硕士研究生课程弹塑性力学IIC
弹塑性力学
第七、八讲平面问题直角坐标解法
同济大学地下建筑与工程系
目录
§6.1平面问题的基本方程
§6.2应力函数－逆解法与半逆解法
§6.3一些例子(矩形梁、水坝) *§6.4三角级数解
平面应力与平面应变问题
水坝滚柱外力（体力、面力）平行于横截面作
方向不变化。
方向不变化。
厚壁圆筒如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z 轴。
沿z 方向都不变化，
任一横截面均可视为对称面
水坝
()
(y x z σσνσ+?=——仅为x 、y 的函数。
煤矿巷道的变形与破坏分析、挡土墙、重力坝等。
0≠)
0(,==zy zx xy z τττσ
y 无关。
性常数不同。
??y x
同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸 A 卷 2006—2007学年第 一 学期 课程名称：弹性力学 课号： 任课教师： 专业年级： 学号： 姓名： 考试（√）考查（ ） 考试（查）日期： 2007 年1月 22 日 出考卷教师签名：朱合华、许强、王君杰、李遇春、陈尧舜、邹祖军、赖永瑾、蔡永昌 教学管理室主任签名： 1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积内的横向荷载q 来等代。 ( ) （2）对于常体力平面问题，若应力函数),(y x ?满足双调和方程02 2 =???，那 么由),(y x ?确定的应力分量必然满足平衡微分方程。 （ ） （3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的 结 果 会 有 所 差 别 。 （ ） （4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。 （ ） （5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其截面扭矩均满足如下等式： ??=dxdy y x F M ),(2,其中),(y x F 为扭转应力函数。 （ ） （6）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。 （ ） （7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。 （ ） （8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。 ( ) （9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。（ ） （10）三个主应力方向一定是两两垂直的。 ( ) 2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（共20分，每小 题2分） (1)弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的 的一门学科。 (2)平面应力问题的几何特征是： 。
1 图2.4 习题解答 第二章 2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 解：(1)pi iq qj jk pq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===; (2)()pqi ijk jk pj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-; (3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。 证：20ijk jk jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。 2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明： 2[,,]??????=???a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证：123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明： ()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c 证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e ???=?=a b c d e e ()()()()()i j l m il jm im jl i i j j i i j j a b c d a c b d a d b c δδδδ=-=- ()()()()=??-??a c b d a d b c 。 2.5设有矢量i i u =u e 。原坐标系绕z 轴转动θ系，如图2.4所示。试求矢量u 在新坐标系中的分量。 解：11cos βθ'=，12sin βθ'=，130β'=， 21sin βθ'=-，22cos βθ'=，230β'=， 310β'=，320β'=，331β'=。 1112cos sin i i u u u u βθθ''==+，
第七章 平面问题的极坐标解 知识点 极坐标下的应力分量 极坐标下的应变分 量 极坐标系的 Laplace 算符 轴对称应力分量 轴对称位移和应力表达式 曲梁纯弯曲 纯弯曲位移与平面假设 带圆孔平板拉伸问题 楔形体问题的应力函数 楔形体应力 楔形体受集中力偶作用 、内容介绍 在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质 上讲并不影响问题的求解， 但是坐标的选取直接影响 边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程 度。 对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统 要方便的多。 本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程， 且求解一些典型问题。极坐标平衡微分方程 几何方程的极坐标表达 应 力函数 轴对称位移 厚 壁圆筒作用均匀压力 曲 梁弯曲应力 曲梁作用径 向集中力 孔口应力 楔形体边界条件 半无限平面作用集中力
二、重点 1、基本未知量和基本方程的极坐标形式； 2、双调和方程的极坐标形式； 3、 轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题 §7.1平面问题极坐标解的基本方程 学习思路： 选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。 本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式； 并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。 应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解 的基本概念仍然适用于极坐标。 学习要点: 1、极坐标下的应力分量； 2、极坐标平衡微分方程； 3、极坐标下的应变分量； 4、几何方程的极坐标表达； 5、本构方程的极坐标
同济大学弹性力学往年 试题 https://www.doczj.com/doc/0f17220989.html,work Information Technology Company.2020YEAR
同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸 A 卷 2006—2007学年第 一 学期 课程名称：弹性力学 课号： 任课教师： 专业年级： 学号： 姓名： 考试（√）考查（ ） 考试（查）日期： 2007 年1月 22 日 出考卷教师签名：朱合华、许强、王君杰、李遇春、陈尧舜、邹祖军、赖永 瑾、蔡永昌 教学管理室主任签名： 1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积内的横向荷载q 来等代。 ( ) （2）对于常体力平面问题，若应力函数),(y x ?满足双调和方程022=???，那 么由),(y x ?确定的应力分量必然满足平衡微分方程。 （ ） （3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不 同，解的结果会有所差别。 （ ） （4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。 （ ） （5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其截面扭矩均满足如下等式： ??=dxdy y x F M ),(2,其中),(y x F 为扭转应力函数。 （ ） （6）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续 的。 （ ） （7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不 同。 （ ） （8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。 ( ) （9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界 条件。（ ） （10）三个主应力方向一定是两两垂直的。 ( ) 2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（共20分，每小题2分）
基本概念： （1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理： 作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。 （3） 弹性力学的基本假定： 连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。 （4） 平面应力与平面应变； 设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时， 0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于 xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。 设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。由胡克定律， 0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=。因此，只剩下平行 于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。 （5） 一点的应力状态； 过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。 （6） 圣维南原理；（提边界条件） 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。 （7） 轴对称； 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。 一、 平衡微分方程：
第四章应力应变关系静力平衡和几何变形 通过具体物体的材料性质相联系材料的应力应变的内在联系 材料固有特性，因此称为物理方程或者本构关系
目录 §4.1广义胡克定理 §4.2拉梅常量与工程弹性常数§4.3弹性体的应变能函数
§4.1广义胡克定义 ?应力应变关系属于材料性能 ?称为物理方程或者本构方程 ?单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定 ?复杂应力状态难以通过实验确定
?广义胡克定理——材料应力应变一般关系 xz yz xy z y x xz xz yz xy z y x yz xz yz xy z y x xy xz yz xy z y x z xz yz xy z y x y xz yz xy z y x x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=?工程材料，应力应变关系受到一定的限制 ?一般金属材料为各向同性材料 ?复合材料在工程中的应用日益广泛
弹性体变形过程的功与能 ?能量守恒是一个物理学重要原理 ?利用能量原理可以使得问题分析简化 ?能量原理的推导是多样的，本节使用热力 学原理推导。 外力作用——弹性体变形——变形过程外力作功——弹性体内的能量也发生变化
第六章 习 题 6-1 试确定图示结构的超静定次数。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) 所有结点均为全铰结点 2次超静定 6次超静定 4次超静定 3次超静定 去掉复铰，可减去2（4-1）=6个约束，沿I-I 截面断开，减去三个约束，故为9次超静定 沿图示各截面断开，为21次超静定 刚片I 与大地组成静定结构，刚片II 只需通过一根链杆和一个铰与I 连接即可，故为4次超静定
(h) 6-2 试回答：结构的超静定次数与力法基本结构的选择是否有关？力法方程有何物理意义？ 6-3 试用力法计算图示超静定梁，并绘出M 、F Q 图。 (a) 解： 上图= l 1M p M 01111=?+p X δ 其中： EI l l l l l l l EI l l l l EI 81142323326232323332113 11=??? ????+??+???+??? ??????=δEI l F l lF l lF EI l p p p p 8173323222632 31-=??? ???-??-?=? 0817******* =-EI l F X EI l p p F X 2 1 1= p M X M M +=11 l F p 6 1 l F p 6 1 2l 3 l 3 题目有错误，为可变体系。 + lF 2 1=1 M 图
p Q X Q Q +=11 p F 2 1 p F 2 (b) 解： 基本结构为： l 1M l l 2M l F p 2 1 p M l F p 3 1 ???? ?=?++=?++00 22 221211212111p p X X X X δδδδ p M X M X M M ++=2211 p Q X Q X Q Q ++=2211 6-4 试用力法计算图示结构，并绘其内力图。 (a) l 2 l 2 l 2 l l 2 Q 图 12
同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸A卷 2006—2007 学年第一学期 课程名称：弹性力学课号：任课教师： 专业年级：学号：姓名： 考试（√）考查（）考试（查）日期：2007 年 1 月 22 日 出考卷教师签名：朱合华、许强、王君杰、李遇春、陈尧舜、邹祖军、赖永瑾、 蔡永昌 教学管理室主任签名： ．是非题 （认为该题正确，在括号中打√ ；该题错误，在括号中打× 。） ( 每小题2 分 ) 1 （1）薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积内的横向荷载q 来等代。( ) （2）对于常体力平面问题，若应力函数( x, y) 满足双调和方程 2 2 0 ，那么由(x, y) 确定的应力分量必然满足平衡微分方程。（）（3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结果会有所差别。（）（4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。（）（ 5 ）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其截面扭矩均满足如下等式：M 2 F ( x, y) dxdy ,其中F ( x , y)为扭转应力函数。（）（6）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。（）（7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。（）（8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。( ) （9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。（）（10）三个主应力方向一定是两两垂直的。( ) 2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（共 20 分，每小题 2 分） (1) 弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的的一门学科。 (2) 平面应力问题的几何特征是：。 (3) 平衡微分方程则表示物体的平衡，应力边界条件表示物体的平衡。 (4) 在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是。 (5) 弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是：。 (6) 应力函数x, y ax 4 bx 2 y 2 cy 4如果能作为应力函数，其a, b, c 的关系应该 是。 (7) 轴对称的位移对应的一定是轴对称的。 (8) 瑞利－里兹法的求解思路是：首先选择一组带有待定系数的、满足的 位移分量，由位移求出应变、应力，得到弹性体的总势能，再对总势能取极值。 (9)克希霍夫的直法线假设是指：变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持 为直线，并垂直于变形后的中面，且。 (10) 一般说来，经过简化后的平面问题的基本方程有个，但其不为零的应力、应变和
第七章平面问题的极坐标解知识点 极坐标下的应力分量 极坐标下的应变分量 极坐标系的Laplace算符轴对称应力分量 轴对称位移和应力表达式曲梁纯弯曲 纯弯曲位移与平面假设带圆孔平板拉伸问题 楔形体问题的应力函数楔形体应力 楔形体受集中力偶作用极坐标平衡微分方程几何方程的极坐标表达应力函数 轴对称位移 厚壁圆筒作用均匀压力曲梁弯曲应力 曲梁作用径向集中力孔口应力 楔形体边界条件 半无限平面作用集中力 一、内容介绍 在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。 对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。
二、重点 1、基本未知量和基本方程的极坐标形式； 2、双调和方程的极坐 标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形 体和圆孔等典型问题 §7.1 平面问题极坐标解的基本方程 学习思路: 选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。 本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。 由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。 应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。 学习要点： 1、极坐标下的应力分量； 2、极坐标平衡微分方程； 3、极坐标下 的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标
同济大学朱慈勉结构力学第10章结构动??习题答案 10-1试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？ 10-3什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度? 10-4将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标? 10-5试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) mi m2 __ 八一 (b) 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m，B处有一弹性支座（刚度系数为k），C处有一阻尼器（阻尼系数为c），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。
El= 3 m 21 --- 3 解：1)刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A截面转角a为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为ml a 由动力荷载引起的力矩为： -q | ?| =-q |2 2%) 3 3*) 由弹性恢复力所引起的弯矩为： 頁 cal2 根据 A结点力矩平衡条件M ] ? M p? M $ =0可得: 3map哼Fs1—斗 —..ka 3ca ma ■ 3I I 2)力法 解：取AC杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移 -q. fa --l ot k -I G-I O( Vot e- 3 t 3 3 10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量m，A处转动弹簧铰的刚度系数为k e，C、E处 弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c,试建立体系自由振动时的运动方程。 q(t) C 取A点隔离体，A结点力矩为: M i =-m a I 2l 2 3 =〕mal 整理得: :?。根据几何关系，虚功方程为: 则同样有: ka 3ca ma 3I I
第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物体采用极坐标 (r,θ) 来解，因为此时边界条件用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及算例。 第1节 平面极坐标下的基本公式 采用极坐标系则平面内任一点的物理量为 r,θ 函数。 体力：f r =K r , f θ=K θ 面力：θθF K F K r r ==, 应力：r , θ ,r θ= θ r 应变： r , θ ,γr θ=γθ r 位移：u r , u θ 直角坐标与极坐标之间关系: x=rcos θ, y=rsin θ θ θθθ??-??=????+????=??r r x x r r x sin cos θ θθθθ?? -??=????+????=??r r y y r r y cos sin 1.1 平衡微分方程 0)(11=+-+??+??r r r r f r r r θθσσθτσ 021=++??+??θθ θθτθστf r r r r r x y o P r θ
1.6按位移法求解 基本未知函数为位移u r , uθ，应变、应力均由位移导出。
在极坐标按应力求解的基本方程为（平面应力问题） ???? ? ??? ? +??+??+-=+?=++??+??=+-+??+??) 1)(1()(021012r f f r r f f r r r f r r r r r r r r r r r r θνσστθστσσθτσθθ θθθθθθ 其中 22 2 222 11θ??+??+???r r r r ＝ 力的边界条件如前所列。 1.8 应力函数解法 当体力为零 f r =f θ=0时, 应力法基本方程中的应力分量可以转为一个待求的未知函数 φ( r, θ) 表示,而应力函数 φ( r, θ) 所满足方程为 4φ( r, θ) =0 或 0)11(2 2222=??+??+??φθr r r r 而极坐标系下的应力分量 r , θ, r θ 由 φ( r, θ)的微分求得,即： r r r r ??+??=φ θ φσ112 22， 2 2r ??=φ σθ， θ φ θφθφττθθ???- ??=????-==r r r r r r r 2211)1( 第2节 轴对称问题 2.1 轴对称问题的特点 1. 截面的几何形状为圆环、圆盘。 2. 受力和约束对称于中心轴,因此，可知体积力分量 f θ=0 ； 在边
同济大学课程考核试卷（A 卷） 2008 — 2009 学年第 一 学期 命题教师签名： 审核教师签名： 课号：030192 课名： 弹性力学 考试考查：考试 此卷选为：期中考试( )、期终考试(√ )、重考( )试卷 年级 专业 学号 姓名 得分 一．是非题（正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(共30分，每小题2分) 1. 三个主应力方向必定是相互垂直的。（ ） 2. 最小势能原理等价于平衡方程和面力边界条件。（ ） 3. 轴对称的位移对应的几何形状和受力一定是轴对称的。（ ） 4. 最大正应变是主应变。（ ） 5. 平面应力问题的几何特征是物体在某一方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸。（ ） 6. 最大剪应力对应平面上的正应力为零。（ ） 7. 弹性体所有边界上的集中荷载均可以按照圣维南原理放松处理边界条件。（ ） 8. 用应力函数表示的应力分量满足平衡方程，但不一定满足协调方程。（ ） 9. 经过简化后的平面问题的基本方程及不为零的基本未知量(应力、应变和位移)均为8 个。（ ） 10. 运动可能的位移必须满足已知面力的边界条件。（ ） 11. 实对称二阶张量的特征值都是实数。（ ） 12. 对单、多连通弹性体，任意给出的应变分量只要满足协调方程就可求出单值连续的位 移分量。（ ） 13. 若整个物体没有刚体位移，则物体内任意点处的微元体都没有刚体位移。（ ） 14. 出现最大剪应力的微平面和某两个应力主方向成45度角。（ ） 15. 对任意弹性体，应力主方向和应变主方向一致。（ ） 二．分析题（共20分，每小题10分） 1．已知应力张量为()()2211e e e e σ?-+?+=b a b a ，0>>a b (1) 设与xy 平面垂直的任意斜截面的法向矢量为21sin cos e e n θθ+=，试求该斜截面上的正应力与剪应力。 (2) 求最大和最小剪应力值。