向量共线、定比分点公式及数量积
平面向量共线定理、定比分点
1. 平面向量共线定理
设a (x i , %)， b (X 2, y 2)( b 0)，则 a//b
注：不能写成a//b X l 上，因x 2 x 1 x 2
2. 定必分点公式
内分点；入v 0时，P 为外分点 、平面向量的数量积
3?两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量
(1) -I a || b | < | a b | < | a || b |，当 a 与 b 同向时，a b = | a || b | ;当 a 与 b 反向时，a b = -| a || b | ；
(2) a b a b = 0 (两向量垂直的判定)； (3)
cos = , | a | cos =□ , | b | cos =旦(投影式).
|a||b|
|b| |a|
4. 平面向量数量积的运算律
(1 )交换律：a b = b a (2) 数乘结合律：(a ) b = ( a b ) = a ( b )
(3)分配律：(a b ) c = a c + b c 5. 平面向量数量积的坐标表示
(1)已知两个向量 a (x 1, y 1), b (x 2, y 2),则 a b x 1x 2 y 1 y 2.
1 ?平面向量数量积(内积)的定义 :已知两个非零向量 a 与b ，它们的夹角是 0，则数量
I a || b l cos 叫a 与b 的数量积, 记作a b ，即a b
a ||
b l cos , (0
规定0与任何向量的数量积为 0, 2.平面向量的数量积的几何意义 a 的长度与b 在a 方向上投影 在a 方向上的投影：OP
cos
:数量积a b 等于
b | cos 的乘积.b
a b
)并
P l P =入PP 2 .当入〉0时，P 为
则OP
= 1 1
OP 1 +
1
OP 2
X 1
X 2
x
坐标公式
1
(入工一1)，即卩P (生
y 1 y 2
1
y
1
x 〃2 X 2y i 0
已知 P i (X i ，yJ ， Pzgm)， P(x , y )，若 RP
注意：点P 为P 1P 2所成的比为 入，用数学符号表达即为
(2)
设 a (x, y)，则 |a | x 2 y 2 .
(3) 平面内两点间的距离公式
如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 (x^yj 、(x 2, y 2),
那么 |a| . (X i X 2)2 (y i y 2)2 ?
(4)向量垂直的判定：两个非零向量a (x 1, y 1) b (x 2, y 2)
a b
X 1X 2 y i y 2 0 .
(5)两向量夹角的余弦
cos =—a b 「
x^2 yiy 2 ( 0
)
|a 1 |b|
y7 A?2
y 22
平面向量共线定理、定比分点
1、 a = (1,1), b = ( -1,1), c = (4,2)，则 c =(
)
A . 3a + b
B . 3a — b
C . — a + 3b
D . a + 3
2、 下列各组向量可以作为该平面一组基底的是 ()
A. a (1,2)与 b (2,1)
B . a ( 1,2)与 b 0 C. a (1,2)与 b ( 2, 4)
D
. a (0,1)与 b (0, 1)
3、 已知A(2, 3), AB (3, 2),则点B 和线段AB 的中点M 坐标分别为() A .
B(5, 5) ,M(0,0)
B .B(5, 5), M
7
,
4
C . B1,1 , M (0,0)
D
.B 1,1 , M 7, 4
9
4、已知向量a = (1,1),
b = (2 , x )，若a + b 与4 b — 2 a 平行, 则实数x
的值是(
)
A . — 2 B
.0 C . 1 D .2
5、在ABC 中,
AB b , AC
c ,若点 D 满足 BD 2DC ,
则AD (
)
A . 2b -c
B
5 c 2b
C
2.1 D b c D
.孔 2 c
3
3
3 3
3 3
3
3
6、已知向量a 与向量b 不共线，实数x,y 满足(2x y) a + 4 b = 5a + x 2y b ,
上一点，且AG = 2GD ，则点C 的坐标为 _________________ 9、已知a (1,2),b
( 3,2)，当k 为何值时，k a b 与a 3b 平行，此时它们方向如何
7、 已知 ABC 三顶点A( 1,2), B(2,3),C(5,4)，则其重心坐标为 8、如右图所示，在
ABC 中，已知A(2,3) , B(6 , — 4) , G(4,
9、已知 |a | 4,| b| 3 , a 与 b 的夹角为一，求 | 2a b| , |3a-4b|.
4
10、⑴ 已知点A(1, 2), B( 3,4),点P 在直线AB 上，且AP 1 BP ,求点P 的坐标;
3
(2)已知点A(2, 4), B( 6,8)，点P 在直线AB 上，且卜片1 PB ,求点P 的坐标?
平面向量的数量积
已知等边 ABC 的边长为6，则AB BC 与AB BC CA 的值分别为() 18 和 36 C . 18 和 36 D 18 和 36
2、已知b
2 , a b
B
6，则a 在向量b 方向上的投影为()
无法确定
A .
3
12 C
. 3
D
.
3
、 已知向量 a = (x ,y),
b =( -1,2 )
，且 a +b = (1, 3),
则a 等于
( )
A .
B .
C.
&
D.
4、
已知向量 a (1,n ),b
( 1,n),若a 与b 垂直，则|a 等于(
)
A . 1
B . 72
C. 2
D. 4
5
、
已知 a (3,2),b
(6,1)，而(
a b) (a b),
则入等于(
)
A. 1或 2
1
B . 2或一二
C. 2
D.以上都不对
3.5,则b 等于().
7、 A. ( 3,6) B.
已知 a 1, b
2,a 已知a (3,4)，且a
(3, 6) C. b 2 , 则a 与b 的夹角为
(6, 3)
D.
(6,3)
b 10，求b 在a 的投影
1、
180°, a =(1,-2)的夹角是 且
6、
b
A. 18 和 36 B 若平面向量b 与向量
10、已知|a| 2,| b| 1, a与b的夹角为若向量2a k b与a b垂直，求k. 3
11、已知|a| 3,| b | 1 , a与b的夹角为一，求a b与a - b的夹角的余弦值
6
12、已知向量|a| 3,|b| 4，且(a b) (2a b) 4，求a与b夹角的取值范围
13、ABC 中，AB a, BC b, AC c，| a | 3,|b | 2,|c| 4，求a b b c c d
14、已知向量 a (1,2),b ( 3,2)，向量c k a b，d a 3b
(1)当k为何值时，有c d ；(2)若c与d的夹角为钝角时，求k的取值范围