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“隐形圆”问题
一、问题概述
江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没 有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程）， 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．
二、求解策略
如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略．
策略一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆
例 1（1）如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取
值范围是
．
（2）（2016 年南京二模）已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，圆 M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝ 1．若圆 M 上 存在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A ，B ，使得∠APB ＝ 60°，则 a 的取值范 围为 ．
（3）（2017 年苏北四市一模）已知 A 、B 是圆 C : x 2 + y 2 = 1 上的动点， AB P 是圆
C : (x - 3）2
+ ( y - 4)2= 1 上的动点，则 PA + PB 的取值范围是
（4）若对任意α∈R ，直线 l ：x cos α＋y sin α＝2sin(α＋ π
)＋4 与圆 C ：(x －m )2＋(y )2
6
＝1 均无公共点，则实数 m 的取值范围是
例 2（2017 年南通市一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B ，C 为圆 x 2 + y 2 = 4 上两点， 点 A (1，1) ，且
AB ⊥AC ，则线段 BC 的长的取值范围为 ．
B
M
C
A
变式 1 （2014 年常州高三期末卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O : x 2 + y 2 = 16 ，点
P (1, 2) ，M 、N 为圆 O 上两个不同的点，且 PM ? PN = 0 ，若 PQ = PM + PN ，则 PQ 的
最小值为 ．
2
2
2
2
变式 2
已知圆 C 1 ： x + y = 9 ，圆 C 2 ： x + y = 4 ，定点
P (1, 0) ，动点 A , B 分别在圆 C 1 和圆 C 2 上，满足 ∠APB = 90 ，
则线段 AB 的取值范围 ．
变式 3 已知向量 a 、b 、c 满足 a = 3, b = 2, c = 1, (a - c ) ? (b - c ) = 0 ，则 a - b 范围
为 ．
心，
策略二 动点 P 对两定点 A 、B 张角是 900 （ k PA ? k PB = -1 ，或 PA ? PB = 0）确定隐形圆
例 3 （1）（2014 年北京卷）已知圆 C ： (x - 3)2 + ( y - 4)2 = 1 和两点 A (-m , 0) ， B (m , 0) ，
若圆上存在点 P ，使得 ∠APB = 90 ，则 m 的取值范围是
．
（2）（海安 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (?1，0) ，
Q (2 ，1) ，直线 l ：ax + by + c = 0 其中实数 a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上
的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是 ．
（3）（通州区 2017 届高三下开学初检测）设 m ∈ R ，直线 l = 0 与直线
l 2 ： mx - y - 2m - 4 = 0 交于点 P (x 0 , y 0 ) ，则 x 0 2 + y 2 + 2x 0 的取值范围
是
．
变式 （2017 年南京二模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1：kx －y ＋2＝0 与
直线 l 2： x ＋ky －2＝0 相交于点 P ，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x －y －4＝0 的距
离的最大值为
．
策略三 两定点 A 、B ，动点 P 满足 PA ? PB = λ 确定隐形圆
例 4 （1）（2017 年南通密卷 3）已知点 A (2, 3) ，点 B (6, -3)
，点 P 在直线 3x - 4 y + 3 = 0 上，
若满足等式 AP ? BP + 2λ = 0 的点
P 有两个，则实数 λ 的取值范围是 ．
（2）（2016 年盐城三模）已知线段 AB 的长为 2，动点 C 满足 CA ? C B = λ （
λ 为常数），
且点 C 总不在以点 B 为圆 1 2
为半径的圆内，
则负数 λ 的最大值是 .
策略四 两定点 A 、B ，动点 P 满足
PA 2 + PB 2 是定值确定隐形圆
例 5 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点 A (0，2)，若
圆 C 上存在点 M ，满足 MA 2＋MO 2＝10，则实数 a 的取值范围是 ．
（2）（2017 年南京、盐城一模）在 ?ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为
a ,
b ,
c ，若
a 2 +
b 2 + 2
c 2 = 8 ，则 ?ABC 面积的最大值为
．
策略五两定点A、B，动点P 满足PA
=λ(λ> 0, λ≠ 1) 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）PB
例7（2017 年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8 海里的
A 处，发现在其北偏东30°方向相距4 海里的
B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追
击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截
成功；（参考数据：sin17 °≈≈ 5.7446 ）
6
（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．
北
A
60
图乙．
策略六由圆周角的性质确定隐形圆
例8 （1）已知a,b,c 分别为?ABC 的三个内角A, B, C 的对边，a = 2 ，
(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C 则?ABC 面积的最大值为．
（2）（2017 年常州一模）在△ABC 中，∠C＝45o，O 是△ABC 的外心，若OC =mOA +nOB (m，n∈R)，则m＋n 的取值范围是．
三、同步练习
1．已知直线l : x -2y+m = 0 上存在点M 满足与两点A(-2, 0) , B(2, 0) 连线的斜率之积为-1 ，则实数m 的取值范围是
2．(2016 年泰州一模)已知实数a，b，c 满足a2 +b2 =c2 ，c ≠ 0 ，则
b
a - 2c
的取值范围
为．
3．已知θ,t∈R ，则(cosθ-t - 2)2 + (sinθ-t + 2)2 的取值范围是．
4．已知圆C :(x- 3)2 +(y - 4)2 =1和两点A(-m, 0), B(m, 0) (m > 0) ．若圆C 上存在点P，使得PA ?PB =1，则m 的取值范围是．
7．（2016 年无锡一模）已知圆C : ( x- 2)2 +y2 = 4 ，线段EF 在直线l : y =x +1 上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A、B，使得PA ?PB ≤0 ，则线段EF 长度的最大值是．
8．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C 是圆x2＋y2＝1 上的
动点(与点A,B 不重合)，连接BC 并延长至D，使得|CD|
＝|BC|，则线段PD 的取值范围．
1
9．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A ( - t ，0)(t > 0) ， B (t ，0) ，点 C 满足 AC ? BC = 8 ，
且点 C 到直线 l ： 3x - 4y + 24 = 0 的最小距离为 9 ，则实数 t 的值是
．
5
10．（2013 年江苏卷第 17 题改编）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O (0, 0) ， A (0, 3) 如果
圆 C : ( x - a )2 + ( y - 2a + 4)2 = 1 上总存在点 M 使得 MA = 2MO ，则圆心C 的横坐标 a 的 取值范围是 ．
11．已知向量 a 、b 、c 满足 a = b = a ? b = 3 ，若 (c - 2a )(2 b -3c ) =0 ，则 b - c 的最大
值是
．
12．设点 A , B 是圆 x 2 + y 2 = 4 上的两点，点 C (1, 0) ，如果 ∠ACB = 90 ，则线段 AB 长度的取
值范围为
．
13．在 ?ABC 中，BC ＝ 2AC ＝1，以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD (B 为直角顶点，C 、
D 两点在直线 AB 的两侧)．当∠C 变化时，线段 CD 长的最大值为
．
14．（2016 年南通三模）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C : ( x - 1)2 + y 2
= 2 ，
圆 C : ( x - m )2
+ ( y + m )2
= m 2
，若圆 C 上存在点
P 满足：过点 P 向圆
作两条切线 1 2
C 1
PA 、PB ，切点为 A 、B ， ?ABP 的面积为 1，则正数 m 的取值范围是
．
九年级 圆的专题（含答案） 1. 求证：若半径为R 的圆内接四边形对角线垂直，则以对角线交点到四边射影为顶点的四边形有内 切圆，且此圆半径不大于2 R ． 解析 如图，已知圆内接四边形ABCD ，AC BD ⊥，垂足为P ，P 在AB 、BC 、CD 、DA 上的射影分别为E 、F 、G 、H ，则由几组四点共圆易知 sin sin sin 2AC BD EH FG AP BAD CP BCD AC BAD R ?+=∠+?∠=∠∠= ，同理EF HG +也是此值，因此四边形EFGH 有内切圆． 由于FEP CBD CAD HEP ∠=∠=∠=∠，故EP 平分FEH ∠，同理HP 、GP 、FP 平分另外3个角，P 为四边形EFGH 的内心．于是内切圆半径sin sin sin 2AD r PF PFG PF ACD PF PC ACB R =?∠=?∠=?=?∠? 2 2 24222AD PC AB AD PC PA R R R R R R ???==≤=．取到等号仅当P 为圆心时． 2. 如图(a)，已知O e 的直径为AB ，1O e 过点O ，且与O e 内切于点B ．C 为O e 上的点，OC 与 1O e 交于点D ， 且满足OD CD >，点E 在线段OD 上，使得D 为线段CE 的中点，连结BE 并延长，与1O e 交于点F ，求证：BOC △∽1DO F △． 解析 如图(b)，连结BD ，因为OB 为1O e 的直径，所以90ODB ∠=?，结合DC DE =，可得BDE △≌BDC △． 设BC 与1O e 交于点M ，连结OM ，则90OMB ∠=?，于是OM 平分COB ∠，从而有 122222BOC DOM DBM DBC DBE DBF DO F ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠． 又因为BOC ∠，1DO F ∠分别是等腰BOC △，1DO F △的顶角，所以BOC △∽1DO F △． 3. I 是ABC △的内心，线段AI 延长交ABC △的外接圆于D ，若3AB =，4AC =，且IBC DBC S S =△△， 求BC ． 解析 如图，设BC 与AD 交于E ，则IE ED x ==，2BD CD ID x ===，又设AE y =，由于在等腰三角 形BCD 中，有熟知的结论22BD DE BE CE AE ED -=?=?，此即23x yx =，3y x =，故2AB AC AI BC IE +==， 72 BC =． C F G P H D B E A (b) (a)O 1A O B M E C D F O 1 O B E C D F
圆和正多边形 教学目标：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形。 教学重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、?边长之间的关系。 教学难点：理解四者：正多边形半径、中心角、?弦心距、边长之间的关系． 正多边形是轴对称图形，正n 边形有n 条对称轴；?正2n 边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对角线交点。 知识结构及知识点： 1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。 2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 正n 边形每一个内角的度数为：(n-2)*180°/n 正n 边形的一个中心角的度数为：360°/n 正多边形的中心角与外角的大小相等。 3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是180°。 4、圆内接正n 边形的性质（n ≥3，且为自然数）： (1) 当n 为奇数时，圆内接正n 边形是轴对称图形，有n 条对称轴；但不是中心对称图形。 (2) 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心。 5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：(设圆内接正多边形的半径为r ，边心距为d) （1）圆内接正三角形：d=12 r （2）圆内接正四边形：d=22 r （3）圆内接正六边形：2 r 6、常见圆内接正多边形半径r 与边长x 的关系： （1）圆内接正三角形：（2）圆内接正四边形：x= 22r （3）圆内接正六边形：x=r 7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为R 的正n 边形，只要把半径为R 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。 （1）用量角器等分圆周。 （2）用尺规等分圆（适用于特殊的正n 边形）。 8、定理1：把圆分成n(n≥3)等份： (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；
专题13 圆的基本性质 考纲要求: 1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念. 2．了解弧、弦、圆心角的关系；理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系. 3．能利用圆的有关概念、垂径定理、圆周角定理及其推论解决有关简单问题. 基础知识回顾: 知识点一：圆的有关概念 1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的 圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦. （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角. （6）弦心距：圆心到弦的距离. 知识点二：垂径定理及其推论 2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 延伸 根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
① 弧AC=弧AD; ②弧BC=弧BD ； ③CE=DE; ④AB ⊥CD;⑤AB 是直径. 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三. 知识点三 ：圆心角、弧、弦的关系 3.圆心角、 弧、弦 的关 系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 知识点四 ：圆周角定理及其推论 4.圆周 角定 理及其推论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a ，∠A= 12∠O. 图a 图b 图c ( 2 )推论： ① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b ，∠A=∠C. ② 直径所对的圆周角是直角.如图c ，∠C=90°. 圆内接四边形的对角互补.如图a ，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°. 应用举例: 招数一、垂径定理及其推论 【例1】13的O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=?，6AB =，1AE =，则CD 的长是( )
中考数学复习知识点专题训练 第六章 圆 第一节 圆的基本性质 姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟 1．(2019·柳州)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是( ) A ．∠B B ．∠C C ．∠DEB D ．∠D 2．(2020·原创)如图，在⊙O 中，AC ︵＝BD ︵ ，∠AOB＝40°，则∠COD 的度数为( ) A ．20° B ．40° C ．50° D ．60° 3．(2020·原创)如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOB＝40°，弦BC 的长等于半径，则∠ADC 的度数等于( ) A ．50° B ．49° C ．48° D ．47° 4．(2019·吉林)如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB＝50°，若P 为AB ︵ 上一点，
∠AOP＝55°，则∠POB的度数为( ) A．30° B．45° C．55° D．60° 5．(2019·赤峰)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为( ) A．30° B．40° C．50° D．60° 6．(2020·原创)如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为( ) A．25° B．50° C．60° D．80° 7．(2019·广元)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为( ) A. 2 5 B．4 C．213 D．4.8 8．(2019·安顺)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优
下排的两. O外离，则r满、r，两圆的圆心距d ＝ 8，若⊙O和⊙O练习、⊙O和⊙的半径分别为32112。足 （二）与圆有关角度计算P O上的两个、（10分）如图，A、B为⊙（例题1、2012南京）27APB?O 不与A、B重合），我们称为⊙P定点，是⊙O上的动点（P O的滑动 角。①若AB为⊙O的直径，A上关于、B BA2?APB???APB AB= ，，。②若 ⊙O则半径为1 对应练习：°＝60°，则∠ABC＝B1、如图，点A、、C在⊙O上，∠AOC ，上一点（不与A，B、如图，在半径为5的⊙O中，弦重合）AB=6，点C是优弧2。cosC 的值为则为切点，AC是⊙O的直径，∠P=50°，是⊙O如图，PA，PB的切线，A，B3、 ∠BAC的度数＝°
（（1题图）（2题图） 3题图） ，如果、E三点的圆的圆心为DB、C 、D三点的圆的圆心为E，过、FA4、如图，过︿源∠A=63°，那么∠B= 。°，O为⊙上一点，若∠CAB=55的直径，ABABC、5如图，△是⊙O的内接三 角形，为⊙O点D °ADC∠＝ 5题图）（题图）（4 （三）与圆有关线段计算精品文档． 精品文档B、AAPMOM//PBPBPA、，，上，且分别与⊙O2012例题2（陕西）如图，点相切于点在N APMN ，垂足为。ANOM=）求证：；1（OMR=3=9PA（2）若⊙O的半径的
长。，求， B为圆心，1为半天津）201217．如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、例题3（；则EF的长为、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，，径的两弧交于点E以顶点C4的外）如图1，求△，sinA＝ABC，（1例题4（2012武汉）22.在锐角△ABC中，BC＝55则AI= 。ABC的内心，若BA＝BC，；接圆的直径= （2）如图2，点I为△
《圆的证明与计算》专题讲解 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 圆的有关证明 一、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 知识点一：判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：
方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B 为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E，
专题：圆内接四边形与正多边形 一．选择 1. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，BC=DC，∠BOC=130°，则∠BAD的度数是（） A.120° B.130° C.140° D.150° 2. 如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点.若∠BOC=40°，则 ∠D的度数为（） A.100° B.110° C.120° D.130° 3. 如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）cm A． 6cm B． 12cm C． 6cm D． 4cm 4. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为 点F，则EF的长为（） A.1 B. C.4-2 D.3-4
5. 已知⊙的半径为1,以它的内接正三角形,正方形,正六边形的边心距为三边作三角形,则() A. 这个三角形是锐角三角形 B. 这个三角形是直角三角形 C. 这个三角形是钝角三角形 D. 不能构成三角形 6. 以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（） A. B. C. D. 7. 如图,六边形 ABCDEF内接于⊙O,则∠A+∠C+∠E的值为( ） A.90° B.180° C.270 D.360 8. 如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（） A.16 B.12 C.8 D.6 9. 如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（） A.55° B.60° C.65° D.70° 10. 如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E=α，∠F=β，则∠A等于( )
圆的基本性质练习 一、看准了再选 1．.如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是（） A.110° B.70° C.55° D.125° 2．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G且EF⊥CD，若∠EOD=40°,则∠DCF等于（） A.80° B. 50° C.40° D. 20° 3.直线ａ上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线ａ与⊙O的位置关系是（） Ａ、相离Ｂ、相切Ｃ、相切或相交Ｄ、相交 4.在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧AB的度数等于（） A.30° B.120° C.150° D.60° 5．如图，⊙O的半径OA=3，以点A为圆心，OA的长为半径画弧交⊙O于B，C?则BC=（）． A．32 B．33 C． 3 2 3 D ． 33 2 6．．如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）． A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠1 7．．如图，已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O?与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的圆O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（） A．0
A ．65° B ．115° C ．65°或115° D ．130°或50° 9如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等 的角有（ ）个。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 10．边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为（ ）． A ．1：5 B ．2：5 C ．3：5 D ．4：5 11．如图所示，圆弧形桥拱的跨度AB=12m ，拱高CD=4m ，则拱桥的直径为（ ）． A ．6.5m B ．9m C ．13m D ．15m 二．想好了再规范的写画 12．如图所示，线段AD 过圆心O 交⊙O 于D ，C 两点，∠EOD=78°，AE 交⊙O 于B ，? 且AB=OC ，求∠A 的度数． O E D C B A 13．如图AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AB 于O ，交AC 于D ，OD=2，∠A=30°,求CD 。 14．如图，已知在Rt △ABC 中，AC=12，BC=9，D 是AB 上一点，以O 为圆心，BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 的长。 15．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB=AC ， D ， E 在⊙O 上，说明BD=DE C E A D O B · B A C D O
无锡特人教育1对1 数学学科导学案（第 1 次课）教师: 柏鹤学生: 年级: 日期: 星期: 时段:
∴ 2PA PC PB =? （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。 即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ?=? 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：12O O 垂直平分AB 。 即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： （1）公切线长：12Rt O O C ?中，2 22 2 1 122AB CO O O CO ==-； 2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ?中进行： ::1:3:2OD BD OB =； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE ?中进行，::1:1:2OE AE OA =： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB ?中进行，::1:3:2AB OB OA =. 十五 三角形外接圆 内切圆 三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。 三角形的外接圆圆心是 三边的垂直平分线的交点。 三角形外接圆圆心叫外心 锐角三角形外心在三角形内部。 直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心） 外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等 过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心 在三角形中，三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形） 也可能在三角形上（如直角三角形） 过不在同一直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆） B A O1 O2 C O2 O1 B A D C B A O E C B A D O B A O
人教版九年级中考复习圆的专题
1.（十校联考二）如图，AH是⊙O的直径，矩形ABCD交⊙O于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B落在CD边上的点F处，画直线EF. (1)求证：直线EF是⊙O的切线。 (2)若CD=10，EB=5，求⊙O的直径。 2.（重组卷四）如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是⌒AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线于E、F. （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径.
3（重组卷五）.如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE. （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理 由； （2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长. 4.(2017江西中考)如图①，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C 不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交O于点D. （1）如图②，当PD∥AB时，求PD的长； （2）如图③，当弧DC=弧AC时，延长AB至点E，使BE=12AB，连接DE. ①求证：DE是⊙O的切线； ②求PC的长.
5.(2016江西中考).如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为点E，射线EP交弧AC于点F，交过点C的切线于点D. （1）求证：DC=DP； （2）若∠CAB=30°，当点F是弧AC的中点时，判断 以点A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？ 说明理由. 6.（2014江西中考）如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP. (1)求△OPC的最大面积； (2)求∠OCP的最大度数； (3)如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线。
九年级圆专题复习 第21题圆这道题对于升学考高中的学生来说是一道必得分题，随着中考复习的逐步深入，学生从知识上对于这道题已经很熟练了，都知道这道题的第（2）问主要考查圆与相似、三角函数、勾股定理等等。如果不进行归类，学生的脑海中还是显得比较杂，比较乱。在复习的过程中，教师如何引导学生进行归类，如何提升学生的转化能力，这些则是教学最需要突破的地方。如果教师能够引导学生对第21题考查的题型结构进行有效的归类，那么学生在面对这道题的时候，首先将这道题归纳为几个重要的熟悉的题型，然后利用自己对这几个题型的熟练理解，则可以大大提高解决问题的速度和准确性。 一、历年题型对比分析及2017年中考题型预测 1. （2013?武汉四月调考）在圆O 中，AB 为直径，PC 为弦，且PA=PC. （1）如图1，求证：OP//BC ； （2）如图2，DE 切圆O 于点C ，若DE//AB ，求tan ∠A 的值。 2. （2013?武汉中考）如图，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是弧AB 的中点，连接PA 、PB 、PC （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3 ； （2）如图②，若sin ∠BPC= 25 24 ,求tan ∠PAB 的值。 3. （2014?武汉四月调考）已知：P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点． （1）如图1，若AC 为直径，求证：OP ∥BC ； （2）如图2，若sin ∠P=，求tan ∠C 的值．
4.（2014?武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是弧AB 上两点，AB ＝13，AC ＝5 (1) 如图(1)，若点P 是弧AB 的中点，求PA 的长 (2) 如图(2)，若点P 是弧BC 的中点，求PA 得长 5.（2015?武汉四月调考）已知：⊙O 为Rt △ABC 的外接圆，点D 在边AC 上，AD ＝AO ． （1）如图1，若弦BE ∥OD ，求证：OD=BE ； （2）如图2，点F 在边BC 上，BF ＝BO ，若OD ＝2 2 ，OF ＝3，求⊙O 的直径． 6.（2015?武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，AT=AB ． （1）求证：AT 是⊙O 的切线； （2）连接OT 交⊙O 于点C ，连接AC ，求tan ∠TAC ． 7.（2016?武汉四月调考） 已知⊙O 为△ABC 的外接圆，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交⊙O 于点D ． (1)如图1，求证：BD= ED ； (2)如图2,AO 为⊙O 的直径，若BC= 6,sin ∠BAC=5 3 ，求OE 的长． E D O A B C F D O A B C
专题25 圆的基本性质 基础过关 1. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( ) A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 第1题图 第2题图 【答案】D 【解析】∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＝90°－∠ABC ＝90°－60°＝30°. 2.如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA＝CD，且∠ACD＝40°，则∠CAB ＝( ) A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】∵∠ACD＝40°，CA＝CD，∴∠CAD＝∠D＝(180°－40°)÷2＝70°，∴∠B ＝∠D＝70°，又∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠B＝90°－70°＝20°. 3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O.若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( ) A. 45° B. 50° C. 60° D. 75° 第3题图 第4题图 【答案】C
【解析】∵四边形ABCO 是平行四边形，∴∠AOC ＝∠ABC ，∵∠ADC ＝ 1 2∠AOC ，∴∠ABC ＝2∠ADC ，∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝60°. 4. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，BC 是弦，点P 是BC ︵ 上任意一点，若AB ＝5，BC ＝3，则AP 的长不可能为( ) A . 3 B . 4 C . 9 2 D . 5 【答案】A 【解析】如解图，连接AC ，∵在⊙O 中，AB 是直径，∴∠C ＝90°，∵AB ＝5，BC ＝3，∴AC ＝AB 2－BC 2 ＝4，∵点P 是BC ︵上任意一点．∴4≤AP ≤5.结合选项知AP 的长不可能为3，故选A. 5.如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则 tan ∠OBC 为( ) A . 13 B . 2 2 C . 24 D . 223 第5题图 第6题图 【答案】C 【解析】如解图，作直径CD ，在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2，根据勾股定理求 第5题解图 得OD ＝4 2，所以tan ∠CDO ＝2 4 ，由圆周角定理得，∠OBC ＝∠CDO ，则tan ∠OBC ＝ 2 4 ，故答案选C. 6. 如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的两点，OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E ，下列
8错误！未指定书签。?如图，方格纸中4个小正方形的边长均为 1, 则图中阴影部分三个小 扇形的面积和为 （结果保留n ） 中考数学 圆的基本性质和计算经典练习题 一、填空题 1错误！未指定书签。?如图，在O O 中，已知 OAC 20 ° , OA // CD ,则 AOD ? 圆心，C 是AB 上一点，0C 丄AB ，垂足为D , AB 300m, CD 50m,则这段弯路 的半径是 m 3错误！未指定书签。?如图，AB 为O O 的直径，点 C , D 在O O 上, BAC 50°，则 ADC 4错误！未指定书签。?如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为 1的O O 的圆 心O 在格点上，则/ AED 的正切值等于 5错误!未指定书签。. 若O 为ABC 的外 心 D C, I ■ ■ BOC 60 ,则 BAC 6错误！未指定书签。? 使吨AB, PC 切 C 如图，AB 为半圆 半圆O 于点C, O 的直径，延长AB 到点P, 点D 是 A C 上和点C 不重 合 的一点，贝y D 的度数为 7错误！未指定书签。 .如图, 在 Rt A ABC 中, BAC 90o , BC 6，点D 为BC 中点, 将厶ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转120° 得到△ ABD ，则点 D 在旋转过程中所经过 的路程为 ?（结果保留 ） 晶，点O 是这段弧的 第1题 2错误!未指定书签。
9错误！未指定书签。?矩形ABCD 勺边 AB=8, AD=6，现将矩形 ABCD 放在直线l 上且沿着I 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始 的 位置 A 1 B 1 C 1 D 1时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是 __________ . 二、选择题 10错误！未指定书签。?如图，O O 内切于 △ ABC ,切点分别为D , E , F .已 知 B 50° , C 60° ,连结 C,则AB 的长为 O 的位置关系是 为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目， 她打算剪去部分扇形纸片后， 利用剩下的 纸片制作成一个底面半径为 10cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片 的圆心角为（ ）. A 9° B 、18° C 63° D 72 三、解答题 第10题 第11题 12题 第13题 11错误！未指定书签。 .如图，两个同心圆的半径分别为 3cm 和 5cm, 弦AB 与小圆相切于点 40cm Ax -A 1 1 x V 1 OE, OF , DE , DF ，那么 EDF 等于 ( ) A. 40° B. 55° C. 65 D. 70° A. 4cm .5cm C. 6cm .8cm 12错误！未指定书签。 ?如图，在直角坐标系中，O O 的半径为 1，则直线 A.相离 E.相交 C.相切 D. 以上三种情形都有 可能 13错误！未指定书签。 ?现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为 40cm 小红同学
圆的基本性质 垂径定理应用 1. 2. 如图，在直径 AB ＝12 的⊙ O 中，弦 CD ⊥AB 于 M ，且 M 是半径 OB 的中点，则弦 CD 的长是 _______. 如图是一条直径为 2 米的通水管道横截面， 其水面宽 1.6 米，则这条管道中此时最深为 ______ 米 . A y O P C · D M B OA B x 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 3. ⌒ ⌒ 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 （图中的 AB ），点 O 是这段弧的圆心，C 是AB 上一点，OC ⊥AB ， 垂足为 D ， AB=300m ， CD=50m ，则这段弯路的半径是 m ． B C 4. 如图，以点 P 为圆心的圆弧与 x 轴交于 A ，B ，两点，点 P 的坐标为（ 4，2）点 A 的坐标为（ 2，0）则点 B 的坐标为 ． A O D 5. 如图等腰梯形 ABCD 内接于半圆，且 AB = 1， BC = 2，则 OA = ． 6. 在半径为 5cm 的⊙ O 中，弦 AB ＝6cm ，弦 CD ＝8cm ，且 AB ∥CD ，求 AB 与 CD 之间的距离． 圆心角、弧、弦关系应用 7. 如图， AB 为半圆⊙ O 的直径，弦 AD 、BC 相交于 P ，那么 CD 等于 ( ) BA B A . sin ∠BPD B. cos ∠BPD C. tan ∠BPD D. cot ∠ BPD C M C A C B D O D M N O P O P B A B A A D O 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 8. 9. ⌒ 如图， MN 是⊙ O 的直径， MN=2，点 A 在⊙ O 上，∠ AMN=30°， B 为AN 的中点， P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为 ． 已知⊙ O 的半径为 5，锐角△ ABC 内接于⊙ O ， BD ⊥AC 于点 D ，AB=8，则 tan ∠ CBD 的值等 于 ． ⌒ ⌒ 10. 如图，已知 A 、 B 、C 、D 四点顺次在⊙ O 上，且 AB =BD ，BM ⊥AC 于 M ，求证： AM ＝DC ＋CM ．
word版初中数学 第二十四章《圆》专题练习 目录 专题1 与圆周角有关的辅助线作法 (1) 专题2圆周角定理 (3) 专题3 证明切线的两种常用方法 (4) 专题4与切线长有关的教材变式 (5) 专题5与圆的切线有关的计算与证明 (6) 专题6 求阴影部分的面积 (8)
专题1 与圆周角有关的辅助线作法 类型1 构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 1．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝140°，点B 是AC ︵ 的中点，则∠D 的度数是( ) A ．70° B ．55° C ．35.5° D ．35° 2．如图，点A ，B ，C ，D 分别是⊙O 上的四点，∠BAC ＝50°，BD 是直径，则∠DBC 的度数是( ) A ．40° B ．50° C ．20° D ．35° 3．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝50°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( ) A ．50° B ．55° C ．60° D ．65°
4．如图，A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝40°，点D 在ACB ︵ 上，M 为半径OD 上一点，则∠AMB 的度数不可能为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．85° 类型2 利用直径构造直角三角形 5．如图，在⊙O 中，∠OAB ＝20°，则∠C 的度数为 ． 6．如图，在⊙O 中，AB 为直径，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，AB ＝6，则BD ＝ ． 7．如图，⊙A 过点O ，C ，D ，点C 的坐标为(3，0)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，已知∠OBD ＝30°，则⊙A 的半径等于 ． 8．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于点D ，AC ＝5，DC ＝3，AB ＝42，则⊙O 的半径为 ．
专题：四点共圆 一．选择题 1.如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法： ①当AC=BD时，M、E、N、F四点共圆． ②当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆． ③当AC=BD且AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆． 其中正确的是（） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 2. 如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（） A. 40° B. 60° C. 70° D. 80° 3. 如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（） A. AB=AE B. AB=BE C. AE=BE D. AB=AC 4. 如图，以△ABC的一边AB为直径的圆交AC边于D，交BC边于E，连接DE，BD与AE交 于点F．则sin∠CAE的值为（） A．B．C．D．
5. 如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，且BC=CD，过点C作CE⊥AD，交AD延长线于E，交AB延长线于F点．若AB=4ED，则cos∠ABC的值是（） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=6-2，点P是BC上一动点，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D．无论P的位置如何变化，线段DE的最小值为（） A. 3-3 B. C. 4-6 D. 2 7. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB：BC=2：3，AD=DC，点P在对角线BD上， 已知△ABP的面积等于6cm2，则△BCP的面积等于（）cm2． A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 8.四边形ABCD内接于圆，且CD=1，AB=√2，BC=2，∠ABC=45°，则四边形ABCD的面积是（） A. 3+√3 3B. √3+2√2 4 C. √3+2√2 3 D. 3+√3 4 9. 在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN=（）
1、（2017黄冈）已知：如图，在⊙O 中，0 ,70OA BC AOB ⊥∠=，则A D C ∠的度数为（ ） A ． 30° B ． 35° C. 45° D ．70° 解：∵OA ⊥BC ∴⌒BC =⌒AC ∵∠AOB=70° ∴∠ADC=∠AOB=35° 故选：B ． 2、（2017毕节）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ACD=30°，则∠BAD 为（ ） A ．30° B ．50° C ．60° D ．70° 解：连接BD ， ∵∠ACD=30°， ∴∠ABD=30°， ∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°． 故选C ．
3、如图，O 为原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为⌒ABO 上一点（不与O 、A 两点重合），则cosC 的值为（ ） A ．43 B ．53 C ．34 D ．54 如图，连接AB ， ∵∠AOB=90°，∴AB 为圆的直径， 由圆周角定理，得∠C=∠ABO ， 在Rt △ABO 中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5， 5 4 ． 故选D ． 4、（2016南宁）如图，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE =40°，则∠P 的度数为（ ） A ．140° B．70° C．60° D．40° 解：∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE=40°， ∴∠DOE=180°﹣40°=140°， ∴∠P=∠DOE=70°．故选B ．
九年级数学圆专题（附答案） 一、单选题（共6题；共12分） 1.点到的圆心距离为，的半径为，点与的位置关系是( ) A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 2.如图，，，是半径为的上的三点，如果，那么的长为( ) A. π B. C. D. 3.如图，是的直径，，是上两点．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 4.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 5.如图，的直径为10，圆心到弦的距离的长为3，则弦的长是( ) A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 6.如图，在平行四边形中，，点，在上，点在上，，则的度数为（） A. 112.5° B. 120° C. 135° D. 150° 二、填空题（共5题；共5分） 7.如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结．则线段的最大值是________． 8.已知圆的直径是圆心到直线的距离是，那么直线与该圆的位置关系是________．
9.如图，点、、、在上，，若，则________度． 10.如图，，是的半径，点在上，连接，，若，则 ________度． 11.如图，若∠BOD＝140°，则∠BCD=________ ． 三、解答题（共1题；共5分） 12.往直径为的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽，求油的最大深度． 四、综合题（共2题；共25分） 13.如图，是的直径，弦垂直半径，为垂足，＝，连接，＝，过点作，交的延长线于点． （1）求的半径； （2）求证：是的切线； （3）若弦与直径相交于点，当＝时，求图中阴影部分的面积． 14.如图，的平分线交的外接圆于点，的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，求外接圆的半径．
人教版九年级上册数学 圆 几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E 的坐标； （3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由 【答案】（1）y=x 2 +2x-8（2）（-1，- 72）（3）（-8，40），（-15 4，-1316），（-174 ，-25 16 ） 【解析】 分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值； （2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点 G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值， 从而求出点E 的坐标； （3）设点P (a , a 2+2a -8)， 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时 和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标. 详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+= 解得：121,0m m =-=（舍去） ∴228y x x =+-
（2）由（1）可得：2 28y x x =+-，当0y =时，124,2x x =-=; ∵点A 在点B 的左边 ∴42OA OB ，== ， ∴6AB OA OB =+=， 当0x =时，8y =-， ∴8OC = 过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，, 则11 6322 AG AB = =?= ， 设 ，则 ， 在Rt AGE ?中，， 在 中， ()2 22218CE EF CF a =+=+-， ∵AE CE = ， ∴()2 2918a a +=+- ， 解得：7 2a = ， ∴712E ? ?-- ?? ? ， ； （3）设点()2,28a a a P +-， 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-， a.当PBQ ?∽CBO ?时， PQ CO BQ OB =，即228822 a a a +-=-， 解得：10a =（舍去）；