AB C的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上 的任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别为S和t，求S2?t2的值。 例4．如图，△ABC中，BC为最大边，AB=AC，CD=BF，BD=CE，求∠ DEF的取值范围。 例5．已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问： 是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至 少有一内角不大于45°？请证明你的结论。
A 卷 一、填空题 01．在周长为a 的等腰三角形中，腰长x 的取值范围是__________。 02．如图260，在△ABC 中，若AB=5，AC=3，则BC 边上的中线MA 的取值范围是__________。 03．在△ABC 中，若∠A=58°，AB ＞BC ，那么∠B 的取值范围是__________。 04．根据绝对值的几何意义，代数式321x x x ++-++的最小值为__________。 05．在锐角△ABC 中，a=1，b=3，则第三边。的变化范围是__________。 06．在△ABC 中AB ＞AC ，∠A 的平分线交BC 于D ，则BD_____CD （填“＞”或“＜”）。 07．如图261，设△ABC 为等边三角形，P 是任意点，则PB +PC ____PA （填“＜”、“＞”或“＝”）。 08．已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，∠DAB=∠CBA=90°，O 为DC 的中点，则OA _____OB （填“＞”、“＝”或“＜”）。 09．如图262，五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC +DE=CD ，∠ABC +∠AED=180°，连结AD ，则∠ADE_______∠ADC(填“＞”、“＝”或“＜”）。 10．如图263，△ABC 中，AB ＞AC ，P 是∠A 平分线AD 上一点，则PB ?PC_______（填“＞”或“＜”）AB ?AC 。 二、解答题 11．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE +CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论。 12．如图，已知∠MON 内有一点P ，分别在OM 与ON 上，求作点A 与点B ，使△APB 的周长最小。
初中数学-八年级下册三角形几何证明 的两个内角的和. 2. ______________________________________________________ 在△ ABC 中，若/ A :/ B :/ C=1 : 2: 3,则/ C= _______________________________________ 3. _____________________________________________________________________ 在△ ABC 中，/ B=45 °，/ C=72。，那么与/ A 相邻的一个外角等于 _________________________ 4. 如图1所示，△ ABC 中，D , E 分别是 AC , BD 上的点， 且/ A=65 °，/ ABD= / DCE=30? °，则/ BEC 的度数是 _____________ 5?按第4题图所示，请你直接写出/ A , / BEC ，/ EDC 之间的大小关系，用“ 55 °或70° D .以上答案都不对 9. 若三角形的三个外角的度数之比为 2: 3: 4,则与之对应的三个内角的度数之比为（ ） A . 4: 3: 2 B . 3: 2: 4 C . 5: 3: 1 D . 3: 1: 5 10. 满足下列条件的△ ABC 中，不是直角三角形的是（ ） A . / B+ / A= / C B . / A : / B : / C=2 : 3: 5 C ./ A=2 / B=3 / C D .一个外角等于和它相邻的一个内角 11. 如图3所示，在△ ABC 中，/ ABC 与/ BAC 的平分线相交于点 O ,若/ BOC=120 ° , 则/ A 为（） A . 30° B . 60° C . 80° D . 100 ° 1三角形的一个外角等于 (1)
第十章三角形提升训练 时间：45分钟 总分：100分 一、相信你的选择（每小题4分，共24分） 1．已知三角形的三边长分别是3，8，x ，若x 的值为偶数，则x 的值有 （ ） A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个 2．已知一个三角形三个内角度数之比为1：5：6，则其最大角度数为（ ） A ．60° B ．75° C ．90° D ．120° 3．如图1，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠且与BC 相交于点D ，∠B = 40°，∠BAD = 30°，则C ∠的度数是（ ） A ．70° B ．80° C ．100° D ．110° 4．如果三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．无法判断 5．如图2，已知∠A=∠30°，∠BEF=105°，∠B=20°，则∠D=( ) A ．25° B ．35° C ．45° D ．30° 6．能把一个三角形的面积等分的三角形中的线段是 （ ） A ．中线 B ．高线 C ．角平分线 D ．某边的中垂线 二、试试你的身手（每小题4分，共24分） 7．在△ABC 中，∠A+∠B=90°，∠C=3∠B ，则∠A= ，∠B= ，∠C= ． 8．如图3，在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD ∥AC ，则∠CBD 的度数是 °． 9．工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图4中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的 性． 10．如图5 O ，则∠AOB+∠DOC=_________． 11．工人师傅常用直角尺平分一个任意角，做法如下：如图6，∠是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM=ON 尺两边相同的刻度分别与M 、N 重合，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线，这种做法 （填“是”或“不是”）合 理的，依据是 ． 12．如图7，是国旗上的一颗五角星的，它的一个角的度数是_______． 三、挑战你的技能（ 13、14题各8分，15题10分，16、17题各13分） 13．（8分）如图8两根长度为15米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面上，那么 在地面的固定点到旗杆底部的距离相等吗？聪明的你一定能想出准确的答案来．好好动动脑筋！ 14．（8分）已知，如图9，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB ⊥BE ，垂足为B ，DE ⊥BE ，垂足为E ，且AB ＝DE ，BF ＝CE ．那么：∠A 与∠ D 有怎样的关系？你能说出理由吗？ 15．（10分）如图10，已知∠ABC=∠ADC=90°，E 是AC 上一点， AB=AD ，聪明的同学们你能说明EB 为什么等于ED 吗？ 16．（13分）已知：如图11，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分 线，OA OC OB OD ==，． 那么AB CD =吗？请说明理由． A B C D 图1 图4 B 图5A C B D 图3 图7 B A C O D P 图11 图8 B C 图10 C E D 图9 C A F B D E 图
例1．求证：⑴8︱(551999＋17)；⑵ 8︱(32n ＋7)；⑶ 17︱(191000?1)。 例2．求使2n ?1为7的倍数的所有正整数n 。 例3．把1、2、3、…、127、128这128个数任意排列为a l 、a 2、…、a 128，计算出、、…、，再将这64个数任意排12a a -34a a -127128a a -列为b 1、b 2、…、b 64，计算出、、…、。如此继12b b -34b b -6364b b -续下去，最后得到一个数x ，问x 是奇数还是偶数？ 例4．m 、n 是正整数，证明：3m +3n +1不可能是完全平方数。 例5．任意平方数除以4，余数为0或1(这是平方数的重要特征)。 例6．任意平方数除以8余数为0，1，4(这是平方数的又一重要特征）。
A卷 一、填空题 01.a除以5余1，b除以5余4。如果3a＞b，那么3a?b除以5的余数是__________。 02. 71427和19的乘积被7除，余数是__________。 03. 1+22+33+44+55+66+77+88+99≡__________ (mod3)。 04. 一个数除以3余2，除以4余1，这个数除以12的余数是__________。05. 今天是星期一，过21995是星期__________。 06. 10100被7除的余数是__________。 07. 1至5 000之间同时被3、5、7除都余2的数有__________个。 08. 1至1 000之间同时被2、3、7除都余1的数有__________个。 09.用除以7，余数是__________。 19943 3333 个 10. 1993年的元旦是星期五，那么1996年五月一日是星期__________。 二、解答题 11.甲、乙两数都只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75。已知甲数有12个约数，乙数有10个约数，那么甲、乙两数的最小公倍数是多少？
2017年班主任培训方案(一) 在学校中，班主任是学校德育工作的中坚和骨干，是使学校内部各种力量形成合力的纽带，班主任是班级的组织者、领导者和教育者，是学生成长过程的教育者。;是学校教育决策、计划的执行者;是班级各科教育、教学的协调者;是学校、家庭、社会的沟通者;是学生美的心灵、健康人格的塑造者。所以，拥有一支热爱学生、爱岗敬业、具有高度的责任心，又懂得科学管理的班主任队伍，是完成学校各项教育、教学任务的根本保证。由此可见，班主任在学校中担任着特殊的教育角色，要求班主任要有较高的修养，即在政治思想上，道德品质上，业务水平上，工作能力上和教育艺术上应达到一定的程度，各方面堪为人师，做到为人师表。班主任工作是做人的工作，不能光凭经验办事，必须不断地加强理论学习，注重理性思考，提高理论素养和解决实际问题的能力才能更好地指导实践。为全面提高我校班主任队伍的素质和能力，进一步加强和改进我校的德育工作，特制定本计划。一、指导思想以党的教育方针、政策为指导，更新教师教育观念，以解决学校教育教学中存在的突出问题为突破口，注重理论与实践相结合，提高全体班主任创新意识和创新能力，提高班主任培训的针对性，从而促进我校班主任队伍整体素质和工作水平的提高. 二、培训目标 1.提高全体班主任的素质和班级管理水平。在2008年12月底之前，全体班主任完成培训学习的内容培训任务。通过培训，使我校班主任能树立德育为首的观念，掌握班主任工作中必需的知识、技能以及法律常识，从而全面提高班主任履行工作职责的能力。 2.提高我校班主任工作专业化水平，形成一支热爱本职工作、品德高尚、素质优良的小学班主任队伍，使班主任队伍素质再上新台阶， 3.构建班主任队伍建设的长效机制。建立班主任上岗制度、班主任聘任制度、继续教育制度和规范管理等工作制度，并形成长效机制。 4.进一步推进校本培训的发展。根据我校校本培训计划，开展班主任全员培训。通过实施班主任校本培训计划，进一步完善我校校本培训制度，促进教师的专业发展. 三、培训对象: 全校在岗班主任和班主任后备人员。四、培训原则 1.针对性原则。针对不同年段学生身心发展规律以及班级管理工作的特点和要求，研究设计培训内容。培训工作采取集中培训与分散学习相结合的方式进行。 2.实效性原则。坚持理论联系实际，从班主任工作的实际需要出发，针对现实问题设计与安排培训内容，重视经验交流，突出案例教学。 3.创新性原则。积极创新培训内容、方式、方法、手段和机制，不断提高班主任培训工作的效率和质量。 4.灵活性原则。采用集中校本培训与个人自学相结合，提高培训的实效性。 五、培训内容根据我校班主任工作的实际需要，培训内容主要包括：班主任工作管理、班级活动设计与组织、教育政策法规、德育工作、心理健康教育指导等五个专题模块。六、培训形式 1.集中培训与分散培训相结合。集中培训，指开学初，对班主任进行有关班主任日常行为规范方面的集中培训;分散培训，指利用班主任会议时间，分专题学习有关教育方面的知识。 2.实验研究与相互探讨相结合。即把班主任工作与教科研工作结合起来，在日常工作中相互探讨，发现问题、解决问题。 3.名师传授与自我总结相结合。请本校有丰富育人经验的老师做专题报告，每位班主任对照自己的确工作进行反思。 4.读书读报与上网学习相结合。每位班主任除了将指定的书阅读外，还要充分利用校园网上的有关资料学习。七、培训措施1、成立校班主任校本培训领导小组和工作小组。 2 、建立健全班主任校本培训制度，规范班主任培训的操作程序，做好培训工作精细化，不断提高培训效率和质量。3、进一步完善教师继续教育考核机制。将班主任培训的内容纳入教师继续教育培训的内容，并列入校本培训考核和认定范围。2017年班主任培训方案(二)
4题图 B D C 三角形检测题（二） 一、选择题（每题3分，共30分） 1.如果三角形的两边长为3和5，那么第三边长可以是下面的（ ）． A ．1 B ．9 C ．3 D ．10 2．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ） A ．17 B ．22 C ．17或22 D ．13 3．适合条件∠A= 12∠B=1 3 ∠C 的△ABC 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 4．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（ ） A ．30° B ．75° C ．105° D ．30°或75° 5．一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 6．一个三角形的三个内角中 （ ） （ ） A 、至少有一个钝角 B 、至少有一个直角 C 、至多有一个锐角 D 、 至少有两个锐角 7.如图7-6，下列说法中错误的是（ ）． A ．∠1不是三角形ABC 的外角 B ．∠B <∠1＋∠2 C ．∠AC D 是三角形ABC 的外角 D ．∠ACD >∠A +∠B 8、如图4，若∠A=15°，∠B=65°，∠D=25°，则∠CEH 等于( ) A. 120° B. 115° C. 110° D. 105° 9.多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有（ ）． A ．7条 B ．8条 C ．9条 D ．10条 10．如图1，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A ．∠A=∠1+∠2 B ．2∠A=∠1+∠2 C ．3∠A=2∠1+∠2 D ．3∠A=2（∠1+∠2） (10题) (13题) （16题） 二、填空题（每题3分，共30分） 11．三角形的三边长分别为5，1+2x ，8，则x 的取值范围是________． 12．四条线段的长分别为5cm 、6cm 、8cm 、13cm ，?以其中任意三条线段为边可以构成___个三角形． 13．如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 等于________． 14．如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正______边形． 15．n 边形的每个外角都等于45°，则n=________． 16如图，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=55°，则∠BOC 的度数是_____． 17.P 为?ABC 中BC 边延长线上的一点，∠A=50°，∠B=80°，则∠ACP=_____ 18.从八边形的一个顶点出发，可以引______对角线，把八边形分成______个三角形. 19.已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角是_________. 20.在四边形ABCD 中，若∠A+∠B=∠C+∠D ，∠C=2∠D ，则∠C=___________. 三、解答题(每题8分) 1.一个多边形的内角和是它外角和的3倍，求这个多边形的边数。 第7题
例1．分解因式： ⑴a6?b6； ⑵a2＋b2＋c2?2bc＋2ca?2ab； ⑶a7?a5b2＋a2b5?b7 例2．分解因式： ⑴a3＋b3＋c3?3abc；⑵x3＋y3＋3xy?1. 例3．分解因式：(x?1)3＋(x?2) 3＋(3?2x) 3例4．分解因式：x3?5x＋4. 例5．分解因式：x5n＋x n＋1. 例6．分解因式：(x＋1)4＋(x2?1)2十(x?1) 4．例7．分解因式：a4＋b4＋c4?2a2b2?2b2c2?2c2a2 A卷
一、填空题 01.分解因式(a＋b)2＋(a?b) 2＋c(a2+b2)＝_________。 02 ．计算 () 2 22 200220012003 2002200220012001 -? -?+ 的结果等于_________。 03.已知x3＋x2＋x＋1=0，那么x2008十2x2000＋5x1996的值是_________。 04.分解因式（x2＋3x?3)(x2十3x＋4)?8=_________。 05.将多项式x2?4y2?9z2?12yz分解成因式的积，结果是_________。 06.把(1? x2)(1? y2)＋4xy因式分解，结果是_________。 07．已知x?1是多项式x3?3x+k的一个因式，那么这个多项式的其它因式有_________。 08.分解因式(x2?1)(x4＋x2＋1)? (x3＋1)2 =_________。09.分解因式a3b＋ab＋30b的结果是_________。 10.分解因式(x?2y)x3?(y?2x) y3=_________。 二、解答题 11．分解因式a3＋b3＋c3?3abc. 12.已知x y ≠，且x3?x=7，y3?y=7，那么x2＋xy＋y2的值是多少？ B卷 一、填空题 01．分解因式ab(c2?d2)?cd(a2?b2)＝_________。
2017年骨干教师跟班学习计划范文 根据**市教委和**省教育厅关于“**省骨干教师赴**跟班学习项目”的有关精神及《天津市西青区实验小学教室培训实施方案》要点，结合本人的专业素质和教研能力的实际，制定本次跟班学习工作计划 一、学习目标通过跟班学习，进一步提高自己的师德修养、教育教学理念、学校和班级的管理能力、小学语文素养。学习名校名师认真、科学、严谨、规范的治学态度，树立终身学习的观念。促进自己更新专业知识结构，巩固和提高教育教学技能，全面提升实施素质教育和新课程的理论水平和实践能力，形成自己独特的教学风格，感受和体验名校的人文教育和津门文化。 二、学习内容 1、在导师指导下，加强职业道德修养，运用新课程理念进行备课、上课和评课，提高学科教学能力和教研能力。 2、认真阅读有关书籍，完成规定的读书笔记、读书心得、教学论文、培训总结、考察报告，全程参加培训基地学校的教学教研活动；参加区组织的各种专题报告活动，听取报告3场以上。 3、跟班学习期间听课不少于60节课，每周听课不少于6节，写好听课记录、评课、感受。在培训基地学校导师指导下，准备并上2节汇报课。 4、积极参与学校教研管理和班级管理工作，体验名校教研管理方法及优秀班主任管理班级的方法。 三、学习要求
1、跟班期间，服从组织安排，认真制定学习计划并按计划开展学习，严格遵守基地学校的各种规章制度。 2、尊重指导老师，主动虚心向指导老师学习，学习导师的敬业精神和先进的教学方法。 3、认真听课，并做好听课记录，写好听课体会。 4、协助指导老师管理学校教研工作，并能按时按质完成自己的学习任务。 5、参与学习小组研讨会，并进行会议记录，积极参与简报制作。 四、学习计划表周日期学习内容第五周 3月12日——3月18日参加开班仪式，与基地指导老师见面，熟悉住地及校园环境。 跟班听课7节。 3.参加“三师共研——特级教师**老师简约教学”教研活动。 4.参加年级组教研活动。 5.听专家报告。第六周 3月19日—— 3月25日签订师徒协议。跟班听课8节。 3. 听专家报告。 4. 参加科组教研活动。 5. 读导师的书，完成3000字读书笔记。 6．组织召开小组讨论会。第七周 3月26日—— 4月1日听专家报告跟班听课6节。 3. 考察天津人文地理。 4. 参加学校安排的教研活动。
H P G F E D C B A 三角形、 ★★★主要知识点： 1．三角形的分类 三角形按边分类可分为_______和______(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；按角分类可分为______、_______和_______， 2．一般三角形的性质 (1)角与角的关系：三个内角的和等于___°；三个外角的和等于___；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角，____________。 (2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，__边对等角；等角对等____。 (4)三角形的主要线段的性质(见下表)： 3. 几种特殊三角形的特殊性质 （1）等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个_____角相等；②等腰三角形_______、_____中线和______是同一条线段，三线合一；这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。 （2）等边三角形的特殊性质：①等边三角形每个内角都等于___°。②三线合一 （3）直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为___角； ②直角三角形斜边上的中线等 高 ） 于斜边的一半。③s=21ab(a 、b 分别为两直角边）或S △ = 2 1 a h （ h 是a 边上的 4. 三角形的面积一般三角形：S △ = 2 1 a h （ h 是a 边上的高 ）
A C 第 8 题 C D B A 第 14 题 例1： (基础题) 如图, AC //DF , GH 是截线. ∠CBF =40°, ∠BHF =80°. 求∠HBF , ∠BFP , ∠BED .∠BEF 的度数 例2： (基础题) ①在△ABC 中，已知∠B = 40°，∠C = 80°，则∠A = （度） ②如图，△ABC 中，∠A = 60°，∠C = 50°，则外角∠CBD = 。 ③已知，在△ABC 中， ∠A + ∠B = ∠C ，那么△ABC 的形状为（ ） A 、直角三角形 B 、钝角三角形 C 、锐角三角形 D 、以上都不对 ④下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A.3cm ，4cm ，8cm B.5cm ，6cm ，11cm C.5cm ，6cm ，10cm D.3cm ，8cm ，12cm ⑤如果一个三角形的三边长分别为x ，2，3，那么x 的取值范围是 。 ⑥小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ ．______. ⑦已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为 ⑧在△ABC 中，AB = AC ，BC=10cm,∠A = 80°，则∠B = ， ∠C = 。BD=______,CD=________ ⑨如图（第１４题），AB = AC ，BC ⊥ AD ，若BC = 6，则BD = 。 ⑩画一画 如图，在△ABC 中： （1）.画出∠C 的平分线CD （2）.画出BC 边上的中线AE （3）.画出△ABC 的边AC 上的高BF 例3： (提高) ①△ABC 中，∠C=90°，∠B-2∠A=30°，则∠A= ，∠B= B A Ｃ
八年级数学第11章三角形 一、选择题 1．如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是（）．A．3 B．4 C．5 D．6 2．下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（） 3．（2008年??福州市）已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 4．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（） A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．属于哪一类不能确定 5．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高， DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C 第5（∠C除外）相等的角的个数是（）
A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 6．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O， 则∠AOC+∠DOB=（） 第6题图 A、900 B、1200 C、1600 D、1800 7．以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 8．给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角③三角形的角平分线是射线④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 ⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。正确的命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 9．如图，一面小红旗其中∠A=60°, ∠B=30°,则∠BCD= 。
例1．如图，OA=OB，OC=OD，求证：∠AOE=∠BOE。 例2．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，CE⊥AD于F交A B于E，求证：∠CDF=∠BDE。 例3．如图，在△ABC中AB=AC，直线l过A且l∥BC，∠B的平分线与AC交于D，与l交于E，∠C的平分线与AB交于F，与l交于G。求证：DE=FG。 例4．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC 为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于点F，求证：EF=FD。例5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为∠ABC的平分线，求证：AD+BD=BC。 例6．如图，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形AMN。求证：△AMN的周长等于2。 例7．如图，在△ABC中，∠A＜60°，以AB、AC为一边，分别向外作等边△ABD和△ACF，又以BC为边向内作等边△BCE，连结DE，EF。求证：AD∥EF。 例8．已知△AB C中AB=AC，CE是边AB上的中线，延长AB到D，使BD=AB，求证CE= 1 2 CD 。 A卷
一、填空题 01．如图9，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠CBA的平分线交AC于D，过C作BD的垂线，垂足为E，CE和BA的延长线相交于F。若CE=5，则BD=________。 02．如图10，AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，则∠BCE=________。03．如图11，在等边△ABC中，AD=BE=CF，若三个全等的三角形为一组，则图中共有________组全等三角形。 04．如图12，D是等边△ABC内一点，DB=DA，BE=BC，∠DBE=∠DBC，则∠BED=_______。 05．如图13，△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C=_______。 06．如图14，正方形ABCD边长为1，P、Q分别是边BC、CD上的点，连结PQ。若△CPQ的周长是2，则∠PAQ=________。 07．如图15，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边长，在BD同侧作等边三角形BCA和等边三角形CDE，连结BE、AD，分别交AC于M，交CE于N。若CM=x，则CN=________。 08．如图16，△ABD中，∠BAD=45°，AE⊥BD于E，DF⊥AB于F，交AE于G。若BE=4，DE=4，则AG=________。09．如图17，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A、D、E在一条直线上。若BE=2，CE=4，则AE=_______。 10.如图18，等边△ABC中，E、D分别是CA延长线，AB 延长线上的点，且BD=AE，连结EB并延长交CD于F， 则∠BFC=_______。 二、解答题 11．如图19，已知CD、BE相交于A，M是BC的中点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△BMD≌△CME。 12．如图20，已知过△ABC的顶点A，在∠BAC内部任意作一条射线，过B、C分别作此射线的垂线段BD、CE，M为BC中点。求证：MD=M E。
新二中心学校2017 年班主任培训计划及 实施方案 一、指导思想 班主任是班级工作的组织者、班集体建设的指导者，学 生健康成长的引领者，是学生思想道德教育的骨干，是沟通 家长和社区的桥梁，是教师队伍的重要组成部分，是实施素 质教育的重要力量。加强班主任培训是新时期贯彻党的教育 方针，加强和改进未成年人思想道德建设的迫切需要，是全 面实施素质教育，全面提高教育质量的必然要求，是加强班 主任队伍建设的重要举措。实施班主任培训，建立班主任培 训制度，全面提高班主任履行工作职责的能力，从整体上提 高我校班主任队伍的素质和班主任工作水平，更好地促进我 校基础教育改革发展，具有重要意义。根据我校实际情况， 特制定本计划。 二、培训组织 成立班主任培训工作领导小组， 组长：张建红 副组长：杨龙 成员：石秋红陈刚徐锦丽廖杨全体班主任三、培训目标
1.帮助班主任了解班主任常规工作及基本要求，探究班 主任工作的一般规律，提高班主任工作的自觉性。 2.通过学习优秀班主任的经验和方法，能够积极主动地 开展班级管理工作，提高班主任工作的创造性。 3.积极探索，学会协调各方面工作。调动学生的学习积 极性，加强与任课教师密切配合，争取家长的支持与配合， 提高班主任工作的艺术性。 4.培养班主任发现问题、分析问题、解决问题的能力， 提高案例分析和经验总结的能力，提高班主任工作的科研性。四、培训内容 1.专业理论 常规管理及依法执教类：《教师法》、《义务教育法》、《未成年人保护法》、《预防未成年人犯罪法》、《学生伤 害事故处理办法》、《班主任工作条例》等。 职业道德类: 《中小学教师职业道德》、《班主任岗位职责》等。 德育理论类：《现代中小学班主任培训教程》、《班主 任工作心理辅导》等。 德育管理方法类：《班主任工作案例》、《中小学生安 全须知》等。 2.专业素养 （1）班主任的专业素质修炼
第一节. 等腰三角形 1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． 3. 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（即“三线合一”）． 4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 第二节.直角三角形 1. 勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 2. 含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”． 4.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 第三节. 线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.该点就是三角形的外心。以此外心为圆心，可以将三角形的三个顶点组成一个圆。 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线： 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN就是线段AB 的垂直平分线。 第四节. 角平分线 1. 角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2. 三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.这个点叫内心 通用篇 1.真命题与假命题 真命题：真命题就是正确的命题，即如果命题的条件成立，那么结论一定成立。 假命题：条件和结果相矛盾的命题是假命题， 命题与逆命题 命题包括已知和结论两部分；逆命题是将原命题的已知和结论交换； 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。这两个定理称为互逆定理。 2、证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用数学语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因“ (5)依据思路,运用数学语言条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完整. 3、用反证法证明几何命题的步骤： (1)假设命题的结论不成立. (2)由假设作为条件,根据已知条件及学过的定义、定理、公理进行逐步的推导直至与假设或与某个己知条件或与学过的某个定义、定理、公理出现矛盾. (3)从而判断假设错误,原命题成立
例1．如图46，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC边上一点，求证：BD2+DC2=2AD2。 例2．如图47，四边形ABCD 中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6， BC=5?3，CD=6，求AD的长。 例3．如图48，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，求证：BD2=AB2+BC2。 例4．如图49，已知△ABC中，D是BC中点，E为AB上一点，F为AC 上一点，若∠EDF=90°，且BE2+FC2=EF2，求证：∠BAC=90°。例5．如图50，正方形ABCD中，点M为AB的中点，AE= 1 4 AD，点N 是EC的中点，求证：MN= 1 2 EC。 例6．求证：2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1 (n是正整数)是一组勾股数。 例7．证明勾股数组x、y、z必有6︱xy。 A卷
一、填空题 01．高为3的等边三角形的面积为_________。 02．从边长为4的正方形的一个顶点到这个正方形各边中点的距离和是_________。 03．在Rt△ABC的斜边AB上，再作一个Rt△ABD，AB是斜边。若BC=2，AC=a，AD=3，则BD=_________。 04．已知一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另外两边之和为1+3，由此三角形的面积为_________。 05．已知正方形ABCD的边长为4，M为AD的中点，连结CM，过B作BE⊥CM，垂足为E，则BE=_________。 06．已知△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_________。 07．正方形ABCD内取一点P，使PA=BP=PH=h，且PH⊥CD，正方形的边长为1，则h=_________。 08．如图51，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB?PC=_________。 09．如图52，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且BD=5，CD=3，则AC=_________。10．如图53，△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠BAC=60°，∠DAC=45°，BD=a，则AB=_________。 二、解答题 11．如图54，已知△ABC中AB=AC，DE∥BC，求证：BE2=EC2+BC?DE。 12．如图55，已知△ABC中，∠BAC=90°，E、D是BC的三等分点。求证：222 5 9 AE AD BC += B卷 一、填空题
2020年班主任培训计划 下面的2020年班主任培训计划是小编为大家整理的，希望可以帮到你! 2020年班主任培训计划范文1 一、指导思想 班主任是班级的组织者、领导者和教育者;是学校教育决策、计划的执行者;是班级各科教育、教学的协调者;是学校、家庭、社会的沟通者;是学生美的心灵、健康人格的塑造者。所以，拥有一支热爱学生、爱岗敬业、具有高度的责任心，又懂得科学育人的班主任队伍，是完成学校各项教育、教学任务的重要保证。为此，以教育部《关于加强中小学班主任工作的意见》和《中小学班主任工作规定》为指导，结合我校班主任队伍现状，有计划、有步骤地组织实施班主任培训，建设一支结构优化，富有活力的高素质、专业化的班主任队伍。 二、培训目标 1、长远目标：通过多种形式开展全员培训，促进班主任转变教育思想和观念，掌握现代教育理论，树立爱心意识、服务意识和责任意识，从而提高班主任教师队伍的专业化水平， 努力建设一支拥有较强的实践能力、创新能力和教育研究能力的高水平班主任队伍。 2、近期目标：努力创设有利于班主任成长、成才的机制和环境。完善班主任的激励机制，每学期举行一次优秀班主任的评选，在此基础上每学年进行一次明星班主任的评选， 鼓励班主任争当先进，促使中青年优秀班主任教师脱颖而出。 三、培训对象 班主任培训采取学校指定和个人申请相结合的方式，对有志于担任班主任工作的教师和在职班主任进行培训。 四、培训途径 采用集中培训和自学相结合的形式，每月集中听讲座和观看视频共两课时，其
余时间采取自学的形式，完成学校布置的培训作业。每学年开展一次班主任工作交流，举行一次班主任基本功大赛，举行一次主题班会观摩活动。 2020年班主任培训计划范文2 一、指导思想 坚持“一切为了学生,为了一切学生,为了学生的一切”的教育理念,面向全体学生,真正体现教育平等,以创新精神和实践能力的培养为重点，突出学生的发展，积极推进素质教育课程改革，以提高教学质量为核心，重视基础，狠抓培优，为培养的优秀合格人才、获取大面积丰收做出新的贡献,特制定本计划。 二、目标与任务 1、通过培优补差，使全组教师对素质教育有一个全新的认识，人人争当素质教育领头雁，把培优补差当作自己的份内事，走在课改前列。 2、把培优补差作为教学工作的重中之重，建立培优补差制度和激励措施，解决培优补差工作中出现的问题。必须从理论上、实践上展开对培养尖子生、指导学困生研究和实验。体现出“尖子生吃好，中等生吃饱，学困生吃了。” 3、要求全盘考虑,根据素质教育的要求、班级学生的实际，培文化课成绩相对好的群体、学生个体的优势方面;补文化课成绩相对差的群体、学生个体的劣势方面，力争在高一年级化学差生人数不能超过年级总人数的十分之一，使学校高一化学教学质量再上一个新台阶。 三、方法措施 1、确立分层目标，做到心中有数 首先，为自己确立一个目标。根据每个班学生学习基础，确定每个班最多能达到的优秀数、及格数，并在今后的教学活动中为这个目标而不懈努力。 其次，为学生确立一个目标。每节课用很短的时间揭示本课的学习目标，使学生清楚本节课的任务，这个目标必须具体、明确、切实可行，经过努力能够达到;这个目标必须有层次性，即根据学生不同水平，确定不同层次的目标，由浅入深，由简到繁，体现由简单能力到综合能力;这个目标必须有可测性，针对目标要考虑到对应的检测题，便于课堂教学中随时进行反馈和矫正，以提高教学效果，保证大多