第二节双因素试验的方差分析
在许多实际问题中，往往要同时考虑两个因素对试验指标的影响. 例如，要同时考虑工人的技术和机器对产品质量是否有显著影响. 这里涉及到工人的技术和机器这样两个因素. 多因素方差分析与单因素方差分析的基本思想是一致的，不同之处就在于各因素不但对试验指标起作用，而且各因素不同水平的搭配也对试验指标起作用. 统计学上把多因素不同水平的搭配对试验指标的影响称为交互作用. 交互作用的效应只有在有重复的试验中才能分析出来.
对于双因素试验的方差分析，我们分为无重复和等重复试验两种情况来讨论. 对无重复试验只需要检验两个因素对试验结果有无显著影响；而对等重复试验还要考察两个因素的交互作用对试验结果有无显著影响.
内容分布图示
★引言
★无重复试验双因素方差分析
★例1★例2
等重复试验双因素方差分析
★数学模型★数学模型的改进
★偏差平方和及其分解★偏差平方和的统计特征
★检验方法
★例3★例4
★内容小结★习题8-2
内容要点：
一、无重复试验双因素方差分析
设因素A，B作用于试验指标。因素A有r个水平A
1，A
2
， ，A
r
，因素B有s个
水平B
1，B
2
， ，B
s
. 对因素A，B的每一个水平的一对组合（A
i
，B
j
），(i=1，2， ，
r，j=1，2， ，s)只进行一次实验，得到rs个试验结果ij
X，列于下表中
表8-2-1
1. 假设前提
与单因素方差分析的假设前提相同，仍假设： 1) ),(~2σμij ij N X ，2,σμij 未知，.,,1;,,1s j r i == 2) 每个总体的方差相同；
3) 各ij X 相互独立，.,,1;,,1s j r i ==
那么，要比较同一因素的各个总体的均值是否一致，就是要检验各个总体的均值是否相等，故检验假设为：
j rj j j A H ?====μμμμ 210: ,,,1s j =
?====i is i i B H μμμμ 210: .,,1r i = 备择假设为
不全相等。rj j j A H μμμ,,,:211 不全相等。is i i B H μμμ,,,:211
由假设有 ),(~2σμij ij N X （ij μ和2σ未知），记-ij X i μ=ij ε，即有
ij ij ij X με-=~),,0(2σN 故-ij X ij μ可视为随机误差. 从而得到如下数学模型
?
??==+=相互独立。未知，ij ij ij ij ij ij N s j r i X εσμσεεμ2
2,),,0(~;
,,1;,,1, 引入记号：μ=∑∑==r i s
j ij rs 11
1μ，
?i μ=
∑=s
j ij
s
11μ
，i =1，2， ，r ，
j ?μ =
∑=r
i ij
r
1
1μ
，j =1，2， ，s ，
αi =μμ-?i ，i =1，2， ，r ， β
j
=μμ-?j ，j =1，2， ，s ，
易见
∑==r
i i
1
0α
，
∑==s
j j
1
0β
. 称μ为总平均，称αi 为水平A i 的效应，称βj
为水平B j
的效应. 且 μ
ij
=μ+αi +β
j
.
于是上述模型进一步可写成
???????
??====+++=∑∑==r i s
j j i ij ij ij ij j i ij N s j r i X 1
12
2.
0,0,),,0(~),,2,1,,,2,1(,βαεσμσεεβαμ相互独立，
未知，各 检验假设： ???====.,,,:,
0:2
11210不全为零r A r A H H αααααα
???====.,,,:,
0:2
11210不全为零s B s B H H ββββββ
若A H 0（或B H 0）成立，则认为因素)(B A 或的影响不显著，否则影响显著。
2. 偏差平方和及其分解
类似于单因素方差分析，需要将总偏差平方和进行分解. 记
;
,,1,
1;,,1,1,
11
111s j X
r
X r i
X
s X X
rs X r i ij j
s
j ij i r i s
j ij ====
=
∑∑∑∑=?=?== 将总偏差平方和进行分解：
S T =
211
)(X X
r i s
j ij
-∑∑==
211
)]()()[(X X X X X X X X
j i ij j r i s
j i ---+-+-=
???==?
∑∑
由于在T S 的展式中三个交叉项的乘积都等于零，故有
E B A T S S S S ++=,
其中,
,)()(21
2
11
X X
s
X X
S r
i i r i s
j i A -=-=
∑∑∑=?
==?
,
,)()(1
211
2
∑∑∑=?==?-=-=
s
j j
r i s
j j
B X X
r
X X
S
S E =
.)(11
2∑∑==??---r i s
j j i ij
X X X X
我们称S E 为误差平方和；分别称S A ，S B 为因素A 、因素B 的偏差平方和. 类似地，可以证明当A H 0、B H 0成立时，有
1) 2222,,,σσσσE B A T S S S S 分别服从自由度依次为)1)(1(,1,1,1-----s r s r rs 的
2χ分布;
2) E B A T S S S S ,,,相互独立.
3. 检验方法
当A H 0为真时，可以证明
F A =
))
1)(1()
1(---s r S r S E A ~));1)(1(,1(---s r r F
取显著性水平为α，得假设A H 0的拒绝域为
F A =
))
1)(1()
1(---s r S r S E A ≥));1)(1(,1(---s r r F α
类似地，当B H 0为真时，可以证明
F B =
))
1)(1()
1(---s r S s S E B ~));1)(1(,1(---s r s F
取显著性水平为α，得假设B H 0的拒绝域为
F B =
))
1)(1()
1(---s r S s S E B ≥));1)(1(,1(---s r s F α
实际分析中，常采用如下简便算法和记号：
记 T =
∑∑===r i s
j ij
X rs X
11
,
T ?i =
?==∑i s
j ij
X s X
1
, ;,,1r i =
T j ?=∑=??==
r
i j ij
j X r X
T 1
, ;,,1s j =
则 S T =
∑∑
==-r i s
j ij
rs
T X 11
2
2, S A =
s 1∑
=?
-r
i i rs
T T 1
2
2, S B =
∑
=?-s
j j
rs
T T r
1
2
21, S E =S T -S A -S B .
可得如下方差分析表：
表8-2-2无重复试验双因素方差分析表
1)
1)(1()1)(1(/11/11---=
--=-=-=-=-rs S s r S S s r S S S F s S
S s S B S S F r S
S r S A F T
E
E E E B B B
B B E B A A
A A 总和
误差因素因素比均方和
自由度
平方和方差来源
二、无重复试验双因素方差分析
设因素A ，B 作用于试验指标. 因素A 有r 个水平A 1，A 2， ，A r ，因素B 有s 个水平B 1，B 2， ，B s . 对因素A ，B 的每一个水平的一对组合（A i ，B j ），(i =1，2， ，r ，j =1，2， ，s )只进行)2(≥t t 次实验（称为等重复实验），得到rst 个试验结果
ijk X （),,1;,,1;,,1t k s j r i ===.
1． 假设前提
1) ),(~2σμij ijk N X ，2,σμij 未知，;,,1;,,1;,,1t k s j r i === 2) 每个总体的方差相同；
3) 各ijk X 相互独立，t k s j r i ,,1;,,1;,,1 ===.
由假设有 ijk X ),(~2σμij N （ij μ和2σ未知），记-ijk X i μ=ijk ε，即有
ijk ij ijk X με-=~),,0(2σN 故-ijk X ijk μ可视为随机误差. 从而得到如下数学模型
???
?
?===+=;,,1;,,1;,,10~2t k s j r i N X ijk
ijk ijk ij ijk 相互独立，各），，（，εσεεμ 类似地，引入记号：μ，,,,,j i j i βαμμ??易见
∑==r
i i
1
0α
，
∑==s
j j
1
0β
.
仍称μ为总平均，称αi 为水平A i 的效应，称βj
为水平B j 的效应. 这样可以将μ
ij
表示
成
μ
ij
=μ+αi + j β+γ
ij
（s j r i ,,1;,,1 ==），
其中μμμμγ+--=??j i ij ij （s j r i ,,1;,,1 ==），称ij γ为水平A i 和水平B j 的交互效应， 这是由A i 与B j 搭配联合起作用而引起的。易见
,
,,1,01
r i s
j ij
==∑=γ
∑==r
i ij
1
0γ
，j =1，2， ，s ，
从而前述数学模型可改写为
),0~ 2i σεεγβαμ，（，N X ijk ijk ij j ijk ++++=
.,,1;,,1;,,1t k s j r i ijk ===相互独立，各ε
∑∑∑∑========r i s j r i s
j ij ij j i `
111
,0,0,0,0γγβα
其中μ，αi ，j β，γij
及σ2
都是未知参数.
假设检验为 ：
(1) ???====不全为零
r A r A H H αααααα,,,:,
0:211210
(2) ???====不全为零s B s B H H ββββββ,,,:,
0:211210
(3) ???====??不全为零。
rs B A rs B A H H γγγγγγ,,,:,
0:1211112110
与无重复试验的情况类似，此类问题的检验方法也是建立在偏差平方和的分解上的。
2. 偏差平方和及其分解
引入记号：X =
rst
1
∑∑∑===r
i s
j t
k ijk
X
111
，
X ?ij =∑
=t
k ijk X t 1
1，i =1，2， ，r ，j =1，2， ，s ，
X ??i =
∑∑==s j t
k ijk
X
st 111，i =1，2， ，r ，
X ??j =
∑∑==r
i t
k ijk
X
rt
11
1，j =1，2， ，s 。
称总偏差平方和（称为总变差）为
S T =
∑∑∑===-r i s j t
k ijk
X X
111
2)(。
上式可分解为 S T =S E +S A +S B +S B A ? 其中 S E =
∑∑∑===?-r i s j t
k ij ijk
X X
1112)(，
S A =st
∑=??
-r
i i X X
1
2)(,
S B = rt
∑=?
?-s
j j X X
12)(,
S B A ?= t
∑∑==?????
+--r
i s
j j i ij X X X X
11
2)(
同样，我们仍S E 称为误差平方和，S A ，S B 分别称为因素A 、因素B 的偏差平方和，S B A ?称为A ，B 交互偏差平方和.
类似地，可以证明当A H 0、B H 0、B A H ?0成立时，有 1) ,,,,,22222σσE B A B A T S S S S S ?分别服从自 由度依次为 )1(),1)(1(,1,1,1------t rs s r s r rst 的2χ分布，
2) E B A B A T S S S S S ,,,,?相互独立。
3. 检验方法
当A H 0为真时，可以证明
F A =
))
1(()
1(--t rs S r S E A ~));1(,1(--t rs r F
取显著性水平为α，得假设A H 0的拒绝域为
F A =
))
1(()
1(--t rs S r S E A ≥ ));1(,1(--t rs r F α
类似地，当B H 0为真时，可以证明
F B =
))
1(()
1(--t rs S s S E B ~));1(,1(--t rs s F
取显著性水平为α，得假设B H 0的拒绝域为
F B =
))
1(()
1(--t rs S s S E B ≥ ));1(,1(--t rs s F α
类似地，当B A H ?0为真时，可以证明
F B A ?=
))
1(()
1)(1(---?t rs S s r S E B A ~));1(),1)(1((---t rs s r F
取显著性水平为α，得假设B H 0的拒绝域为
F B A ?=
))
1(()
1)(1(---?t rs S s r S E B A ≥ ));1(),1)(1((---t rs s r F α
实际分析中，常采用如下简便算法和记号： T =
∑∑∑====r i s j t
k ij
X rst X
111,
T ?ij =
∑=t
k ijk
X
1
, i =1，2， ，r ，j =1，2， ，s ，
T ??i =
∑∑==s j t
k ijk
X
11，i =1，2， ，r ，
T ??j =
∑∑==r
i t
k ijk
X
11
，j =1，2， ，s .
则 S T =
∑∑∑
===r i s j t
k ijk
X 111
2rst
T 2-, S A =
st
1∑
=??
r
i i T 1
2rst T 2
-, S B =
rt
1∑
=?
?s
j j T 1
2rst
T 2-, S B A ?=???
?
?
?-∑∑
==?
r
i s
j ij rst T T t 11
221,B A S S --,
S E =,B A B A T S S S S ?---
可得如下方差分析表：
表8-2-5有重复试验双因素方差分析表
1)
1()1()1)(1()1)(1(1111--=
-=
--=
--=-=-=-=-?????rst S t rs S S t rs S S S F s r S S s r S S S F s S
S s S B S S F r S
S r S A F T
E
E E E
B
A B A B
A B A B A E
B
B B
B B E A
A A
A A 总和
误差交互作用因素因素比均方和
自由度
平方和方差来源
例题选讲：
无重复试验双因素方差分析
例1 (讲义例1) 设四名工人操作机器321,,A A A 各一天, 其日产量如表8-2-3所示, 问不同机器或不同工人对日产量是否有显著影响(05.0=α)?
解
,1971=?T ,2222=?T ,1833=?T ,1551=?T ,1432=?T ,1453=?T ,1594=?T ,
602=T ∑∑===314
12,30518i j ij
X
T S 12
2
3
141
2T x i j ij
-=
∑∑
==,67.317= A S 12
4
12
3
1
2
T T i i -=
∑
=?,17.195=
B S 12
312
4
1
2T T j j
-=
∑
=?,67.59=,67.59=B A T S S S --=,83.62= A F 6/83.622/17.195=
,32.9=B F 6
/83.623
/67.59=
.90.1= 当05.0=α时, 查表得
))1(,1(--r r F α)6,2(05.0F =,14.5= ))1)(1(,1(---s r s F α)6,3(05.0F =.76.4=
列出方差分析表
由此表知, ),6,2(05.0F F A > ),6,3(05.0F F B < 说明机器的差异对日产量有显著影响, 而不同工人对日产量无显著影响.
例2 下面给出了在某5个不同地点，不同时间空气中的颗粒状物（以mg/m 3
计）的含
. 解
按题意, ?i T 、j T ?的值已算出载于表, 现在,4=r .5=s 按计算公式得到: T S rs
T x r i s
j ij
211
2-
=
∑∑
==20127537677622
22-+++= ,75.3571= A S 20
1275)278290376331(5122
222-+++=,95.1182=
B S 20
1275)200251289(4122
22-+++= ,50.1947=
E S )50.194795.1182(75.357+-=,30.441=
由于49.3)12,3(05.0=F ,72.10< 26.3)12,4(05.0=F ,24.13< 故拒绝01H 及,02H 即认为不同时间下颗粒状物含量的均值有显著差异, 即认为在本题中, 时间和地点对颗粒物的含量的
影响均为显著.
等重复试验双因素方差分析
例3 (讲义例2) 在某种金属材料的生产过程中, 对热处理温度(因素B )与时间(因素A )各取两个水平, 产品强度的测定结果(相对值)如表9.12所示. 在同一条件下每个实验重复两次. 设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方差相同. 各样本独立. 问热处理温度, 时间以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著的影响 (取05.0=α)? 表8—2—6
解
根据题设数据, 得
T S 84.340)8.406.380.38(2
2
2
2
-+++= ,82.71= A S 8
4.340)1724.168(4122
2-
+=,62.1= B S 8/4.340)1754.165(4
1
222-+=
,52.11= B A S ?52.1162.102.1448424.14551---=,08.54= E S B A B A S S S ?---=82.71.6.4=
得方差分析表
由,71.7)4,1(05.0=F 因为
4.1=A F ,71.7)4.1(0
5.0=
所以认为时间对强度的影响不显著, 而温度的影响显著, 且交互作用的影响显著.
例4 为了保证某零件镀铬的质量, 需重点考察通电方法和液温的影响. 通电方法选取三个水平:1A (现行方法), 2A (改进方案一), 3A (改进方案二); 液温选取两个水平:1B (现行温度), 2B (增加10℃)); 每个水平组合进行两次试验, 所得结果如表(指标值以大为好). 问通电方法、液温和它们的交互作用对该质量指标有无显著影响()01.0=α?
解
由题意, 进一步计算得
,61.0=A S ,33.0=B S ,21.0=?B A S ,04.0=E S .19.0=T S
从而得到 ,75.45=A F ,50.49=B F .75.15=?B A F 对01.0=α查表得
))1(,1(--t rs r F α)6,2(01.0F =,92.10= ))1(),1(--t rs s F α)6,1(01.0F =,75.13= ))1(),1)(1((---t rs s r F α)6,2(01.0F =,92.10=
从方差分析表, 知 ),6,2(01.0F F A >),6,1(01.0F F B >).6,2(01.0F F B A >?
说明通电方法、液温和它们的交互作用对该质量指标都有显著影响. 从样本平均值看出，
??=3222x x
最大, 所以选择水平组合),(22B A 和),(23B A 为好. 对于因素A 的两个水平2A 和3A 还可以根据具体情况, 从中选出一个更好的.
双因素方差分析 一、双因素方差分析的含义和类型 （一）双因素方差分析的含义和内容 在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。 在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。 双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。 双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。 （二）双因素方差分析的类型 双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。 1.无交互作用的双因素方差分析。 无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系； 2.有交互作用的双因素方差分析。 有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，
1. 某湖水在不同季节氯化物含量测定值如表6.16所示。问不同季节氯化物含量有无差别？ 若有差别，进行32个水平的两两比较。 解： 2.有三种抗凝剂（123,,A A A ）对一标本作红细胞沉降速度（一小时值）测定，每种抗凝剂 3.将18名原发性血小板减少症患者按年龄相近的原则配为6个单位组，每个单位组中的3名患者随机分配到A 、B 、C 三个治疗组中，治疗后的血小板升高情况见表6.17，问3中治疗方法的疗效有无差别？ 表6.17 不同人用鹿茸后血小板的升高值/(4 3 10/mm ) 解： 4.某研究人员以0.3mL/kg 剂量纯苯给大鼠皮下注射染毒，每周3次，经45天后，实验动物白细胞综述下降至染毒前的50%左右，同时设置未染毒组。两组大鼠均按照是否给予升高白
细胞药物分为给药组和不给药组，试验结果见表6.18，试作统计分析。 解： 问：（1）这三类人的该项生理指标有差别吗？（） α=） （2）如果有差别，请进行多重比较分析。（0.05 解： 6.将24家生产产品大致相同的企业，按资金分为三类，每个公司的每100元销售收入的生产成本（单位：元）如表6.20所示。这些数据能否说明三类公司的市场生产成本有差异（假 α=） 定生产成本服从正态分布，且方差相同）？（0.05 解： 7.为了解三种不同配比的饲料对仔猪影响的差异，对三种不同品种的猪各选三头进行试验，分别测得其三个月间体重增加量如表6.21所示。假定其体重增加量服从正态分布，且1方 α=） 差相同。试分析不同饲料与不同品种对猪生长有无显著差异？（0.05
8.比较3种化肥（A，B两种新型化肥和传统化肥）施撒在三种类型（酸性、中性和碱性）的土地上对作物的产量情况有无差别，将每块土地分成6块小区，施用A，B两种新型化肥和传统化肥，收割后，测量各组作物的产量，得到的数据如表6.22所示、化肥、土地类型 α=） 及其它们的交互作用对作物产量有影响吗？（0.05 -
实验三 双因素试验的方差分析 实验目的：1掌握单因素实验方差分析的方法与步骤； 2正确分析输出结果中的各参数，并得出正确结论。 试验内容： 某种火箭使用4种燃料，3种推进器进行射程试验。在每种燃料与每种推进器的组合下火箭各发射两次，射程数据见表3.1。 表3.1 火箭的射程数据 试在水平05.0=α下，检验不同燃料（因素)A 、不同推进器（因素)B 下射程是否有显著差异？交互作用是否显著？ 操作步骤： 1.在excel 的工作表中输入如表3.1所示的的样本数据。 2.点击“工具—数据分析—方差分析：可重复双因素方差分析”，在弹出对话框的输入区域，拖动鼠标选择样本值A1:D9；每一样本的行数，输入2；显著性水平α设置为0.05，如图 3.1所示。
3．点击确定，输出参数的窗口如图3.2所示。 图3.2 应用excel“数据分析”功能求双因素等重复方差分析的有关参数结果分析： 图3.2 中仅列示了输出结果中的方差分析表。“样本”即燃料因子，“列”即推进器因子，“交互”为燃料和推进器因子的交互作用，SS 为平方和；df 是自由度；P-value 为P 值，即所达到的临界显著水平；F crit 是Fα（t-1，N-t）的值。 由方差分析表可知，因子A （燃料）的作用是一般显著的（P-value的值为0.025969<0.05）;因子B（推进器）的作用是高度显著的（P-value的值为0.003506<0.01）；而交互作用是极其显著的（P-value的值为6.15E-05<<0.01）,这说明燃料的作用于与推进器之间有着密切的关 系，也即每种推进器都有各自最合自得最佳燃料。
53双因素方差分析
§5.3 双因素方差分析 I 无交互作用的双因素方差分析 (1) 数学模型 现在考虑影响试验指标的因素有两个：A, B 。因素A 有水平r 个；有水平s 个；因素A, B 的各种组合水平均只作一次试验；两因素之间无交互作用。 数据结构表 假设：(1*) {:1;1}ij Y i r j s ≤≤≤≤独立； (2*) 2~(,)ij ij Y N μσ，即具有相同的方差； (3*) ij ij ij Y e μ=+，其中 2~(0,)ij e N σ，且{}ij e 独立； 数学模型： ij i j ij ij Y e μαβγ=++++ ， 其中：111()r s ij i j rs μμ-===∑∑—总平均值； 11s i ij j s μμ-?==∑; 11r j ij i r μμ-?==∑; i i αμμ?=-—因素A 在水平Ai 下对试验指标的效应值； j j βμμ?=-—因素 B 在水平Bj 下对试验指标的效应值； 10r i i α==∑; 10s j j β==∑; ij ij i i γμμαβ=---—因素A, B 的交互效应值； 因素B s B r A 12r r rs Y Y Y r Y ? 12 ..s Y Y Y ???
{}ij e —随机部分，假定：独立同正态分布； 注： “无交互作用”等价于：0ij γ=，即 ij i i μμαβ=++； (2) 方差分析 (i) 假设检验问题 两种因素分别进行检验： 0112:0r H ααα== == 即因素A 对试验指标影响不显著； 0212:0s H βββ== == 即因素B 对试验指标影响不显著； 注：当01H 和02H 成立时， ,(1;1)ij i r j s μμ=≤≤≤≤. (ii) 构造F-统计量及否定域 设 () 1 11r s ij i j Y rs Y -===∑∑ ； 11s i ij j Y s Y -?==∑； 11r j ij i Y r Y -?==∑； 2211()r s T ij i j S Y Y ===-∑∑； 221()r A i i S s Y Y ?==-∑； 221()s B j j S r Y Y ?==-∑； 2211()r s E ij i j i j S Y Y Y Y ??===--+∑∑； 注：注意， 2 211()r s E ij i j i j S Y Y Y Y ??===--+∑∑ 2 11()r s ij ij i i j j i j e e e e μμμμ????===+----++∑∑
双因素试验的方差分析 （一）摘要： 实际问题中往往要同时考虑两个因素对试验指标的影响，此时即使用双因 素方差分析。主要方法为建立合适的假设，并对分析已有数据的各部分方差平方和、自由度、均方，求得F 比后利用检验方法判断原假设是否成立。双因素试验的方差分析可分为无重复试验和等重复试验两部分讨论，无重复试验只需检验两个因素对实验结果有无显著影响，等重复试验还要考虑两个因素的交互作用对实验结果有无显著影响。 （二）关键词： 双因素 方差分析 EXCEL 应用 （三）引言： 在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素往往是很多的。每一因素的 改变都有可能影响产品的数量和质量。有些因素影响较大，有些较小，为了优化生产过程，通过进行试验找出对产品质量有显著影响的那些因素。根据试验结果进行分析，鉴别各个有关因素对实验结果影响的有效方法即为方差分析。本文双因素方差分析同时考虑两个因素的影响，涉及因素间的交互作用，在实际生产实践中较为实用。 （四）算法原理： 双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定 因素A 和因素B 的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B 的结合会产生出一种新的效应。 （一）双因素等重复试验的方差分析 设有两个因素A ，B 作用于试验的指标。因素A 有r 个水平,,...,,21r A A A 因素B 有s 个水平.,...,21s B B B 现对因素A,B 的水平的没对组合（j i B A ,）， i=1,2,...r,j=1,2,...,s 都作(t ≥2)次试验（称为等重复试验），得到如下表的结果。 因 素A 因素B 1B 2B ...... s B 1A t X X X 11112111...,,, t X X X 12122121...,,, ...... st s s X X X 12111...,,,
§5.3 双因素方差分析 I 无交互作用的双因素方差分析 (1) 数学模型 现在考虑影响试验指标的因素有两个：A, B 。因素A 有水平r 个；有水平s 个；因素A, B 的各种组合水平均只作一次试验；两因素之间无交互作用。 数据结构表 假设：(1*) {:1;1}ij Y i r j s ≤≤≤≤独立； (2*) 2~(,)ij ij Y N μσ，即具有相同的方差； (3*) ij ij ij Y e μ=+，其中 2~(0,)ij e N σ，且{}ij e 独立； 数学模型： i j i j i j i j Y e μαβγ=++++ ， 其中：111()r s ij i j rs μμ-===∑∑—总平均值； 11s i i j j s μμ -?==∑; 11r j ij i r μμ-?==∑; i i αμμ?=-—因素A 在水平Ai 下对试验指标的效应值； j j βμμ?=-—因素B 在水平Bj 下对试验指标的效应值； 10r i i α==∑; 10s j j β==∑; r A 1212s s r r rs Y Y Y Y r Y ? 12 ..s Y Y Y ???
i j i j i i γμμαβ=---—因素A, B 的交互效应值； {}ij e —随机部分，假定：独立同正态分布； 注： “无交互作用”等价于：0ij γ=，即 ij i i μμαβ=++； (2) 方差分析 (i) 假设检验问题 两种因素分别进行检验： 0112:0r H ααα== == 即因素A 对试验指标影响不显著； 0212 :0s H βββ==== 即因素B 对试验指标影响不显著； 注：当01H 和02H 成立时， ,(1;1)ij i r j s μμ=≤≤≤≤. (ii) 构造F-统计量及否定域 设 () 1 11r s ij i j Y rs Y -===∑∑ ； 11s i ij j Y s Y -?==∑； 11r j ij i Y r Y -?==∑； 2 211()r s T ij i j S Y Y ===-∑∑； 221()r A i i S s Y Y ?==-∑； 221()s B j j S r Y Y ?==-∑； 2211()r s E ij i j i j S Y Y Y Y ??===--+∑∑； 注：注意， 2 211()r s E ij i j i j S Y Y Y Y ??===--+∑∑
双因素的多重比较方法 生物工程 10212575 陈晓穗 摘要：本文首先扼要地介绍了多重比较的方法种类，其次引用了一个实例具体地展示了无交叉相互作用的双因素的多重比较方法。 关键词：最小显著差数法最小显著极差法双因素多重比较 1.前言 用方差分析检验样本的差异是否显著后，获得了显著或极显著的结论。此时人们便想进一步的了解具体到哪些平均数间有显著差异，哪些不显著。这就有必要进行两两地比较平均数，以判断这两组数据的显著差异性。统计学把多个平均数两两间互相比较称为多重比较。多重比较常有的方法有：最小显著差数法和最小显著极差法。 2．多重比较法 2.1 多重比较法的种类 2.1.1 最小显著差数法 最小显著差数法，简称LSD 。它其实只是t 检验的一个简单变形,并未对检验水准做出任何校正,只是在标准误的计算上充分利用了样本信息, 为所有组的均数统一估计出了一个更为稳健的标准误,其中MS 误差是方差分析中计算得来的组内均方,它一般用于计划好的多重比较。由于单次比较的检验水准仍为α,因此可认为LSD 法是最灵敏的。此法的基本作法是：在F 检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数αLSD ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值 . .j i x x -与其比较。若 . .j i x x -＞LSDa 时，则.i x 与.j x 在α水平上差异显 著；反之，则在α水平上差异不显著。最小显著差数由..)(j i e x x df a a S t LSD -=计算。式中)(e df t α为在F 检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t 值，..j i x x S -为均数差异标准误，由n MS S e x x j i /2..=-算得。其中e MS 为F 检验中的误差均方，n 为各处理的重复数。当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出)(05.0e df t 和 )(01.0e df t ，代入式得：
实验10 双因素方差分析 双因素方差分析是对样本观察值的差异进行分解，将两种因素下各组样本观察值之间可能存在的系统误差加以比较，据此推断总体之间是否存在显著性差异，根据两因素是否相互影响，双因素分析分为不存在交互作用的双因素方差分析和存在交互作用的双因素方差分析。 10.1 实验目的 掌握使用SAS进行双因素方差分析的方法。 10.2 实验内容 一、用INSIGHT作双因素方差分析 二、用“分析家”作双因素方差分析 三、用glm过程作双因素方差分析 10.3 实验指导 一、用INSIGHT作双因素方差分析 【实验10-1】工厂订单的多少直接反映了工厂生产的产品的畅销程度，因此工厂订单数目的增减是经营者所关心的。经营者为了研究产品的外形设计及销售地区对月订单数目的影响，记录了一个月中不同外形设计的该类产品在不同地区的订单数据如表10-1（sy10_1.xls）所示。试用双因子方差分析检验该产品的外形设计与销售地区是否对订单的数量有所影响。 表10-1 不同外形设计的产品在不同地区的订单数据 销售地区设计1 设计2 设计3 地区1 700 450 560 地区2 597 357 420 地区3 697 552 720 地区4 543 302 515 该问题即检验如下假设： H0A：不同的设计对订单数量无影响，H1A：不同的设计对订单数量有显著影响 H0B：不同地区对订单数量无影响，H1B：不同地区对订单数量有显著影响 具体步骤如下：
1. 生成数据集 将表10-1在Excel 中整理后导入成如图10-1左所示结构的数据集，存放在Mylib.sy10_1中，其中变量a 、b 、y 分别表示销售地区、外形设计、销售量。 图10-1 数据集mylib.sy10_1与分析变量的选择 2. 方差分析 在INSIGHT 模块中打开数据集Mylib.sy10_1。 选择菜单“Analyze （分析）”→“Fit （拟合）”，在打开的“Fit(X Y)”对话框中选择数值型变量作因变量，分类型变量作自变量：选择变量y ，单击“Y ”按钮，选择变量a 和b ，单击“X ”按钮，分别将变量移到列表框中，如图10-1右所示。 单击“OK ”按钮，得到分析结果。 3. 结果分析 结果中表的含义与单因素方差分析相应的表的含义是类似的： (1) 第一张表提供了模型的一般信息；第二张表列举了作为分类变量的a 和b 的水平的信息；第三张参数信息表给出了标识变量P_i 的定义。 图10-2 多因素方差分析第1、2、3张表 其中，标识变量取值： ，其他类似。，其他，设计，，其他类似；，其他，地区，""? ??==???==01b 1P_601a 1P_2 (2) 第四张表给出了方差分析模型，利用参数信息表中标识变量P_i 的定义可以推算出在各个因素不同水平下变量y 均值的信息：
第二节 双因素试验的方差分析 进行某一项试验，当影响指标的因素不是一个而是多个时，要分析各因素的作用是否显著，就要用到多因素的方差分析.本节就两个因素的方差分析作一简介.当有两个因素时，除每个因素的影响之外，还有这两个因素的搭配问题.如表9-7中的两组试验结果，都有两个因素A 和B ，每个因素取两个水平. 表9-7(b) 表9-7（a ）中，无论B 在什么水平（B 1还是B 2），水平A 2下的结果总比A 1下的高20；同样地，无论A 是什么水平，B 2下的结果总比B 1下的高40.这说明A 和B 单独地各自影响结果，互相之间没有作用. 表9-7(b)中，当B 为B 1时，A 2下的结果比A 1的高，而且当B 为B 2时，A 1下的结果比A 2的高；类似地，当A 为A 1时，B 2下的结果比B 1的高70，而A 为A 2时，B 2下的结果比B 1的高30.这表明A 的作用与B 所取的水平有关，而B 的作用也与A 所取的水平有关.即A 和B 不仅各自对结果有影响，而且它们的搭配方式也有影响.我们把这种影响称作因素A 和B 的交互作用，记作A ×B .在双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验水平A 和B 的作用，还要检验它们的交互作用. 1.双因素等重复试验的方差分析 设有两个因素A ，B 作用于试验的指标，因素A 有r 个水平A 1,A 2,…,Ar ,因素B 有s 个水平B 1,B 2,…,B s ,现对因素A ，B 的水平的每对组合(A i ,B j ),i =1,2,…,r ；j =1,2,…,s 都作t (t ≥2)次试验（称为等重复试验），得到如表9-8的结果： 表9-8 ijk ij ijk ij 数.或写为 ?????===+=., ,,2,1),,0(~,,,2,1;,,2,1,2 相互独立各ijk ijk ijk ij ijk t k N s j r j x εσεεμ (9.16) 记
Excel 数据管理与图表分析 双因素方差分析 在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，还需要了解销售地区的不同是否影响销售量。若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A ，饮料的销售地区则是影响因素B 。对因素A 和因素B 同时进行分析，就属于双因素方差分析的内容。 双因素方差分析的类型主要有两种，下面具体介绍其应用。 1．无重复双因素分析 无重复双因素分析是指在假设两个因素之间是相互独立、不存在任何关系的情况下，对其进行分析。 与单因素方差分析类似，在分析前需将试验数据按一定的格式输入工作表中。例如，对 A 、 B 、 C 和 D 地区上半年和下半年的销售额进行统计，其数据信息如图13-6所示。 图13-6 创建表格 图13-7 设置无重复双因素参数 单击【分析】组中的【数据分析】按钮，在弹出的【数据分析】对话框中，选择【方差分析：无重复双因素分析】选项。然后，在【方差分析：无重复双因素分析】对话框中，设置相关的参数，如图13-7所示。 其中，在【方差分析：无重复双因素分析】对话框中，各选项功能如下： ● 输入区域 输入无重复双因素分析的数据区域。 ● 标志 启用该复选框，则生成的分析数据结果工作表中包含数据标志。若禁用该复选框，则选择的分析数据中只能是数值类型，不能为文本类型，且生成的分析数据结果工作表中不包含数据标志。 ● α 显著性水平，一般输入0.05，即95%的置信度。 ● 输出选项 输出无重复双因素分析数据的结果。 提 示 【方差分析：无重复双因素分析】对话框中的参数与【方差分析：单因素方差分析】对话框中的参数相同。 单击【方差分析：无重复双因素分析】对话框中的【确定】按钮，即可得到如图13-8所示的方差分析结果。 创建 表格 选择
1.某湖水在不同季节氯化物含量测定值如表 6.16所示。问不同季节氯化物含量有无差别? 若有差别，进行32个水平的两两比较。 2.有三种抗凝剂(A1,A2,A3 )对一标本作红细胞沉降速度(一小时值)测定，每种抗凝剂 3.将18名原发性血小板减少症患者按年龄相近的原则配为6个单位组，每个单位组中的3 名患者随机分配到A、B C三个治疗组中，治疗后的血小板升高情况见表 6.17，问3中治 疗方法的疗效有无差别？ 43 解: 4.某研究人员以0.3mL/kg剂量纯苯给大鼠皮下注射染毒，每周3次，经45天后，实验动物 白细胞综述下降至染毒前的50%左右，同时设置未染毒组。两组大鼠均按照是否给予升高白
细胞药物分为给药组和不给药组，试验结果见表 6.18，试作统计分析。 问：（1）这三类人的该项生理指标有差别吗？（） （2）如果有差别，请进行多重比较分析。（0.05） 解： 6.将24家生产产品大致相同的企业，按资金分为三类，每个公司的每100元销售收入的生 产成本（单位：元）如表6.20所示。这些数据能否说明三类公司的市场生产成本有差异（假定生产成本服从正态分布，且方差相同）？（0.05） 解: 7.为了解三种不同配比的饲料对仔猪影响的差异，对三种不同品种的猪各选三头进行试验， 分别测得其三个月间体重增加量如表 6.21所示。假定其体重增加量服从正态分布，且1方差相同。试分析不同饲料与不同品种对猪生长有无显著差异？（0.05） 表 6.21
解: 8.比较3种化肥（A, B两种新型化肥和传统化肥）施撒在三种类型（酸性、中性和碱性） 的土地上对作物的产量情况有无差别，将每块土地分成6块小区，施用A, B两种新型化肥和传统化肥，收割后，测量各组作物的产量，得到的数据如表 6.22所示、化肥、土地类型及其它们的交互作用对作物产量有影响吗？（0.05）
从模型1、模型2 可以看出, 在通常的教学质量评价过程中, 人们只注重对教师教学水平的点评,而对评课人的素质和水平几乎没有讨论。但事实上, 教师教学水平的高低及提高, 与评课人的水平是密切相关的, 只有评课人与指导者水平高, 对教师教学水平的评价才有较高的可靠性, 教师的教学水平也才会得到提高。方差分析的结论告诉我们:不但教师之间的水平有显著差异, 评课人的水平也 是有显著差异的, 因而要想对被评教师做出客观公正的结论, 不能忽视评课者的素质。 请看下例:某高校评估小组(8人)对该校某教研室教师(6人) 上学期教学水平的评分成绩如表2 所示。 表2 对某教研室教师教学水平的评分 试对教师之间的教学水平和评估人之间的水平做出你的评价。 这是一个无重复试验的双因素方差分析问题, 因素A是教师,有6个水平A1,A2,,A6;因素B是评课人,有8个水平B1,B2,,B8。X ij(i=1,2,,6,j=
1,2,,8)是因素A,B的水平的每对组合(A i,B j)做一次试验的数据, 其数学模型为 检验假设 H0A:α1=α2=…=α6= 0,H1A:α1,α2,…,α6不全为0; H0B:β1=β2=…=β7 = 0, H1B:β1,β2,…,β7不全为0。 经计算得: S T=2.21073, S A=0.98644, S B=01500 09,S E=S T-S A-S B=017242,从而得方差分析表如表3 所示。 取α=0.05,有 F A(r-1,(r-1)(s-1))=F0.05(5,35)=2.30 F A(s-1,(r-1)(s-1))=F0.05(7,35)=2.14 由于F A=10.89529 > 2.30=F0.05(5,35), F B=4.14248 > 2.14=F0.05(7,35) , 因此以95% 的置信度可以认为教师之间的教学水平有显著差异, 同时评课小组成员之间的水平也有显著差异。由于评课小组成员之间的水平有显著差异, 因此可以讨论如何定量地去比较他们水平的高低。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 双因素方差分析数据 肥料土壤重复 A1 B1 21. 4 21. 2 20. 1 B2 19. 6 18. 8 16. 4 B3 17. 6 16. 6 17. 5 A2 B1 12 14. 2 12. 1 B2 13 13. 7 12 B3 13. 3 14 13. 9 A3 B1 12. 8 13. 8 13. 7 B2 14. 2 13. 6 13. 3 B3 12 14. 6 14 计算结果当前日期 2019-1-1 1: 24: 35 处理均值标准差 A1 18. 8000 1. 8901 A2 13. 1333 0. 9000 A3 13. 5556 0. 7780 B1 15. 7000 3. 9847 B2 14. 9556 2. 6861 B3 14. 8333 1. 9551 各个处理组合均值 A1B1= 20. 9000 A1B2= 18. 2667 A1B3= 17. 2333 A2B1= 12. 766 A2B2= 12. 900 A2B3= 13. 733 7 0 3 A3B1= 13. 4333 A3B2= 13. 7000 A3B3= 13. 5333 方差分析表(固定模型) 变异来源平方和自由度均方 F 值 p 值 A 因素间 179. 3807 2 89. 6903 96. 6720 0. 0001 B 因素间 3. 9607 2 1. 980 3 2. 1340 0. 1473 AxB 19. 2415 4 4. 8104 5. 1850 0. 0059 误差 16. 7001 18 0. 9278 总变异 219. 2830 26 表方差分析表(随机模型) 变异来源平方和自由度均方 F 值 p 值 A 因素间 179. 3807 2 89. 6903 18. 6450 0. 0094 B 因素间 3. 9607 2 1. 980 3 0. 4120 0. 6877 AxB 19. 2415 4 4. 8104 5. 1850 1 / 5
双因素无重复试验设计方差分析方法： 1.为了考察高温合金中碳的含量（因子A）和锑与铝的含量之和（因子B）对合金强度的影响，因子A取三个水平0.03，0.04，0.05（上述数字表示碳的含量占合金总量的百分比），因子B取4个水平3.3，3.4，3.5，3.6（数字的意义同上）。 试对表中数据作方差分析来回答：不同材质对延伸率有显著影响吗，不同温度对延伸率有显著影响吗？ 2．使用四种燃料，三种推进器做火箭射程试验，每一种组合情况做一次试验，所得火箭射程如下表，试分析各种燃料（A）与各种推进器（B）对火箭射程有 3. A4代替前三种方法，需要通过实验考察。 观察的对象是果汁B，不同的果汁当做不同的水平，即B1苹果葡萄汁，B2葡萄汁，B3西红柿汁，B4苹果饮料，B5橘子汁，B6菠萝柠檬汁。 进行双因素实验，将其检验结果记录与表中。
4.原来检验果汁中含铅量有三种方A1,A2,A3,现研究出另一种快速检验法A4,能否用A4代替前三种方法，需要通过实验考查。 观察的对象是果汁B，不同的果汁当做不同的水平，即B1苹果葡萄汁，B2葡萄汁，B3西红柿汁，B4苹果饮料，B5桔子汁，B6菠萝柠檬汁. 进行双因素交错搭配实验，即用四种方法同时检验每一种果汁，将其检验结果记录于表 5.六个水稻品种（A1、A2、A3、A4、A5和A6）种在四种不同的土壤类型（B1、B2、
B 3和B 4）中，产量数据如表7.26所示，如果品种和土壤类型都是固定效应，试对资料进行适当的分析。 表7.26 例7.9的产量资料及数据整理 6.B ）对 合金强度的影响，因子A 取3个水平0.03，0.04，0.05（上述数字表示碳的含量占合金总量的百分比），因子B 取4个水平3.3，3.4，3.5，3.6（数字的意义 7. 将落叶松苗木栽在4块不同苗床上，每块苗床上苗木又分别使用3种不同的肥料以观察 肥效差异，一年后于每一苗床的各施肥小区内用重复抽样方式各取苗木若干株测其平均高，8. 某企业需采购大宗原材料，共有4家企业生产这些原材料，每家均有、、、四种类型的原材料， 该企业决策机构对每个企业的每种样品进行试验，的数据如下：