第四十讲曲线和方程(轨迹问题)(文)

名师作业练全能

第四十讲

曲线和方程（轨迹问题）（文）

班级 __________ 姓名____________ 考号 ____________ 日期 ___________ 得分____________ 括号内.）

1. 设线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB|= 5, oM = |O ）A +-5OB , 则点M 的轨迹方程为

2 2

x y , A — + ——=1 9 + 4

2 2 C z + 乞=1

C.

25+ 9

答案：A

2.

方程 x （x? + — 4） =

0 与 x + （x? + y — 4）2 = 0 表示的曲线是（

）

A .都表示一条直线与一个圆

B .前者是两个点，后者是一条直线和一个圆

C .都表示两个点

D .前者是一条直线和一个圆，后者是两个点

解析：x(x 2 + y 2— 4)= 0? x = 0 或 x 2 + y 2= 4; x 2 + (x 2 + y 2 — 4)2= 0? x = 0 且 x 2 + y 2 — 4 = 0. 答案：D

3. 设动点P 在直线x = 1上，O 为坐标原点，以 0P 为直角边、点 0为直角顶点作等

腰Rt △ OPQ ，则动点 Q 的轨迹是（

）

2 2

r y X ’

B.勺 + = 1 9 4

2 2

D .2I +討 i

解析: 如图，设 M(x 、

(x , y)= |(X O ,O) +1(0,

3 x = |x o

y o )，则 2

y =|y o

y o =fy

由 |AB|= 5,得

2

!|x/+ gy)= 52 化简得；+

x o =1

A .圆

B .两条平行直线

C.抛物线 D .双曲线

解析：设P(1 , t)、Q(x, y)，由题意|OP|=|OQ|,

??? x2+ y2= 1 + t2①

又OP OQ = o,「?X+ ty= O..?.t=- y, y M 0?② 把②代入①，得(x2+ y2)(y2—1) = 0, 即y=±.

答案：B

4.

(北京东城)如图在平面直角坐标系xOy中，A(1,0), B(1,1)，映射f将xOy平面上的点

2 2

P(x, y)对应到另一个平面直角坐标系uO' v上的点P ' (2xy, x —y ),例如xOy平面上的点P(2,1)在映射f的作用下对应到uO' v平面上的点P' (4,3)，则当点P在线段AB上运动时, 在映射f的作用下，动点P '的轨迹是()

解析：当点P从点A运动到B点时，x= 1,0< y w 1,

7u= 2y u2

?2，消去y，得v = 1—-(0w u W 2,0< v w 1)，在直角坐标系uO' v中，作出v= 1 —y 4

函数的图象，是抛物线的一段，故正确答案是 B.

答案：B

5. (2019重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()

A .直线

C.抛物线

解析：

B ?椭圆

D ?双曲线

在长方体ABCD —A I B I C I D I中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线AD与D i C i

是异面垂直的两条直线，过直线AD与D1C1平行的平面是面ABCD，设在平面ABCD内动点M（x, y）满足到直线AD与D1C1的距离相等，作MM j丄AD于M j, MN丄CD于N , NP丄D i C i 于P,连结MP，易知MN 丄平面CDD i C i, MP丄D i C i,贝V有MM i= MP , |y|2= x2+ a2（其中a是异面直线AD 与D i C i间的距离），即有y2—x2= a2,因此动点M的轨迹是双曲线，选

D.

答案：D

6. 已知点P在定圆0的圆内或圆周上，动圆C过点P与定圆0相切，则动圆C的圆心轨迹可能是（）

A.圆或椭圆或双曲线

B ?两条射线或圆或抛物线

C.两条射线或圆或椭圆

D ?椭圆或双曲线或抛物线

解析：当点P在定圆0上时，O C与O 0或内切，或外切，0, P, C三点共线，.??轨迹为两条射线；

当点P在O 0内时（非圆心）,|0C 1+ |PC|=r°为定值，轨迹为椭圆；

当P与0重合时，圆心轨迹为圆.

答案：C

二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上.）

7. 已知点A(a, b), B(2b,2a)(a^ b),若0P=入=—=(氏R).则点P 的轨迹

方程是__________ .

解析：0>A|= ,a2+ b2,

|0B|= . 2b 2+ 2a 2= 2 a2+ b2,

设 P 点坐标(x , y),则

OP = (x , y).

~a 2+ b 2 ② ①逾消去参数人得x =— y ，即x + y = 0. 答案：x + y = 0

2

&倾斜角为n 的直线交椭圆T + y 2= 1于A 、B 两点，则线段 AB 中点M 的轨迹方程是

4 4

解析：设直线AB 方程为y = x + m ,代入椭圆方程，得

5

x

2

+ 2mx + m 2 — 1 = 0,

4

设AB 中点坐标为(x , y),贝U

x i + x 2 4m m

乂=丁 = — 丁, y = 5 ,

消去m 得x + 4y = 0

又据△= 4m 2 — 5(m 2— 1)>0 得—■ 5

答案：x + 4y = 0( — 5 . 5

9.

坐标平面上有两个定点 A 、B 和动点P ,如果直线FA 、PB 的斜率之积

为定值 m ,则

点P 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线?试将正确的序号填在 横线上： __________ .

解析：以AB 直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立坐标系，其中A(— a,0), B(a,0).设

y y

2 2 2

p(x , y),则有 x T a X —a =m

'即

mx

—

y =a m ,

a —

b

va 2+ b

y =入

这可以是椭圆（m v 0且m ^ — 1）、双曲线（m >0）、圆（m =— 1）、直线（m = 0）的方程，但 不能是抛物线的方程.

答案：①②④⑤

2 2

10. P 是椭圆令+ y 2= 1上的任意一点，F i 、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ =

a b

解析：本题考查向量的运算及其综合应用.

由OQ = P F 1+ P F 2,又P F 1+ P F 2= PM = 2PO

=—2OP ，设 Q(x , y).则 OP = — 1oQ =— 1(x , y) = (-1, — 2 )，即 P 点坐标(—f,—扌),

三、解答题： （本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步

骤.）

2

11. 已知点 A （ — 2,0）, B （2,0），动点 P 满足：/ APB = 2 0,且 |PA||PB|sin 0= 2. （1）求动点P 的轨迹Q 的方程；

（2）过点B 的直线I 与轨迹Q 交于两点M , N.试问在x 轴上是否存在定点 C ,使CM CN 为常数，若

存在，求出点

C 的坐标；若不存在，说明理由.

解析：（1）依题意，由余弦定理得：

|AB f = |FA|2+ |PB 2 — 2|PA| |PB| cos2 0,

X 2 2

厂+

2

即Q 的轨迹方程为4? +

又P 在椭圆上，则有

—y 2

、一 2丿

亍=1

? 2

2

4a 2

+ 4b^=

1，

P F 1+ P F 2,则动点

1.

即16= |PA|2+ |PB|2—2|PA| |PB| (? - 2sin20)

2 2 2

=|PA|2+ |PB|2—2|PA| |PB|+ 4|PA| |PB| sin20

=(|PA—|PB|)2+ 8.

???(|PA|-|PB|)2= 8,

即||PA|—|PB||= 2 2<4 = |AB|.

(当动点P与两定点A, B共线时也符合上述结论)

?动点P的轨迹为以A，B为焦点，实轴长为2 2的双曲线. 所以，轨迹Q的方程为x2—y2= 2.

⑵假设存在定点C(m,O)，使C M C IN为常数.

①当直线I不与x轴垂直时，

设直线I的方程为y= k(x —2)，代入x2—y2= 2整理得:

2 2 2 2

(1 —k ) x + 4k x—(4k + 2)= 0.

由题意知：k^±.

设M(X1, yj, N(x2, y2), X1 + x2= 4k2+ 2 k2—1 .

于是CM C N =(X1 —m)陲一m) + k'g —2) (X2—2) =4仁：+ m2+ 2(1 —2m).

要使Cl\t C~N是与k无关的常数，当且仅当m = 1，此时C M

②当直线I与x轴垂直时，可得点M(2, 2), N(2,—2), 当m= 1 时，C M C~N = (1, .2) (1 , —,2) = —1.

故在x轴上存在定点C(1,0),使CM C U为常数.

12. 如图，M( —2,0)和N(2,0)是平面上的两点，动点P满足: CN =—1.

|PM|+ |PN|= 6.

1L.v

P

叭

M 0科―匚

(1)求点P的轨迹方程；

2 一

⑵若|PM||PN|= 1— eg/ MPN，求点P的坐标.

x1 X2 =

解析：(1)由椭圆的定义，知点 P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长为 2a = 6的椭圆. 因此半焦距c =

2,长半轴长a = 3,从而短半轴长 b = -,/a 2— c 2= - 5.

2 2

所以椭圆的方程为 -+ y = 1.

9 5

2

⑵由 |PM||PN|= 1— cos Z MPN ，得

|PM | |PN |cos Z MPN = |PM | |PN| — 2?①

因为cos Z MPN 丰1 , P 不为椭圆长轴顶点，故 P 、M 、N 构成三角形.在△ PMN 中,

|MN|= 4,由余弦定理有 |MN|2=|PM|2+ |PN|2 — 2|PM| |PN|cos Z MPN.②

将①代入②，得

42= |PM |2+ |PN|2 — 2(|PM| |PN|— 2).

所以(|PM|— |PN|)2= 12，即 |PM|— |PN||= 2 3.

2

故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为 2 3的双曲线X — y 2= 1 上.

3

2 2

由(1)知，点P 的坐标又满足X +y =1,

9 5

即P 点坐标为晋，于、穿，一于、—写，于或一^,—于.

13. (2019北京卷)在平面直角坐标系 xOy 中，点B 与点A( —1,1)关于原点O 对称，P

1

是动点，且直线 AP 与BP 的斜率之积等于—-

(1)求动点P 的轨迹方程；

⑵设直线AP 和BP 分别与直线x = 3交于点M 、N ,问：是否存在点 P 使得△ PAB 与厶 PMN 的面积

相等？若存在，求出点

P 的坐标；若不存在，说明理由.

解析：(1)因为点B 与点A( — 1,1)关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1 , — 1). 设点P 的坐标为

(x , y),

所以由方程组

9y 2

= 45,

x = =3,

解得

y = 4

± 2 '

5

—2 '

由题意得山也

x+ 1 x—1

化简得x2+ 3y2= 4(X M±1).

故动点P的轨迹方程为x2+ 3y2= 4(X M±1).

⑵解法一：设点P的坐标为(x o, y o)，点M , N的坐标分别为(3, y M), (3, y N),则直线AP 的方程为y—1 = y o丁I II(x+ 1)，直线BP 的方程为y+ 1 = y—1(x—1).

4y o + x o —3 2y o—x°+ 3 1

令x = 3 得y M = , y N = x—1—.于是△ PMN 的面积S A PMN =二画—y N|(3 —x o)

2

|x o + y o| 3 —x o

一1解法二：若存在点P使得△ PAB与厶PMN的面积相等，设点P的坐标为(X o,

y o).则- |PA| |PB|sin/APB = 2|PM| |PN|sin/MPN .

所以田=酗

|PM| |PB「

所以

所以|3—x o| |x o—1|.

即(3 —x o)2= |x o2— U,解得x o = 3.

因为x o2+ 3y o2= 4,所以y o= 埒.

故存在点P使得△ PAB与厶PMN的面积相等，此时点

|x o —11

又直线AB的方程为x+ y= o, |AB|= 2J2，点P到直线AB的距离d= 厂<2

II

于是△ PAB的面积S^FAB= 2|AB | d" = |x o + y o|.

当S^PAB=S A PMN时，得|X o+ y o|= 3'

又|x o + y°|M 0，所以(3 —x o)2=X o2—1|,解得x0 = |.

因为x°2+ 3y°2= 4,所以y o= W^.

故存在点P使得△ PAB与厶PMN的面积相等，此时点P的坐标为

x o+ 1

|x o+ y o|

3

P的坐标为5