函数与导数
1.已知函数 f(x) 4x 3 3tx 2 6tx t 1,x R ，其中 t R .
(I)当t 1时，求曲线y f (x)在点(0, f (0))处的切线方程； (n)当t 0时，求f (x)的单调区间；
(川)证明：对任意的t (0,
), f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零
点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分
14分。
(I)解：当 t 1 时，f(x) 4x 3 3x 2
6x, f (0) 0, f (x) 12x 2 6x 6
f (0)
6.所以曲线y f (x)在点(0, f(0))处的切线方程为y 6x.
(n)解：f (x) 12x 2 6tx 6t 2，令 f (x) 0,解得 x
t 或 x -.
2
因为t 0，以下分两种情况讨论：
(1)若t 0,则- t,当x 变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表:
所以，f(x)的单调递增区间是,
|
；f(x)的单调递减区间是 屮
⑵若
t
则t ，当
x
变化时，
f(x)f(x)
的变化情况如下表:
所以，f(x)的单调递增区间是 ，t ,丄， ；f(x)的单调递减区间是 t,-
2 2
(川)证明：由(n)可知，当
t 0时，f(x)在0,1内的单调递减，在 -, 内单调
2 2
递增，以下分两种情况讨论：
(1)当-1即t 2时，f (x)在(0，1)内单调递减，
2
f (0) t 1 0, f (1) 6t 2 4t 3 6 4 4 2 3 0.
所以对任意t [2, ), f(x)在区间(0，1 )内均存在零点。
t (0,1], f
1
7t 3
t 1
7t 3
0. 2
4
4
所以f(x)在-,1
2 内存在零点。
t
若 t (1,2), f -
7t 3
t 1
厶3 1 0
2
4
4
f(0) t 1
所以f(x)在0
2
所以，对任意t (0,2), f(x)在区间(0，1)内均存在零点。 综上，对任意t (0, ), f(x)在区间(0，1)内均存在零点。
2.已知函数 f (x)
2
x 1， h(x) x . 3 2
(I)设函数 F (x ) = 18f (x ) — x 2[h (x )] 2，求F (x )的单调区间与极值； 3
3
(n)设 a R ，解关于 x 的方程 lg[ f(x 1)
] 2lg h(a x) 2lg h(4 x);
2
4
*
1
(川)设 n N ，证明：f(n)h(n) [h(1)
h(2) L h(n)]
6
本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数 与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.
解：(I) F(x) 18f(x) x 2[h(x)]2 x 3 12x 9(x 0)，
2
F (x) 3x 12 .
(2)当 0
- 1,即0 t 2 时, 2
f (x)在0,-内单调递减，在
2
1,1内单调递增，若 2
f (1) 6t 2 4t 3 6t 4t 3
2t 3
0.
x 2 ( x 2 舍去).
(x) 0 ;当 x (2, F(x)为增函数；当
x 2为F (x)的极大值点，且
令 F (x) 0,得 当 x (0,2)时.F 故当x [0,2)时，
(n)方法一：原方程可化为
)时, x [2,
F (2)
8 24
3 log^ f (x
即为 Iog 4(x 1) log 2 a x log 2 4
F (x) 0 ,
)时，F(x)为减函数.
9 25 .
I ]_ log 2 ' a x ，且
1)
Iog 2h(a x) Iog 2h(4 x), ①当1 a 4时,
4a 0 ,此时
-，即 x 2 6x 4 x
6 . 20一4a ,
a, x 4,
?/ 1 x a ,
此时方程仅有一解 x 3 5 a .
②当 a 4 时，1 x 4，由x 1
若4 a 5，则 0
，方程有两解 右a 5时，则 0， 方程有 「解
若a 1 或 a 5， 原方程无解.
方法「
一：原方程可化为 Iog 4(x 1) 36 4(a 4)
20 Iog 2 h(4 4 x x a
-，得 x 2
6x x
3 5—a ; 3 ； 36 4(a 4) 20 4a ,
1
即- log 2(x
1) log 2 . 4 x log 2 a
x) log 2 h(a x), x 4 a
(x 0,
0, 0,
①当 4时，原方程有一解 .5 a ;
②当 5时，原方程有二解 ③ 当 ④ 当
x 1)(4 x)
x.
a,
(x 3)「 5.
a
5时，原方程有一解x
1或a 3;
5时，原方程无解.
(川)由已知得 h(1) h(2)
f (n)h(n) 1
6 6
L h(n)]
设数列｛a .｝的前n 项和为S n ，且 S n f(n)h(n) (nN )
从而有a S , 1，当2 k
100 时，a k
S k
S < 1
又 a k
k ![(4k 3) k (4k 1) .^1]
6
1
6 (4 k 3) -k (4 k 1) !T^
即对任意k 2时，有a k . k ，又因为a !
(4 k
4k 3
k 6
2
3) k (4 k
4k 1 k 1 . 6
2
1) (k 1) (4 k 3)、k (4 k 1) k 1
■-1，所以 a a 2 L a n -1 - 2 L ? n .
则￡
h(1) h(2) L h(n),故原不等式成立.
3.设函数f(x) a21 nx x2 ax, a 0
(i)求f (x)的单调区间；
(n)求所有实数a，使e 1 f(x) e2对x ［1,e］恒成立.
注：e为自然对数的底数.
【解析】(21)本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。
(I)解：因为f (x) a21 nx x2 ax.其中x 0
所以f (x) 2x a (x a)(2x a)
x x
由于a 0,所以f (x)的增区间为(0, a)，减区间为(a,)
(n)证明：由题意得，f(1) a 1 c 1,即a c
由(i)知f(x)在［1,e］内单调递增,
要使e1f(x)e2对x［1,e］恒成
立,
f(1) a 1 e 1,
只要
f (e) 2 a2e ae 2 e
解得a e.
x
5 e
4.设f(x) 2，其中a为正实数.
1 ax
(i)当a 4时，求f(x)的极值点；
3
(n)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.
【解析】(18)(本小题满分13分)本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.
1 2
解：对f(x)求导得f (x) e x1 ax2 a x. ①
(1 ax2)2
4 3 1
(I )当a ，若f (x) 0,则4x2 8x 3 0,解得治，x? .
3 2 2
综合①，可知
3 1
所以，X i 是极小值点，X2 是极大值点?
2 2
(II )若f (x)为R上的单调函数，则f(X)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2 2ax 1 0
在R上恒成立，因此4a2 4a 4a(a 1) 0,由此并结合a 0,知0 a 1.
5.已知a, b 为常数，且0,函数f (x) =-ax+b+axlnx , f (e) =2 (e=2. 71828…是自然对数的底数)。
(I )求实数b的值；
(II )求函数f (x)的单调区间；
(III )当a=1时，是否同时存在实数m和M(m 1 一一 线y=f (x) (x€ [- , e])都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M e 若不存在，说明理由。 【解析】22.本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。 解：(I )由f(e) 2得b 2, (II )由(I )可得f (x) ax 2 axln x. 从而f '(x) aln x. 因为a 0 ,故： (1)当a 0时，由f(x)>0 得x>1,由f(x)<0 得0 (2)当a 0时，由 f '(x) 0得0 x 1,由f'(x) 0得x 1. 综上，当a 0时，函数f (x)的单调递增区间为(1,), 单调递减区间为(0, 1)； 当a 0时，函数f(x)的单调递增区间为(0, 1), 单调递减区间为(1,)。 (III )当a=1 时，f(x) x 2 xln x, f'(x) In x. 1 由(II )可得，当x在区间(丄，e)内变化时，f '(x), f (x)的变化情况如下表: 又2 2,所以函数f'(x) (x [丄，e])的值域为[1，2]。 e e 据经可得，卄m 若 M 1 '，则对每 一 2 -个t [m,M ]，直线y=t与曲线y 1 +亠 f (x)(x [—,e])都有e 公共点。 并且对每「个t (,m) U(M,)，直线y t与曲线y f(x)(x 1 [—,e])都没有公共点。 综上，当a=1时，存在最小的实数m=1最大的实数M=2使得对每一个t [m,M ]，直线 y=t 1 与曲线y f (x)(x [—,e])都有公共点。 e 6.设函数f(X x32ax2bx a，g* ) x23x 2，其中x R，a、b为常数，已知曲 线y f (x)与y g(x)在点(2,0 )处有相同的切线I。 (I)求a、b的值，并写出切线I的方程； (II )若方程f ()x g(x mx有三个互不相同的实根0、x、x，其中x1x2，且对任意 的x x1,x2，fx() g()x m(x 1)恒成立，求实数m的取值范围。 【解析】20.本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，(满分13分) 2 解：(I) f (x) 3x 4ax b, g (x) 2x 3. 由于曲线y f (x)与y g(x)在点(2, 0)处有相同的切线， 故有f(2) g(2) 0, f (2) g (2) 1. 精品文档 所以a 2,b 5，切线I 的方程为x y 2 (□)由(I)得 f(x) x 3 4x 2 5x 2，所以 f(x) g(x) x 3 3x 2 依题意，方程x(x 2 3x 2 m) 0有三个互不相同的实数 0, x !, x 2, 故x i , x 2是方程x 2 3x 2 m 0的两相异的实根。 所以 9 4(2 m) 0,即m 又对任意的x [ x 1, x 2], f (x) 1 4. 1)成立， g(x) m(x 特别地，取 x X 1 时，f(xj g(xj mx 1 m 成立，得m 0, 由韦达疋理， 可得x 1 x 2 3 0, x 1x 2 2 m 0,故 0 x 1 x 2 对任意的 x [X 1,X 2],有 x-x 2 0,x % 0, x 0 则 f (x) g(x) mx x(x x 1)(x x 2) L 0,又f(xj g(x ,) mx-, 0 所以函数f(x) g(x) mx 在x 以必]的最大值为0。 于是当m 0时，对任意的x [x ,,x 2], f(x) g(x) m(x 1)恒成立, 1 综上，m 的取值范围是(-,0). 4' 由此得 8 8a 2b 12 8a b a 1, 0, 解得： 2, 5. 2x.
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