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第二讲-绝对值

第二讲绝对值

绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与

不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据

绝对值的定义来解决这些问题。

一．基础知识回顾：

1．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。

2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0

的绝对值还是0。

3．绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意

有理数a ，总有a ≥0。

4绝对值的求法：绝对值是一种运算，这个运算符号是“

”，求一个数的绝对值就是想办

法去掉绝对值符号，对于任意有理数a ，有 ?

?????<-≥=)0()0(a a a a a 。 5．数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点,A B 所表示的数为,a b ，则,A B 两点间的距离为a b -

6．零点：使某个绝对值等于0的x 的值叫做式子（方程、不等式）的零点。

7、绝对值的基本性质：⑴非负性：0a ≥；⑵a a =- ⑶ab a b = （4）b b a a

=（0a ≠）

（5）222n n n a a a ==（n 为正整数）；

8、与绝对值有关的最值问题：

（1）x 的最小值为_____（其中x 为任意实数）；

（2）代数式x a x b -+-，当a x b ≤≤时取得最小值为a b -（其中a b <）；

（3）代数式x a x b x c -+-+-，当x b =时取得最小值为a c -（其中a b c <<）；思

考：若1a <2a <3a <…

n a x a x a x -++-+- 21取最小值；②当n 为奇数时，x 满足什么条件代数式

n a x a x a x -++-+- 21取最小值.

（4）代数式 x a x b ---（其中a b <），当x a ≤时，有最小值a b --，当x b ≥时有最大值a b -

9、绝对值方程：（1）x a = ① 当 0a >时，方程有两个解x a =±；② 当 0a =时，

方程有一解0x = ③当0a <时，方程无解；（2）x a x b m -+-=（a b <）①当 m b a

>-时，方程有两解：2a b m x ++=或 2

a b m x +-= ② 当m b a =-时，方程有无数个解，即满足a x b ≤≤的所有值 ③当m b a <-时，方程无解

（3）x a x b m ---=（a b <）①当 a b m a b --<<-时，方程有一解 ② 当

m a b =-或 m a b =--时，方程有无数个解 ③当m a b >-或m a b <--时，方程

无解

二、【典型例题分析】

（一）绝对值的化简：

含有绝对值符号的化简的关键是先确定绝对值符号内部分的正负，再利用绝对值的代

数意义化去绝对值符号（就是非负数的绝对值等于它本身；非正数的绝对值等于它的相反

数）。绝对值符号的化简方法大致有三种类型。

1、根据题设条件（已知字母的取值范围，直接能确定绝对值内式子的符号）

例1、设1-

思路分析由1-

号待合并整理后再用同样方法化去．

解 222---x x x x x +=--=-=---=2)(22)2(22

归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺

利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．

例2、设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p ＜15.对于满足p≤x≤15的x 的来说，T 的

最小值是多少？

解：由已知条件可得T=（x-p ）+（15-x ）+（p+15-x ）=30-x.

∵当p≤x≤15时，上式中在x 取最大值时T 最小；当x=15时，T=30-15=15，故T 的最小值

是15.

2、借助数轴

例3 实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，

化简代数式c b a c b a a -+-++- ；

思路分析由数轴上容易看出0,0,0,0<-<-<+∴<<

去掉绝对值符号扫清了障碍．

解原式[]a c b c a c b a a -=-+-++---=2)()()(

归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定

弄清：

1．原点的左边都是负数，右边都是正数．

2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．

3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．

3、采用零点分段讨论法

例4 化简422+--x x

思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，

可采用零点分段讨论法，本例的难点在于4,2+-x x 的正负不能确定，由于x 是不断变化

的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况―一讨论．

解令02=-x 得零点：2=x ；令04=+x 得零点：4-=x ，把数轴上的数

分为三个部分（如图）

x -4

O 2 ①当时,

∴ 原式

②当时，

，

∴ 原式

2≥x

24<≤-x 4-

③当

时，， ∴ 原式 ∴

归纳点评虽然4,2+-x x 的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正

是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：

（1）求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．

（2）分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个

绝对值符号内的部分的正负能够确定．

（3）在各区段内分别考察问题．

（4）将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．

例12 已知0,0,,a ab b c a <>>>化简c a b a c b c a -+--+++2

解：∵0,0a ab <>，∴0b <，c 的正负无法确定，需要分2种情况讨论：

①当0c >时，∵||||c a >，∴c a >-，则0a c +>

∵||||b c >，∴b c ->，则0b c +<

∵||||b a >，∴b a <，则0a b ->

∵0a <，∴20a <，又∵0c >，∴0c -<，则22()0a c a c -=+-<

故c a b a c b c a -+--+++2=22a c b c a b a c a c +---+-+=-+

①当0c <时，∵0a <，∴0a c +<

∵0b <，∴0b c +<

∵||||b a >，∴b a <，则0a b ->

∵0a <，∴20a <，又∵0c <，∴0c ->，一个负数与一个整数的和，无法判别

2||a 与||c 的大小，故又需要分3种情况讨论：

⑴当2||a =||c 时，|2|0a c -=

故c a b a c b c a -+--+++2=22a c b c a b a c -----+=--

⑵当2||a >||c 时，有2a c ->-，故20a c -<

故c a b a c b c a -+--+++2=24a c b c a b a c a c -----+-+=--

⑶当2||a <||c 时，有2a c -<-，故20a c -> 故c a b a c b c a -+--+++2=23a c b c a b a c c -----++-=-

例8 上午8点，某人驾驶一辆汽车从A 地出发，向东记为正，向西记为负。记录前4次行驶

过程如下：-15公里，+25公里，-20公里，+30公里，若要汽车最后回到A 地，则最后一次

如何行驶？已知汽车行驶的速度为55千米/小时，在这期间他办事花去2小时，问他回到A 地

的时间？

解：前4次行驶完成后，汽车位于：1525203020-+-+= A 点东边20公里处

若要汽车最后回到A 地，则最后一次：20-，即向西行进20公里

总共路程：|15|25|20|30|20|110-++-++-=，路上花费时间：110÷55=2小时

期间他办事花去2小时，所以总共耗时4小时，他回到A 地的时间：8+4=12

（二）绝对值与最值：

对绝对值概念有几何、代数两种描述方法.其中几何方法的描述是:|x|是在数轴上表

示数x 的点与原点的距离.据此,我们可以略加推广:|x-a|指在数轴上表示数x 的点与表示数

a 的点的距离.下面举例说明其应用.

1、利用几何方法求最值

例1 已知y=|x-2|-|x-5|,求y 的最大值与最小值.

分析此题常见的方法是根据x 的取值范围,去绝对值,然后分别讨论求出最大值、最小

值.但根据绝对值几何意义解,那就容易多了.

解设数轴上表示数2、5、x 的点分别为A 、B 、C.C 可在数轴上移动,那么

y=|x-2|-|x-5|=AC-BC,如图1,当C 点在B 点右边时,AC-BC=AB=5-2=3；

当C点在A点左边时（如C1处），

AC-BC=-AB=-3；

当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时，-3≤AC-BC≤3.

综上所述,y的最大值为3,最小值为-3.

例2已知y=|x-2|+|x-1|,求y的最小值.

解设数轴上表示数2、1和的点分别为A、B、C，则y=|x-2|+|x-1|=AC+BC(如图2），当C点在A点右边时，AC+BC＞AB，即y＞1.当C点在B点左边时（如在C1处），AC+BC＞AB，即y＞1.当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时，

y=AC+BC=AB=1,

综上所述y≥1,y的最小值为1.

通过上述两题,我们知道,利用绝对值几何意义解决此类问题,显得直观又简单,同时我们还能得出一些有用的结论:

如果y=|x-a|-|x-b|,那么y有最大值|a-b|,最小值-|a-b|.

如果y=|x-a|+|x-b|,那么y有最小值|a-b|,无最大值.

并且还求出最大值,最小值时对应的x值的范围.

3、利用界点分段法求最值

例3.求代数式∣x-1│+∣x-2│+∣x-3│的最小值

分析：根据上题很容易找到三个分界点是x=1、2、3，这样将数轴分成四部分，112233

，，，，然后分段讨论。

≤<≤<≤>

x x x x

∣

解：这里有三个分界点：1、2、3

当ｘ≦１时，原式＝－（x－１）－（ｘ－２）－（ｘ－３）＝６－３ｘ这时ｘ＝１时有最小值３

当１＜ｘ≦２时，原式＝x－１－（ｘ－２）－（ｘ－３）＝４－ｘ这时ｘ＝２时有最小值２

当２＜ｘ≦３时，原式＝x－１＋（ｘ－２）－（ｘ－３）＝ｘ这时ｘ没有最小值当ｘ＞３时，原式＝x－１＋ｘ－２＋ｘ－３＝ｘ这时ｘ没有最小值综合以上几种情况，原式的最小值是2。

说明：形如|x-a1|+|x-a2|+……+|x-a n|n个绝对值的代数和其最小值的一般规律是：当n为奇数时取中间分界点x取值能取得最小值，当n为偶数时取中间两个分界点x的取值或中间两个分界点之间的任意实数，如求|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值。因为有奇数个分界点，所以当x取中间界点-3时有最小值6，如求|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|的最小值，因为有偶数个分界点，所以时有最小值。

-≤≤-

324

例4 已知y=|2x+6|-4|x+1|+|x-1|，求y的最大值。

分析：首先，对式子|2x+6|－4|x+1|＋|x-1|分段讨论后化简，然后分别求出各段中y 的最大值，再加以比较可得。

解：找分界点，得x=－3，－1，1

3264111

()()()

x y x x x x

≤-=-++++-=-

当时，

∵x≦－3 ∴ｘ－１≦－４

∴ｘ≦－３时，ｙ的最小值为－４

当时，-<≤-=++++-=+3126411511x y x x x x ()()()

-<≤-∴-≤+≤3145116x x

∴ｙ的最大值为６

当时，-<≤=+-++-=-112641133x y x x x x ()()()

∵－１＜ｘ≦１ ∴－１≦－ｘ＜１

∴０≦３－３ｘ＜６这时没有最大值

当ｘ>1时,y=(２ｘ＋６)－４（ｘ＋１）＋（ｘ－１）＝１－ｘ

∵ｘ>1 ∴1－ｘ＜０

∴当ｘ>1时，ｙ没有最大值

综上所述：y 的最大值是6

（三）绝对值的非负性：

绝对值的非负性是一个十分重要的性质，它是化简绝对值的基本依据，换句话说：要求化者在将绝对值符号去掉后所得的结果应为非负数（如：π-14.3去掉绝对号后的结果应

为14.3-π，因为π＞14.3）。同时这一性质的应用也十分广范，我们再看下面典例：

例1 （1）若有 x ，y 满足22002(1)1210x x y -+-+=，则22x y +的值为多少？

解：∵2(1)0,|121|0x x y -≥-+≥，故要使22002(1)1210x x y -+-+=，则必有

2(1)0,|121|0x x y -=-+=，所以11,6

x y == 22221371()636

x y +=+=

例2、若abc ≠0，则c

c b b a a ++的所有可能值是什么？解因为 abc ≠0，所以a ≠0，b ≠0，c ≠0。

(1)当a ，b ，c 均大于零时，原式=3；

(2)当a ，b ，c 均小于零时，原式=-3；

(3)当a ，b ，c 中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；

(4)当a ，b ，c 中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1。

说明本例的解法是采取把a ，b ，c 中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种

解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用。

例3 若｜x ｜=3，｜y ｜=2，且｜x -y ｜=y -x ，求x +y 的值。

解因为｜x -y ｜≥0，所以y -x ≥0，y ≥x 。由｜x ｜=3，｜y ｜=2可知，x ＜0，即x =-3。

(1)当y =2时，x +y =-1； (2)当y =-2时，x +y =-5。

所以x +y 的值为-1或-5。

例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．无穷多个

分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程

a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，

所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。

例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．

()()()()()()1111

112220072007ab a b a b a b ++++++++++

分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|a b －2|=|a －1|=0，解得：a=1,b=2

于是()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++

200920082009

11200912008141313121212009

2008143132121=-=-++-+-+=?++?+?+=

在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学

们可以再深入思考，如果题目变成求2010

20081861641421?+?+?+? 值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。

【例9】阅读下面材料并回答问题．

(1)阅读下面材料：

点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图1，b a b OB AB -=== 当A 、B 两点都不在原点时， ①如图2，点A 、B 都在原点的右边b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=； ②如图3，点A 、B 都在原点的左边，b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=；

③如图4，点A 、B 在原点的两边，b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=)(；

综上，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=．

(2)回答下列问题：

①数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离

是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；

②数轴上表示x 和1的两点A 和B 之间的距离是，如果2=AB ，那么x

为；

③当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是；

④求1997321-+???+-+-+-x x x x 的最小值。

解：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是3，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离

是3，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是4；

（2）数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是|(1)||1|x x --=+，

如果2=AB ，即到－1距离为2的点，有2个分别是1、-3，所以x 为；1或-3

（3）当代数式21-++x x 取最小值时，意味着：x 点到-1的距离与x 点到2的距离之

和最小，此时点x 应该在-1与2之间，即相应的x 的取值范围是12x -<<；

（4）求1997321-+???+-+-+-x x x x 的最小值，实际是找一个点x 使得该点

到1、2、3…….1997的距离之和最小，根据前面所讲，这时999x =，问题转化为：

求 2（1+2+3+….+998）=(1998)99829970022

+??= 【例10】 (1)工作流水线上排列2个工作台A 、B ，一只工具箱应该放在何处，才能使工

作台上操作机器的人取工具所走的路程最短?

(2) 如果工作台上顺次排列3个工作台A 、B 、C ，一只工具箱应该放在何处，才能使工

作台上操作机器的人取工具所走的路程最短?

(3)如果工作台上顺次排列4个工作台A 、B 、C 、D ，一只工具箱应该放在何处，才能

使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短?

（4）如果工作台上顺次排列5个工作台A 、B 、C 、D 、E ，一只工具箱应该放在何处，

才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短?

(5)如果工作台由5个改为6个，那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具所走

的路程之和最短?

(3)当流水线上有n 个工作台时，怎样放置工具箱最适宜?

思路点拨把流水线看作数轴，工作台、工具箱看作数轴上的点，这样，就找到了解决本例

的模型——数轴，将问题转化为【例9】的形式求解．

链接：设1a 、2a 、3a 、…n a 是数轴上依次排列的点表示的有理数．

①当n 为偶数时，若122+≤≤n n

x a ，则n a x a x a x -++-+- 21的值最小； ②当n 为奇数时，若21+=n a x ，则n a x a x a x -++-+- 21的值最小．

【例11】试求｜x -1｜十｜x －2｜+｜x －3｜+…｜x －1997｜的最小值． (天津市竞赛题)

思路点拨由于x 的任意性、无限性，因此，通过逐个求出代数式的值解题明显困难，不妨

从绝对值的几何意义，利用数轴入手，借助【例7】的结论解题．

习题

1．使代数式x x x 43-的值为正整数的x 值是( )．A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．不存在的

2．设0=++c b a ，0>abc ，则c

b a b a

c a c b +++++的值是（）．

A ．3-

B ．1

C ．3或1-

D ．3-或1

3、如果0=++c b a 且c ＜b ＜a ，则下列说法可能成立的是（） A 、b a ,为正数，c 为负数。 B 、c a ,为正数，b 为负数。 C 、b c ,为正数，a 为负数。 D 、c a ,为负数，b 为正数。 4．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，那么y x z y z x --+++的值（）

A ．是正数

B ．是负数

C ．是零

D ．不能确定符号

5．已知有理数c b a 、、在数轴上的对应位置如图所示：

则b a c a c -+-+-1化简后的结果是．

6．若有理数x 、y 满足+-2)1(2002x 0112=+-y x ，则=+2

2y x ． 7．已知5=a ，3=b ，且a b b a -=-，那么b a += ．

8．若b a 、为有理数，那么，下列判断中：(1)若b a =，则一定有b a =； (2)若b a >，

则一定有b a >； (3)若b a >，则一定有b a >；(4)若b a =，则一定有

22)(b a -=．正确的是 (填序号) ．

2、不相等的有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果a b b c a c -+-=-，

那么点A ，B ，C 在数轴上的位置关系是（）

A ．点A 在点

B ，

C 之间 B ．点B 在点A ，C 之间

C ．点C 在点A ，B 之间

D ．以上三种情况均有可能

解：a b b c a c -+-=-的几何意义：a 点到b 点的距离加上b 点到c 点的距离之和等于a 点

到c 点的距离。显然b 点在a 、c 之间。

9．已知a 是任意有理数，则a a --的值是( )．

A ．必大于零

B ．必小于零

C 必不大于零

D ．必不小于零

10．已知a 、b 、c 、d 满足

且，那么

11、已知方程211=-++x x ，则=-+-124x _______（2005年全国希望杯数学竞

赛初一培训题）

12. 利用数轴分析71x x +--，这个式子表示的是x 到7-的距离与x 到1的距离之差它

表示两条线段相减：⑴当x ≤ 时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值；

⑵当x ≥ 时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值；

⑶当 x << 时，随着x 增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。因此，总结，式子71x x +--当x 时，有最大值；当x 时，

有最小值；

13、观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.

并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ .

（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离

可以表示为 ________________.

（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为，取得最小值时x 的取值范围为 ___.

（4）满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .

14、若2-

15．求满足1=+-ab b a 的非负整数对),(b a 的值． (全国初中联赛题)

16．已知y=|x+5|-|x-1|,求y 的最大值,最小值.(答:最大值6,最小值-6)；

17．化简：（1）｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．（2）1331++--x x ．

18．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y 的最大值．

19、已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y 的最大值．

20.若245134x x x +-+-+的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为多少？

21．若,,a b c 为整数，且201120131a b

c a -+-=，试求a b c a b c -+-+-的值

18．试求2000642-++-+-+-x x x x 的最小值．

7．11-++x x 的最小值是( )．

A ．2

B ．0

C ．1

D ．一l

12．321-+-++x x x 的最小值是．

16．设11++-=x x y ，则下面四个结论中正确的是( )．

A ．y 没有最小值

B ．只有一个x 使y 取最小值

C ．有限个x (不止一个)y 取最小值

D ．有无穷多个x 使y 取最小值

14．若00<>b a ，，则使b a b x a x -=-+-成立的x 取值范围是． (武汉市选拔赛题)

18．不相等的有理数c b a 、、在数轴上对应点分别为A 、B 、C ，若c a c b b a -=-+-，那么点B ( )．

A ．在A 、C 点右边

B ．在A 、

C 点左边 C ．在A 、C 点之间

D ．以上均有可能

4．如图，工作流程线上A 、B 、C 、D 处各有1名工人，且1===CD BC AB ，现在工作流程线上安放一个工具箱，使4个人到工具箱的距离之和为最短，则工具箱的安放位置是．

20．某城镇沿环形路上依次排列有五所小学：A 1、A 2、A 3、A 4、A 5，它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台、14台，为使各校的电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最少?并求出调出电脑的最少总台数．

(湖北省荆州市竞赛题)

1.在数轴上，点A 表示的数是3+x ，点B 表示的是3—x ，且A 、B 两点的距离为8，则|x|=__________．

第二讲-绝对值

第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题。一．基础知识回顾： 1．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。 2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值还是0。 3．绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a ，总有a ≥0。 4绝对值的求法：绝对值是一种运算，这个运算符号是“ ”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a ，有 ? ?????<-≥=)0()0(a a a a a 。 5．数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点,A B 所表示的数为,a b ，则,A B 两点间的距离为a b - 6．零点：使某个绝对值等于0的x 的值叫做式子（方程、不等式）的零点。 7、绝对值的基本性质：⑴非负性：0a ≥；⑵a a =- ⑶ab a b = （4）b b a a =（0a ≠）（5）222n n n a a a ==（n 为正整数）； 8、与绝对值有关的最值问题：（1）x 的最小值为_____（其中x 为任意实数）；（2）代数式x a x b -+-，当a x b ≤≤时取得最小值为a b -（其中a b <）；（3）代数式x a x b x c -+-+-，当x b =时取得最小值为a c -（其中a b c <<）；思考：若1a <2a <3a <…

第三讲绝对值(解析版)

第三讲绝对值【课程解读】 ————小学初中课程解读———— 初中课程【知识衔接】 ————小学知识回顾———— 一、整数：整数包括正整数、负整数和0. 二、分数： 1.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。学-科网把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。 2.分数的分类按照分子、分母和整数部分的不同情况，可以分成：真分数、假分数、带分数三、百分数 1、百分数的意义表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。 2、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。 3、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。

四、小数 1.小数是分数的一种特殊形式，但不能说小数就是分数. 2.小数的分类小数包括有限小数和无限小数，无限小数有包括无限循环小数和无限不循环小数. 注：分数又可分为正分数和负分数，小数也可分为正小数和负小数. ————初中知识链接———— （1）绝对值的定义一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。注：这里可以是正数，也可以是负数和0. （2）绝对值的性质： 1.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 2.代数表示（数学语言）是：字母可个有理数。当是正数时，a =a ；当是负数时，a =-a ；当是0时，a =0. 3.互为相反数的两个数的绝对值相等. （3）有理数的比较大小。 1.在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 2. 正数大于0，也大于负数，0大于负数。 3. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。【经典题型】小学经典题型 1．一个两位数,个位上和十位上的数字相同,这样的数有( )。 A ．8个 B ．7个 C ．9个【答案】C 【解析】由已知，11,22,33,44,55,66,77,88,99，故答案为C a a a a a a a a

第二讲：数轴上的数(绝对值、数的大小比较)

课题第二讲：数轴上的数（绝对值、数的大小比较）教学目标 1、理解绝对值的意义，会求一个数的绝对值 2 、能熟练运用法则结合数轴比较有理数的大小，特别是应用绝对值概念比较两个负数的大小，能利用数轴对多个有理数进行有序排列。 3、能正确运用符号“＜”“＞”“∵”“∴”写出表示推理过程中简单的因果关系。重点、难点重点：1、绝对值的概念和求一个数的绝对值 2、运用法则借助数轴比较两个有理数的大小。难点：1、绝对值的几何意义及求绝对值等于某一个正数的有理数。 2、利用绝对值概念比较两个负分数的大小。考点及考试要求教学内容知识框架一激情引趣，导入新课 1、两位同学在书店O 处购买书籍后坐出租车回家，甲车向东行驶了10公里到达A 处，乙车向西行驶了10公里到达B 处。若规定向东为正，则Ａ处记做__________，Ｂ处记做__________。（请学生口答）以Ｏ为原点，取适当的单位长度画数轴，并标出Ａ、Ｂ的位置。（请学生作图）２、这两辆出租车在行驶的过程中，有没有共同的地方？在数轴上的Ａ、Ｂ两点又有什么特征？（学生观察思考交流后答）。３、在数轴上找到－５和５的点，它们到原点的距离分别是多少？表示－ 34 和34 的点呢？我们发现，一对相反数虽然分别在原点两边，但它们到原点的距离是相等的。一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。比如：数轴上表示－5的点到原点的距离是5，所以－5的绝对值是5，记|－5|=5；5的绝对值是5，记做|5|=5。一个数a 的绝对值表示为a 。注意：①与原点的关系 ②是个距离的概念求绝对值的法则：1、一个正数的绝对值是它本身 2、一个负数的绝对值是它的相反数 3、0的绝对值是0 4、互为相反的两个数的绝对值相等上述三条用字母可表述成：(1)如果a>0,那么a a = (2)如果a<0,那么a =-a (3)如果a=0,那么a =0。即0≥a （非负数）任意一个数的绝对值只可能等于正数或0 4、以下是某天我国5个城市的最低气温：哈尔滨：-20 ℃ 北京：-10℃ 武汉：5℃ 上海：0℃ 广州：10℃ 比较这一天下列两个城市间气温的高低：

2绝对值

第二讲绝对值【数学小故事】：动物中的数学“天才” 蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成，组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料，蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极少。丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字开。“人”字形的角度是110度，更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契？” 蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺和圆规也很难画出像蜘蛛那样匀称的图案。冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学业家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。一、回顾与预习（一）知识回顾 1、具有、、的叫做数轴。 2、3到原点的距离是，-5到原点的距离是，到原点的距离是6的数有，到原点距离是1的数有。 3、2的相反数是，-3的相反数是，a的相反数是， -a b的相反数是。（二）探究新知问题1、两位同学在书店O处购买书籍后坐出租车回家，甲车向东行驶了10公里到达A处，乙车向西行驶了10公里到达B处。若规定向东为正，则A处记做，Ｂ处记做。、的位置；（1）请同学们画出数轴，并在数轴上标出A B 、两点又有什（2）这两辆出租车在行驶的过程中，有没有共同的地方？在数轴上的A B 么特征？

第二讲-绝对值------王三祝

第二讲绝对值王三祝绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ (1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜； (2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜； (4)若｜a｜=b，则a=b； (5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b； (6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对． (3)对． (4)不对．当a≥0时成立． (5)不对．当b＞0时成立． (6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．

解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0) =｜3+｜3+x｜｜ =｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0) =｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0． (1)当a，b，c均大于零时，原式=3； (2)当a，b，c均小于零时，原式=-3； (3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1； (4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．

第3讲绝对值

绝对值姓名学校日期【知识要点】一、绝对值的概念 1．定义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。 2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。 3．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。 4绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a ，总有a ≥0。 5．互为相反数的两个数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数相等或互为相反数。 6．绝对值等于它本身的数一定是非负数，绝对值等于它的相反数的数一定是非正数。二、绝对值的求法绝对值是一种运算，这个运算符号是“ ”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a ，有（1）(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-??-≤? 【典型例题】例1 求下列各数的绝对值。（1）34= ；（2）13-= ；（3）144-= ；（4）132= ；例2 （1）一个数的绝对值是3，则这个数是。（2）一个数的绝对值是0，则这个数是。（3）有没有一个数的绝对值是-4？。思考：a 与0的大小关系例3 （1）若2m -=，求m 的值；（2）若a b =，则a b 与的关系是什么？例4 写出绝对值不大于3的所有整数，并求出它们的和。

例5 如果a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，那么a 与b 的和是多少? 例6 数b a ,在数轴上的位置如图，观察数轴，并回答：（1）比较a 和b 的大小；（2）比较a 和b 的大小；（3）判断b a a b b a b a ?--+,,,的符号；（4）试化简a b b a -+-- 经典练习一、填空题 1．31-的绝对值是，31的绝对值是，的绝对值是31 ． 2.一个正数的绝对值为8，这个数是，一个负数的绝对值为8，这个数是． 3. 的绝对值是它本身，的绝对值是它的相反数． 4.若0>a ，则=a ；若0