电磁感应现象的常见题型分析汇总
一、反映感应电流强度随时间的变化规律
例1如图1—1，一宽40cm 的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里。一边长为20cm 的正方形导线框位于纸面内，以垂直于磁场边界的恒定速度v=20cm/s 通过磁场区域，在运动过程中，线框有一边始终与磁场区域的边界平行。取它刚进入磁场的时刻t=0，在图1-2所示的下列图线中，正确反
映感应电流强度随时间变化规律的是（ ）
分析与解 本题要求能正确分解线框的运动过程（包括部分进入、全部进入、部分离开、全部离开），分析运动过程中的电磁感应现象，确定感应电流的大小和方向。
线框在进入磁场的过程中，线框的右边作切割磁感线运动，产生感应电动势，从而在整个回路中产生感应电流，由于线框作匀速直线运动，其感应电流的大小是恒定的，由右手定则，可判断感应电流的方向是逆时针的，该过程的持续时间为t=(20/20)s=1s 。
线框全部进入磁场以后，左右两条边同时作切割磁感线运动，产生反向的感应电动势，相当于两个相同的电池反向连接，以致回路的总感应电动势为零，电流为零，该过程的时间也为1s 。而当线框部分离开磁场时，只有线框的左边作切割磁感线运动，感应电流的大小与部分进入时相同，但方向变为顺时针，历时也为1s 。正确答案：C
评注 （1）线框运动过程分析和电磁感应的过程是密切关联的，应借助于运动过程的分析来深化对电磁感应过程的分析；（2）运用E=Blv 求得的是闭合回路一部分产生的感应电动势，而整个电路的总感应电动势则是回路各部分所产生的感应电动势的代数和。
例2在磁棒自远处匀速沿一圆形线圈的轴线运动，并穿过线圈向远处而去，如图2—1所示，则下列图2—2中较正确反映线圈中电流i 与时间t 关系的是（线圈中电流以图示箭头为正方向）（ ）
分析与解 本题要求通过图像对感应电流进行描述，具体思路为：先运用楞次定律判断磁铁穿过线圈时，线圈中的感应电流的情况，再提取图像中的关键信息进行判断。
条形磁铁从左侧进入线圈时，原磁场的方向向右且增大，根据楞次定律，感应电流的磁场与之相反，再由安培定则可判断，感应电流的方向与规定的正方向一致。当条形磁铁继续向右运动，被
← →
图1—1
图1—2
图2—1
图2—2
抽出时，原磁场向右减小，感应电流的磁场方向与原磁场方向相同，感应电流的方向与规定的正方向相反。（如果条形磁铁是对称的，线圈在正中央时线圈中的原磁场最强）正确答案：B
评注 用图像来表示物理过程，是一种简洁明快的方法，如果能抓住物理过程的特征，则可迅速解决问题。如本题中感应电流的方向（正负？是否改变？）就是一个典型的特征。
二、判断感应电流的方向
例3一匀强磁场，磁场方向垂直纸面，规定向里的方向为正。在磁场中有一细金属圆环，线圈平面位于纸面内，如图3—1所示，现令磁感应强度B 随时间t 变化，先按图3—2中所示的Oa 图线变化，后来又按图线bc 和cd 变化，令ε1，ε2，ε3分别表示这三段变化过程中感应电动势的大小，I 1、I 2、I 3分别表示对应的感应电流，则（ ）
A.ε1＞ε2，I 1沿逆时针方向，I 2沿顺时针方向
B.ε1＜ε2，I 1沿逆时针方向，I 2沿顺时针方向
C.ε1＜ε2，I 1沿顺时针方向，I 2沿逆时针方向
D.ε1＝ε2，I 1沿顺时针方向，I 2沿顺时针方向
分析与解 本题要求讨论穿过线圈的磁感应强度的变化而引起的电磁感应现象问题，研究的思路是：抓住磁场变化的不同阶段，应用法拉第电磁感应定律和楞次定律判断感应电动势的大小和方向。
在Oa 时间段中，磁场向里均匀增加，由楞次定律和右手螺旋定则可判定，感应电流I 1为逆时针方向，设a 、b 两时刻的磁感强度为B ，则ε1=△φ/△t=(△B/△t)S=BS/4。
在bc 段中，磁场向里均匀减小，由楞次定律和右手螺旋定则可判定，感应电流I 2为顺时针方向，ε2=△φ/△t=(△B/△t)S=BS 。
在cd 段中，磁场向外均匀增加，由楞次定律和右手螺旋定则可判定，感应电流I 3为顺时针方向，由于该段斜率与bc 段相同，因此ε2＝ε3。正确答案：BD
评注 对电磁感应物理过程的分析是研究和求解电磁感应问题的关键。值得注意的是：本题中从bc 段到cd 段，虽然磁感强度的方向发生了变化，而感应电流的方向并没有发生变化，如果我们不切实际的想当然，往往会误入歧途。
三、判断其它物理量的大小和方向
例4如图4(a)，圆形线圈P 静止在水平桌面上，其正上方悬挂一相同的线圈Q ，P 和Q 共轴。Q 中通有变化的电流，电流随时间变化的规律如图4(b)所示。P 受重力为G ，桌面对P 的支持力为N ，则（ ）
A.t 1时刻N>G
B.t 2时刻N>G
C.t 3时刻N D.t 4时刻N=G 分析与解 本题通过图像来传递关于电磁感应的有关信息，解题时我们要抓住图像给我们的关 t 键的过程信息。 由图像可知时刻t 1在Q 中的电流增大阶段，假设Q 中的电流向某一方向为正方向，由楞次定律，在P 中引起的感应电流与Q 中电流方向相反，在两线圈中产生相互作用力为斥力，N>G 。 时刻t 2在Q 中电流不变阶段，P 中不能引起电流，N=G 。 时刻t 3在Q 中电流减小阶段，P 中引起了感应电流，但此时Q 中电流为0，因此无法实现相互作用，N=G 。 时刻t 4与时刻t 2情况相同，N=G 。 评注 图像是数理综合的一个重要窗口，在运用图像解决物理问题时，首要问题是能解读图像中的关键信息（尤其是过程信息）；其次要能有效地实现物理信息和数学信息的相互转换。如本题中电流为零的t 3时刻的分析，对我们提出了较高的要求。 例5如图5—1所示竖直放置的螺线管与导线abcd 构成回路，导线所围区域内有一垂直纸面向里的变化的匀强磁场，螺线管下方水平桌面 上有一导体圆环。导线abcd 所围区域内磁场的磁感应强度按下列5—2 哪一图些所表示的方式随时间变化时，导体圆环将受到向上的磁场力作 用？（ ） 分析与解 本题研究的是“二次感应问题”，即通过abcd 线框中磁感应强度的变化，在线框中产生感应电流，再通过流过螺线管的感应电流的变化，在导体圆环中产生第二次电磁感应现象。 在abcd 线框中原磁场变化所产生的感应电流大小为i=ε/R=（△B/△t ）S （1/R ），要产生二次感应现象，必须要有变化的i ，即△B/△t 是变化的，而△B/△t 可以从图像中曲线的斜率看出。如A 答案中曲线的斜率在减小，则△B/△t 是减小的，线框abcd 中所产生的感应电流是变小的，由楞次定律可判断线框中所产生的感应电流方向adcba ，由此可知螺线管在圆环中产生的磁场方向向上且减小，再由楞次定律判断感应电流的效果，只有线圈向上运动，才能削弱螺线管在圆环中的磁场的减弱，故圆环受到向上的作用力。其它选项同样分析。正确答案：AB 。 评注 应充分注意“二次感应”现象产生的条件：第一次电磁感应产生的感应电流必须随时间是变化的。值得注意的是，通过图像中曲线的斜率我们可以判断物理量的变化率情况。 图像是我们分析问题、解决问题的一个重要的手段，对图像问题的考查仍是近些年的高考考查的热点问题，值得各位考生引起高度的重视。 视角一：轨道的摆放与形状 一. 双轨道——单导棒 单导棒在运动过程中切割磁感应线产生感应电动势，因此单导棒在电路中相当于电源，与轨道构成一个回路。 1. 轨道水平放置 例1. （04上海）水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L ，一端通过导线与阻值为R 的电阻连接；导轨上放一质量为m 的 金属杆（如图所示），金属杆与导轨的电阻忽略不计。均匀磁场竖直向 图5—2 A B C D 下，用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动。当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度υ也会变化，υ和F的关系如图所示（取重力加速度2s =） g/ 10m （1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？ （2）若Ω 5kg m. . .， L ，，则磁感应强度B为多大？ =5 = = R 5m （3）由F υ图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？ — 2. 轨道倾斜放置 例2. （04北京）如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平 行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L。M、P两点间接有阻 值为R的电阻。一根质量为m的均匀金属杆ab放在两导轨上，并与导 轨垂直。整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜 面向下。导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。 （1）由b向a方向看到的装置如图所示，请在此图中画出ab杆在下 滑过程中某时刻的受力示意图； （2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为υ时，求此时ab杆中 的电流及其加速度的大小； （3）求在下滑的过程中，ab杆可以达到的速度最大值。 二. 双轨道-双导棒 双导棒在运动过程中切割磁感应线产生感应电动势，相当于两个电源。当两导棒运动方向相同时，两个电源方向相反，要发生抵消。因此，整个电路的电动势等于两个电动势之差；当两导棒运动方向相反时，两个电源方向相同。因此，整个电路的电动势等于两个电动势之和。 1.导轨间距相等 例3. （04广东）如图所示，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ，导轨间距离为l。匀强磁场垂直于导轨所在平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B。两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为1m、2m和1R、2R，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦 因数为μ。已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度0υ沿导轨运动，达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略。求此时杆2克服摩擦力做功的功率。 2. 导轨间距不等 例4. （04全国）如图所示中1111d c b a 和2222d c b a 为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面（纸面）向里。导轨的11b a 段与22b a 段是竖直的，距离为1l ；11d c 段与22d c 段也是竖直的，距离为2l 。11y x 和22y x 为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为1m 和2m ，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为R 。F 为作用于金属杆11y x 上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路上的热功率。 视角二：“双电源”问题 一、两导体棒切割磁感线引起的“双电源”问题 1．两导体棒反向运动 例5：（95高考）两根相距20m 0d .=的平行金属长导轨固定在同一水平面内,并处于竖直方向的匀强磁场中,磁场的磁感应强度20T 0B .=,导轨上面横放着两条金属细杆,构成矩形回路,每条金属细杆的电阻为Ω=250r .,回路中其余部分的电阻可不计.已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移,速度大小都是s 0m 5/.=υ,如图所示.不计导轨上的摩擦. (1)求作用于每条金属细杆的拉力的大小. (2)求两金属细杆在间距增加40m 0.的滑动过程中共产生的热量. 例6：（93高考）两金属杆ab 和cd 长均为l ,电阻均为R,质量分别为M 和m ,M >m .用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路,并悬挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧.两金属杆都处在水平位置,如图所示.整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中,磁感应强度为B.若金属杆ab 正好匀速向下运动,求运动的速度. 2．两导体棒同向运动 例7：（03全国）两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度50T 0B .=的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离20m 0l .=。两根质量均为10kg 0m .=的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为Ω=500R .，在t =0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为20N 0.的恒力F 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过0s 5t .=，金属杆甲的加速度为2s 37m 1a /.=，问此时两金属杆的速度各为多少？ 例8：（01北京）两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l 。导轨上面横放着两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量皆为m ，电阻皆为R ，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B ．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒cd 静止，棒ab 有指向棒cd 的初速度0υ．若两导体棒在运动中始终不接触，求： （1）在运动中产生的焦耳热最多是多少？ （2）当ab 棒的速度变为初速度的 3 4 时，cd 棒的加速度是多少？ 二、单导体棒切割磁感线与磁场变化引起的双电源问题 例9：（03江苏）如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为m r /10.00Ω=，导轨的端点P 、Q 用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离.20.0m l =有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感强度B 与时间t 的关系为,kt B =比例系数,/020.0s T k =一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直，在0=t 时刻，金属杆紧靠在P 、Q 端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在s t 0.6=时金属杆所受的安培力. 视角三：利用法拉第电磁感应定律计算感应电动势的几种情况 （一）磁通量变化仅由于磁场随时间发生变化引起的，则t nS E ??=φ，若磁通量的变化仅由于磁场随 一维空间发生变化引起的，则υx B nS t x t B nS E ??=?????=。 （二）若磁通量的变化仅由于面积的变化引起的，则t S nB E ??=，若导体作切割磁感线运动引起面积 变化时感应电动势的大小为υBl E =。 （三）若磁通量的变化是由磁场和面积同时变化引起的，则当两种情况引起的电动势串联正接时， t B nS t S nB E ??+??=；则当两种情况引起的电动势串联反接时，t B nS t S nB E ??-??=。 视角四：金属杆在磁场中运动的收尾问题 （一）单杆模型 （1）如图，单杆ab 以一定初速度0υ在轨道上运动，在安培阻力作用下，最终静止，则回路产生焦耳热为多少？ （2）如图，单杆ab 在恒定外力F 作用下由静止开始运动，则最终速度是多少？ （3）如图，单杆ab 在恒定外力F 作用下由静止开始运动，设电容器的电容为C ，则金属杆最终的加速度a 为多少？ （二）双杆模型 （1）如图，金属杆ab 以初速度0υ向右运动，则ab 受安培力做减速运动，而cd 受安培力做加速运动，则两者最终速度多少？若ab 和cd 的轨道不同宽，如l ab =l cd /2，则最终速度多少？ （2）如图所示，ab 在恒定外力F 作用下由静止开始运动，则两者最终加速度是多少？ 视角五：含容电路 例10：竖直放置的光滑平行金属导轨，相距为L ，导轨一端接有一个电容为C 的理想电容器。匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度为B 。质量为m 的金属棒ab 可紧贴导轨自由滑动。现让金属棒ab 由静止下滑，如图所示，试求金属棒ab 的加速度（电阻不计，不考虑自感电动势）。 例11：如图所示，在竖直面内有两平行金属导轨AB 、CD 。导轨间距为L ，电阻不计。一根电阻不计的金属棒ab 可在导轨上无摩擦地滑动。棒与导轨垂直，并接触良好。导轨之间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感强度为B 。导轨右边与电路连接。电路中的三个定值电阻阻值分别为2R 、R 和R 。在BD 间接有一水平放置的平行板电容器C ，板间距离为d 。 （1）当ab 以速度0υ匀速向左运动时，电容器中质量为m 的带电微粒恰好静止。试判断微粒的带电性质及带电量的大小。 （2）ab 棒由静止开始，以恒定的加速度a 向左运动。讨论电容器中带电微粒的加速度如何变化。（设带电微粒始终未与极板接触） 例12：如图，电源的电动势为U ，电容器的电容为C ，S 是单刀双掷开关，MN 、PQ 是两根位于同一水平面的平行光滑大导轨，它们的电阻可以忽略不计，两导轨间距为l ，导轨处在磁感强度为B 的均匀磁场中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向，21L L 和是两根横放在导轨上的导体小棒，质量分别为1m 和2m 且1m ＜2m 它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦，两小棒的电阻相同，开始时两根小棒均静止在导轨上，现将开关S 先合向1，然后合向2，求： （1）两根小棒最终速度的大小； （2）在整个过程中的焦耳热损耗。 例13：如图所示，水平面中的光滑平行导轨P 1、P 2相距l =50cm ，电池电动势E ′=6V ，电阻不计；电容C =2μF ，定值电阻R =9Ω；直导线ab 的质量m =50g ，横放在平行导轨上，其中导轨间的电阻R ′=3Ω；竖直向下穿过导轨面的匀强磁场的磁感应强度B =1.0T ；导轨足够长，电阻不计． （1）闭合开关S ，直导线ab 由静止开始运动的瞬时加速度多大？ab 运动能达到的最大速度多大？ （2）直导线ab 由静止开始运动到速度最大的过程中，电容器的带电荷量变化了多少？ 例14：如图，光滑的平行导轨P 、Q 间距m l 1=，处在同一竖直面内，导轨的左端接有如图所示的电路，其中水平放置的电容器两极板相距mm d 10=，定值电阻Ω=Ω==28231R R R ，，导轨的电阻不计。磁感强度T B 4.0=的匀强磁场垂直穿过导轨面。当金属棒ab 沿导轨向右匀速运动（开关S 断开）时，电容器两极板之间质量kg m 14101-?=、带电量C q 15101-?-=的微粒恰好静止不动；当S 闭合时，微粒以加速度2 /7s m a =向下做匀加速运动，取2/10s m g =。求： （1）金属棒ab 运动的速度多大？电阻多大？ （2）S 闭合后，使金属棒ab 做匀速运动的外力的功率多大？ 例15：如图所示，位于同一水平面内的两根平行导轨间的距离为l ，导线的左端连接一个耐压足够大的电容器，电容器的电容为C 。放在导轨上的导体杆cd 与导轨接触良好，cd 杆在平行导轨平面的水平力作用下从静止开始做加速度为a 的匀加速运动。整个区域存在磁感强度为B 的匀强磁场，方向垂直导轨平面竖直向下，导轨足够长，不计导轨、导体杆和连接电容器导线的电阻，导体杆的摩擦也可忽略。求： ⑴金属杆所受安培力F 的大小； ⑵从导体杆开始运动起经过时间t ，电容器吸收的能量E 。 Ⅱ．金属棒 （1）金属棒的受力情况：受安培力以外的拉力、阻力或仅受安培力； （2）金属棒的初始状态：静止或运动； （3）金属棒的运动状态：匀速、匀变速、非匀变速直线运动、转动； （4）金属棒切割磁感线状况：整体切割磁感线或部分切割磁感线； （5）金属棒与导轨的连接：金属棒可整体或部分接入电路，即金属棒的有效长度问题． Ⅲ．磁场 （1）磁场的状态：磁场可以是稳定不变的，也可以均匀变化或非均匀变化． （2）磁场的分布：有界或无界． 模型转换 电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式 t BS n t n E ??=??=) (φ，有下列四个模型转换： 1．B 变化，S 不变 （1）B 均匀变化 ①B 随时间均匀变化 如果B 随时间均匀变化则可以写出B 关于时间t 的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题。 ②B 随位置均匀变化：B 随位置均匀变化的解题方法类似于B 随时间均匀变化的情形． （2）B 非均匀变化 B 非均匀变化的情况在高中并不多见．如果题目给出了B 非均匀变化的表达式，也可用后面给出的求导法求解． 例16：（2000上海）如图所示，固定水平桌面上的金属框架cdef ，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab 搁在框架上，可无摩擦滑动，此时adeb 构成一个边长为l 的正方形，棒的电阻为r ，其余部分电阻不计，开始时磁感强度为0B 。 （1）若从0=t 时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，同时保持棒静止，求棒中的感应电流，在图上标出感应电流的方向。 （2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当1t t =秒末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？ （3）若从0=t 时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度υ向右作匀速运动时，可使棒中不产 生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B 与t 的关系式）？ 2．B 不变，S 变化 （1）金属棒运动导致S 变化 金属棒在匀强磁场中做切割磁感线运动时，其感应电动势的常用计算公式为υBL E =。 例17：（02上海）如图所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为2m 0l .=，在导轨的一端接有阻值为Ω=50R .的电阻，在x ≥ 0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度5T 0B .=，一质量为1kg 0m .=的金属杆垂直放置在导轨上，并以s 2m 0/=υ的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F 的共同作用下作匀变速直线运动，加速度大小为2s 2m a /=、方向与初速度方向相反，设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好，求： （1）电流为零时金属杆所处的位置， （2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F 的大小和方向； （3）保持其它条件不变，而初速度0υ取不同值，求开始时F 的方向与初速度0υ取值的关系。 （2）导轨变形导致S 变化：常常根据法拉第电磁感应定律解题。 例18：（01上海）半径为a 的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为2T 0B .=，磁场方向垂直纸面向里，半径为b 的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中4m 0a .=，6m 0b .=，金属环上分别接有灯L 1、L 2，两灯的电阻均为Ω=2R 0，一金属棒MN 与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计。 （1）若棒以s 5m 0/=υ的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO ′的瞬时（如图所示）MN 中的电动势和流过灯L 1的电流。 （2）撤去中间的金属棒MN 将右面的半圆环OL 2O ′以OO ′为轴向上翻转90o，若此时磁场随时 间均匀变化，其变化率为 )/(s T 4 t B π =??，求L 1的功率。 例19：（04北京）如图，直角三角形导线框abc 固定在匀强磁场中，ab 是一段长为l 、电阻为R 的均匀导线，ac 和bc 的电阻可不计，ac 长度为2 l 。磁场的磁感强度为B ，方向垂直纸面向里。现有一段长度为2 l 、电阻为 2 R 的均匀导体杆MN 架在导线框上，开始时紧靠ac ，然后沿ab 方向以恒定速度υ向b 端滑动，滑动中始终与ac 平行并与导线框保持良好接触。当MN 滑过的距离为3 l 时，导线ac 中的电流是多大？方向如何？ 应试策略 学生在平时的学习中要重基础知识的理解和能力的培养。 （1）全面掌握相关知识。由于“轨道+导棒”模型题目涉及的知识点很多，如力学问题、电路问题、磁场问题及能量问题等，学生要顺利解题需全面理解相关知识，常用的基本规律有法拉第电磁感应定律、楞次定律、左、右手定则、欧姆定律及力学中的运动学规律、动力学规律、动量定理、动能定理、动量守恒定律、能量转化和守恒定律等。 （2）抓住解题的切入点：第一：受力情况、运动情况的动态分析。思考方向是：导体受力运动产生感应电动势→感应电流→通电导体受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……，周而复始，循环结束时，加速度等于零，导体达到稳定运动状态。要画好受力图，抓住0a =时，速度υ达最大值的特点。第二：功能分析，电磁感应过程往往涉及多种能量形势的转化。例如：如图所示中的金属棒ab 沿导轨由静止下滑时，重力势能减小，一部分用来克服安培力做功转化为感应电流的电能，最终在R 上转化为焦耳热，另一部分转化为金属棒的动能。若导轨足够长，棒最终达到稳定状态为匀速运动时，重力势能用来克服安培力做功转化为感应电流的电能，因此，从功和能的观点人手，分析清楚电磁感应过程中能量转化的关系，往往是解决电磁感应问题的重要途径． （3）自主开展研究性学习．学生平时应用研究性的思路考虑问题，可 做一些不同类型、不同变化点组合的题目，注意不断地总结，并可主动变换题设条件进行研究学习，在高考时碰到自己研究过的不同变化点组合的题目就不会感到陌生了。 “轨道+导棒”模型问题的物理情境变化空间大，题目综合性强，所以该模型问题是高考的热点，同时也是难点，从这个意义上讲重视和加强此类问题的探究是十分必要和有意义的，另外还可起到触类旁通的效果，让学生同时具备解决“轨道+导棒”等其它模型问题的能力。 综合训练 1．（05江苏）如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L ，左端接有阻值为R 的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B 的匀强磁场中，质量为m 的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度0υ．在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触． (1)求初始时刻导体棒受到的安培力． (2)若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为E p ，则这一过程中安培力所做的功W 1和电阻R 上产生的焦耳热Q 1分别为多少? (3)导体棒往复运动，最终将静止于何处?从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R 上产生的焦耳热Q 为多少? 2．（05上海）如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1m ，导轨平面与水平面成037=θ角，下端连接阻值为R 的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直．质量为2kg 0.．电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为 250.． (1)求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小； (2)当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R 消耗的功率为8W ，求该速度的大小； (3)在上问中，若Ω=2R ，金属棒中的电流方向由a 到b ，求磁感应强度的大小与方向．(2s 10m g /=) 3．如图所示，两根足够长的固定平行金属光滑导轨位于同一水平面，导轨上横放着两根相同的导体棒ab 、cd 与导轨构成矩形回路。导体棒的两端连接着处于压缩状态的两根轻质弹簧，两棒的中间用细线绑住，它们的电阻均为R ，回路上其余部分的电阻不计。在导轨平面内两导轨间有一竖直向下的匀强磁场。开始时，导体棒处于静止状态。剪断细线后，导体棒在运动过程中（ ） Ａ．回路中有感应电动势 Ｂ．两根导体棒所受安培力的方向相同 Ｃ．两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒，机械能守恒 Ｄ．两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒，机械能不守恒 a c b d 4．（05辽宁）如图所示，两根相距为l 的平行直导轨a b 、cd ，b 、d 间连有一固定电阻R ，导轨电阻可忽略不计。MN 为放在ab 和cd 上的一导体杆，与ab 垂直，其电阻也为R 。整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于导轨所在平面（指向图中纸面内）。现对MN 施力使它沿导轨方向以速度υ（如图）做匀速运动。令U 表示MN 两端电压的大小，则（ ） A ．,/2Bl U υ=流过固定电阻R 的感应电流由b 到d B ．,/2Bl U υ=流过固定电阻R 的感应电流由d 到b C ．,Bl U υ=流过固定电阻R 的感应电流由b 到d D ．,Bl U υ=流过固定电阻R 的感应电流由d 到b 5．如图所示，矩形裸导线框长边的长度为2l ，短边的长度为l ，在两个短边上均接有电阻R ，其余部分电阻不计，导线框一长边与x 轴重合，左边的坐标x=0，线框内有一垂直于线框平面的磁场，磁场的磁感应强度满足关系)2sin( 0l x B B π=。一光滑导体棒AB 与短边平行且与长边接触良好，电阻也 是R ，开始时导体棒处于x=0处，从t=0时刻起，导体棒AB 在沿x 方向的力F 作用下做速度为υ的匀速运动，求： （1）导体棒AB 从x=0到x=2l 的过程中力F 随时间t 变化的规律； （2）导体棒AB 从x=0到x=2l 的过程中回路产生的热量。 6．如图所示，abcd 为质量2kg M =的导轨，放在光滑绝缘的水平面上，另有一根质量6kg 0m .=的金属棒PQ 平行bc 放在水平导轨上，PQ 棒左边靠着绝缘固定的竖直立柱e 、f ，导轨处于匀强磁场中，磁场以OO ′为界，左侧的磁场方向竖直向上，右侧的磁场方向水平向右，磁感应强度均为B=0.8T.导轨的bc 段长5m 0l .=，其电阻Ω=40r .，金属棒的电阻Ω=20R .，其余电阻均可不计，金属棒与导轨间的动摩擦因数20.=μ。 若在导轨上作用一个方向向左、大小为2N F =的水平拉力，设导轨足 够长，g 取10m/s 2 ，试求： （1）导轨运动的最大加速度； （2）流过导轨的最大电流； （3）拉力F 的最大功率. 7．如图，光滑平行的水平金属导轨MN 、PQ 相距d ，在M 点和P 点间接一个阻值为R 的电阻，在两导轨间OO 1O 1′O ′矩形区域内有垂直导轨平面竖直向下、宽为l 的匀强磁场，磁感强度为B 。一质量为m 、电阻为r 的导体棒ab ，垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距0l 。现用一大小为F 、水平向右的恒力拉ab 棒，使它由静止开始运动，棒ab 在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab 与导轨始 a O ` 终保持良好的接触，导轨电阻不计）。求： （1）棒ab 在离开磁场右边界时的速度； （2）棒ab 通过磁场区的过程中整个回路所消耗的电能； （3）试分析讨论ab 棒在磁场中可能的运动情况。 8．（01科研）如图所示，两根相距为d 的足够长的平行金属导轨位于水平的xy 平面内，一端接有阻值为R 的电阻．在x ＞0的一侧存在沿竖直方向的均匀磁场，磁感强度B 随x 的增大而增大，kx B =，式中的k 是一常量，一金属直杆与金属导轨垂直，可在导轨上滑动，当t=0时位于k=0处，速度为0υ，方向沿x 轴的正方向．在运动过程中，有一大小可调节的外力F 作用于金属杆以保持金属杆的加速度恒定，大小为a ，方向沿x 轴的负方向．设除外接的电阻R 外，所有其他电阻都可以忽略．问： （1）该回路中的感应电流持续的时间多长？ （2）当金属杆的速度大小为2 υ时，回路中的感应电动势有多大？ （3）若金属杆的质量为ｍ，施加于金属杆的外力F 与时间ｔ的关系如何？ 9．如图所示，两根相距为d 的足够长的光滑平行金属导轨位于竖直的xOy 平面内，导轨与竖直轴yO 平行，其一端接有阻值为R 的电阻。在y ＞0的一侧整个平面内存在着与xOy 平面垂直的非均匀磁场，磁感应强度B 随y 的增大而增大，ky B =，式中的k 是一常量。一质量为m 的金属直杆MN 与金属导轨垂直，可在导轨上滑动，当t=0时金属杆MN 位于y=0处，速度为0υ，方向沿y 轴的正方向。在MN 向上运动的过程中，有一平行于y 轴的拉力F 作用于金属杆MN 上，以保持其加速度方向竖直向下，大小为重力加速度g 。设除电阻R 外，所有其他电阻都可以忽略。问： （1）当金属杆的速度大小为 2 υ时，回路中的感应电动势多大？ （2）金属杆在向上运动的过程中拉力F 与时间t 的关系如何？ 10．如图，足够长的光滑平行导轨水平放置，电阻不计，MN 部分的宽度为l 2，PQ 部分的宽度为l ，金属棒a 和b 的质量m m m b a 22==，其电阻大小R R R b a 22==，a 和b 分别在MN 和PQ 上，垂直导轨相距足够远，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感强度为B ，开始a 棒向右速度为0υ，b 棒静止，两棒运动时始终保持平行且a 总在MN 上运动，b 总在PQ 上运动，求a 、b 最终的速度。 11．两根金属导轨平行放置在倾角为030=θ的斜面上，导轨左端接有电阻Ω=10R ，导轨自身电阻忽略不计。匀强磁场垂直于斜面向上，磁感强度5T 0B .=。质量为1kg 0m .=，电阻可不计的金属棒 ab 静止释放，沿导轨下滑。如图所示，设导轨足够长，导轨宽度2m L =，金属棒ab 下滑过程中始 终与导轨接触良好，当金属棒下滑3m h =时，速度恰好达到最大值s 2m /=υ。求此过程中电阻中产生的热量。 12．一个“II ”形导轨PONQ ，其质量为0kg 2M .=，放在光滑绝缘的水平面上，处于匀强磁场中，另有一根质量为60kg 0m .=的金属棒CD 跨放在导轨上，CD 与导轨的动摩擦因数是200.，CD 棒与ON 边平行，左边靠着光滑的固定立柱ab ，匀强磁场以ab 为界，左侧的磁场方向竖直向上（图中表示为垂直于纸面向外），右侧磁场方向水平向右，磁感应强度的大小都是80T 0.，如图所示。已知导轨ON 段长为50m 0.，电阻是Ω400.，金属棒CD 的电阻是Ω200.，其余电阻不计。导轨在水平拉力作用下由静止开始以2s 2m 0/.的加速度做匀加速直线运动，一直到CD 中的电流达到4A 时，导轨改做匀速直线运动。设导轨足够长，取2s 10m g /=。求： （1）导轨运动起来后，C 、D 两点哪点电势较高？ （2）导轨做匀速运动时，水平拉力F 的大小是多少？ （3）导轨做匀加速运动的过程中，水平拉力F 的最小值是多少？ （4）CD 上消耗的电功率为8W 0P .=时，水平拉力F 做功的功率是多大？ P Q 电磁感应现象中的"轨道一导棒"模型问题 参考答案 例1：（1）金属杆在运动过程中受到拉力、安培力和阻力作用，拉力和阻力恒定，安培力随着速度的增大而逐渐增大，因此，金属杆的加速度越来越小，即金属杆做加速度越来越小的变加速运动。 （2）金属杆的感应电动势υBL E = 感应电流R E I = 所以，金属杆受到的安培力R L B BIL F 22υ == 金属杆受到拉力、安培力和阻力作用，匀速运动时合力为零，即f R L B F 22+=υ 解得2 22 2L B fR L B FR - = υ 由图线可以得到直线的斜率2k =，故1T kL R B 2 == （3）由直线的截距可以求得金属杆受到的阻力2N f = 若金属杆受到的阻力仅为动摩擦力，由f 可以求得动摩擦因数40.=μ。 例2：（1）ab 杆在下滑过程中受到三个力作用：重力mg ，竖直向下；支持力N ，垂直斜面向上；安培力F ，沿斜面向上。受力分析如图所示。 （2）当ab 杆速度为υ时，感应电动势υBL E =。此时电路中的电流 R BL R E I υ== ab 杆受到的安培力R L B BIL F 22υ = = 设杆的加速度为a ，由牛顿第二运动定律有ma R L B mgsin 22=-υθ 得mR L B gsin a 22υ θ- = （3）当R L B mgsin 22υ θ=时，ab 杆达到最大速度m υ，有2 2m L B mgRsin θυ= 例3：设杆2的运动速度为υ，由于两杆运动时，两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生感应电动势)(υυ-=0Bl E 感应电流2 1R R E I += 杆2作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，即g m BIl 2μ= 导体杆2克服摩擦力做功的功率υμg m P 2= 解得 ?? ? ??? +- =)(2122202R R l B g m g m P μυμ 例4：设金属杆向上运动的速度为υ，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通 量也减少。由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小υ)(21l l B E -= 回路中的电流R E I = 方向沿着顺时针方向 两金属杆都要受到安培力的作用，作用于杆11y x 的安培力为11BIL f =，方向向上；作用于杆22y x 的安培力为22BIL f =，方向向下。当金属杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有 0f f g m g m F 2121=-+-- 解以上各式，得) ()(1221l l B g m m F I -+-= 2 12221l l B gR m m F )()(-+-= υ 作用于两杆的重力的功率g m m l l B gR m m F P 212 1221)()()(+-+-= 电阻上的热功率R l l B g m m F R I Q 2 12212 ?? ? ???-+-==)()( 例5：（1）当两杆都以速度υ向相反方向匀速运动时，每杆所受的安培力和拉力平衡。每个金属杆产生的感应电动势分别为υBd E E 21== 由闭合电路的欧姆定律，回路的电流强度r Bd 2r E E I 21υ =+= 拉力N 1023BId F F 221-?===. （2）设两个金属杆之间增加的距离为△L ，增加△L 所用的时间υ 2L t ?= ； 由焦耳定律，两金属杆共产生的热量为J 102812L 2r I t 2r I Q 222-?=?? ?==.)(υ 例6：解法(一)：设磁场方向垂直纸面向里，分别选取ab 、cd 为研究对象。设ab 向下、cd 向上匀速运动速度大小为υ，据电磁感应定律应有： ab 产生感应电动势υBl E 1= cd 产生感应电动势υBl E 2= a → b →d → c ，电流大小据闭合电路欧姆定律应为： R Bl 2R E E I 21υ =+= ab 受安培力向上，cd 受安培力向下，大小均为：R l B BIl F 22υ = = ab 匀速向下时平衡条件为：Mg F T =+ cd 匀速向上时平衡条件为：mg F T += T 代表导线对金属杆的拉力． g m M 2F )(-= 联立可得2 2l 2B gR m M )(-= υ (二)：把ab 、cd 两导线视为一个整体作为研究对象，因为M ＞m ，所以整体动力为(M-m)g ， ab 向下、cd 向上运动时，穿过闭合回路的磁通量减小，产生感应电流．据楞次定律知，感应电流的磁场要阻碍原磁场的磁通量变化，即阻碍ab 向下，cd 向上运动，即F 安为阻力。整体受到的动力 与安培力满足平衡条件，即R L B 2g m M 22υ ?=-)(，则可解得如上结果。 (三)：把整个回路视为一整体作研究对象。因其速度大小不变，故动能不变。ab 向下、cd 向上运动过程中，因 Mg ＞mg ，系统的重力势能减少，将转化为回路的电能。据能量转化守恒定律，重力的机械功率(单位时间系统减少的重力势能)要等于电功率(单位时间转化为回路的电能)。 例7：设任一时刻t 两金属杆甲、乙之间的距离为x ，速度分别为1υ和2υ,经过很短的时间t ?，杆甲移动距离t 1?υ，杆乙移动距离t 2?υ，回路面积改变t l S 21?-=?)(υυ 由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势t S B E ??= 电流 2R E I = 杆甲的运动方程 ma BIl F =- 由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量等于外力F 的冲量 21m m Ft υυ+= 联立以上各式解得s 15m 8l B ma F R m Ft /.])(2[ 211=-+=υ s 85m 1l B ma F R m Ft /.]) (2[212 =--=υ 例8：（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有υυ2m m 0=① 根据能量守恒，整个过程中产生的总热量2 220m 4 12m 21m 21 Q υυυ=-=)( （2）设ab 棒的速度变为初速度的 4 3 时，cd 棒的速度为'υ，则由动量守恒可知 '00m 4 3 m m υυυ+= 此时回路中的感应电动势和感应电流分别为 Bl 4 3 E 0)('υυ-= 2R E I = 此时cd 棒所受的安培力BIl F = cd 棒的加速度m F a = 由以上各式，可得4mR l B a 0 22υ= 例9：以a 表示金属杆运动的加速度，在t 时刻，金属杆与初始位置的距离2at 2 1L = 此时杆的速度at =υ 杆与导轨构成的回路的面积Ll S = 回路中的感应电动势υBl t B S E +??= 而kt B = t Bt t t B t B ?-?+=??)( 回路的总电阻02Lr R = 感应电流R E I = 作用于杆的安培力BIl F = 解得N 10441r r l k 23F 30 2 2-?==. 例10：ab 棒受重力作用从静止开始运动，速度由零逐渐增大，同时ab 棒切割磁感线，产生感应电动势E ，并对电容器充电，回路中有感应电流，ab 棒受到安培力的阻碍作用。ab 棒上产生的感应电动势υBL E = 因回路中无电阻，电容器两端的电压E u = 回路中的电流t CBL t Cu t q I ??=??=??= υ)( ab 棒所受的安培力t L CB BIL F 22??==υ 安 由牛顿第二定律得t m ma F mg ??==-υ 安 即t m t L CB mg 22??= ??-υ υ 解得2 2L CB m mg t a +=??=υ 例11：（1）棒匀速向左运动，感应电流为顺时针方向，电容器上板带正电。因为微粒受力平衡， 电场力方向向上，场强方向向下，所以微粒带负电。 q d U mg c = IR U c = 3R E I = 0Bl E υ= 由以上各式求出 0 Bl 3mgd q υ= （2）设经时间t 0微粒受力平衡 q d U mg c = 而0c Blat 3 1 U = 解得Blaq 3mgd t 0=或 a t 00υ= 当t < t 0时，t 3md Blaq g a 1- =，越来越小，加速度方向向下 当t = t 0时，0a 2= 当t > t 0时，g -t 3md Blaq a 2= ，越来越大，加速度方向向上 例12：开关S 由1合向2之后，起初电容器通过导轨及两小棒构成的回路放电，外磁场B 对通有电流的两小棒施加向右的安培力，使两小棒从静止开始向右做加速运动；随后，由于以下三个因素：（1）电容器的放电电流是随时间衰减的；（2）两小棒在磁场中运动切割磁感线所产生的感应电动势阻碍电容器通过小棒放电；（3）开始时两棒受到的安培力相等，但由于两棒质量不等，故获得的速度不等，1L 的速度1υ较大，产生的感应电动势亦较大，从而使流经该棒的电流比较小，导致2L 所受的安培力较小，相应的加速度也较小，两棒加速过程中的差异最终导致两棒以相同的速度运动，并使两棒产生的感应电动势均等于电容器两端的电压，流经两棒的电流为零，它们所受的安培力消失，两棒维持以相同的速度做匀速运动。 自电容器开始放电至小棒达到最终速度恒定的过程中，任一时刻的电流如图所示，此时作用于1L 和2L 上的安培力分别为： 11Bli f = ⑴ 22Bli f = ⑵ 在t 到t t ?+时间内，两棒增加的动量由动量定理给出，即： 11111m Bli t f υυ?=?=? ⑶ 2222m t Bli t f υ?=?=? ⑷ 由于开始时两棒均静止，最终两棒速度相等，设最终速度为υ，则有： υ11m t Bli =?∑ ⑸ υ22m t Bli =?∑ ⑹ ⑸⑹两式相加，得：υ)()(2121m m t i i Bl +=?+∑ ⑺ 任何时刻，通过1L 和2L 的电流的代数和等于电容的放电电流i ，即 i i i 21=+ ⑻ 而 q -Q t i t i i Bl 21=??∑=?+∑)( ⑼ ⑼式中Q 为刚开始放电时电容正极板带的电量，q 为小棒达到最终速度时电容器正极板带的电量，显然 CU Q = ⑽ υCBl q = ⑾ 由⑺、⑻、⑼、⑽、⑾式得υυ)()(21m m Bl U BlC +=- 解得) (C l B m m BlCU 2221++= υ 电容器开始放电时，所具有的电能为20CU 2 1W = 棒达到最终速度时电容器的储能为2 22212 34421C)l B m 2(m U C l B C q 21W ++== 两棒最终的动能之和为2 22212222212212C)l B m (m U C l B m m 2 1m m 2 1W +++=+=) ()(υ 根据能量守恒可知，在整个过程中的焦耳热为
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