第一学期期末考试试卷
一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1. =→x
x x 1sin lim 0___0_____. 2. 设1
)1(lim )(2+-=∞→nx x n x f n ，则)(x f 的间断点是___x=0_____. 3. 已知(1)2f =，41)1('-=f ,则12()x df x dx -== _______.
4. ()a
x x '=_______.
5. 函数434)(x x x f -=的极大值点为________.
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.）
1. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为________.
A.)2lg ,0(
B. ]2lg ,0[
C. )100,10(
D.)2,1(.
2. 设对任意的x ，总有)()()(x g x f x ≤≤?，使lim[()()]0x g x x ?→∞-=，则 lim ()x f x →∞
______. A.存在且一定等于零 B. 存在但不一定等于零
C.不一定存在
D. 一定存在.
3. 极限=-→x x
x x e 21lim 0________.
A. 2e
B. 2-e
C. e
D.不存在.
4. 设0)0(=f ，1)0(='f ，则=-+→x
x f x f x tan )2()3(lim
0________. A.0 B. 1 C. 2 D. 5.
5. 曲线221x y x
=-渐近线的条数为________. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3.
三、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求2
0sin 1lim sin x x e x x →--. 四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
求2
1
0lim(cos )x x x +→. 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
确定常数,a b , 使函数2(sec )0()0x x x x f x ax b
x -?>=?+≤?处处可导. 六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 设21()arctan ln(1)2
f x x x x =-+,求dy .dy=arctanxdx 七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
已知2326x xy y -+=确定y 是x 的函数,求y ''.
八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 列表求曲线52
3333152
y x x =-+的凹向区间及拐点. 九、证明题（请写出推理步骤及结果，共6+6=12分.）
1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),(),f a a f b b <>证明在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()f ξξ=.
2. 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ,求证:至少存在一点)1,0(∈ξ,使得3'()()0f f ξξξ+=.
第一学期期末考试参考答案与评分
标准
一、填空题（3×5=15）
1、0
2、 0x = 3 、4- 4、()1ln 1a
x a x x a x -?+ 5、3x =
二、单项选择题（3×5=15）
1、C
2、C
3、A
4、B
5、D 三、（8×1=8）
22
0000sin 1sin 1lim lim 2sin cos lim 62sin 1lim 822
x x x x x x x x e x e x x x e x x
e x →→→→----=-=+==L L L L L L L L L 分分分 四、（8×1=8）
()200ln cos 1
lim 01sin cos lim
11
2lim (cos )268x x x x x x x x
x e e e +→+
+→→-?--
===L L L L L L L L L 分分分
五、（8×1=8）
因为()f x 在(),-∞+∞处处可导，所以()f x 在0x =处连续可导。……1分 因为
()200lim (sec )02lim 34x x x x x ax b b x b +--→→=+==L L L L L L L L L 分分 f 分
所以 0b =5L L L 分
又因为 ()()02000lim (sec )00lim 1x x x ax b f a x
x x f x
-+-→-+→+-'==-'== 所以 1a = ………8分
六、（8×1=8）
()22
112arctan 5121arcsin 6arcsin 8x f x x x x x x dy xdx '=-?
-?++==L L L L L L L L L 分分分
七、（8×1=8）