函数解题思路方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号,或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求与已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标、
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就就是所含字母x 的二次函数;下面以a ＞0时为例,揭示二次函数、二次三项式与一元二次方程之间的内在联系:
二、 抛物线上动点
5、(湖北十堰市)如图①, 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)与点B (－3,0),与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式;
(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上就是否存在点P ,使△CMP 为等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,若点E 为第二象限抛物线上一动点,连接BE 、CE ,求四边形BOCE 面积的最大值,并求此时E 点的坐标.
注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时,以C为圆心CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,以M为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。
第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值); 方法二,先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组),再求面积。
①特殊四边形为背景;
②点动带线动得出动三角形;
③探究动三角形问题(相似、等腰三角形、面积函数关系式);
④求直线、抛物线解析式;
⑤探究存在性问题时,先画出图形,再根据图形性质探究答案。
二次函数的动态问题(动点)
1、如图,已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次就是(40)A -，,(20)B -，,(08)E ，. (1)求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式;
(2)设抛物线1C 的顶点为M ,抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点(点C 在点D 的左侧),顶点为N ,四边形MDNA 的面积为S .若点A ,点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动;与此同时,点M ,点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动,直到点A 与点D 重合为止.求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式,并写出自变量t 的取值范围;
(3)当t 为何值时,四边形MDNA 的面积S 有最大值,并求出此最大值;
(4)在运动过程中,四边形MDNA 能否形成矩形？若能,求出此时t 的值;若不能,请说明理由. [解] (1)点(40)A -，,点(20)B -，,点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，,(20)C ，,(08)F -，. 设抛物线2C 的解析式就是
2(0)y ax bx c a =++≠,
则16404208a b c a b c c ++=??++=??=-?，，．解得168a b c =-??
=??=-?
，，． 所以所求抛物线的解析式就是2
68y x x =-+-. (2)由(1)可计算得点(31)(31)M N --，，，.
过点N 作NH AD ⊥,垂足为H .
当运动到时刻t 时,282AD OD t ==-,12NH t =+. 根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，,所以四边形MDNA 就是平行四边形. 所以2ADN S S =△.
所以,四边形MDNA 的面积2
(82)(12)4148S t t t t =-+=-++. 因为运动至点A 与点D 重合为止,据题意可知04t <≤.
所以,所求关系式就是2
4148S t t =-++,t 的取值范围就是04t <≤.
(3)781444S t ??=--
+ ??
?,(04t <≤).所以74t =时,S 有最大值814
. 提示:也可用顶点坐标公式来求.
(4)在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形.
由(2)知四边形MDNA 就是平行四边形,对角线就是AD MN ，,所以当AD MN =时四边形