正比例函数

正比例函数

内容

正比例函数概念

内容解析

一次函数是最简单的函数模型之一。正比例函数是特殊的一次函数，其特殊性表现在，函数值是自变量的值与一个常数的积。

小学中，学生学习过正比例关系，正比例函数是用函数观点研究成正比例关系的两个变量而得到的简单函数模型。正比例函数是根据函数解析式进行定义的，符合y=kx(k是常数，k≠0）的函数叫正比例函数。概括函数解析式的共同特征，得到正比例函数的概念；通过图象研究其性质，并用这种函数模型描述和研究现实中的运动变化过程。这种研究具体函数模型的方法，在今后的函数学习中还会经常用到

知识技能目标

1.理解正比例函数的概念；

2.根据实际问题列出简单的正比例函数的表达式．

过程性目标

1.经历由实际问题引出正比例函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系；

2.探求正比例函数解析式的求法,发展学生的数学应用能力．

教学重点

正比例函数的概念，体会具体函数模型研究的一般方法

教学过程

一、创设情境

问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题：

（1）乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹桥站，约需要多少小时（结果保留小数点后一位）？

（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km的南京站？

师生活动：学生个别回答，老师在黑板上板演，老师加以引导。

思考下列问题：

1. y=300t中，变量和常量分别是什么？其对应关系式是函数关系吗？谁是自变量，谁是函数？

2.自变量与常量按什么运算符号连接起来的？

3.（1）与（2）之间有何联系？（2）与（3）呢？

师生活动：学生个别回答，老师在黑板上板演，老师加以引导。

设计意图：从现实背景问题中发现正比例关系，引导学生用函数观点看一对成正比例关系的量。

问题2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：

（1）圆的周长l 随半径r 的变化而变化．

（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m （单位：g ）随它的体积V （单位：cm3）的变化而变化．

（3）每个练习本的厚度为0.5cm ，

一些练习本摞在一起的总厚度h

（单位：cm ）随练习本的本数n 的

变化而变化．

（4）冷冻一个0°C 的物体，使它每

分钟下降2°C ，物体温度T （单位：°C ）

随冷冻时间t （单位：min ）的变化而变

化．

师生活动：学生独立写出函数解析式，老师课堂巡视，并进行个别指导。

设计意图：为抽象正比例函数概念提供典型样例。

二、观察概括，形成概念。

问题3 认真观察以上出现的四个函数解析式，说说它们有什么共同点?

师生活动：学生先思考，与小组内同学交流意见；老师通过学生回答不断引导，直至得出“这些函数都是常数与自变量的积的形式”为止，老师给出正比例函数的概念：一般地，形如 y=kx(K 是常数，k ≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫比例系数

追问：所有这些正比例函数，函数数值与相应的自变量值的比有什么特点？

三、辨析概念

问题4、下列式子，哪些表示y 是x 的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k 的值．

（1）y=-0.1x （2） 2

x y

（3）y=2x 2 （4）y 2=4x

追问：如果y 是x 的正比例函数，说出其中的比例系数。

师生活动：判断两个变量是否是正比例函数关系，要回归到定义。

四、学以致用

问题5.列式表示下列问题中y 与x 的函数关系，并指出哪些是正比例函数．

（1）正方形的边长为xcm ，周长为ycm.

y=4x 是正比例函数

（2）某人一年内的月平均收入为x 元，他这年（12个月）的总收入为y 元．

y=12x 是正比例函数

（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm ，体积为ycm3.

师生活动：学生独立完成，小组内交流成果。

追问：在（2）中，此人若每月收入6000元，则一年收入是多少？若一年收入是8400元，则每月收入是多少？

设计意图：帮助学生进一步理解正比例函数解析式的特点，体会正比例函数解析式的特征与对应关系。

问题6、下列说法正确的打“√”，错误的打“×”

（1）若y=kx，则y是x的正比例函数（）

（2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（）

（3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（）

（4）若y=2(x-1) ，则y是x-1的正比例函数（）

提示：在特定条件下自变量可能不单独就是x了，要注意自变量的变化

问题7、填空：

1.如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足________________.

2.如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=__________.

3.如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_________.

问题8、已知正比例函数y=kx，当x=3时，y=-15，求k的值．

问题9、若y关于x成正比例函数，当x=4时，y=-2.

（1）求出y与x的关系式；

（2）当x=6时，求出对应的函数值y.

五、回顾总结

你如何理解正比例函数的意义？能从哪几个方面去认识正比例函数？

1.从语言描述看：函数关系式是常量与自变量的乘积．

2.从外形特征看：一般情况下y=kx(常数k≠0)；

3.从结果形式看：函数表达式要化简后才能确认为正比例函数

4.从函数关系看：比例系数k一确定，正比例函数就确定；必须知道两个变量x、y

的一对对应值即可确定k．

5.从方程角度看：如果三个量x、y、k中已知其中两个量，则一定可以求出第三个量．作业：教科书87页练习第1题。

《正比例函数》(第二课时)优秀教案

§19．2．1 正比例函数 第2课时 教学目标 （一）教学知识点 1．理解正比例函数图象性质及特点． 2．能利用所学知识解决相关实际问题． （二）能力训练要求 １．经历思考、探究过程、发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．２．体验数形之间联系，逐步学会利用数形结合思想分析解决有关问题． ３．体会解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新意识． （三）情感与价值观要求 １．积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲． ２．形成合作交流、独立思考的学习习惯． 教学重点 1．掌握正比例函数图象的性质特点． 2．能根据要求完成转化，解决问题． 教学难点 正比例函数图象性质特点的掌握． 教学方法 探究─交流，归纳─总结． 教具准确 多媒体演示． 教学过程 [活动一] 活动内容设计： 画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律． １．y=2x ２．y=-2x 活动设计意图： 通过活动，了解正比例函数图象特点及函数变化规律，让学生自己动手、动口、动脑，经历规律发现的整个过程，从而提高各方面能力及学习兴趣． 教师活动： 引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述． 学生活动： 利用描点法正确地画出两个函数图象，在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程，并能准确地表达出，从而加深对规律的理解与认识． 活动过程与结论： １．函数y=2x

画出图象如图（1）． ２．y=-2x x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 -2 -4 -6 画出图象如图（2）． ３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线． 不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；?经过第二、四象限． 尝试练习： 在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．用简便的方法画图 １．y=1 2 x ２．y=- 1 2 x x -6 -4 -2 0 2 4 6 y= 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 Y=- 1 2 x 3 2 1 0 -1 -2 -3 比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=1 2 x?的图象从左 向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=-1 2 x?的图象从左向右下降，经

(完整版)正比例函数练习题及答案

兴兴文化培训中心 正比例函数习题 姓名：家长签字: 得分： 一．选择题（每小题3分，共30分。） 1．下列函数表达式中，y是x的正比例函数的是（） A．y=﹣2x2B．y=C．y=D．y=x﹣2 2．若y=x+2﹣b是正比例函数，则b的值是（） A．0B．﹣2 C．2D．﹣0.5 3．若函数是关于x的正比例函数，则常数m的值等于（） A．±2B．﹣2 C．D． 4．下列说法正确的是（） A．圆面积公式S=πr2中，S与r成正比例关系 B．三角形面积公式S=ah中，当S是常量时，a与h成反比例关系 C．y=中，y与x成反比例关系 D． y=中，y与x成正比例关系 5．下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（） A．正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系 B．圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系 C．如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系 D．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米 6．若函数y=（m﹣3）x|m|﹣2是正比例函数，则m值为（） A．3B．﹣3 C．±3D．不能确定 7．已知正比例函数y=（k﹣2）x+k+2的k的取值正确的是（） A．k=2 B．k≠2C．k=﹣2 D．k≠﹣2 8．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项 中k值可能是（） A．1B．2C．3D．4 9．如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数y=k 1x、y=k 2 x、 y=k 3x、y=k 4 x的图象分别为l 1 、l 2 、l 3 、l 4 ，则下列关系中正确的是（） A．k 1＜k 2 ＜k 3 ＜k 4 B．k 2 ＜k 1 ＜k 4 ＜k 3 C．k 1 ＜k 2 ＜k 4 ＜k 3 D．k 2 ＜k 1 ＜k 3 ＜k 4 10．在直角坐标系中，既是正比例函数y=kx，又是y的值随x的增大而减小的图象是（）A．B．C．D． 二．填空题（每小题3分，共27分。） 11．若函数y﹦（m+1）x+m2﹣1是正比例函数，则m的值为_________ ． 12．已知y=（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，则k= _________ ． 13．写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：_________ ． 14．请写出直线y=6x上的一个点的坐标：_________ ． 15．已知正比例函数y=kx（k≠0），且y随x的增大而增大，请写出符 合上述条件的k的一个值：_________ ． 16．已知正比例函数y=（m﹣1）的图象在第二、第四象限，则m的值为_________ ． 17．若p 1（x 1 ，y 1 ） p 2 （x 2 ，y 2 ）是正比例函数y=﹣6x的图象上的两点，且x 1 ＜x 2 ，则y 1 ，y 2 的大 小关系是：y 1_________ y 2 ．点A（-5，y 1 ）和点B（-6，y 2 ）都在直线y= -9x的图像上则y 1 __________ 第9题

正比例函数与一次函数知识点归纳

正比例函数与一次函数 知识点归纳 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

《正比例函数与一次函数》知识点归纳 《正比例函数》知识点 一、表达式：y=kx （k≠0的常数） 二、图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1，k）的 直线； 说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”； 三、性质特征： 1、图像经过的象限: k>0时，直线过原点，在一、三象限； k<0时，直线过原点，在二、四象限； 2、增减性及图像走向： k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； 四、成正比例关系的几种表达形式: 1、y与x成正比例：y=kx (k≠0); 2、y与x＋a成正比例：y=k(x＋a) (k≠0); 3、y＋a与x成正比例：y＋a=kx (k≠0);

4、y＋a与x＋b成正比例：y＋a= k(x＋b) (k≠0); 《一次函数》知识点 一、表达式：y=kx+b （k≠0, k, b为常数） 注意：（1）k≠0,自变量x的最高次项的系数为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 二、图像： 一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像是：一条经过（-，0）和（0，b）的直线。 说明：（1）一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像也叫做“直线y=kx+b”； （2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-，0）； 直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）. 三、性质特征： 1、图像经过的象限： （1）、k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限； （2）、k>0，b﹤0时，直线经过一、三、四象限； （3）、k﹤0,b>0时，直线经过一、二、四象限； （4）、k﹤0, b﹤0时，直线经过二、三、四象限；

18.2(2)正比例函数的图像

18.2(2)正比例函数的图像 合庆中学顾燕婷 教学目标 知识与技能：能用描点法画出正比例函数的图象。 过程与方法：通过画正比例函数的图象的过程，探索正比例函数图象的性质，培养观察能力，体会用数形结合的方式思考问题。 情感态度价值观：通过动手操作，培养严谨的学习态度，并养成善于观察、善于归纳的学习习惯。 重点:描点法体验画函数图像的过程 难点：掌握正比例函数图像的画法及特点 教学过程 一、复习导入 已知y是x的正比例函数，且当x=4时，y=8，求y与x之间的函数解析式 ∵y是x的正比例函数 ∴设y=kx(k≠0) 把x=4，y=8代入解析式 解得k=2 ∴函数解析式是y=2x 二、学习新课 （一）思考：如何画出函数y=2x的图像？ 分析：直角坐标平面内任意一点都有唯一确定的坐标（x,y），反过来，以任意给定的一对有序实数（x,y）的坐标，都可以在直角坐标平面内唯一确定一个点。根据正比例函数的解析式，对自变量x在定义域内每取一个值，就能确定相应的一个函数值，分别以所取x的值和相应的函数值作为点的横坐标和纵坐标，可以在坐标平面内描出相对应的点。 （二）操作1 （3）连线

归纳画函数图像的步骤：列表、描点、连线 由画图的操作过程可知，所画直线上任意一点的坐标都满足函数解析式y=2x，同时以这个解析式所确定的x与y的任意一组对应值为坐标的点都在所画的直线上，我们就说：这条直线是函数y=2x的图像，并把它表示为：直线y=2x 对于一个函数y=f(x)，如果一个图形上任意一点的坐标都满足函数关系式y=f(x)，同时以这个函数解析式所确定的x与y的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数y=f(x)的图像。 （三）操作2：画函数y=-2x的图像 函数y=2x与y=-2x的图像的相同点：都经过原点(0,0)，一条直线由这条直线上的任意两点所确定。 归纳：一般地，正比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图像是经过原点O(0,0)和点(1,k)的一条直线，我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx（两点确定一条直线） （四）例题1 在同一直角坐标平面内，分别画出下列函数的图像：y=3x, y=x， 三、本课小结 1、描点法画函数图像的一般步骤：列表、描点、连线 2、正比例函数的图像：一般地，正比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图像是经过原点O(0,0)和点(1,k)的一条直线，我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx（两点确定一条直线）四、布置作业 练习册18.2（2）

正比例函数习题(基础篇)

正比例函数习题（基础篇） 一．选择题 y= 3．若函数 是关于x 的正比例函数，则常数m 的值等于（ ） D ah A 、在31y x =-中1y +与x 成正比例 B 、在1 2 y =- x 中y 与x 成正比例； C 、在y=2（x+1）中y 与1x +成正比例；D 、在3y x =+中y 与x 成正比例； 13题图 9题图

9．如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数y=k 1x 、y=k 2x 、y=k 3x 、y=k 4x 的图 D 11221212的大小关系是（ ） A ．y 1>y 2 B ． y 1

一次函数与正比例函数练习题目

1.下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） A.222 -=x y B.11+= x y C.2x y = D.22 1 +-=x y 2. 下列函数中，是正比例函数，且y 随x 增大而减小的是（ ） A.14+-=x y B. 6)3(2+-=x y C. 6)2(3+-=x y D. 2 x y -= 3.直线63+=x y 与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ） 4.直线111b x k y +=与直线222b x k y +=交y 轴于同一点.则1b 和2b 的关系是（ ） A. 1b 大于2b B. 1b 小于2b C. 1b =2b D.不能确定 5.一根蜡烛长20cm 点燃后每小时燃烧5cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图像表示为（ ） 6.平分坐标 轴夹角的直线是（ ） A.1+=x y B.1+-=x y C.1-=x y D.x y -= 7．下面两个变量是成正比例变化的是 ( ) A ． 正方形的面积和它的边长． B ． 变量x 增加,变量y 也随之增加; C ． 矩形的一组对边的边长固定,它的周长和另一组对边的边长． D ． 圆的周长与它的半径． 8．已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线y= - 1 2 x+2上， 则y 1 与y 2大小关系是 ( ) A ． y 1 > y 2 B ． y 1 = y 2 C ．y 1 < y 2 D ． 不能比较 9．下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是 （ ） x y o A x y o B x y o D x y o C

10．直线y=kx ＋b 经过一、二、四象限,则k 、b 应满足 ( ) A ． k>0, b<0 B ． k>0, b>0 C ． k<0, b<0; D ． k<0, b>0 11．关于函数12+-=x y ，下列结论正确的是 （ ） A ．图象必经过点（﹣2，1） B ．图象经过第一、二、三象限 C ．当2 1 > x 时，0

人教版八年级下册数学教案设计：19.2.1 正比例函数第二课时

A B C D 正比例函数第二课时 目标： 1．通过列表、描点、连线画出正比例函数的图象，会通过两点画正比例函数的图象； 2．能根据正比例函数的图象和表达式 y =kx （k ≠0）理解k ＞0和k ＜0时，函数的图象特征与增减性； 3．通过画图、观察图象、归纳总结概括出正比例函数性质的活动，发展数学感知、数学表征、数学概括能力，体会数形结合的思想，发展几何直观． 重点：画正比例函数的图象，探其性质 难点：数形结合，归纳概括正比例函数图象性质 教学过程： 活动一：复习旧知，引入新课 1、什么是正比例函数？举两个例子。 2、描点法画函数图象一般步骤是怎样的？ 活动二：画图象 ⑴y=2x (2)y=3 1x (3)y=-1.5x (4) y=-4x 指导学生列表、描点、连线。 列表时引导学生注意自变量取值正、负数、零都要取，在第（2）、（3）两个函数中取值还要注意便于描点；描点要注意准确；连线要注意线的光滑。 活动三：探性质 1、同学们发现我们画的4个函数的图象是什么样子的？ 2、⑴y=2x (2)y= 3 1x 这两个函数图象经过哪些象限？它们经过了同一个点吗？ 3、⑴y=2x (2)y=31x 这两个函数的图象是左低右高还是左高右低？ 4、这两个函数的图象当x 的值增大时，函数值有怎样的变化？ 5、(3)y=-1.5x (4) y=-4x 这两个函数的图象又经过了哪些象限？它们的图象是左低右高还是左高右低？当x 的值增大时，函数值有怎样的变化？ 6、观察4个函数的图象，你发现图象经过的象限与什么有关？ 7、从解析式来看，你知道为什么当k ＞0时，图象经过三、一象限？ 活动四：探画法 现在我们知道正比例函数的图象是一条直线，而且是经过原点的一条直线，同学们思考一下，有没有更简单的画法能很快的画出正比例函数的图象？在上述4个函数中你认为确定哪两个点简单一些？把P89面的练习（1）、（2）两个函数用你知道的最简方法画出图象。 活动五：达标练习 1、正比例函数图象都是经过 的一条直线。用两点法画正比例函数图象一般确定的两个点是（ ， ）和（ ， ）。 2、y=8x 的图象经过第 象限，图象左 右 ，y 随x 的值 。 3、下列图象中是y=-1.2x 函数图象的是（ ）

正比例函数定义及性质

正比例函数的图象与性质教学设计 教学目标 知识与技能 1、认识正比例函数的意义，理解正比例函数。 2、会用描点法画正比例函数图象，掌握正比例函数的性质。 3、能利用正比例函数知识解决相关实际问题。 过程与方法 1、通过作出函数图象和从图象上获取信息，体会数形结合思想。 2、亲自经历“问题情境——函数解析式——函数图象——从图象 中获取信息——解决问题”的过程，体验数学知识在实际生活 中的广泛应用。 情感态度与价值观 1、通过对实际问题的解决，亲身感觉数学来源于生活。 2、体会在学习活动中与同学合作和独立思考的重要性，并在学习 活动中获得成功的体验，增强学习的自信心。 教学重难点 重点：正比例函数图象的画法和性质的理解。 难点：利用正比例函数图象与性质灵活解题。 教学过程： 一、问题研讨： 问题：1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它。

（1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？ （2）25600÷128＝200（km） （3）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行的时间x（单位：天）之间有什么关系？ y=200x （0≤x≤128） （4）这只燕鸥飞行1个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少千米？ 当x=45时，y=200×45=9000 二、新知构建： 下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？ （1）圆的周长L随半径r 大小变化而变化； （2）铁的密度为7.8g/立方cm，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：立方cm）大小变化变化； （3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本撂在一起的总厚度h （单位cm）随这些练习本的本数n的变化而变化； （4）冷冻一个0℃物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化。 观察以下函数： （1）l=2πr（2）m=7.8V （3）h=0.5n （4）T= -2t

正比例函数习题精选(含答案)

正比例函数习题精选 一．选择题（共10小题） 1．下列函数表达式中，y是x的正比例函数的是（） A．y=﹣2x2B．y=C．y=D．y=x﹣2 2．若y=x+2﹣b是正比例函数，则b的值是（） A．0B．﹣2C．2D．﹣0.5 3．若函数是关于x的正比例函数，则常数m的值等于（） A．±2B．﹣2C．D． 4．下列说法正确的是（） A．圆面积公式S=πr2中，S与r成正比例关系 B．三角形面积公式S=ah中，当S是常量时，a与h成反比例关系 C．y=中，y与x成反比例关系 D． y=中，y与x成正比例关系 5．下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（） A．正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系 B．圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系 C．如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系 D．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米 6．若函数y=（m﹣3）x|m|﹣2是正比例函数，则m值为（） A．3B．﹣3C．±3D．不能确定 7．已知正比例函数y=（k﹣2）x+k+2的k的取值正确的是（） A．k=2B．k≠2C．k=﹣2D．k≠﹣2 8．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是（） A．1B．2C．3D．4 8题图9题图 9．如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的图象分别为l1、l2、l3、l4，则下列关系中正确的是（） A．k1＜k2＜k3＜k4B．k2＜k1＜k4＜k3C．k1＜k2＜k4＜k3D．k2＜k1＜k3＜k4 10．在直角坐标系中，既是正比例函数y=kx，又是y的值随x的增大而减小的图象是（）A．B．C．D． 二．填空题（共9小题） 11．若函数y﹦（m+1）x+m2﹣1是正比例函数，则m的值为_________． 12．已知y=（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，则k=_________． 13．写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：．

一次函数与正比例函数

正比例函数与一次函数 教学目标 掌握函数的概念，函数解析式中自变量与因变量的意义，熟悉一次函数与正比例函数。 重难点分析 重点：1、函数的概念； 2、正比例函数的概念与表达式； 3、一次函数的概念与表达式； 4、函数与坐标平面内点的关系。 难点：1、正比例函数、一次函数的判别； 2、自变量、函数值、点的坐标的关系。 知识点梳理 1、常量与变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值不发生变化的量为常量。 2、函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意： （1）在某一变化过程中有两个变量x与y。 （2）这两个变量互相联系，当变量x取一个确定的值时，变量y的值就随之确定。 （3）对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的一个值与它对应，如在关系式y2＝x(x＞0)中，当x＝9时，y对应的取值为3或－3，不唯一，则y不是x的函数。 3、函数的三种表示形式： （1）列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做列表法。 （2）图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做图象法。（3）解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法。 4、函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b．即当x＝a时，y＝b，那么b叫做自变量x的值为a时的函数值。 5、一次函数：若两个变量x,y间的关系式可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数。特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数。

正比例函数的性质(教案)

正比例函数的性质（教案） 宛平中学韩群 一、教学目标 （1）知识目标： 能根据正比例函数的图像，观察归纳出函数的性质；并会简单应用。 （2）能力目标： 逐步培养学生的观察能力，概括的能力，通过教师指导发现知识，初步培养学生数形结合的思想以及由一般到特殊的数学思想； （3）情感目标： 激发学生学习数学的兴趣和积极性，逐步培养学生实事求是的科学态度。 二、教学的重点和难点 教学重点：正比例函数的性质及其应用。 教学难点：发现正比例函数的性质 三、教学方法与学法指导 教学方法：通过本节课的教学，我选用引导发现法和直观演示法，本节课的难点是发现正比例函数的性质，通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多活动（画图）、多观察（图像），主动参与到整个教学活动中来，最后发现其性质。 学法指导：教师引导学生学会观察、归纳的学习方法。 五、教学过程： （一）温故知新，引入课题 温故：正比例函数的图像是什么？ 答：正比例函数图像是经过原点（0，0）和点(1,k)的一条直线 （二）：知新： 在两个直角坐标系内，分别画出下列每组函数的图像：

① y =2x y=x y=41x ② y =－2x y=－x y=－4 1x 引导学生观察图像，看看每组直线分布的特征？ 观察图像，思考问题： 1、 图像经过的象限与k 的取值有何联系？不够明确。图像经过的象限与k 的取值（特别是符号）有何联系？ 2、 对其中的某一个正比例函数图像(例如y=2x)，当x 增大时，函数值y 怎样变化？x 减小呢？是不是要提出减小？请斟酌。 3、 你从中得出什么规律？ 第一个问题：图像经过的象限与k 的取值有何联系？ 估计生：发现第一组的三条直线都经过第一象限和第三象限；而第二组的三条直线都经过第二和第四象限。 师：从比例系数来看呢，函数的比例系数和他们的图像分布有什么联系?用词前后宜一致 估计生：第一组k>0，而第二组k<0。 师：很好，谁能把他们联系一下？ 估计生：当k ＞0时，函数图像经过第一、三象限；当k ＜0时，函数图像经过第二、四象限。 师：那么是不是对于所有的正比例函数的图像都有：当k ＞0时，函数图像经过第一、三象限；当k ＜0时，函数图像经过第二、四象限呢？【电脑演示：任意正比例函数的图像，当在一、三象限运动时，它的解析式中的k 的值无论怎样变化都是大于零的，反之，图像在二、四象限运动时，k 的值都小于零的。】 下面由老师来证明这个性质：（由观察猜想到逻辑证明） 当k ＞0时，函数图像经过第一、三象限；当k ＜0时，函数图像经过第二、四象限。 （板书）证明：这个证明是书上要求的吗？如果书上没有要求，你也不要求。下

八年级数学一次函数函数、正比例函数专题培优

一次函数函数、正比例函数专题培优 类型一、函数意义及图像 1．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（） A．B．C．D． 2．如图1，在直角梯形ABCD，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，由B﹣﹣C﹣﹣D﹣﹣A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果关于x的函数y的图象如图2，则△ABC的面积为（） A．10 B．16 C．18 D．32 3．如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M﹣A﹣B﹣M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（） B． C.D．

4．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则以下说法错误的是（） A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元 B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元 C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多 D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分 5．小明从家走了10分钟后到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸，然后用了15分钟返回到家，下列图象中能表示小明离家距离y（米）与时间x（分钟）关系的是（） A．B．C．D． 6．已知y关于x的函数图象如图所示，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（） A．x＜0 B．﹣1＜x＜1或x＞2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1或1＜x＜2 7．某游泳池的纵切面如图所示，用一水管向池内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注水过程中，下列图象能反映深水区水深h与注水时间t关系的是（） A．B．C．D． 8．如图反映的过程是：小强从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家．如果菜地和玉米地的距离为a 千米，小强在玉米地除草比在菜地浇水多用的时间为b分钟，则a，b的值分别为（） A．1.1，8 B．0.9，3 C．1.1，12 D．0.9，8

正比例函数与一次函数知识点归纳

《正比例函数与一次函数》知识点归纳 《正比例函数》知识点 一、表达式：y=kx （k≠0的常数） 二、图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1，k）的直线； 说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”； 三、性质特征： 1、图像经过的象限: k>0时，直线过原点，在一、三象限； k<0时，直线过原点，在二、四象限； 2、增减性及图像走向： k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； 四、成正比例关系的几种表达形式: 1、y与x成正比例：y=kx (k≠0); 2、y与x＋a成正比例：y=k(x＋a) (k≠0); 3、y＋a与x成正比例：y＋a=kx (k≠0); 4、y＋a与x＋b成正比例：y＋a= k(x＋b) (k≠0); 《一次函数》知识点 一、表达式：y=kx+b（k≠0, k, b为常数） 注意：（1）k≠0,自变量x的最高次项的系数为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 二、图像： 一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像是：一条经过（-，0）和（0，b）的直线。 说明：（1）一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像也叫做“直线y=kx+b”； （2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-，0）； 直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）.

三、性质特征： 1、图像经过的象限： （1）、k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限； （2）、k>0，b﹤0时，直线经过一、三、四象限； （3）、k﹤0,b>0时，直线经过一、二、四象限； （4）、k﹤0, b﹤0时，直线经过二、三、四象限； 2、增减性及图像走向： k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； 3、一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）中“k和b的作用”： （1）k的作用：k决定函数的增减性和图像的走向 k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； （2）∣k∣的作用：∣k∣决定直线的倾斜程度 ∣k∣越大，直线越陡，直线越靠近y轴，与x轴的夹角越大； ∣k∣越小，直线越平缓，直线越远离y轴，与x轴的夹角越小； (3) b的作用：b决定直线与y轴的交点位置 b>0时，直线与y轴正半轴相交(或与y轴的交点在x轴的上方)； b﹤0时，直线与y轴负半轴相交（或与y轴的交点在x轴的下方）； （4）k和b的共同作用：k和b共同决定直线所经过的象限 四、直线的平移规律：直线y=kx+b可以由直线y=kx平移得到 当b>0时，将直线y=kx：向上平移b个单位得到直线y=kx+b； 当b﹤0时，将直线y=kx：向下平移∣b∣个单位得到直线y=kx+b； 五、两条直线平行和垂直：直线m：y=ax+b; 直线n: y=cx+d （1）当a=c，b≠d时，直线m∥直线n,反之也成立； 例如：直线y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 （2）当ac=-1时，直线m⊥直线n。反之也成立； 例如：直线y=x+2与直线y=-2x+3互相垂直

正比例函数(第二课时)教学设计

《正比例函数》(第二课时)教学设计 绥阳县郑场中学马小庆 【教学目标】 知识与技能：能作正比例函数的图象，能掌握、运用正比例函数的性质；过程与方法：通过作正比例函数图象的过程，发展学生的观察、概括、归纳的能力，感知数形结合的数学思想；情感态度与价值观：通过描点作图题培养学生认真的学习习惯。 【教学重点】：正比例函数的图象特征和性质。教学难点：正比例函数的图象特征和性质的概括和归纳。 【教学过程】： 一、回顾旧知、提出问题 问题1 昨天我们初步学习了正比例函数，你能写出两个具体的正比例函数解析式吗？什么叫正比例函数？（学生随便写出两个正比例函数解析式，如y=2x、y=-2x等。回顾正比例函数概念，开放性地先让学生写出几个简单的正比例函数解析式，既是为了帮助学生回顾正比例函数的概念，也是为了后面研究函数性质提供画图象的具体函数。）问题2 函数都有哪几种表示方法？（教师引导学生说出表格法和图像法。为激发学生学习本节课的兴趣做好铺垫。） 问题3 针对函数y=kx（k≠0），大家还想研究什么？应该怎样研究？（教师引导学生自然合理地提出要研究的问题――研究函数图象，研究步骤：列表、描点、连线。通过回顾，引导学生自然合理地提出正比例函数图象的研究任务和研究方法。） 二、合作交流，探究k>0的函数性质 问题4 让我们从具体的正比例函数y=2x的图象研究开始，画图象怎样画？ （在学生说出画图象的步骤后，教师ppt演示。学生对刚接触画图象，为避免学生因在列表、连线等细节上出现错误，教师示范，为后续学生独立作图提高准确性。）追问1：看一看，画出的图象是什么？追问2：其他的正比例函数图象也是一条直线吗？请三人小组分工，分别取k为1、3、4，每人在练习纸上画一幅正比例函数图象。（类比

正比例函数专项练习

正比例函数 一、概念 1、若y＝x＋2?b是正比例函数，则b的值是（） A、0 B、?2 C、2 D、?0.5 2、下列说法中不成立的是（） A、在y＝3x?1中y＋1与x成正比例 B、在y＝?x2中y与x成正比例 C、在y＝2（x＋1）中y与x＋1成正比例 D、在y＝x＋3中y与x成正比例 二、图像 1、在下列四组点中可以在同一个正比例函数图像上的一组点是（） A．（2，-3）（-4，6） B. （-2，3）（4，6） C. （-2，-3）（4，-6） D. （2，3）（-4，6） 2、如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已 知ABCD是正方形，求k的值。 三、性质 1、在正比例函数y=-3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则p（m,5）在第 ______ 象限。 2、（1）已知y=(2m-1)x m2-3是正比例函数，且y随x的增大而减小，求m的值。

（2）已知y=(2m-1)x m2-3是正比例函数，且函数图像经过第一、三象限，求m的值。 （3）已知y=(2m-1)x+m2-4是正比例函数，且y随x的增大而减小，求m的值。 （4）已知直线y=(a-2)x+a2-9经过原点，且y随x的增大而增大，求a的值。 四、 五、函数解析式 1、已知y与x2+1成正比例关系，且x=1时，y=4，求y与x之间的函数关系式。 2、 3、已知y-3与2x-1成正比例，且x=1时，y=6。 （1）

（2）求y与x之间的函数关系式； （3）如果y的取值范围为0≤y≤5，求x的取值范围； （4）若点A(x1 ,y1),B(x2 ,y2)都在函数的图像上，且y1>y2，试判断x1,x2的大小关系. （5）

正比例函数概念的教学设计

正比例函数概念的教学设计 教学内容： 人教版《义务教育课程标准实验教科书》八年级数学上册第110页《正比例函数》。 教学目标： 1. 通过对不同背景下函数模型（关系式）的比较，接受正比例函数的概念。 2. 培养学生分析和运用正比例函数的兴趣和能力。 3. 初步体验研究函数的一般思路和方法。 教学重点： 理解正比例函数的概念。 教学难点： 正比例函数图像性质特点的掌握以及研究函数的一般思路和方法。 教学过程设计： 一、 创设情境，引出概念 1、写出下列问题中的函数关系式 （1）圆的周长L 随半径r 变化的关系； （2）铁块的质量m （单位：g ）随它的体积v （单位：cm3)变化的关系（铁的密 度为7.8g/cm3) m=7.8v （3）每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本叠在一起的总厚度 h 随练习本的本 数n 变化的关系； h=0.5n （4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T(单位：℃）随冷 冻时间t （单位：分） T=-2t 这些函数解析式都是常熟与自变量的乘积的形式。 r l π2=

函数=常数×自变量 ↓ ↓ ↓ y = k · x 4、通过讨论，归纳总结（让学生思考、分析、讨论，教师给予必要的引导） 一般地，形如y=k x （k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． y = k x (k ≠0的常数) 注: 正比例函数y=kx （k ≠0）的结构特征 ①k ≠0 ②x 的次数是1 二、初步应用，感悟新知 1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？ (k 为常数) 2、请同学们举出几个具体的正比例函数的解析式：…… ( 对于学生列举的不属于正比例函数的实例，不回避，恰当引导，紧扣定义，认真分析。) 三、认识的深化 1、已知函数y=(m-1)x 是正比例函数，求m 的取值范围。 2、如果 y=5x m-1 是正比例函数，求m 的值. 3、 若3 2 )2(--=m x m y 是正比例函数，m= 。 四、归纳小结，布置作业 1、本节课学了那些内容？你是如何理解的？ 2、布置作业： （为了更好的体现数学课程的基础性、普及性和发展性，实现“人人学有价值的数学；人人都能获得必要的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念，充分展示分层教学的优势，结合学生的实际水平，设计分层作业。） 案例设计说明： 在前一单元的学习中，学生始终是在数形结合的背景下整体地感受并理解这函数的概念。在描点法的学习中，初步感受了通过描点画出图像，并感知其增减性的过程。函数概念的学习要求学生进行数形结合的思维运算，进行符号语言与图形语言的灵活转换，这样才可以加深对函数概念的理解。但函数概念的学习向来是一个难点，除知识点本身原因外，更因为学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的，所以，在可能的情况下，我们应当设计一种有助于学生整体认识与把 x 2(1)y = 2x (2)y =2 x y 3=）（x 6y 4-=）（kx y 5=）（5 2y (6)+=x

正比例函数练习题及答案

正比例函数习题 姓名： 家长签字: 得分： 一．选择题（每小题3分，共30分。） y= 3．若函数 是关于x 的正比例函数，则常数m 的值等于（ ） ah 12 11．若函数y ﹦（m+1）x+m 2﹣1是正比例函数，则m 的值为 _________ ． 12．已知y=（k ﹣1）x+k 2﹣1是正比例函数，则k= _________ ． 13．写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限： _________ ． 14．请写出直线y=6x 上的一个点的坐标： _________ ． 15．已知正比例函数y=kx （k≠0），且y 随x 的增大而增大，请写出符 合上述条件的k 的一个值： _________ ． 16．已知正比例函数y=（m ﹣1） 的图象在第二、第四象限，则m 的值为 _________ ． 17．若p 1（x 1，y 1） p 2（x 2，y 2）是正比例函数y=﹣6x 的图象上的两点，且x 1＜x 2，则y 1，y 2的大

小关系是：y 1_________ y 2 ．点A（-5，y 1 ）和点B（-6，y 2 ）都在直线y= -9x的图像上则y 1 __________ y 2 18．正比例函数y=（m﹣2）x m的图象的经过第_________ 象限，y随着x的增大而_________ ．19．函数y=﹣7x的图象在第_________ 象限内，经过点（1，_________ ），y随x的增大而_________ ． 三．解答题（43分） 20．已知：如图，正比例函数的图象经过点P和点Q（﹣m，m+3），求m的值．（5分） 21．已知y+2与x﹣1成正比例，且x=3时y=4．（10分） （1）求y与x之间的函数关系式；（2）当y=1时，求x的值． 22．已知y=y 1+y 2 ，y 1 与x2成正比例，y 2 与x﹣2成正比例，当x=1时，y=5；当x=﹣1时，y=11，求y 与x之间的函数表达式，并求当x=2时y的值．（10分） 23. 为缓解用电紧张矛盾，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量() x kW h与应付饱费y（元)的关系如图所示。（1）根据图像，请求出当050 x ≤≤时，y与x的函数关系式。 （2）请回答:a、当每月用电量不超过50kW·h时，收费标准是多少? b、当每月用电量超过50kW·h时，收费标准是多少? （10分） 24.已知点P（x，y）在正比例函数y=3x图像上。A（-2,0）和B（4,0）， S △PAB =12. 求P的坐标。（8分） 2014年5月q2004q的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 3．若函数是关于x的正比例函数，则常数m的值等于（） D

一次函数与正比例函数练习题

1.下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） A.222 -=x y B.11+=x y C.2x y = D.22 1+-=x y 2. 下列函数中，是正比例函数，且y 随x 增大而减小的是（ ） A.14+-=x y B. 6)3(2+-=x y C. 6)2(3+-=x y D. 2 x y - = 3.直线63+=x y 与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4.直线111b x k y +=与直线222b x k y +=交y 轴于同一点.则1b 和2b 的关系是（ ） A. 1b 大于2b B. 1b 小于2b C. 1b =2b D.不能确定 5.一根蜡烛长20cm 点燃后每小时燃烧5cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的 函数关系用图像表示为（ ） 6.平分坐标轴夹角的直线是（ ） A.1+=x y B.1+-=x y C.1-=x y D.x y -= 7．下面两个变量是成正比例变化的是 ( ) A ． 正方形的面积和它的边长． B ． 变量x 增加,变量y 也随之增加; C ． 矩形的一组对边的边长固定,它的周长和另一组对边的边长． D ． 圆的周长与它的半径． 8．已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线y= - 12 x+2上， 则y 1 与y 2大小关系是 ( ) A ． y 1 > y 2 B ． y 1 = y 2 C ．y 1 < y 2 D ． 不能比较 9．下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是 （ ） 10．直线y=kx ＋b 经过一、二、四象限,则k 、b 应满足 ( ) A ． k>0, b<0 B ． k>0, b>0 C ． k<0, b<0; D ． k<0, b>0 11．关于函数12+-=x y ，下列结论正确的是 （ ） A ．图象必经过点（﹣2，1） B ．图象经过第一、二、三象限 A B D

数学人教版八年级下册正比例函数(第二课时)

19.2.1正比例函数（第二课时） 展示目标 1.能够画出正比例函数的图象? 2?根据正比例函数的解析式y=kx（k是常数,k工和图象探索并理解其性质? 3?根据两点确定一条直线，可以利用两点（两点法）画正比例函数的图象. 情境引入 当今网络已经越来越普及，可以用电脑上网，手机上网等，我们班级有位同学经常上网，他的打字速度非常快，达到每分钟可以输入两百个汉字，真是高手！如果他输入的汉字个数用y（单位:百个）来表示，那么y与输入时间x（单位:分钟）的函数关系式是什么？ 这个函数是我们前面学习的正比例函数吗？ 用描点法，你能画出这个函数的图象吗？ 课堂探究 画出下列正比例函数的图象，并进行比较，（1）y=2x; 画出下列正比例函数的图象，并进行比较，（2）y = - 2x. 练习:在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较? （1）y= 1 x；（2）y= - 1 x. 2 2 问题:观察所画的四个函数图象，填写你发现的规律： ①四个函数图象都是经过_________ 的直线. ②函数y=2x的图象经过第 ________ 象限，从左向右________ （呈什么趋势），即y随x的增大 而_____________ ; ③函数y=-2x的图象经过第________ 象限，从左向右________ ，即y随x的增大而 _______ ;正比例函数y=kx（k z 0的性质： （1）图象是经过原点的一条直线. （2）当k>0时,图象经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大（递增）. （3）当k<0时,图象经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小（递减）. 画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？ 正比例函数y=kx（k是常数，k工（的图象是经过原点的一条直线，由于两点确定一条直线，因此画正比例函数图象时我们只需描点（0，0），点（1，k），两点连线即可. 例：（补充）（1）已知一个正比例函数的图象经过点（-1,3），则这个正比例函数的表达式是________ . 2 ⑵函数y=5x-b +9的图象经过原点，则b= _______ . ⑶直线y=（2k-3）x经过第二、四象限，则k的取值范围是_______ . 例：（补充）已知点（2，-4）在正比例函数y=kx的图象上.（1）求k的值；