【模块标题】二项分布 【模块目标】★★★★★☆ 迁移
【模块讲解】
知识回顾：
1.定义：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,,n ???，
并且()()
1n k
k k
n P k C p p ξ?==?（其中0,1,2,,k n =???），即分布列为
()n p B ，2.二项分布的期望与方差：若()n p B ξ
，，则()=E np ξ，()()1D np p ξ=?
【教材内容1】利用二项分布的计算式求解问题(3星)
<讲解指南>
一.题型分类：
1.二项分布基本概念题型；
2.根据二项分布求某一事件的概率；
3.根据二项分布求某一范围的概率；
4.根据二项分布求EX 、DX 及其变形；
5.根据EX 求概率
p 及某一事件的概率
6.根据EX 和DX 求np 二.方法步骤：
1.根据条件判断是否服从二项分布；
2.根据二项分布的性质列出相应的分布列
3. 根据二项分布的公式求解数学期望及方差； 三.难点：
本节的难点在于根据二项分布的公式进行某一事件或某一范围求概率的题型，需要教会学生求解二项分布里面的参数，然后套用公式进行求解。
<题目讲解>
例1. 下列随机变量ξ服从二项分布的是（ ）。
（1）随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3的倍数的次数； （2）某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
（3）有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数
()M N ＜；
（4）有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数()M N ＜
A. ()2 ()3
B. ()1 ()4
C. ()3 ()4
D.
()1 ()3
练1. 下面随机变量
X 的分布列不属于二项分布的是（
）
A 、据中央电视台新闻联播报道，一周内在某网站下载一次数据，电脑被感染某种病毒的概率是0.65，设
在这一周内，某电脑从该网站下载数据n
次中被感染这种病毒的次数为
X
B 、某射手射击击中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，从开始射击到击中目标所需要的射击次
数为
X
C 、某射手射击击中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，射击n 次命中目标的次数为X
D 、位于某汽车站附近有一个加油站，汽车每次出站后到这个加油站加油的概率为0.6，国庆节这一天有
50辆汽车开出该站，假设一天里汽车去该加油站加油是相互独立的，去该加油站加油的汽车数为X
例? ?
A B
练2. 若随机变量X 服从二项分布24,3B ?? ???
，则（ ） A 、()()13P X P X === B 、()()221P X P X === C 、()()23P X P X === D 、()()341P X P X ===
例3. 若1~10,2B ξ??
???
，则()2P ξ≥=( )
A 、
111024 B 、501512 C 、 10131024 D 、 507
512
练3. 已知随机变量
~6,2X B ??
? ?
??
，则()5P X ≤=（ ）
A 、78
B 、1
8
C 、63
64
D 、3132
例4. 已知随机变量ξ服从二项分布1~34B ξ?? ???
，，则E ξ=（ ）
A 、964
B 、34
C 、916
D 、43
练4. 某班有14名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出 5名学生，其中数学成绩优秀的学生数
例5. 已知随机变量()~36,B p ξ，且()12E ξ=，则()D ξ＝________.
练5 若()~B p ξ6，，且()3E ξ=，则()1P ξ=的值为（ ） A 、32 B 、14 C 、332 D 、116
例6. 随机变量ξ服从二项分布()~B n p ξ，，且()()=300=200E D ξξ，，则p 等于（ ）
A 、
23 B 、 13 C 、 14 D 、12
练
<讲解小结>
通过本章节的学习，着重需要注意以下几个方面：
①授课思路：这部分内容讲解的时候，首先需要先针对二项分布的概念进行细致讲解，然后解决二项分布某一值和某一范围的概率问题，之后根据二项分布的性质解决数学期望和方差的题型，最后进行变形式的讲解与分析。
②这章节的难点在于根据二项分布的公式进行某一事件或某一范围求概率的题型，需要教会学生求解二项分布里面的参数，然后套用公式进行求解。
【深度拓展】
<拓展讲解>
除了二项分布基本概念、求概率和数学期望、方差的题型外，还可以结合独立重复试验，下面我们针对这
种类型进行讲解
<题目讲解>
<拓展小结>
遇到这种类型题，先根据已知的条件求解概率p ，然后带入另一个二项分布进行求解。
备选题库： 1.已知随机变量
X
服从二项分布
1~6,3X B ??
???，则()2P X =等于（
）
A 、80243
B 、4
243
C 、13243
D 、1316
2.若随机变量
1~5,2X B ??
???
，那么(1P X ≤
4.已知随机变量()~4,X B p ，若()2E X =，则(D X
5.设X 为随机变量，1~,3X B n ??
???
，若随机变量X 的数学期望()2E X =，则()2P X =等于( )
A 、80243
B 、13243
C 、4243
D 、1316
6.随机变量ξ服从二项分布()~,B n p ξ，且()()60,15E D ξξ==，则p =__________.
7. 设随机变量()~2,X B p ，随机变量()~3,Y B p ，若()5
19
P X ≥=
，则()31D Y += ．
【教材内容2】二项分布在实际问题中的应用(4星)
<讲解指南>
一.题型分类：
1.求某一事件的二项分布概率表示形式；
2.根据二项分布求分布列；
3.根据二项分布求数学期望及方程；
4.根据统计图像求二项分布的分布列及数学期望
5.最佳方案选择。 二.方法步骤：
1.根据条件判断是否服从二项分布；
2.根据二项分布的性质列出相应的分布列
3. 根据二项分布的公式求解数学期望及方差；
4.利用二项分布的数学期望进行最佳方案的选择。 三.难点：
本节的难点在于根据二项分布进行最佳方案的选择，需要教会学生求二项分布的分布列及数学期望，然后套用公式进行求解。
<题目讲解>
例8.已知某品种的幼苗每株成活率为p ，则栽种3株这种幼苗恰好成活2株的概率为（ ）
2A p 、 B 、()21p p ? C 、223C p D 、()22
31C p p ?
练8. 小王通过英语听力测试的概率是13
，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )
A 、49
B 、29
C 、427
D 、227
例9. 某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社会医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地
A B C三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，区有,,
求X的分布列．
练9. 9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种的费用，写出X的分布列．
例10. 射击中每次击中目标得1分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7,假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（）
A、2.1
B、2
C、0.9
D、0.63
练10. “微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己及好友每日行走的步数、排行榜，也可以与其他用户进行运动量的PK或点赞.现从某用户的“微信运动”朋友圈中随机选取40人，记录他们某一天的行走步数，并将数据整理如下：
规定：用户一天行走的步数超过8000步时为“运动型”，否则为“懈怠型”.将这40人中“运动型”用户的频率看作随机抽取1人为“运动型”用户的概率.从该用户的“微信运动”朋友圈中随机抽取4人，记X为“运动型”用户P X≤和X的数学期望；
的人数，求()3
例11. 北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能AlphaGo 与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，
AlphaGo 获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在1:4．人机大战也引发全民对围棋的关注，某
学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”．
（1）根据已知条件完成如图列联表，并据此资料判断你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？ （2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记所抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为X
．若每次抽取的结果是相互独立的，求
X
的分布
列，期望()E
X 和方差()D X ．
附：()
()()()()
2
2
n ad bc K
a b c d a c b d ?=
++++，其中n a b c d =+++．
练11. 在一次体能测试中，某研究院对该地区甲、乙两学校做抽样调查，所得学生的测试成绩如下表所示：
（1）将甲、乙两学校学生的成绩整理在所给的茎叶图中，并分别计算其平均数；
（2）若在乙学校被抽取的10名学生中任选3人检测肺活量，求被抽到的3人中，至少2人成绩超过80分
的概率；
（3）以甲学校的体能测试情况估计该地区所有学生的体能情况，则若从该地区随机抽取4名学生，记测试成绩在80分以上（含80分）的人数为X，求X的分布列及期望.
<讲解小结>
通过本章节的学习，着重需要注意以下几个方面：
①授课思路：这部分内容讲解的时候，首先需要先针对二项分布某一事件的概率进行专门的求值，然后列出分布列，计算数学期望和方差，之后根据数学期望和方差进行方案的选择；
②本节的难点在于根据二项分布进行最佳方案的选择，需要教会学生求二项分布的分布列及数学期望，然后套用公式进行求解。
【深度拓展】
<拓展讲解>
除了利用二项分布求某一事件的概率、分布列和数学期望、方差之外，还可以利用数学期望和方差解决方案选择问题，下面我们针对这部分进行讲解与分析.
<题目讲解>
不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X 的概率;(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累X Y,求3
,
计的得分的数学期望较大?
练12. 移动公司进行促销活动，促销方案是：顾客消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为20%，中奖后移动公司返还顾客现金1000元。小李购买一部价格为2400元的手机，只能获得两张奖券，于是小李补偿50元给同事购买600元的小灵通，可以获得3张奖券，记小李抽奖后的实际开支为
ξ元。
（1）求ξ的分布列；
（2）试说明小李出资50元便增加一张奖券是否划算？
<拓展小结>
可以通过数学期望和方差的带下来进行相关方案的选择。 备选题库：
1. 有5粒种子，每粒种子发芽的概率均为98%，在这5粒种子中恰有4粒发芽的概率是( )
A 、40.980.02?
B 、40.980.02?
C 、4450.980.02C ?
D 、4450.980.02C ?
2. 小王通过某种英语测试的概率是
13
，如果他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是（ ） A 、227
B 、29
C 、427
D 、49
3.从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，则随机变量X
可以取哪些值？求
X
的概率分
布.
4.从{}123450，，，，，中任取5个数（可以相同），则取到合数的个数的数学期望为_______________。
5.重庆市推行“共享吉利博瑞车”服务，租用该车按行驶里程加用车时间收费，标准是“1元/公里+0.2元/分钟”．刚在重庆参加工作的小刘拟租用“共享吉利博瑞车”上下班，同单位的邻居老李告诉他：“上下班往返总路程虽然只有10公里，但偶尔开车上下班总共也需花费大约1小时”，并将自己近50天的往返开车的花费时间情况统计如表：
将老李统计的各时间段频率视为相应概率，假定往返的路程不变，而且每次路上开车花费时间视为用车时间．小刘认为只要上下班开车总用时不超过45分钟，租用“共享吉利博瑞车”为他该日的“最优选择”，小刘拟租用该车上下班2天，设其中有ξ天为“最优选择”，求ξ的分布列和数学期望．
6. 在篮球比赛中，如果某位球员的得分，篮板，助攻，抢断，盖帽中有两个值达到10或10以上，就称该球员拿到了两双．下表是某球员在最近五场比赛中的数据统计：
（1）从上述比赛中任选1场，求该球员拿到“两双”的概率．
（2）从上述比赛中任选3场，设该球员拿到“两双”的次数为X，求X的分布列及数学期望．
【教材内容3】二项分布最值问题(5星)
<讲解指南>
一.题型分类：
1.根据二项分布在x=a处取得最值的k的值；
2.利用不等式解决二项分布含参范围和最值问题；
3.利用函数和导数解决二项分布含参范围和最值问题。
二.方法步骤：
1.根据二项分布求解x=a时的概率；
2.根据要求运用不等式、函数等方法解决范围和最值的问题
三.难点：
本节的难点在于运用不等式和函数、导数解决参数范围和最值问题，需要教会学生求二项分布的分布列及数学期望，然后运用相应的方法进行求解。
<题目讲解>
例13. 若
1~15,4X B ??
???
，则使()P X k =取最大值的k 的值为
．
练13. 如果1~20,3B ξ
??
???
，则使()P k ξ=取最大值的k 的值是
．
例14．在我市“城乡清洁工程”建设活动中，社会各界掀起净化美化环境的热潮.某单位计划在小区内种植
A ,
D 为进口树种，其成活概率都为()01a a ＜＜，设ξ表示最终成活的树的数量.若出现恰好两棵树成活的
的概率最大，试求a
的取值范围.
练14.设一次试验成功的概率为p ,进行100次独立重复试验,当p =
时,成功次数的标准差的最大
值为 .
例15. 口袋中装有2个白球和()2,n
n n N +≥∈个红球．每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球
放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．记3次摸球中恰有1次中奖的概率为
()f p ，当()f p 取得最大值时，求n 的值．
练15.一个盒子里有2个黑球和
m 个白球（2m ≥，且m N +∈）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取
2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．
（Ⅰ）求每次中奖的概率
p （用m 表示）；
（Ⅱ）若3m =，求三次摸奖恰有一次中奖的概率； （Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为()f p ，当m 为何值时，()f p 取得最大值？
通过本章节的学习，着重需要注意以下几个方面：
①授课思路：根据二项分布求解x=a 时的概率，然后根据要求运用不等式、函数等方法解决范围和最值的问题
②本节的难点在于运用不等式和函数、导数解决参数范围和最值问题，需要教会学生求二项分布的分布列及数学期望，然后运用相应的方法进行求解。
【深度拓展】
<拓展讲解>
除了利用不等式、导数解决含参、最值的问题外，还可以解决需求问题，下面我们针对这一部分进行讲解与分析。
<题目讲解>
例16. （2008年二卷）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险
的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为4
10999
.01?.
(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率
p ；
(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）.
练16. 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．甲一次种植了4株沙柳，根
据以往的经验，这个人种植沙柳时每种植3株就有2株成活，且各株沙柳成活与否是相互独立的． （Ⅰ）写出成活沙柳的株数的分布列，并求其期望值；
（Ⅱ）为了有效地防止风沙危害，该地至少需要种植24000株成活沙柳．如果参加种植沙柳的人每人种植4株沙柳，问至少需要具有甲的种植水平的多少人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害．
利用数学期望的性质解决需求问题。 备选题库：
1.近年来，双十一购物狂欢节（简称“双11”）活动已成为中国电子商务行业年度盛事，某网络商家为制定
2018年“双11”活动营销策略，调查了2017年“双11”活动期间每位网购客户用于网购时间T （单位：小
时），发现T 近似服从正态分布()2,0.49N
．该商家随机抽取参与2017年“双11”活动的10000名网购
客户，这10000名客户在2017年“双11”活动期间，用于网购时间T 属于区间
()2,3.4的客户数为X ．
该商家计划在2018年“双11”活动前对这X 名客户发送广告，所发广告的费用为每位客户0.05元．求使
()P X k =取最大值时的整数k 的值．
2.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12
,a ,
a ()01a ＜＜，三人各射击一次，击中目标的
次数记为ξ.
(1)求ξ的概率分布及数学期望； (2)在概率()()0,1,2,3P i i ξ==中，若()1P ξ=的值最大，求实数a 的取值范围.
（Ⅱ）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果
5E ξ≥,求2p 的取值范围.
H
C
A 1 A 2
B 1
B
L 1 L 2
A 3
4.已知张先生家住H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有1L ，2L 两条路线（如图），1
L
路线上有
1A ，2A ，3A 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12
；2L 路线上有1B ，2B 两个路口，各
路口遇到红灯的概率依次为
34，3
5
． （Ⅰ）若走1L
路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若走2L
路线，求遇到红灯次数
X
的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
5.某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品, 2种家电商品, 3种
日用商品中,选出3种商品进行促销活动.
(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;
(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为m 的奖金.假设顾客每次抽奖
时获奖与否的概率都是2
1
,请问:商场应将每次中奖奖金数额m 最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?