2017 学年第二学期浙江省名校协作体试题 高三年级数学学科
考生须知：
1.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）
1. 已知集合
，
，
，则
()
A.
B.
C.
D.
.
2．在复平面内，复数 和 表示的点关于虚轴对称，则复数 =( )
A. 3．已知
B.
，
，
C.
D.
，则 的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
4.若不等式组 A.
表示的平面区域经过四个象限，则实数 的取值范围是（ ）
B.
C.
D.
函数
，下列图像一定不能表示 的图像的是( )
5. 已知
A.
B.
C.
D.
6. 已知袋子中装有若干个标有数字 1，2，3 的小球，每个小球上有一个数字，若随机抽取一个小
球，取到标有数字 2 的小球的概率为 ，若取出小球上的数字 的数学期望是 2，则 的方差为( )
A.
B.
C.
D.
7. 设函数
数”的（ ） A. 充分不必要条件
，则“
”是“ 为偶函
B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 设 为两个非零向量 的夹角且 以下说法正确的是( ) A. 若 和 确定，则 唯一确定
，已知对任意实数
B. 若 和 确定，则 有最大值
C. 若 确定，则
D. 若 不确定，则
的大小关系不确定
，
无最小值，则
9. 如图所示，在棱长为 1 的正方体
点，则
周长的最小值为（ ）
中， 分别为
上的动
A.
B.
C.
D.
10. 已知偶函数 满足
，当
时，
，
若
函数 在 A. 5
上有 400 个零点，求
的最小值（
B.8
C.11
） D.12
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 11．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________，体积 为_________．
12. 已知 是公差为 的等差数列， 为其前 项和，则
,
,
成
等比数列，则
，当
时， 有最大值.
13.在二项式
的展开式中，所有有理项系数之和为
有理项互不相邻的排法有
种.
，把所有项进行重新排列，则
14 ． 在
中，角
所对的边分别为 ．若
，
，若
，则
面积的最大值是______.
15. 设集合
，
，若
，则实数 的取值范围是
，则 .
16．已知双曲线
的右焦点为 ，过 的直线 与双曲线的渐近线交于
两点，且与期中一条渐近线垂直，若
，则此双曲线的离心率为
.
17．空间单位向量向量
满足
足
的最小值为_________.
.空间区域 是由所有满
的点 构成，且区域 的体积为
，则
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.（14 分）函数
的图像过点
，且相邻个最
高点与最低点的距离为
.
(1)求函数 的解析式和单调增区间； (2)若将函数 图像上所有的点向左平移 个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标变为原 来的 ，得到函数 的图像，求 在 上的值域.
19.（15 分） 在如图所示几何体中，平面
平面 ，四边形 为等腰梯形，四边形
为菱形.已知
，∠
，
.
（1）线段 上是否存在一点 ,使得 平行于平面 ？证明你的结论；
（2）若线段 在平面 上的投影长度为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.（15 分）已知实数 满足
，设函数
.
(1)当 时，求 在
上的最小值；
(2)已知函数 大值的取值范围.
的极小值点与 的极小值点相同，求 极
21.（15 分）已知抛物线 :
,且抛物线 在点
与抛物线交于不同的两点 ，且直线 垂直与直线 .
(1)求证：直线 过定点，并求出定点坐标；
处的切线斜率为 . 直线
(2)直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ,求
的最大值.
22.（15 分）已知数列 中，
，
.
（1）证明：
是等比数列；
（2）当 是奇数时，证明：
；
（3）证明：
.
首命题：长兴中学 次命题兼审校：温岭中学 审核：嘉兴市第一中学
2017 学年第二学期浙江省名校协作体参考答案
高三年级数学学科
首命题：长兴中学 次命题兼审校：温岭中学
审核：嘉兴市第一中学
一、 选择题（每小题 4 分，共 40 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 B
A
D
D
D
B
C
B
二、 填空题（11-14 题每题 6 分；15-17 题每题 4 分，共 36）
9
10
B
C
11.
，
； 12.
， 10
；
13. 32 ， 144 ； 14.
，
；
15.
； 16.
；
17.
8
三、解答题（18 题 14 分，19-22 题每题 15 分，共 74 分）
18. （14 分）（1）由已知相邻的两个最高点和最低点的距离为
，
可得
，解得 2 ……（2 分）
∵
∴
又∵
∴
………………（4 分）
∴
……（6 分）
当 单调递增时，
解得 的单调增区间为 (2)由题意得到 的解析式为
. ……（8 分） ……（10 分）
当
时，
，
∴
……（14 分）
19. （15 分）
（1）在线段 上存在点 ,使得 证明如下：
平面
如图，连接 交 于点 ,连接 .
,且 是 的中点.
∵四边形 为菱形，
∴ 为 的中点.
在
中，由中位线定理可得
.……（4 分）
∵ 平面 ， 平面
∴ 平面
在线段 上存在点 ,使得 平面 ,且 是 的中点.（6 分）
（2） 解法一：
在平面 上的投影长度为
平面
平面
作
,则 平面
则
，且点 为线段 的中点
以 为原点， 方向为 轴，过 平行 方向为 轴，过 以垂直
平面方向为 轴， 轴
在平面 内.
可得
，
，……………（9 分）
…………（11 分）
设平面 的法向量为 解得一个法向量为
，则 .
若直线 与平面 所成角为 ，则
，得
…………（13 分） …………（15 分）
解法二：
在平面 上的投影长度为
平面
平面
作
,则 平面
则
，且点 为线段 的中点
∴
, …………（7 分）
设点 到平面 的距离为
，
， …………（8 分）
,
取 的中点 ，连接 .取 的中点 ，连接
.
,且 为 的中点
∴ 平面
,
即
为直角三角形
………………（12 分）
∴
…………（14 分）
设直线 与平面 所成角为 ，则
……（15 分）
20．（15 分）（1）当 时，
.……（1 分）
，令
，解得
……（2 分）
-1
1
2
∵在
上单调递增，在 单调递减 ……（4 分）
∴
……（6 分）
（2） 当
……（8 分）
时， 的极小值点
，则 的极小值点也为
. ……（10 分）
，则
，
，
仅有两根.
令
则
即，
当
，
. …………（12 分）
，
时，
当
时，
所以 极大值的取值范围是
…………（15 分）
21.（15 分） (1)
当 时，得 ，∴
∴抛物线的方程为
……（2 分）
设
∵
，
∴
，解得
…………（4 分）
又∵
∴直线
即
…………（6 分）
将 式代入
得
令
解得直线 过定点
…………（8 分）
(2)设直线 方程为：
，不妨设
联立
，得
，
利用韦达定理得
，∴
由于
，同理可得
…………（10 分）
又∵ ∴
……（12 分） ∴
∴
的最大值为 . …………（15 分）
22.（15 分） （1）
又
数列
是首项为 ，公比为 的等比数列. …………（5 分）
(2)由（1）可知
即
当 是奇数时，
…………（10 分）
(3)当 为偶数时， 当 为奇数时，
…………（11 分） …………13 分
…………（15 分）