2015-2016学年高中数学 2.3.2向量数量积的运算律课时作业 新人
教B 版必修4
一、选择题
1．若|a|＝3，|b|＝3，且a 与b 的夹角为π
6，则|a ＋b|＝( )
A ．3
B ． 3
C ．21
D ．21
[答案] D
[解析] ∵|a|＝3，|b|＝3，a 与b 的夹角为π
6，
∴|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2
＝9＋2×3×3×cos π
6＋3
＝9＋2×3×3×3
2
＋3＝21， ∴|a ＋b|＝21.
2．(2015·山东临沂高一期末测试)若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，且a ·(a －b )＝1
2，
则向量a 与b 的夹角为( )
A ．π6
B ．π3
C ．2π3
D ．5π6
[答案] B
[解析] 设向量a 与b 的夹角为θ， ∵a ·(a －b )＝a 2
－a ·b ＝12，
∴1－1×1×cos θ＝1
2，
∴cos θ＝1
2，∵0≤θ≤π，
∴θ＝π3
.
3．设a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a⊥b ，|a|＝1，|b|＝2，则|c |2
等于( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．5
[答案] D
[解析] ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，
∴c 2＝|c |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2
＝1＋4＝5，故选D ．
4．已知两个非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b
[答案] B
[解析] 本题考查向量的运算．
由题意知|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2
＝|a －b |2
，即a 2
＋2a ·b ＋b 2
＝a 2
－2a ·b －b 2
， ∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .
注意：|a ＋b |2
＝(a ＋b )2
＝a 2
＋2a ·b ＋b 2. 5．下列各式中正确命题的个数为( ) ①(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )，(λ∈R )； ②|a ·b |＝|a |·|b |； ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
[答案] B
[解析] ①、③正确，②、④错误．
6．(2015·重庆理，6)若非零向量a 、b 满足|a|＝22
3
|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则
a 与
b 的夹角为( )
A ．π4
B ．π
2
C ．3π4
D ．π
[答案] A
[解析] 设a 与b 的夹角为θ，根据题意可知，(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，所以3|a|2
－a·b －2|b|2
＝0,3|a|2
－|a|·|b|cos θ－2|b|2
＝0，再由|a|＝
223
|b|得83|b|2－223|b|2cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝22，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4
.
二、填空题
7．设a 、b 、c 是单位向量，且a －b ＝c ，则向量a 与b 的夹角等于________． [答案]
π3
[解析] ∵a 、b 、c 是单位向量， ∴|a |＝|b |＝|c |＝1.
∵a －b ＝c ，∴|a －b |＝|c |＝1， ∴|a －b |2
＝a 2
－2a ·b ＋b 2
＝1. ∴1－2×1×1×cos〈a ，b 〉＋1＝1， ∴cos 〈a ，b 〉＝1
2.
又∵0≤〈a ，b 〉≤π， ∴〈a ，b 〉＝π
3
8．已知两个单位向量e 1、e 2的夹角为120°，且向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a·b ＝________.
[答案] 0
[解析] ∵|e 1|＝|e 2|＝1，向量e 1与e 2的夹角为120°，
∴a·b ＝(e 1＋2e 2)·(4e 1)＝4e 21＋8e 1·e 2
＝4＋8×1×1×cos120°＝4＋8×1×1×(－1
2)＝0.
三、解答题
9．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝2a －3b ，d ＝m a ＋b ，若c ⊥d ，求实数m 的值．
[解析] a ·b ＝|a ||b |cos60°＝1.
因为c ⊥d ，所以c ·d ＝0，即(2a －3b )·(m a ＋b )＝2m a 2
＋(2－3m )a ·b －3b 2
＝2m －12＋2－3m ＝0，解得m ＝－10.
10．已知a 、b 满足|a |＝3，|b |＝2，|a ＋b |＝13，求a ＋b 与a －b 的夹角θ的余弦值．
[解析] 由已知|a |＝3，|b |＝2，|a ＋b |＝13， ∴(a ＋b )2
＝13.即a 2
＋2a ·b ＋b 2
＝13， ∴2a ·b ＝6.
∴(a －b )2
＝a 2
－2a ·b ＋b 2
＝(a ＋b )2
－4a ·b ＝1. 即|a －b |＝1，
故cos θ＝ a ＋b · a －b |a ＋b ||a －b |＝－13
13
.
一、选择题
1．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →
)＝0，则△ABC 的形状为( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．以上都不对
[答案] C
[解析] 由(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →
)＝0 得CB →·(AB →＋AC →
)＝0
又∵CB →＝AB →－AC →，∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →
)＝0 即|AB →|2－|AC →|2
＝0
∴|AB →|＝|AC →
|，∴△ABC 为等腰三角形．
2．(2014·全国大纲理，4)若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )
A ．2
B ． 2
C ．1
D ．
2
2
[答案] B
[解析] 本题考查了平面向量的数量积的运算，由已知(2a ＋b )·b ＝0，即2a ·b ＋b ·b ＝0，(a ＋b )·a ＝0，所以|a |2
＋a ·b ＝0,2a ·b ＋|b |2
＝0，又|a |＝1所以|b |＝ 2.
3．(2015·陕西理，7)对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b|≤|a||b | B ．|a －b|≤||a|－|b|| C ．(a ＋b )2
＝|a ＋b |2
D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2
－b 2
[答案] B
[解析] A 项，|a·b|＝|||a||b|cos α(α
为a 、b 夹角)，因为cos α≤1，所以|a·b|
＝|||a||b|cos α
≤|a||b|，故A 项不符合题意；B 项，两边平方得a 2＋b 2－2a·b≤a 2＋
b 2－2|a||b|，即|a||b|≤a·b ＝|a||b|cos α(α为a 、b 夹角)，当α不为0时，此式不
成立，应该为|a||b|≥a·b ，故B 项符合题意；C 项，由向量的运算性质可知，(a ＋b )2
＝
|a ＋b |2恒成立，故C 项不符合题意；D 项，由向量的数量积运算可知，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2恒成立，故D 项不符合题意．故选B ．
4．已知|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则k 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．3 D ．－3
[答案] B
[解析] (2a ＋3b )·(k a －4b )＝0， 2k |a |2
－8a ·b ＋3k a ·b －12|b |2
＝0.
∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，∴2k －12＝0，k ＝6. 二、填空题
5．已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. [答案] 3 2
[解析] ∵|2a －b |＝4a 2
＋b 2
－4a ·b ＝10，|a |＝1， ∴4＋b 2
－4×1×|b |·cos45°＝10. 即|b |2－22|b |－6＝0.
∴|b |＝32，或|b |＝－2(舍去)．
6．关于平面向量a 、b 、c ，有下列三个命题： ①若a·b ＝a·c ，则b ＝c .
②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3.
③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) [答案] ②
[解析] ①a ·b ＝a ·c 时，a ·(b －c )＝0， ∴a ⊥(b －c )不一定有b ＝c ，∴①错．
②a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，由a ∥b 知，1×6－(－2k )＝0，∴k ＝－3，故②对． 也可以由a ∥b ，∴存在实数λ，使a ＝λb ， 即(1，k )＝λ(－2,6)＝(－2λ，6λ)，
∴?
??
??
－2λ＝16λ＝k ，∴k ＝－3.
③非零向量a 、b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则三向量a 、b 、a －b 构成正三角形如图．
由向量加法的平行四边形法则知，a ＋b 平分∠BAC ， ∴a ＋b 与a 夹角为30°，③错．
三、解答题
7．已知|a|＝3，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝a ＋2b ，d ＝m a －6b (m ∈R )．若c∥d ，求|c ＋d|.
[解析] ∵c∥d ，∴存在惟一实数λ使得c ＝λd ， 即a ＋2b ＝λ(m a －6b )，
∴?????
λm ＝1－6λ＝2
，解得???
??
λ＝－
13m ＝－3
.
∴d ＝－3a －6b ，∴c ＋d ＝－2a －4b ，
∴|c ＋d|2＝|－2a －4b|2＝|2a ＋4b|2＝4a 2＋16a·b ＋16b 2
＝4×9＋16×3×2×cos60°＋16×4＝148， ∴|c ＋d |＝237. 8．已知|a |＝1，|b |＝ 2. (1)若a ∥b ，求a ·b ；
(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a ＋b |； (3)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．
[解析] (1)当＝0°时，a ·b ＝2，当＝180°时，a ·b ＝－ 2. (2)|a ＋b |2
＝|a |2
＋2a ·b ＋|b |2
＝3＋2，|a ＋b |＝3＋ 2. (3)由(a －b )·a ＝0得a 2
＝a ·b ，
2
9．(2015·山东潍坊高一期末测试)已知向量|a |＝1，|b |＝2. (1)若a 与b 的夹角为π
3，求|a ＋2b |；
(2)若(2a －b )·(3a ＋b )＝3，求a 与b 的夹角． [解析] (1)|a ＋2b |2
＝a 2
＋4a ·b ＋4b 2
＝1＋4×1×2×cos π
3＋4×4
＝1＋4＋16＝21， ∴|a ＋2b |＝21.
(2)∵(2a －b )·(3a ＋b )＝3， ∴6a 2
－3a ·b ＋2a ·b －b 2
＝3， ∴6a 2
－a ·b －b 2
＝3，
∴6－1×2×cos〈a ，b 〉－4＝3，
∴cos 〈a ，b 〉＝－1
2.
∵0≤〈a ，b 〉≤π， ∴〈a ，b 〉＝2π
3
.
向量数量积的运算律 新知检索 8.向量数量积满足交换律：·＝__________________________. 9.向量数量积满足分配律：（+）·＝______________________. 10.数乘向量的数量积，可以与任一向量交换结合，即对任意实数λ，有（?λ＝_________. 学法指导 本节课的学习目标是掌握向量数量积的运算规律，并准确运用；重点是注意结合律的正确使用.学习本节课应注意的问题： 1.对于分配律，用向量数量积的几何意义给出了证明.在学习与使用时，可以类比数量乘法的交换律.但要明确它们的不同. (1)已知实数)0≠b c b a （、、，则c a bc ab =?=；但对于向量、、，该推理是不正确的，即a ·b =b ·不一定能推出a =.只有当向量a 、b 、共线且同向时，才成立，否则就不成立. 比如：|a |＝3，|b |＝1，|c |＝3,< a ,b >=30°，=60°， 经过计算可知：·＝·，但≠. (2)对于实数c b a 、、有(ab )c =a (bc )，但对于向量、、c ，(·)·c ≠·(·c )，这是因为(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 一般并不共线，所以(a ·b )·c ≠a (b ·c ) . 2.教材中的例题1是直接对数量积性质、运算律的应用.其中推得结论： （1）2（+＝22||2||b b a a +?+; （2）（a +b ）·（a -b ）＝22||||-.在以后的运算中，可以直接运用. 3.用向量知识证明几何问题.用向量解题可分为三步：
精品 平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题： 1、下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a · (λb), （2）|a ·b|= | a |·| b |, （3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a ·c+b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a+b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b)和a 垂直,则a 与b 的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5、若2AB BC AB 0?+=,则ΔABC 为 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b, d =λa －b ,若c ⊥d,则实数λ的值为（ ） A ． 74 B ．75 C ．47 D ．5 7 8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是 （ ） ① (a ·b)·c －(c ·a)·b=0 ② | a | －| b |< | a －b | ③ (b ·c)·a －(c ·a)·b 不与c 垂直 ④ (3a+2b) ·(3a －2b)= 9| a | 2－4| b | 2 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 9.（陕西）已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???且12AB AC AB AC ?=, 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10(全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则点O 是ABC △的 .A 三个内角的角平分线的交点 .B 三条边的垂直平分线的交点 .C 三条中线的交点 .D 三条高的交点 11．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )． A ．[－2,2] B ．[－2,3] C ．[－3,2] D ．[－3,3]
8.1.2 向量数量积的运算律 (教师独具内容) 课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行简单的应用． 教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用． 教学难点：平面向量数量积的运算律的证明. 【知识导学】 知识点 平面向量数量积的运算律 已知向量a ，b ，c 与实数λ，则 交换律 a ·b ＝□ 01b ·a 结合律 (λa )·b ＝□ 02λ(a ·b )＝□03a ·(λb ) 分配律 (a ＋b )·c ＝□ 04a ·c ＋b ·c 【新知拓展】 对向量数量积的运算律的几点说明 (1)向量数量积不满足消去律：设a ，b ，c 均为非零向量且a ·c ＝b ·c ，不能得到a ＝b .事实上，如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，OC → ＝c ，AB ⊥OC 于D ，可以看出，a ，b 在向量c 上的投影分别为|a |cos ∠AOD ，|b |cos ∠BOD ，此时|b |cos ∠BOD ＝|a |cos ∠AOD ＝OD .即a ·c ＝b ·c .但很显然b ≠a . (2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a ·b )c ≠a (b ·c )，这是由于a ·b ，b ·c 都是实数，(a ·b )c 表示与c 方向相同或相反的向量，a (b ·c )表示与a 方向相同或相反的向量，而a 与c 不一定共线． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于向量a ，b ，c 等式(a·b )·c ＝a ·(b·c )恒成立．( ) (2)若a·b ＝a·c ，则b ＝c ，其中a ≠0.( ) (3)(a ＋b )·(a －b )＝a 2 －b 2 .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做
向量数量积的运算律 制作人：张明娟 审核人：叶付国 使用时间：2012-5-8 编号：12022 学习目标： 1、 掌握平面向量数量积的运算律及其运算； 2、 通过向量数量积分配律的学习，体会类比、猜想、证明的探索性学习 方法； 3、通过解题实践，体会向量数量积的运算方法. 学习重点：向量数量积的运算律及其应用. 学习难点：向量数量积分配律的证明. 重点知识回顾： 1、两个向量的夹角的范围是： ； 2、向量在轴上的正射影 正射影的数量为 ； 3、向量的数量积（内积）：a ·b = ； 4、两个向量的数量积的性质： （1）b a ⊥? ； （2）a a ?= 或a = ； （3）θcos = ； 向量数量积的运算律 平面向量数量积的常用公式 证明：（1） （2） c b c a c b a b a b a b a b a a b b a ?+?=?+?=?=?=??=?))(3(;)()())(2(; 1λλλλ）（222 2))(1(b b a a b a +?+=+2 2))()(2(b a b a b a -=-+
典例剖析： 例1、已知a =6，b =4，a 与b 的夹角为060， 求：（1）b 在a 方向上的投影； （2）a 在b 方向上的投影； （3） 例2、已知a 与b 的夹角为0120，a =2，b =3，求： ()() b a b a 32-?+） （））（；（）；（）（b a b a b a b a 32321 22+?-- ?（-+5 4取何值，问夹角为与t t b a -==0 120,1
例 3、已知a =3，b =4，（且a 与b 不共线），当且仅当k 为何值时，向量b k a +与b k a - 互相垂直？ 变式：已知a =1, b =2, a 与b a -垂直.求a 与b 的夹角. 练习题:求证菱形的对角线互相垂直. 例 4、已知a =2，b =4，0120,=b a ，求a 与b a -的夹角.
= = AC ? ?? ? 2.3.2 向量数量积的运算律 类型二、运用向量数量积的运算律求向量的模 【学习目标】： 熟练掌握平面向量数量积的运算律，并会应用。 【自主学习】： 向量数量积的运算律： （1） 交换律： 例 2、已知 a = b = 5, 向量 a 与b 的夹角为 ，求 a - b ， a + b 。 3 （2） 数乘 向量的数量积 结合律： 那么分配律是否成立呢？ 【合作探究】 分配律： 变式： 在三角形 ABC 中，已知 AB 3, BC 5, ∠ABC = 600 , 求 。 【课堂互动】 类型一、运用向量数量积的运算律计算例 1、求证： 类型二、运用向量数量积的运算律解决有关垂直问题例 2、求证：菱形的两条对角线互相垂直： 已知： ABCD 是菱形， AC 和 BD 是它的两条对角线。 （1） (a + b ) 2 = 2 + 2a ? b + 2 → → → → ；（2） a + b ?? a - b ? = ? ?? ? → 2 → 2 a - b ; 求证： AC ⊥ BD . 证明： → → → → 变式：已知 a = 3, b = 4, ?a , b ? = 60 , 求(a + 2b ) (a - 3b ) . 总结： a ⊥ b ? 。 a b
a b a ⊥ 变式： 已 知 a = 3, b = 4 ,且(a + kb ) ⊥ (a - kb ), 求 k 的值。 2 【合作探究】 1 、 若 a,b( b ≠ 0 ) 为 实 数 ， 则 a ? b = a ? b 成 立 ， 对 于 向 量 3、已知 e 1 ， e 2 是夹角为 3 的两个单位向量， a = e 1 - 2e 2 , b = ke 1 + e 2 , 若 a ? b = 0 ，则 k 的值为 。 a , b , a ? b = ? 成立吗？ 2、若 a,b,c( b ≠ 0 )为实数，则 ab = bc ? a = c ; 但对于向量， ab = bc ? a = c 还成立吗？ 4、证明平行四边形中， AC 2 + BD 2 = 2 AB 2 + 2 AD 2. 3、 向量的数量积满足结合律吗，即(a ? b )? c = a ? (b ? c )成立吗？ (a ? b ) ? c 表 示什么意义？ a ? (b ? c ) 表示什么意义？ 【当堂检测】 → → < >= 1200 , = = 5, (2a - b )? a = 1 、 已 知 向 量 a , b 且 a 2, b 则 （选做）5、设 a b , 且 = 2, b = 1, k,t 是两个不同时为零的实数。 。 （1） 若 x = a + (t - 3)b 与 y = -ka + tb 垂直，求 k 关于 t 的函数关系式 k=f(t); （2） 求出函数 k=f(t)的最小值。 → → → → 2 2 、 a = 6, b = 8, ?a , b ? = 120 , 求 a + b , a + b .
平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2 D.－3＋2 2 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3 |b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦 值等于( )
A.126 B.－126 C.112 D.－1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与 AC → 的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1 2.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2 ＝1，则|b |＝________.
《空间向量数量积的运算》教学反思 本节课我讲了选修2-1第三章《空间向量的数量积运算》这个节，这是本章第三节的内容，主要学习的是空间向量的数量积的运算及应用。根据大纲，要求学生能熟练应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题，这也是本节课的难点。突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量，就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来，进而再求两个向量的数量积、夹角、距离等。 三方面实行整体设计，注重与学生已有知识的联系及相关学科知识的联系（物理学：功），因为本节知识是向量由二维向三维的推广，所以预习平面向量的运算起了一定的作用，使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。在整个教学过程中，我还是沿用知识复习、学生探究、教师例题分析、师生合作归纳小结的主线实行教学，符合学生的认知规律，也易于学生对知识的掌握，在教学方法上，我注重多媒体演示和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。同时，结合新高考的要求，我注重了数学核心素养的培养，在教学中例题分析与归纳时，我注重了数学思想方法的渗透，如本节课我就渗透了数形结合思想、类比思想等，本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。但我注重调动学生的主观能动性，最大限度的发挥学生的主体作用，在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决相关例题。精彩处在于学生积极参与互动，学生评判，教师引导，学生积极归纳知识点，整个课堂热烈有序，张而有驰，整体课多次出现教学高潮，博得了学生与听课专家的热烈掌声，从课后反馈来看，本堂课普片反应学懂了，掌握了知识和解决问题的水平，正在学有所用。 不足之处：在创设情境时，我用的是知识性引课，不够引人入胜，要是能想出更好的引课方式或动画设计，在一开始就抓住学生的眼球，调动起学生学习的积极性，应该效果会更好。其次，在课堂中没有充分发挥学生的主体性，老师由引导者又逐步变成了主导者。另外，难点突破应该在两个例题上，不过前边耽误了时间，导致重点地方没有充足的时间解决，没达到最初的意图。对问题的探究需要时间，课上让学生放开去探究，减少了课堂容量，影响到了例题的分析讲解。应
周周清13平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题： 1、下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), （2）|a ·b |= | a |·| b |, （3）(a ·b )· c = a · (b ·c ), （4）(a +b ) · c = a ·c +b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=u u u v u u u v u u u v u u u v ,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a +b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b )和a 垂直,则a 与b 的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5、若 2AB BC AB 0?+=u u u v u u u v u u u v ,则ΔABC 为 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b , d =λa －b ,若c ⊥d ,则实数λ的值为（ ） A ． 7 4 B ． 7 5 C ． 4 7 D ． 5 7 8、设 a ,b ,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则 （ ） ① (a ·b )·c －(c ·a )·b =0 ② | a | －| b |< | a －b | ③ (b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直 ④ (3a +2b ) ·(3a －2b )= 9| a | 2 －4| b | 2 其中真命题是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 9.（06陕西）已知非零向量AB u u u r 与AC u u u r 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ??? u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 且12 AB AC AB AC ?=u u u r u u u r u u u r u u u r , 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10.（05全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则点O 是
第十二教时 平面向量的数量积的运算律 要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件 复习： 1 ?平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质 2 ?判断下列各题正确与否： 1若a = 0,则对任一向量b ,有a b = 0。 2若a 0,则对任一非零向量b ,有ab 0。 3 若 a 0, ab = 0,则 b = 0。 4若ab = 0,则a 、b 至少有一个为零。 5 若 a 0, a b = a c ,贝U b = c 。 6若a b = ac ,贝U b = c 当且仅当a 0时成立。 7对任意向量a 、b 、c ,有（a b ） c a （b c ）。 8对任意向量a ,有a 2 = |a|2。 平面向量的运算律 1 .交换律：a b = b a 证：设 a , b 夹角为，贝U a b = |a||b|cos , b a = |b||a|cos 二 a b = b a ??? c （a + b ） = ca + c b 即：（a + b ） c = a c + b c 4.例题：P118-119 例二、例三、例四 （从略） 三、应用例题：（《教学与测试》第27课P156例二、例三） 例一、已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a 5b 垂直, 解：如图：」ABCD 中：AB DC , AD BC , AC = AB AD 2 ■ 2 ? |AC |2=| AB AD |2 AB AD 而 BD = AB AD ? |BD |2=| AB AD |2 AB AD ?'?I c | |a + b| cos =|c| |a| cos 1 + |c| |b| cos 2 2.( a) b = (a b) =a( b) 证 :若 > 0, ( a) b = |a||b|cos , (ab): = |a||b|cos , a (b): = |a||b|cos , 若 < 0, ( a) b =| a||b|cos() (ab): = |a||b|cos , a (b): =|a || b|cos() 3. (a + b) c =a c + b c 在平面内取一点 0,作OA = a, AB = b , |a||b|( cos ) = |a||b|cos , |a||b|( cos ) = |a||b|cos 。 __ !， __ p _____ h 2 ___ 2 ___ t k ? | AC |2 + |BDf = 2 AB 2AD = | AB |2 | BC |2 | DC |2 四、 小结：运算律 五、 作业：P119 习题5.6 7、8 《教学与测试》P152练习 |AD |2 ??? a + b （即OB ）在c 方向上的投影 等于a 、b 在c 方向上的投影和， 即：|a + b| cos = |a| cos 1 + |b| cos 2 教材: 目的: 过程: (V ) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) (V ) a 4 b 与7a 2b 垂直， 求a 与b 的夹角。 解：由(a + 3b)(7a 5b)= 0 7a 2 + 16a b 15b 2 = 0 ① (a 4b)(7a 2b)= 0 7a 2 30a b + 8b 2 = 0 ② 两式相减：2a b = b 代入①或②得：a 2 = b 2 设a 、b 的夹角为, 则 cos : =a b b 2 1 ? =60 |a||b| 2|b|2 2 2AB AD 例二、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
3.1.3 空间向量的数量积运算 课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题． 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫 做向量a ，b 的夹角 记法 范围 ,想一想：〈a ，b 〉与〈b ，a 〉相等吗？〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉呢？ 2．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b . (2)数量积的运算律 (3) 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题： ①(a·b )·c －(c·a )·b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |； ③(b ·a )·c －(c ·a )·b 不与c 垂直； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 2．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( )
A.7 B.10 C.13 D ．4 4.在棱长为1的正四面体ABCD 中，E,F 分别是BC,AD 的中点，则AE ·CF →等于( ) A ．0 B.12 C ．－34 D ．－12 5. 如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2 B ．6 C ．12 D ．144 6．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ、μ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥n C ．m 不平行于n ，m 也不垂直于n D ．以上三种情况都有可能 二、填空题 7．已知a ，b 是空间两向量，若|a |＝3，|b |＝2，|a －b |＝7，则a 与b 的夹角为________． 8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3 ，则|a ＋b |＝________. 9．在△ABC 中，有下列命题： ①AB →－AC →＝BC →； ②AB →＋BC →＋CA ＝0； ③(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题 10. 如图，已知在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .
平面向量数量积运算的解题方法与策略 平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。 1.利用数量积运算公式求解 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a ＋b ) ２ ＝a ２＋２a 2b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a 2b ＋b ２ 上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２ －b ２ 这一类似于实数平方差的公式在解题过程中 可以直接应用. 例1 已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a 2b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜. 解析：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a 2b ＋b ２＝２２＋２3（－３）＋５２ ＝２３ ∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２ ＝（a －b ）２ ＝a ２ －2a 2b ＋b ２ ＝2２ －23（－3） 3５２ ＝35， ∴｜a －b ｜＝35． 例2 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°). 解析：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a 2b ＋b ２＝｜a ｜２ ＋2｜a ｜2｜b ｜ｃｏ ｓθ＋｜b ｜ ２ ∴１６２＝８２＋２3８3１０ｃｏｓθ＋１０２ ， ∴ｃｏｓθ＝ 40 23 ，∴θ≈５５° 例3 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(xa +yb )⊥a ，且｜xa +yb ｜=1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想. 解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有xa +yb =(3x +4y ,4x +3y ) 又（xa +yb ）⊥a ?(xa +yb )2a ＝０?3(3x +4y )+4(4x +3y )=0 即25x +24y ＝０ ① 又｜xa +yb ｜=1?｜xa +yb ｜２＝１?（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２ ＝１ 整理得：25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２ ＝１ ② 由①②有24xy +25y ２ ＝１ ③ 将①变形代入③可得：y =± 7 5 再代回①得：??? ????=-=???????-==7535 24753524y x y x 和
3.1.3空间向量的数量积运算 整体设计 教材分析 本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法． 通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； 3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义； 2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解． 教学过程 引入新课 提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段 D′C′上，D′F＝1 2FC′，如何确定BE → ，FD → 的夹角？
第二章 2.3 2.3.2 一、选择题 1．若|a|＝3，|b|＝3，且a 与b 的夹角为π 6，则|a ＋b|＝( ) A ．3 B ． 3 C ．21 D ．21 [答案] D [解析] ∵|a|＝3，|b|＝3，a 与b 的夹角为π 6， ∴|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2 ＝9＋2×3×3×cos π6＋3 ＝9＋2×3×3×3 2 ＋3＝21， ∴|a ＋b|＝21. 2．(2015·山东临沂高一期末测试)若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，且a ·(a －b )＝1 2，则向量 a 与 b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 [答案] B [解析] 设向量a 与b 的夹角为θ， ∵a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1 2， ∴1－1×1×cos θ＝1 2， ∴cos θ＝1 2，∵0≤θ≤π， ∴θ＝π3 . 3．设a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a|＝1，|b|＝2，则|c |2等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．5
[解析] ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ， ∴c 2＝|c |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1＋4＝5，故选D ． 4．已知两个非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b [答案] B [解析] 本题考查向量的运算． 由题意知|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b －b 2， ∴a ·b ＝0，∴a ⊥b . 注意：|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 5．下列各式中正确命题的个数为( ) ①(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )，(λ∈R )； ②|a ·b |＝|a |·|b |； ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B [解析] ①、③正确，②、④错误． 6．(2015·重庆理，6)若非零向量a 、b 满足|a|＝223|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π4 B ．π 2 C ．3π4 D ．π [答案] A [解析] 设a 与b 的夹角为θ，根据题意可知，(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，所以3|a|2－a·b －2|b|2＝0,3|a|2－|a|·|b|cos θ－2|b|2＝0，再由|a|＝223|b|得83|b|2－223|b|2 cos θ－ 2|b|2＝0，∴cos θ＝ 22，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π 4 .
课时作业(十五) 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确． 【答案】 D 2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2 ，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14. 【答案】 D 3．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( ) 与BD → 与PB → 与AB → 与CD →
【解析】 用排除法，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故PA →·CD →＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，PA ⊥AD ，又PA ∩AB ＝A ，所 以AD ⊥平面PAB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C. 【答案】 A 4. 如图3-1-21，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( ) 图3-1-21 A ．2BA →·AC → B ．2AD →·DB → C ．2FG →·AC → D ．2EF →·CB → 【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错； 2EF →·CB →＝－12a 2，故D 错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确． 【答案】 C 二、填空题 5．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________. 【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61，
课时作业(十五) [学业水平层次] 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确． 【答案】 D 2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14. 【答案】 D 3．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( ) A.PC →与BD → B.DA →与PB → C.PD →与AB → D.P A →与CD →
【解析】 用排除法，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，故P A →·CD → ＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，P A ⊥AD ，又P A ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C. 【答案】 A 4. 如图3-1-21，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( ) 图3-1-21 A ．2BA →·AC → B ．2AD →·DB → C ．2FG →·AC → D ．2EF →·CB → 【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2 ，故D 错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确．
课时作业21 向量数量积的物理背景与定义 向量数量积的运算律 时间：45分钟 满分：100分 一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．若|a |＝3，|b |＝4，a ，b 的夹角为135°，则a ·b ＝( ) A ．－3 2 B ．－6 2 C ．6 2 D ．12 解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos135°＝3×4×(－22)＝－6 2. 答案：B 2．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 解析：本题考查向量的夹角公式． 由(2a ＋b )·b ＝0得2a ·b ＋b 2 ＝0，从而a ·b ＝－b 22， 所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－b 2 2|a |·|b |＝－1 2，〈a ，b 〉＝120°. 答案：C 3．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |2 等于( )
A ．1 B ．2 C ．4 D ．5 解析：|c |2＝|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5. 答案：D 4．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 解析：∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0.∵a ∥b ，∴b ⊥c .∴b ·c ＝0. ∴c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2b ·c ＝0. 答案：D 5．如图，在菱形ABCD 中，下列关系式不正确的是( ) A.AB →∥CD → B ．(AB →＋BC →)⊥(BC →＋CD →) C ．(AB →－AD →)·(BA →－BC →)＝0 D.AB →·AD →＝BC →·CD → 解析：A 显然正确； B ：AB →＋BC →＝AC →，BC →＋CD →＝BD →，∵菱形对角线互相垂直， ∴AC →⊥BD →.∴B 正确．
《空间向量的数量积运算》说课案 今天我说课的课题《两个向量的数量积》，本节课是数学选修2-1第三章第三节的第一课时的内容，现我就教材分析、教学目标分析、教学重难点、教法与学法设计、教学过程、五个方面进行说明。恳请在座的各位评委批评指正。一、教材分析 本节课是人教A版选修2-1第三章第1.3节的内容，是在学生学习了空间向量的线性运算和空间向量基本定理的基础上进一步学习的内容，是平面向量数量积及其研究方法的推广和拓展。它丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点、新的方法，并且是本章和今后学习的重要基础1教材的地位与作用： 空间两个向量的夹角、数量积是高中数学向量的重要内容，也是高考的重要考查内容。从知识的网络结构上看，空间向量夹角、数量积既是平面向量夹角、数量积概念的延续和拓展，又是后续空间向量数量积的计算坐标化和空间向量在立体几何中应用的教学基础。 学生已经学习了立体几何，通常都按照传统方法解立体几何题，这就要求我们的学生需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。 整体来看，本节课在整个高中数学中占有重要的地位。 2、学情分析 本节课授课对象是高二年级的学生，他们已熟知了实数的运算体系，学习了平面向量的一些内容，理解了向量的概念，对向量的加法、减法及数乘运算都应该较熟练，具备了功等物理知识，并且通过前面的学习初步体会了研究向量运算的一般方法。 （二）根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知心理特征、及本节课在整个高中数学中的地位，对本节课我设置了如下的三维目标： 知识与技能：（1）掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； （2）掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； （3）掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。
平面向量数量积的运算律 平面向量数量积的运算律 教学目的： 1.掌握平面向量数量积运算规律； 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题； 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质. ? 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零
向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量 |a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作 ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0．“投影”的概念：作图 定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角 时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|. 4．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. 5．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或