水流作用力垂向变化对块体抛放影响的综合研究
庞启秀,徐金环,辛海霞
(河海大学交通学院,南京210098)
摘 要:考虑块体在水体中的相对位置,综合研究了不同水深区域内水流作用力系数的变化关系。在自
由水表面和河床壁面附近区域,应分别考虑水表面波动和边界层对垂线流速分布的影响,由平均流速计
算得出的拖曳力系数与相对位置基本呈递增关系,而上举力系数递减;介于上述区域之间时,近似认为
拖曳力系数和上举力系数不随相对位置变化。因此,在受力分析以计算石块或沙袋的抛掷位移时,应考
虑水流流动作用力垂向不断变化的特点。
关键词:抛石;相对位置;拖曳力系数;上举力系数
中图分类号:TV131 文献标识码:A 文章编号:1005-8443(2005)01-0043-04
收稿日期:2004-09-12
基金项目:江苏省重点学科建设基金项目(4021B3)
作者简介:庞启秀(1977-),男,山东潍坊人,硕士,主要从事航道水力学研究。
在抛石筑坝时,通常需要考虑石块或沙袋的抛掷位移,而其位移在很大程度上又受水流流动作用力的影响。但是由于研究成果较少,对抛石下沉过程中受到的水流作用力,从自由水表面到床面的垂向整个区域内的变化情况缺乏统一认识。
球体仅需一个几何尺度,即直径或名义粒径(等体积球的直径)便可确定粒径尺寸[1],而石块或沙袋不同,需要3个空间尺度来表征块体大小。但研究块体所受水流力的试验,多是在水流垂向某些特定区域内进行的;洪水淹没下的桥梁荷载[2-3],研究限于水体表面附近区域;碎石床的冲刷[4]、护床块体稳定性[5-6]
,研究限于河床、河岸上;沙袋抛掷位移及稳定性[7],虽然涉及垂向整个区域,但研究者为便于计算而假定作用力系数为常数。在竖直断面上,依据作用力系数与相对位置变化关系,区域位置可划分为自由水表面附近、河床面附近及介于两区域间部分。通过考虑块体在水体中的相对位置,综合研究了不同水深区域内水流作用力系数的变化情况。1 块体受到的水流作用力
抛掷于水中的块体在有效重力作用下,初始向下作加速运动,并引起向上的水体阻力。同时,水流流动也将对块体产生作用力,在流动方向上的分力为拖曳力F D ,在垂直于流动方向上的分力为上举力F L 。引用Evett 等人[8]的计算公式:
F D =12Q C D A 1U 2
(1)
F L =12Q C L A 2U
2(2)其中:C D 和C L 分别为拖曳力系数和上举力系数;U 为断面垂线平均流速;A 1为块体在垂直于来流方向的投影面积,A 2为块体在来流方向的投影面积,对球体、正方体而言,可取A 1=A 2,而如长方体形的块体,A 1与A 2的取值应不同。但文献[2]为方便于工程应用,也取了两者相等;块体最低部到床面的距离y 与水深H 的比值y /H 计入作用力系数C D 和C L 。由式(1)和式(2)可变化得到C D 和C L 的表达式: 水流作用力垂向变化对块体抛放影响的综合研究 庞启秀等
C D =F D /0.5Q A 1U 2
(3)C L =F L /0.5Q A 2U 2(4)
如式(1)和式(2)所示,作用力与平均流速成正比关系。但在断面竖直方向上,由于在水流条件不变情况下,断面垂线平均流速为定值,则式(1)和式(2)不能反映出作用力与流速的关系,需要通过作用力系数来反映。因此,研究相对位置对作用力的影响,就转化为研究相对位置对作用力系数的影响。
2 床面附近区域作用力系数垂向变化关系
固体壁面的存在,至少以两种方式直接影响流场:第一是固体壁面约束垂线流速;第二是在壁面上形成边界层。Patnaik 等人[9-10]的试验结果表明:球体远离床面过程中,C D 逐渐增大;平均上举力系数C L 则逐渐
减小,甚至在离床面较远时出现负值。Bear man 等人[11]研究圆柱体(轴向垂直于水流方向)拖曳力系数随相
对位置的变化关系表明:从3倍直径D 处开始至距离壁面0.6D (在圆柱体不存在时流体的边界层厚度为0.8D )过程中,拖曳力系数略微增加;然后进一步靠近壁面,C D 的数值将迅速减小。Devarakonda 等人[12]通过测量单个方柱体在空气槽中不同深度时的压强分布并计算出拖曳力、上举力系数,表明从方形断面的空气槽中心线开始至y /H =0113的区域内,拖曳力系数和上举力系数变化不大;然后进一步靠近床面,拖曳力系数C D 开始显著减小,而上举力系数C L 增加。
以上研究者的研究结果基本相同:拖曳力系数在边界层变小,可解释为床面与漩涡的相互作用,影响涡场;C L 随相对位置的降低(靠向床面)而增大,则由垂线流速梯度变大造成。
床面上,需要考虑块石、沙袋的稳定性,以预测整治效果。而以往研究的成果主要为泥沙起动研究、块体失稳机理探讨等。研究块体受力时需要考虑周围块体对被研究块体的影响,主要是块体间的相互直接作用力和局部流场的改变两个方面。由于块体组合的任意性,导致难以找出具有代表性的组合形式,因此测量块体相互间的直接作用力较为困难。Steven 等人[5]研究护底混凝土块体的稳定性时,考虑块体组合间的相互作用,但只是定性观测块体临界失稳状态及临界失稳流速。Patnaik 等人[10-11]考虑床面粗糙度,通过试验测量边界层梯度流在球体上产生的拖曳力和上举力,研究了光滑床面和粗糙床面边界条件下作用力系数跟Re 数及边界层相对厚度D/D (D 为球直径;D 为边界层厚度)的关系:床面上C D 随Re 数和D/D 的增大而增大,而平均上举力系数C L 减小。周围块体的存在改变局部流场,而流场的改变将引起块体上的压强分布和作用力的改变。Coleman 等人[4]研究碎石床的冲刷问题,考虑床面与块体间的相互影响,研究单个块体(只测被研究块体的压强)的暴露度(即块体突出周围块体的高度与块体垂直于床面方向上的高度的比值)与块石的临界切应力之间的关系,认为增加暴露度会降低其稳定性,定量研究了周围块体的影响情况。
研究抛掷后石块在床面上稳定情况,可借鉴Steven 等人[5]的研究方法,研究石块的起动流速。Zhu 等人[7]通过试验推导出沙袋的起动流速,虽然考虑了沙袋的形状参数(宽高比值)的影响,但并没有考虑床面影响。在进一步研究石块抛掷床面后的稳定性时,应借鉴Coleman 等人[4]的方法,将暴露度引入起动流速。
作用力系数受床面影响比较显著的区域,限于边界层D ,其厚度与试验条件有关,难以给出确定的数值,但可由文献资料推断该区域非常薄,在工程应用时,视具体情况可不划分出此区域。
3 自由水表面附近作用力系数垂向变化关系
在完全淹没状态下,Zhu 等人[13]研究圆柱体(轴向垂直于运动方向)在静水中抛物线型运动引起的流场及所受阻力情况,认为淹没度显著地影响着涡场,而涡场的瞬时变化又影响着作用在圆柱体上的瞬时荷载。Malavasi 等人[2]研究桥梁在被洪水淹没时的水动力荷载,将桥梁简化为块体,固定其到床面的距离而变换水位,相当于块体的水深位置不断变换。试验给出了以淹没度h *
(上游水位与块体底高程的差值跟块体厚度之比)和Fr s (=U/gs,s 为块体厚度)为参数的作用力系数变化曲线。为了表述统一,将其应用的淹没度转换为本文采用的相对位置,其试验结果即可表述为块体被完全淹没时,随相对位置y /H 的增大,拖曳力系数C D 和上举力系数C L 最初近似保持为常数,然后C D 、C L (绝对值)迅速增大,至接近水面的某个位置处后开始减小。但该转折点与Fr s 有关,Fr s 越小,转折点越靠近水表面。本文选用的数据,其转折点出现在y /H 水道港口 Journal of Waterway and Harbour
第26卷第1期 2005年3月
=0.66(y 为块体底边与床面距离)处,相应块体中心位置则为0.8H 。
而在半淹没状态时,为方便工程应用,Malavasi 等人[2]采用块体的总迎水面面积来计算C D ,试验结果表明,半淹没状态时,C D 和C L (绝对值)随y /H 的增大而迅速减小。而美国联邦公路管理委员会(FHWA)采用水流作用实际面积来计算时,推荐为210 该区域即为石块抛掷后,从接触水面至被完全淹没并下沉到某个深度。Malavasi 等人[2]在其试验中的研究区域下限为0.5倍水深,但同时其研究也表明与Fr s 有关。 4 介于两者间区域内作用力系数垂向变化关系 床面和水表面附近区域分别受河床壁面和水表面波动影响,但介于两区域间的水体部分,文献[2]和 [12]则忽略了自由水表面波动和河床壁面对该区域垂线流速分布的影响,认为C D 和C L 随相对位置y /H 变化不大。Malavasi 等人[2]认为在淹没水深达到一定程度后,可近似认为拖曳力系数、上举力系数均不随淹没度变化。Devarakonda 等人[12] 的试验结果也表明当块体与床面的距离增大到0.13H 后,拖曳力和上举力系数随相对位置变化微弱。鉴于该区域不受自由水表面波动和河床壁面的影响,这可与无限水体Blevins [14]的中数值比较。但同时也应注意到,他们的研究都是在实验室内完成的,而且研究仅限于部分水深区域。Malavasi 等人[2]只是研究了水流表面附近,而Devarakonda 等人[12]只研究空气槽的中下部分,都可能与天然河流中的实际垂线流速分布有所差别,则作用力系数与相对位置间的关系就将有所不同,甚至不会出现此区域。5 相对位置y /H 对作用力系数的影响的本质 为了统一、直观地描述相对位置影响,从以上床面附近、自由水表面附近及介于两者间区域中选取具有代表性的研究成果[2,12,14]绘于图1和图2。其中,Blevins [14]为无限水体研究成果;Malavasi 等人[2] 及De - varakonda 等人[12]的数据,则为便于比较,均取块体雷诺数(以块体特征量表达)Re s =2.0@104时的,而前者 是按原作者所述的Re s ,Fr s 成比例关系将其采用的Fr s (取Fr s =0.44时)转化过来的。在图1和图2中,y /H <017的曲线部分,表示块体恰没入水面, 即完全淹没状态。图1 在Re D U 210@104时块体的拖曳力 系数与相对位置的关系图2 Re D U 210@104时块体的上举力系数与相对位置的关系 以上文献Malavasi,Devarakonda 等人的C D 数值都是为方便于工程应用而采用平均流速如公式(3)计算得到的,其中的U,A 为定值,而作用力F 为试验测量得出的,其数值与作用在块体表面上的水流流速呈正比关系,因此整个分子式的数值,即C D 与作用流速呈正比关系,C D 与相对位置间的关系曲线也将同于垂线流速分布曲线。在床面边界层,存在着垂向流速梯度,流速垂向不断增大,则作用力F D 不断增大,C D 数值也就不断增大,Devarakonda 试验结果也表明如此。若垂线流速分布按指数型分布规律(制约流速最大值在水面处),则在块体靠近水表面过程中,C D 将持续增大。考虑水表面波动影响,垂线流速分布不再是常用的对 水流作用力垂向变化对块体抛放影响的综合研究 庞启秀等 数型流速分布律或指数型流速分布律,而是如文献[15]所述,实际上明渠水流的垂线流速最大值往往在0.8H 处,则C D 相应地将是随y /H 的增大(靠近水表面过程),C D 先增大,至0.8H 处后开始减小。这与前面所述Malavasi 的试验结果相同。在图1中,y >0.7H 时,为块体半淹没状态,此时只有部分块体面积迎流,但原试验者为工程应用方便,仍采用定值的块体总面积来计算作用力系数,则从公式(3)可知,相当于把分母上的A 数值取大,所以分子式的数值即C D 数值变小,C D 与y /H 必然呈递减关系。这可作为前面所述Malavasi 等人[2]的与FHWA 的结论不同的解释。但为工程应用方便,仍可如Malavasi 等人所采用的方法,用定值的块体总面积代替水流作用面积,则作用力系数不断变换,曲线如图1所示。 上举力大小与流速梯度有关,计算得出的上举力系数也就受流速梯度的影响。边界层和水表面处流速梯度大,则对应上举力系数(绝对值)就大,其与相对位置间的关系曲线如图2所示。而水流中间部分上举力较小,近似为零,与试验者的研究区域有关,在非研究区域假定流速分布垂向均匀,即不存在流速梯度。 但如果采用作用在块体上的水流流速如块体中心点流速来计算作用力系数,即公式(3)分子式的分子分母均有变量(分别为作用力和流速),则其比值即C D 数值将不能通过简单推理而知,需要进一步试验确定。因此,作用力系数与相对位置间的关系与计算时采用的流速有很大关系,但为工程应用方便,仍可采用垂线平均流速来计算作用力系数。应用时,只需测量出断面平均流速即可方便地计算出块体所处位置的水流作用力。 从图1中还可看出,3条曲线并不能很好地衔接,即不同研究区域内的C D 、C L 的数值存在差距。分析其原因:(1)块体形状参数影响,Devarakonda 等人研究的块体,其长高比值在流速方向上为常数1.0,而Malavasi 等人的则为3.0,这说明作用力受块体形状影响;(2)Malavasi 等人的试验结果表明作用力系数还与Fr 有关。这说明位置影响仅是其中一个因素,在进一步的研究中还要考虑其他因素。 6 结语 通过综合分析在某些特定区域内水流作用力垂向变化情况的研究成果,当块体抛掷入水后,其拖曳力系数C D 和上举力系数C L 随相对位置的变化关系,大致可表述为:从接触水面开始至0166H 处,C D 、C L (绝对值)都不断增大;但是在块体进一步下沉至015H 过程中,C D 、C L (绝对值)又开始不断减小;然后块体继续下沉,但作用力系数垂向变化不大,与相对位置的关系在图中近似表现为直线;当块体下沉到床面附近时,随块体靠近床面,床面影响逐渐显著,垂线流速梯度变大,上举力系数则迅速增大,而拖曳力系数迅速减小。因此,在受力分析以计算石块或沙袋的抛掷位移时,应考虑水流流动作用力垂向不断变化的特点。 参考文献 [1]窦国仁1再论泥沙起动流速[J]1泥沙研究,1999,12(6):1-91 [2]Malavasi S,Guadagnin A.Hydrodynamic loading on river brideges[J].Hydraul.Eng.,2003,129(11):854-861. 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Keywords:PDA;CASE;C APWAP;high strain (上接第46页) [13]Zhu Q,Lin J C,Unal M F,et al.Motion of a cylinder adjacen t to a free-surface:flow patterns and loading[J].E xp.Fluids.2000,28:559 -575. [14]Blevins R D.Applied fluid dynamics handbook[M].New York:Van Nostrand Reinhold Co.,1984,309-347. [15]孙东坡,王二平,董志慧,等1矩形断面明渠流速分布的研究及应用[J]1水动力学研究与进展,2004,19(2):144-151. In fluence of Vertical Varia tion of Hydrodynamic Forces on Block Setting PANG Q-i xiu,X U Jin-Huan,X IN Ha-i xia (Traffi c College o f Hohai Univ.,Nan jing210098,China) Abstract:The hydrodynamic force coefficients in vertical different fluid regions are studied based on the relations between the force coefficients and the relative position.Within the re gions nearby the channel bed and the free water-sur-face,the infiuence of boundary layer and water-surface should be taken into account correspondingly.The drag coefficient calculated by the vertical average velocity is approximately incre mental with the relative position,while lift coefficient de-creased;between these two regions,the drag and lift coefficients keep constant with the relative position.Therefore,it should be considered that the character of hydrodynamic force changing continuously,when analyzing forces to calculate the displace ment of setting block. Keywords:block setting;rela tive position;darg c oefficient;lift c oefficient 长方体表面积的变化 知识要点 1.拼接 总结：按照这样的拼接方法，减少的面=（正方体的个数-1）×2 2.切割 总结：按照这种切法，增加的面=（正方体的个数-1）×2 一．例题讲解 【例1】看图填空。 1.将2个长为1厘米的小正方体，如右图的方式拼成一个长方体，拼成后的长方体表面积比原来2个单独的小正方体的表面积减少了个正方形的面积。 2.将3个长为1厘米的小正方体，如右图的方式拼成一个长方体，拼成后的长方体表面积比原来3个单独 的小正方体的表面积减少了个正方形的面积。 3.将4个长为1厘米的小正方体，如右图的方式拼成一个长方体，拼成后的长方体表面积比原来4个单独 的小正方体的表面积减少了个正方形的面积。 正方体的个数 2 3 4 5 6 拼成后减少了原来几个面的面积 原来正方体的变面积之和 拼成后的长方体的表面积之和 【例2】想一想。 1.把一个长方体正好切成两个棱长1厘米的正方体，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 2. 把一个长方体正好切成三个棱长1厘米的正方体，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 3. 把一个长方体正好切成四个棱长1厘米的正方体，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 4.把下图的长方体按照三种不同的方法切成两个长方体，表面积分别增加了多少平方厘米？ 【例3】填空。 1.把2个棱长3厘米的正方体拼成一个长方体，拼成后长方体的表面积比原来2个正方体的表面积之和减少了（）平方厘米。 2.把4个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体，拼成后长方体的表面积比原来4个正方体的表面积之和（）平方厘米，这时长方体的体积是（）立方厘米。 3.用两个长6厘米，宽3厘米，高1厘米的长方体，拼成一个表面积尽可能小的长方体，拼成的长方体表面积是（）平方厘米。 4.一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了（）平方厘米。 5.将两个表面积都是12平方分米的小正方体拼成一个长方体，长方体表面积为（）平方米。 6.一个长方体的棱长之和是80厘米，这个长方体恰好可切成两个正方体，长方体的表面积是（）平方厘米。 7.正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大（）倍。 【例4】判断。 1.若一个长方体和一个正方体的所有棱长之和相等，那么他们的表面积也一定相等。（） 2.一个正方体表面积是18平方厘米，把它切成2个完全相等的长方体，表面积比原来增加了3平方厘米。（） 3.把两块棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了8平方厘米。（） 4.一根长方体木料，横截面是24平方厘米，把它锯成3段后，表面积增加72平方厘米。（） 【例5】应用。 1. 将一个长2米长方体木料锯成3段，表面积增加160平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 2.做一个20米的通风管道，管道口是正方形，边长是0.4米，做这个管道至少需要用铁皮多少平方米？（接缝处不计） 3.有一个长方形，长8厘米，宽6厘米，如果把长方形的面积扩大到84平方厘米，宽不变，那么长方形的长应该增加多少厘米？ 4.把一个棱长为2分米的正方体铁块割成两个长方体后，浸没在防锈液中，问浸到防锈液的总面积是多少平方分米？ 5. 底面是正方形的长方形，高缩短5厘米后成为一个正方体，那么表面积减少1.2平方分米，正方体的表面积是多少？ 课堂练习 （1）一个长方体正好分割成3个体积相等的正方体。已知一个正方体的表面积是3平方厘米，原长方体 《长方体的表面积》公开教案教学目标：1、通过动手操作，理解长方体的表面积的意义，由此建立表面积的概念。 2、能根据现实情景和信息，通过动手操作、小组合作、 观察思考等方法，去探求长方体的计算方法，初步培养学生的探求意识和探求能力。 3、使学生感受数学与生活的密切联系，培养初步的数学应用意识，并在探究过程中获得积极的数学情感体验。 教学重点：理解长方体的表面积的意义，建立表面积的概念。 教学难点：掌握长方体的表面积的计算方法。教学流程： 一、复习旧知，引入新、复习长方体的特征。师：同学 们，我们上节已经认识了长方体，知道它们是 由 6 个长方形围成的立体图形。那么它们都有哪些特征？生：长方体有6个面，12条棱，8个顶点，相对的面完全相同（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的棱长度相等。 2、师：同学们说得真好，都已经掌握了长方体的特征。那么今天我们继续来研究长方体，一起来探究一下长方体的面。 二、实践操作、探究新知 、教学长方体表面积的概念。师：现在老师手中有一个长方体纸盒，昨天同学们回家也都做了一个，刚才我们说长方体有6 个面，他们分别是，（边说边指），那么如果我们沿着长方体 的某些棱剪开，再展开，会是什么形状呢？ 接下来学生动手剪（强调要求）师：请同学们仔细观察，展开后，你发现了什么？生：我发现原来的立体图形变成了平面图形。 生：我发现长方体展开后还是由6 个长方形组成的。师：同学们观察得真仔细！演示（实物展开后贴在黑板上）师：同学们，你们现在还能像中一样找到刚才指出的前面吗？后面又在哪里呢？你还能找出上、下、左、右分别在什么地方吗？ 生：能。师：那么请你们在自己的长方体展开图中标出上、下、左、右、前、后。 师：观察长方体展开图，回答下面的问题： （1）我们知道长方体有 6 个面，哪些面的面积是相等 的？ 生：前后面，左右面，上下面是相等的 师：为什么？ 生：长方体相对的面完全相同。 （2）每个面的长和宽与长方体的长、宽、高有什么关系？（同桌合作） 生：上、下每个面的长和宽是长方体的长和宽，每个面的面积是长x 宽；前、后每个面的长和宽是长方体的长和高，每个面的面积是长x 高；左、右每个面的长和宽是长方体的高和 一、表面积 1.一个无盖的正方体的玻璃鱼缸，棱长为7分米，制作这个鱼缸至少需要多大面积的玻璃？ 2.教室长为9米，宽为6米，高为3米，用涂料粉刷四壁和天花板，扣除门窗面积20平方米，要粉刷的面积是多少平方米？ 3. 国家游泳中心水立方体育馆外形为长方体，长是177米，宽是177米，高为30米，他四周的总面积是多少？ 1、一个长方体的长是8厘米，宽是4厘米，高是2厘米，这个长方体的表面积是多少？ 2、一个正方体的棱长是5厘米，它的表面积是多少平方厘米？ 3、用一根48厘米的铁丝扎成一个正方体，这个正方体的表面积是多少平方厘米？ 4、一个正方体的棱长和为24厘米，它的表面积是多少平方厘米？ 4、把一个棱长为5厘米的正方体，锯成3个长方体，它的表面积增加了多少平方厘米？ 5、把3个棱长为4厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来的3个正方体的表面积之和减少了多少？ 6、一个无盖的长方体铁皮水桶，长是8分米，宽是6分米，高是0.5分米，做这样一个水桶至少需要多少平方米的铁皮？ 7、某商店制作的广告箱是长方体，长1.5米，宽1.2米，高2.5米，如果在它的四周贴一圈广告纸，贴广告纸的面积是多少平方米？ 8、学校要粉刷教室，已知教室的长是8米，宽是6米，高是3米，扣除门窗黑板的面积是11.5平方米，如果每平方米需要花3.5元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？ 9、一个长为10米，宽为3米，高为6米的教室的占地面积是多少？它的右侧面的周长是多少？ 10、某型号洗衣机,底面长10分米,宽5分米,高12分米,要给这个洗衣机做个布罩,至少需要多大面积的布? 11、一个正方体，它的一个面的周长是60厘米，这个正方体的表面积是多少？ 12、把四个棱长为5厘米的正方体木块排成一排后拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？ 一、高的变化引起表面积的变化。 1、一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 2、一个长方体，如果高减少2厘米就成了正方体，而且表面积要减少56平方厘米，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 3、一个长方体，如果长减少2厘米就成了一个正方体，而且表面积要减少56平方厘米。原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 《长方体的表面积》教材分析 长方体的表面积是义务教育课程标准实验教科书北师大版小学五年级数学下册第二单元长方体（一）第三节的内容。本节内容属于空间与图形领域，是在学生认识并掌握了长方体和正方体的基本特征的基础上进一步延伸的。计算长方体和正方体的表面积在生活中有广泛的应用，学习这部分内容，可以加深学生对长方体和正方体特征的理解，解决一些有关的实际问题。同时，还可以使学生对自己周围的空间和空间中的物体形成初步的空间观念，是进一步学习其他立体几何图形的基础。本节内容设计了一道例题六道练习题。例题编写意图 表面积这部分内容，是在学生认识并掌握了长方体和正方体特征的基础上教学的。教材例题呈现了一个长方体及其展开图，引导学生分析长方体及其展开图各部分的对应关系，为学生理解长方体表面积的含义与探索长方体表面积的方法提供了基础。 为了使学生更好地建立表面积的概念，教材例题加强了动手操作，让每个学生拿一个长方体或正方体纸盒，沿着棱剪开，再展开，看一看展开后的形状。让学生在展开后的图形中，分别用“上”“下”“前”“后”“左”“右”标明6个面。这样，可以使学生把展开后每个面与展开前这个面的位置联系起来，更清楚地看出长方体相对的面的面积相等，每个面的长和宽与长方体的长、宽、高之间的关系，使学生容易分辨出长方体的长、宽或高在每个面中充当的是长方形的长或者宽，为下面学习计算长方体的表面积做好准备。增强了学生兴趣及探究意识。 为了培养学生能够根据具体条件和要求，确定不同的面的面积怎样算，更好地发展空间观念，教材中没有总结长方体表面积的计算公式，而是让学生根据表面积的概念自己计算。在例（1）的基础上，例（2）启发学生自己根据正方体的特征，想出正方体表面积的计算方法。而，在此之前，学生已经在五年级上册中熟练地掌握了长方形，正方形的面积计算方法，学生很容易算出长方体每个面的面积。 在这以后，概括出表面积的含义---长方体6个面的面积之和就是它的表面积。进而在探究的过程中进一步发现长方体的相对面的面积相等，从而总结出更简捷的表面积计算方法---计算三对面的面积再相加。 这样设计加深了学生对长方体表面积的认识及理解，发挥了学生的自主探究意识，并发展他们的空间观念。 实际生活中，经常遇到不需要算出长方体6个面的总面积的情况。例如，制作没有盖的鱼缸、木箱或铁桶，粉刷房间的墙壁等，就需要根据具体情况考虑应该计算哪几个面的面积。教材通过教科书第19页的“练一练”加以说明，并且在练习中也适当加强了这方面的练习。 教材在练习中采取分步走的办法，逐步使学生掌握。第1题，先练习求一个指定长方体的表面积；使学生熟悉并掌握求长方体表面积的方法。第2、3、4、5题则分别涉及到了变相的理解，求解表面积，如包装盒、布罩、鱼缸、贴壁纸等包括了无盖、无底、某些面积需除去的长方体表面积计算。而，学生在自主学习或合作交流的过程中理解、思考并发现这一变化，并将其完整的解决。 <长方体的表面积>课堂实录 教学目标： 1、结合长方体和正方体的展开与折叠的情景，探究长方体和正方体表面积的意义，掌握长方体表面积的计算方法，能够正确地进行计算。 2、在操作、观察活动中，探索并理解长方体、正方体的表面积及其计算方法，并能运用所学知识解决一些实际问题。 3、通过亲身参与探索实践活动，去获得积极的成功的情感体验，并从中体验数学活动充满着探索与创造。 教学重点： 在操作、观察活动中，探索并理解长方体、正方体的表面积及其计算方法，并能正确计算。 教学难点： 探索并理解长方体、正方体的表面积及其计算方法。 教学准备： 长方体、正方体纸盒、课件、剪刀 教学过程： 一、复习旧知、有效铺垫 图形的世界中我们认识了很多好朋友，一起看大屏幕（出示长方形）,认识吗？你知道长方形面积怎么计算吗？（指名说，师板书） 再来看（出示长方体），这是新认识的长方体，你还记得长方体的面、顶点、棱的特征吗？（重点板书：长方体6个面）（前—后，左—右，上—下） 二、寻找联系、引入新知 1、审题读取数据 （出示相关数据）关于这个长方体，你能获取哪些信息？（引导学生读出长方体的长、宽、高，并发现相对的面，颜色相同。） 同学们手中也有一个相同的长方体，你能像老师这样摆放，并标出上下左右前后六个面吗？（试一试，并指名指一指） 2、动手填写数据 上节课，我们学习了展开与折叠，谁能说一说将这样一个长方体纸盒展开后，将得到一个什么样的图形？（将得到一个六个面相连接的平面图形，即长方体展开图） 在上节课的学习中，我们还知道由于剪的方法不同，得到的长方体的展开图也是不一样的。下面，老师就将这个长方体展开，得到的一个像这样的展开图（出示展开图）。 现在，请同学们仔细观察这个长方体以及它的展开图，你能分辨得出这个长方体的六个面分别对应于展开后图形中的哪个部分吗？ 同学们手中都有一个展开图，请同学们一起来动手做一个活动，先看要求，（出示） 活动要求： （1）判断长方体的六个面分别对应于展开图的哪个部分，将上下左右前后标在展开图的各个面上。 （2）根据长方体各条棱的长度，将合适的数据填在展开图的方框中。 明白了吗？动手试试看。 北师大版五年级数学下册 《长方体和正方体表面积的变化》教案 【教学内容】长方体和正方体表面积的变化 【教学目标】： 1.通过把几个相同的正方体或长方体拼成较大的长方体，把大长方体切割成小长方体或正方体的操作活动，探索并发现拼、切前后有关几何体表面积的变化规律，并让学生应用发现的规律解决一些简单实际问题。 2.通过解决包装问题，体验策略的多样化，发展优化思想，将数学知识应用到日常生活中去。 3.让学生在活动中体会合作的乐趣，进一步体会图形学习与实际生活的联系，感受图形学习的价值，提高数学学习的兴趣和自信心。【教学重点】：应用发现的表面积变化规律解决简单实际问题。 【教学难点】：几何体表面积变化规律的探索。 【教学准备】： 1.课前把全班同学合理分组，并明确分工，强调合作。 2.每小组准备3个1立方厘米的正方体，2个完全相同的长方体，6盒火柴。 3.教师准备多媒体课件。 【教学过程】： 一、创设情境，体验生活。 在计算下列物体表面积时，应考虑几个面的面积。 1.火柴盒的外盒用料。 2.火柴盒的内盒用料。 3.粉刷教室的四壁和上面。 4.给长方体饼干盒的四周贴一圈的商标纸。 5.给礼堂内长方体柱子油漆。 6.用木料做一个抽屉。 二、拼拼算算、体验规律。 活动一： 1.用两个体积是1立方厘米的正方体拼成一个长方体，动手拼一拼。 2.有的同学拼成了一个横着的长方体，有的同学拼的是竖着的长方体。不管是哪一种，观察一下，体积有没有变化？ 3.把两个正方体拼成一个长方体，拼成后的长方体的表面积与原来两个正方体的表面积之和相比，你有什么发现？ 学生小组活动，师巡视。 追问：减少的两个面在哪里？为什么减少了？谁上来指一指？ 引导学生认识：重叠的面，并且每重叠一次，这个长方体的表面积就减少了这两个重叠的面。 活动二： 用三个这样的正方体拼成一个长方体，表面积比原来减少几个正方形面的面积？ 学生小组活动，师巡视。 活动三： 怎样把这个长方体分成两个棱长为4厘米的正方体？ 授课教案 学员姓名：授课教师：所授科目： 四、课堂练习 一、填空。 1、正方体是由（）个完全相同的（）围成的立体图形，正方体有（）条棱，它们的长度都（），正方体有（）个顶点。 2、因为正方体是长、宽、高都（）的长方体，所以正方体是（）的长方体。 3、一个正方体的棱长为A，棱长之和是（），当A=6厘米时，这个正方体的棱长总和是（）厘米。 4、相交于一个顶点的（）条棱，分别叫做长方体的（）、（）、（）。 5、一根长96厘米的铁丝围成一个正方体，这个正方体的棱长是（）厘米。 6、一个长方体的棱长总和是80厘米，长10厘米，宽是7厘米。高是（）厘米。 7、至少需要（）厘米长的铁丝，才能做一个底面周长是18厘米，高3厘米的长方体框架。 8、一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的表面积就（）。 9、一个长方体最多可以有（）个面是正方形，最多可以有（）条棱长度相等。 二、应用题。 1、一个面的面积是36平方米的正方体，它所有的棱长的和是多少厘米？ 2、用一根铁丝刚好焊成一个棱长8厘米的正方体框架，如果用这根铁丝焊成一个长10厘米、宽7厘米的长方体框架，它的高应该是多少厘米？ 3、天天游泳池，长25米，宽10米，深1.6米，在游泳池的四周和池底砌瓷砖，如果瓷砖的边长是1分米的正方形，那么至少需要这种瓷砖多少块？ 4、把棱长12厘米的正方体切割成棱长是3厘米的小正方体，可以切割成多少块？ 5、一种长方体硬纸盒，长10厘米，宽6厘米，高5厘米，有2平方米的硬纸板210张，可以做这样的硬纸盒多少个？（不计接口） 6、一个长方体的棱长和是72厘米，它的长是9厘米，宽6厘米，它的表面积是多少平方厘米？ 7、一个长4分米、宽3分米、高2分米的长方体，它占地面积最大是多少平方米？表面积是多少平方米？ 8、.用72分米长的铁丝做一个正方体的框架，然后在外面贴上一层纸，至少需要多少平方分米的纸？ 9、一只无盖的长方形鱼缸，长0.4米，宽0.25米，深0.3米，做这只鱼缸至少要用玻璃多少平方米？ 正方体、长方体表面积变化 例题一一根长方体木料，长2米，宽和高都是0.1米 （1）如何把它锯成两个相等的小长方体，两个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了还是减少了多少平方米？ 图1 图2 （2）如何把它锯成三个不相等的长方体，三个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方米？ 图3 图4 思考： 如何把它锯成十个不相等的长方体，这十个小长方体表面积之和与原来的长方体的表面积有什么变化？ 例题二一个正方体木块，长、宽、高都是0.1米 （1）如何将两个这样的正方体木块拼成一个长方体木块，那么拼接后的长方体的表面积和原来两个正方体的表面积之和有什么变化？ 图 5 （2）三个正方体木块拼成一个长方体木块呢？ 图 6 思考练习： （3）八个正方体呢？ 总结: 对于这种长方体和正方体拼接或截取导致表面积产生变化的问题，我们要弄清楚一下问题： 1.在这个演变过程中，我们能看到的立方体的表面有什么变化？ 2.变化过程中，表面积的改变和这些新增或消失的面有什么关系 3.新增或消失的面和原来长方体或正方体哪些面的面积相等以及个数有什么变化？ 正方体、长方体表面积变化 例题用两个长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的长方体可以拼成几种不同的长方体？怎么拼表面积最大？ 怎么拼表面积最小？ 方法一： 出新长方体的长、宽、高，然后再求长方体表面积 方法二： 拼接之后长方体的表面积 =拼接之前两个长方体表面积之和 - 第二种：前后面相拼 第三种：左右侧面相拼 总结： 本题有三种拼接方法，我们都可以算出拼接后的长方体的表面积，我们发现表面积的大小和减少的面积的大小有什么关系？减少的表面积越小，拼成后的大长方体的表面积就越大 典型例题： 【例题1】有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了24平方厘米，这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米？ 练习2：1.把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 2.有一个长方体木块，长4分米、宽3分米、高6分米，现在把它锯成两个长方体，表面积最多增加多少平方分米？ 【例题2】一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块，表面积增加多少平方厘米？ 练习1.把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比原来所有的小正方体的表 教学关键 探究长方体表面积的不同计算方法。 教学过程 一、复习旧知、有效铺垫 1、图形的世界中我们认识了很多好朋友，一起看大屏幕（出示长方形）,认识吗？你知道长方形面积怎么计算吗？（指名说，师板书） 再来看（出示长方体），这是新认识的长方体，你还记得长方体的面、顶点、棱的特征吗？（重点板书：长方体6个面）（前—后，左—右，上—下） 二、寻找联系、引入新知 1、审题读取数据 （出示相关数据）关于这个长方体，你能获取哪些信息？（引导学生读出长方体的长、宽、高，并发现相对的面，颜色相同。） 同学们手中也有一个相同的长方体，你能像老师这样摆放，并标出上下左右前后六个面吗？（试一试，并指名指一指） 2、动手填写数据 上节课，我们学习了展开与折叠，谁能说一说将这样一个长方体纸盒展开后，将得到一个什么样的图形？（将得到一个六个面相连接的平面图形，即长方体展开图） 在上节课的学习中，我们还知道由于剪的方法不同，得到的长方体的展开图也是 ? ? ? ? ? + ? + ? ? ? + ? ? + ? ? = 2 ) ( 2 2 2 h b h a b a h b h a b a S 用字母表示： 教学反思： 长方体表面积教学是在学生认识并掌握了长方体、正方体特征的基础上教学的，也是学生学习几何知识由平面计算扩展到立体计算的开始，是本单元的重要 内容。学生对旧知识已经有了一定的积累，但空间思维还没有真正形成。为了让 学生更好的掌握这部分知识我设计了这样的教学过程。 六、教学识图，发展空间观念． 1、让学生把长方体学具放在课桌左上角，引导学生观察，并提问：你们能看 到几个面？ 2、教师启发提问：怎样用图表示出来呢？可同时板书画图． 说明：虚线表示看不见的三条棱，并让学生指出长、宽、高，教师板书．作业 1、按照教科书所给的图样，用硬纸做一个长方体，再量一量它的长、宽、高． 2、拿一个火柴盒，量一量它的长、宽、高各是多少？再说一说每个面的长和宽 是多少？ 拓展性学习 1、看图说出下面每个长方体的长、宽、高各是多少？ 2、说出右面的物体是什么形状，并且说明： ---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 长、正方体表面积的变化 长、正方体表面积的变化教学目标： 1、让学生通过把几个相同的正方体或长方体拼成较大的长方体的操作活动，探索并发现拼接前后有关几何体表面积的变化规律，并让学生应用发现的规律解决一些简单实际问题。 2、培养学生的合作能力、空间想象能力和思维能力。 教学重点： 探究长方体的表面积与原来两个正方体的表面积之间的关系。 教学难点： 通过操作，发现、理解、运用规律。 教学准备： 1、课前把全班同学合理分组，并明确分工，强调合作。 2、以小组为单位，每小组准备 8 个 1 立方厘米的正方体，2 个完全相同的长方体。 教学过程： 一、导入我们知道把一些小的物品包在一起的时候，会用纸、塑料等东西把它们包装起来。 老师前两天去逛超市的时候观察了一下，好多地方都用到了包装的知识。 今天，老师也带了几样包装盒，（出示三盒装的面巾纸），三盒面 1 / 8 巾纸除了这样包装外，还可以怎样包装呢？商家为什么要这样包装呢？今天我们就来研究这普普通通的包装中蕴藏的数学知识。 二、拼拼算算操作一： 相同的正方体拼接后表面积的变化情况 1、教师演示操作： 把两个体积是 1 立方厘米的正方体拼成一个长方体。 体积有没有变化？学生观察、交流、讨论（可以计算、可以用肉眼观察）。 2、再次提问： 表面积有没有发生变化？是增加了还是减少了？具体是哪几个面的面积呢？想像有困难的可以让学生通过拼一拼，计算或观察的方法来发现，再小组讨论，集体交流。 3、交流发现： A、长方体的表面积比两个正方体表面积的和少 2 平方厘米。 B、拼成长方体后，表面积减少了原来的 2 个面的面积。 4、继续深入研究： （1）如果用 3 个、4 个、5 个、6 个正方体拼成长方体，表面积又发生了什么变化呢？（排法要求是排成一排）（学生自己猜想、操作、探究、验证）（2）提醒学生边操作边把相关数据填在表中。 操作后填表： 正方体的个数 2 3 4 5 6 N 原来正方体一共有几个面拼成长方体后减少了原来的几个面一共减少的面积拼成长方体后的表面积（3）交流填写结果。 《长方体切割引起表面积的变化》教学设计 萃始小学潘樟 教学目标： 1、通过把一个长方体切割成两个完全一样的小长方体的操作活动，探索并发现切割后有关几何体表面积的变化规律，并让学生应用发现的规律解决一些简单实际问题。 2、培养学生的动手操作能力、小组合作能力、空间想象能力和逻辑思维推理能力。 3、学生进一步体会数学来源生活用于生活，感受图形学习的价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。 教学重点：通过操作，比较切割后的两个小长方体的表面积与原来大长方体的表面积发生了什么，发现规律，学会分析。 教学难点：经过动手操作，增强学生的空间观念，能运用知识解决生活中的数学问题 教学准备：橡皮泥、小刀、长方体、多媒体课件 教学过程： 一、谈话激趣、导入新课。 师：我以前跟你们上过数学课吗？ 生：没有 师：那你们知道我叫什么老师？ 生：叫潘老师，大屏幕上写了的 师：上课提几点要求（1、上课要专心听讲2、勤于思考3、发言要积极大胆） 二、动手切割、体验规律 1、回顾旧知 师：出示课题，引出长方体表面积该怎样计算，需要什么条件。 师：课件出示两个长方体（少了宽或长）让学生求表面积。 生：不能求，少了条件。 师：课件出示一道求长方体表面积的应用题（长、宽、高都有）让学生计算表面积。 生：汇报计算结果。 2、动手操作，感受切割表面积的变化。 （1）从垂直于长的方向切割 师：把这个长方体切成两个完全一样的小长方体，可以怎样切割？ 师：拿出你们准备好的长方体，现在就动手切下。 生：动手操作。 生：汇报（电脑出示其中的一种切法） 师：电脑演示这种切法，并提问长、宽、高怎么变化。 生：长是10cm、宽是8cm、高是6cm 师：这种切法叫做从垂直于长的方向切割 师：切割以后什么变了，什么没有变? 生: 表面积变了，体积没有变。 师：变面积为什么变了？ 生：增加了两个面 师：增加了两个面，表面积也就增加了，现在自己去求下表面积增加了多少？ 生：独立解答 师：课堂巡视，个别指导。 师：指明学生上台演示 师;讲解两种不同的解法，让学生比较哪种方法更简单， 生：回答 一、判断。 1、一个正方体表面积是18平方厘米，把它切成2个完 全相等的长方体，表面积比原来增加了3平方厘米。 2、把两块棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，表 面积减少了8平方厘米。 3、一根长方体木料，横截面是24平方厘米，把它锯成3 段后，表面积增加72平方厘米。 二、填空。 1、一个长方体正好分割成3个体积相等的正方体。已知 一个正方体的表面积是3平方厘米，原长方体的表面积是（）平方厘米。 2、把一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的 长方体截成两个小长方体，表面积最多增加（）平方厘米，表面积最少增加（）平方厘米。 3、有两个大小一样的长方体，长为8cm，宽为5cm，高 为3cm，如果把两个长方体拼成一个较大的长方体，表面积最大是（）平方厘米，表面积最小是（）平方厘米。 4、把六个棱长为3厘米的正方体拼成一个长方体，表面 积最多减少（）平方厘米。 5、一个长方体木块的表面积是60平方厘米，现在正好 把它锯成两个相等的正方体。每个正方体的表面积是（）平方厘米。 6、一个长方体和一个正方体的表面积相等，已知长方体 的长是12厘米，宽是10厘米，高是6厘米。那么正方体一个面的面积是（）平方厘米。 三、做一个20米的通风管道，管道口是正方形，边长 是0.4米，做这个管道至少需要用铁皮多少平方米？ （接缝处不计） 1、把一个棱长为2分米的正方体铁块割成两个长方体 后，浸没在防锈液中，问浸到防锈液的总面积是多少平方分米？ 2、底面是正方形的长方形，高缩短5厘米后成为一个正 方体，那么表面积减少1.2平方分米，正方体的表面积是多少？ 3、一个长方体长14厘米，宽10厘米，如果长方体的长 和宽不变，那么当高增加多少厘米时，长方体的表面积增加144平方厘米？ 4、一辆卡车车厢的底面积是4.8平方米，装运一种长方 体形状的包装箱，包装箱的棱长分别为0.6米，0.4米，0.5米，如果放两层，这辆卡车最多能装多少个包装箱？ 5、少年宫里有两根长方体的柱子，高4米，底面是正方 形，底面的周长为1.2米，油漆两根柱子的面积共是多少平方厘米？ 6、一个教室长12米，宽8米，高3米，前后墙壁上各 有一块长3米，宽1.2米得黑板，门窗面积是30平方米，若要粉刷四周墙壁和天花板，需粉刷的面积是多少平方米？如果粉刷1平方米的墙壁需要用去石灰 0.2千克，一共要用石灰多少千克？ 7、把一个长7分米、宽6分米、高5分米的长方体分割 成完全一样的3个小长方体。这几个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积最多增加多少平方厘米？ 8、将一个长2米长方体木料锯成3段，表面积增加160 平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 9、用8个棱长1厘米的正方体积木可以拼成多种不同的 长方体，其中拼成长方体表面积最小的应是多少平方厘米？ 一、判断。 1、若一个长方体和一个正方体的所有棱长之和相等，那么他们的表面积也一定相等。 2、一个正方体表面积是18平方厘米，把它切成2个完全相等的长方体，表面积比原来增加了3平方厘米。 3、把两块棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了8平方厘米。 4、一根长方体木料，横截面是24平方厘米，把它锯成3段后，表面积增加72平方厘米。 二、填空。 1、一个长方体正好分割成3个体积相等的正方体。已知一个正方体的表面积是3平方厘米，原长方体的表面积是（）平方厘米。 2、把一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体截成两个小长方体，表面积最多增加（）平方厘米、 3、把六个棱长为3厘米的正方体拼成一个长方体，表面积最多减少（）平方厘米。 4、一个长方体木块的表面积是60平方厘米，现在正好把它锯成两个相等的正方体。每个正方体的表面积是（）平方厘米。 三、将一个长2米长方体木料锯成3段，表面积增加 160平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 四、做一个20米的通风管道，管道口是正方形，边 长是0.4米，做这个管道至少需要用铁皮多少平方米？（接缝处不计） 1、有一个长方形，长8厘米，宽6厘米，如果把长方形的面积扩大到84平方厘米，宽不变，那么长方形的长应该增加多少厘米？ 2、把一个棱长为2分米的正方体铁块割成两个长方体后，浸没在防锈液中，问浸到防锈液的总面积是多少平方分米？ 3、底面是正方形的长方形，高缩短5厘米后成为一个正方体，那么表面积减少1.2平方分米，正方体的表面积是多少？ 4、一个长方体长14厘米，宽10厘米，如果长方体的长和宽不变，那么当高增加多少厘米时，长方体的表面积增加144平方厘米？ 《长方体和正方体的表面积计算》教案 一、教学目标知识与能力：让学生在操作、观察活动中, 自主探索并理解长方体和正方体的表面积及其计算方法, 并能正确计算。能结合具体情境,解决生活中一些简单的问题, 体会数学与生活的联系。 过程与方法： 1、结合具体情境，经历自主探索长方体和提表面积计算方法的过程。 2、在活动中进一步发展空间与图形的学习经验，发展空间观念和数学思维。情感态度与价值观：调动学生学习的积极性, 培养学生积极自主探索、互助学习的精神, 在评价中获取更多情感, 同时学会欣赏他人；通过亲身参与探索实践活动, 去获得积极的成功的情感体验; 体验数学问题的探索性、感受数学思考过程的合理性, 并从中体验数学活动充满着探索与创造。 二、教学重、难点重点:理解长方体和正方体表面积的含义; 理解并掌握长方体和正方体表面积的计算方法。 难点: 根据给出的长方体的长、宽、高,迅速确定每个面的长和宽,这也是正确计算长方体的表面积的关键。 三、教法：创设情境，小组合作、自主探索 四、教学用具: 长方体和正方体纸盒、展开图、彩笔。 五、教学过程: （一）、复习回顾（口答填空） 1、长方体有（）个面，一般都是（），相对的面的（）相等 ； 2、正方体有（）个面，它们都是（），正方形各面的（）相等 ； 3、这是一个（） ，它的长（）厘米，宽（）厘米，高（）厘 米，它的棱长之和是（）厘米； 4.这是一个（），它的棱长是（）厘米，它的棱长之和是（）厘 米。 （二）、实物引入、提示课题、明确目标（创设问题情境） 师：同学们，昨天我们结识的朋友一一长方体，它要去做客，请大家帮它设计一件漂亮的外衣，你们能帮助长方体实现它的愿望吗？ 师：请同学们拿出准备好的长方体和彩笔，想怎么给长方体穿才能显得它更加的漂亮？想好了吗？看谁在最短的时间设计的最合理。 生：动手操作。 师:谁能说说你涂了几个面他们的面积各是多少？ 生：我涂了一个上面，它是长方形。面积是长乘宽12平方厘米。 生：我涂的是前后两个面。它们都是长方形，面积是,, （三）、自主探索、形成表象、建立概念（提出数学问题） （1）感受长方体表面积的意义。 师：同学们说的非常好。刚才我们想对长方体的那些部分进行包装？ 生：长方体的6个面。 师：那么，什么是长方体的表面积呢？ 师:老师手中有一个展开的长方体，你发现了什么？ 生1：我发现原来的立体图形变成了平面图形。 生2：我发现长方体的外表展开后是由6个长方形组成的。 师:说得对!请你把你刚才涂色的长方体，展开,看看展开后的形状，然后在展开后的图形中，分别用“上面”、“下面”、“前面”、“后面”、“左面”、“右面”标明6个面。 （2）、认识长方体表面积的含义。 师: 从学生手中选一个长方体展开图, 贴在黑板上。 问: 通过观察和动手操作实物, 谁知道什么叫做长方体的表面积? 教学内容：正方体表面积的变化 教学目标： 1、利用表面积等有关知识，探索多个相同正方体叠放后表面积的变化规律，激发主动探索的欲望。 2、在操作、观察、分析等活动中，综合运用有关知识，解决物体表面积的问题，发展空间观念。 教学重点难点：利用表面积等有关知识，探索多个相同正方体叠放后表面积的变化规律。 一、激趣引入： 1、礼品包装： 师：我从淘宝网上给儿子买了这样8盒饼干，由于饼干盒的盒子比较薄，在快递时容易变形，店主就用一种有气泡的塑料薄膜进行外包装，在包装时怎样才能用的薄膜最少呢？揭示课题： 师：这样包装为什么能节约薄膜呢？（这样包装表面积减少了，所以塑料纸也就节省了。）师：这样包装关键是什么发生了变化？——板书：表面积的变化 师：的确“包装”这也是一门数学学问，今天老师就要和同学们一起来研究正方体拼摆成长方体后“表面积的变化” 二、用2、3、4、5个棱长是1厘米的小正方体拼摆成一个一行的长方体： （一）2个棱长为1厘米的小正方体拼成一个长方体。 1、刚才同学们建议把饼干拼起来包装，现在老师先拿出两个正方体来进行包装，把它们拼成了一个长方体，在拼的过程中你有什么发现？（试一试，摆一摆） 生：表面积发生了变化，体积没变。 生：两个正方体拼成一个长方体后，表面积减少了原来2个正方形面的面积。（让这位同学指一指减少了哪两个面） 生：只有一种拼法。 2、如果每个小正方体的棱长为1厘米，怎样求出拼成的长方体的表面积？ 生1：拼成的长方体长为2厘米，宽为1厘米，高为1厘米，用长方体的表面积计算公式求得长方体的表面积为10平方厘米。 生2：每个正方形的面积是1平方厘米，一共有这样的10个面，所以表面积是10平方厘米。（完成表格1） （二）想一想：如果3个、4个或更多的正方体拼成一行，表面积会发生什么变化？你能从中找出规律吗？ 同学会仔细读题、认真计算、细心做题 一、填空题。 1. 长方体有（）个顶点，有（）条棱，有（）个面。 2. 一个长方体的长是15厘米，宽是12厘米，高是8厘米，这个长方体的表面积是（）平方厘米。 3. 一个正方体的棱长是８分米，它的棱长总和是（），表面积是（）。 4. 用60厘米长的铁丝焊接成一个正方体的框架，这个正方体的表面积是（）平方厘米。 5. 用铁丝焊接成一个长12厘米，宽10厘米，高5厘米的长方体的框架，至少需要铁丝（）厘米。 6. 一个长方体的长是25厘米，宽是20厘米，高是18厘米，最大的面的长是（）厘米，宽是（）厘米，一个这样的面的面积是（）平方厘米；最小的面长是（）厘米，宽是（）厘米，一个这样的面的面积是（）平方厘米。 7. 一个长方体的长是1米4分米，宽是5分米，高是5分米，这个长方体有（）个面是正方形，每个面的面积是（）平方分米；其余四个面是长方形的面积大小（），每个面的面积是（）平方分米；这个长方体的表面积是（）平方分米。 8. 一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（）。 9. 一个正方体的棱长总和是72厘米，它的一个面是边长（）厘米的正方形，它的表面积是（）平方厘米。 二、应用题。 1. 一个通风管的横截面的边长是0.5米的正方形,长 2.5米.如果用铁皮做这样的通风管50只,需要多少平方米的铁皮? 2. 一个长方体的游泳池，长20米，宽18米，水深2.5米,如在四壁和底面抹水泥,求抹水泥的面积是多少平方米? 3. 做一个长方体的浴缸（无盖），长8分米，宽4分米，高6分米，至少需要多少平方分米的玻璃？如果每平方分米玻璃4元钱，至少需要多少钱买玻璃？ 4. 一个房间长6米，宽3.5米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？ 5. 做一节长120厘米，宽和高都是10厘米的通风管，至少需要铁皮多少平方厘米？做12节这样的通风管呢？ 6. 一个饼干盒长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，这张商标纸的面积是多少平方厘米? 《长方体和正方体的表面积》教学设计 一、教学构思：长方体和正方体是学生十分熟悉的立体图形，在生活中经常要求解它们的表面积，例如：计算做一个长方体形状的鱼缸需要多少材料。虽然学生已经学会了如何计算长方体的表面积，但是由于学生缺少生活实践经验，导致计算出来的结果不符合实际要求：多加了一个上面的面积。一个看似很简单的问题，学生似懂非懂：鱼缸的外形是什么样的？长方体吗?计算所需材料的面积是否就是计算这个长方体的表面积？鱼缸没有哪一个面，所以实际上是计算哪几个面的总面积？如何计算这些面的面积？《长方体和正方体表面积》，在教学中根据学生的实际情况、教材内容和教育资源引导学生对于以上几个问题进行探索、发现，在认识矛盾冲突是如何产生的以及如何解决问题的驱使下开展探究活动，让学生去解决鱼缸制作的问题来开展教学。当学生经历了探索发现的过程，就学会了如何用所学的知识运用到生活中去实践，并且培养了学生分析问题、解决问题以及表述能力。同时学生在学习中体会到了探究、发现问题和灵活地解决实际问题的乐趣，充分体现了学生在教学中的主体学习的地位。 二、教学目标：1.使学生理解和掌握正方体的表面积的计算方法，能够正确计算正方体的表面积。 2.使学生能够根据实际情况计算长方体和正方体里几个面的总面积，进一步培养学生的探索意识和空间观念，提高解决简单实际问题的能力。 三、教学活动过程：一、引导学生学习正方体表面积的计算方法 1 .回忆上节课我们学习了长方体表面积的概念以及如何计算长方体的表面积，那么谁来说一说什么叫做表面积以及如何计算长方体的表面积？ 2.联想：（拿起一个正方体的模型，手摸着面）提问：正方体的面有什么特点？正方体的表面积是指什么？正方体里每个面的面积怎样算？所以可以怎样计算正方体的表面积？3.归纳引入新课：正方体的6个相同的正方形面的总面积就是正方体的表面积。正方体的表面积怎样求呢？这就是这节课的主要内容（板书课题 4.教学例2 提问：题目条件是什么，让我们求什么？求至少要多少平方厘米硬纸板就是求正方体的什么？你会算吗？（课堂实录：有同学提出可以用长方体的表面积计算公式，因为长方体是一种特殊的正方体，所以可以这么做。有小部份同学同意这个观点，但是通过计算后认为方法太繁，可以用简便方法。）（点评：良好的开端是成功的一半，一堂课是否有好的开头是上好一堂课的关键。针对小学生的心理特点，上课一开始，我首先利用长方体和正方体的模型进行导入，先请学生思考用什么方法计算正方体的表面积，接着根据以前所学的知识进行推导，从而引出新的计算方法，使得学生愉快主动地进入学习情境，强化了有意注意，激发学生的求知欲望，对新的知识进行探索。通过教学的导入，明确了教学的目标，确定了研究方向，这时再引导学生学习就事半功倍了。）师：小结：正方体的6个面是面积相等的正方形，所以求它的表面积只要用棱长乘棱长求出一个面的面积，再乘6。二、鱼缸的制作问题说明：我们已经学会了计算长方体和正方体的表面积。在实际生产和生活过程中，有时不需要计算6个面的饿总面积，只需要计算某几个面的总面积。这就要根据实际情况思考要求哪几个面的面积和，并思考每一个面的面积怎样算。如例3。1.帮助学生回忆鱼缸的形状（长方体，但是没有上面） 2.如何计算所需材料的面积？（就是求这个长方体的表面积，但是要减去上面的面积） 3.教学例3 （出示长方体模型，把它看成鱼缸的模型）（1）鱼缸缺少哪个面的玻璃？（上面）（2）要求需要多少平方分米玻璃，要算几个面的面积和？哪些面有相同的两个？哪个面只有一个？如何计算每一个面的面积？（5个面，没有上面，左面=宽*高前面=长*高底面=长*宽）（3）指名学生板演，集体订正。（点评：在教学中采用学生生活中较熟悉的物体“鱼缸”启发学生如何计算制作一个鱼缸所需材料的面积，也就是计算长方体某几个面的面积之和。这个事例在生活中较普遍，再加上利用一些模具进行教学，使得学生在学习中能够更好地联系实际情况进行学习。以上这一系列的活动表现了完整 小学数学长方体正方体表 面积典型例题 Prepared on 24 November 2020 一、表面积 1.一个无盖的正方体的玻璃鱼缸，棱长为7分米，制作这个鱼缸至少需要多大面积的玻璃 2.教室长为9米，宽为6米，高为3米，用涂料粉刷四壁和天花板，扣除门窗面积20平方米，要粉刷的面积是多少平方米 3.国家游泳中心水立方体育馆外形为长方体，长是177米，宽是177米，高为30米，他四周的总面积是多少 1、一个长方体的长是8厘米，宽是4厘米，高是2厘米，这个长方体的表面积是多少 2、一个正方体的棱长是5厘米，它的表面积是多少平方厘米 3、用一根48厘米的铁丝扎成一个正方体，这个正方体的表面积是多少平方厘米 4、一个正方体的棱长和为24厘米，它的表面积是多少平方厘米 4、把一个棱长为5厘米的正方体，锯成3个长方体，它的表面积增加了多少平方厘米 5、把3个棱长为4厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来的3个正方体的表面积之和减少了多少 6、一个无盖的长方体铁皮水桶，长是8分米，宽是6分米，高是分米，做这样一个水桶至少需要多少平方米的铁皮 7、某商店制作的广告箱是长方体，长米，宽米，高米，如果在它的四周贴一圈广告纸，贴广告纸的面积是多少平方米 8、学校要粉刷教室，已知教室的长是8米，宽是6米，高是3米，扣除门窗黑板的面积是平方米，如果每平方米需要花元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元 9、一个长为10米，宽为3米，高为6米的教室的占地面积是多少它的右侧面的周长是多少 10、某型号洗衣机,底面长10分米,宽5分米,高12分米,要给这个洗衣机做个布罩,至少需要多大面积的布 11、一个正方体，它的一个面的周长是60厘米，这个正方体的表面积是多少 12、把四个棱长为5厘米的正方体木块排成一排后拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少 一、高的变化引起表面积的变化。 1、一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方长方体表面积的变化
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