1.某程序规定："输入三个整数a 、b 、c 分别作为三边的边长构成三角形。通过程序 判定所构成的三角形的类型，当此三角形为一般三角形、等腰三角形及等边三角形时，分别作计算… "。用等价类划分方法为该程序进行测试用例设计。（三角形问题的复杂之处在于输入与输出之间的关系比较复杂。） 分析题目中给出和隐含的对输入条件的要求： （1）整数（2）三个数（3）非零数（4）正数 （5）两边之和大于第三边（6）等腰（7）等边 如果a 、b 、c 满足条件（1 ）~ （4 ），则输出下列四种情况之一： 1)如果不满足条件（5），则程序输出为" 非三角形" 。 2)如果三条边相等即满足条件（7），则程序输出为" 等边三角形" 。 3)如果只有两条边相等、即满足条件（6），则程序输出为" 等腰三角形" 。 4)如果三条边都不相等，则程序输出为" 一般三角形" 。 列出等价类表并编号
覆盖有效等价类的测试用例： a b c 覆盖等价类号码 3 4 5 （1）--（7） 4 4 5 （1）--（7），（8） 4 5 5 （1）--（7），（9） 5 4 5 （1）--（7），（10）4 4 4 （1）--（7），（11）
覆盖无效等价类的测试用例： 2.设有一个档案管理系统，要求用户输入以年月表示的日期。假设日期限定在1990年1 月~2049年12月，并规定日期由6位数字字符组成，前4位表示年，后2位表示月。 现用等价类划分法设计测试用例，来测试程序的"日期检查功能"。（不考虑2月的问题） 1)划分等价类并编号,下表等价类划分的结果
2)设计测试用例，以便覆盖所有的有效等价类在表中列出了3个有效等价类，编号分别 为①、⑤、⑧，设计的测试用例如下： 测试数据期望结果覆盖的有效等价类 200211 输入有效①、⑤、⑧ 3)为每一个无效等价类设计一个测试用例，设计结果如下： 测试数据期望结果覆盖的无效等价类 95June 无效输入② 20036 无效输入③ 2001006 无效输入④ 198912 无效输入⑥ 200401 无效输入⑦ 200100 无效输入⑨ 200113 无效输入⑩ 3.NextDate 函数包含三个变量：month 、day 和year ，函数的输出为输入日期后一天 的日期。例如，输入为2006年3月7日，则函数的输出为2006年3月8日。要求输入变量month 、day 和year 均为整数值，并且满足下列条件： ①1≤month≤12 ②1≤day≤31 ③1920≤year≤2050 1)有效等价类为： M1＝{月份：1≤月份≤12} D1＝{日期：1≤日期≤31} Y1＝{年：1812≤年≤2012} 2)若条件①~ ③中任何一个条件失效，则NextDate 函数都会产生一个输出，指明相 应的变量超出取值范围，比如"month 的值不在1-12 范围当中" 。显然还存在着大量的year 、month 、day 的无效组合，NextDate 函数将这些组合作统一的输出：" 无效输入日期" 。其无效等价类为： M2＝{月份：月份<1} M3＝{月份：月份>12} D2＝{日期：日期<1} D3＝{日期：日期>31} Y2＝{年：年<1812} Y3＝{年：年>2012} 弱一般等价类测试用例 月份日期年预期输出 6 15 1912 1912年6月16日 强一般等价类测试用例同弱一般等价类测试用例 注：弱--有单缺陷假设；健壮--考虑了无效值
习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+
ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y x u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<1.5}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有
习题 第一讲 1. 由盛有号码为N ,,2,1 的球的箱子中有放回的摸了n 次, 依次记其号码, 求这些号码按严格上升次序排列的概率. 2. 对任意凑在一起的40人, 求他们中没有两人生日相同的概率. 3. 从n 双不同的鞋子中任取)2(2n r r 只, 求下列事件的概率: (1) (1)没有成双的鞋子; (2)只有一双鞋子; (3) 恰有二双鞋子; (4) 有r 双鞋子. 4. 从52张的一副扑克牌中, 任取5张, 求下列事件的概率: (1) (1)取得以A 为打头的顺次同花色5张; (2) (2)有4张同花色; (3) (3)5张同花色; (4) (4)3张同点数且另2张也同点数. 思考题: 1.（分房、占位问题）把n 个球随机地放入N 个不同的格子中，每个球落入各格子内的概率相同（设格子足够大，可以容纳任意多个球）。 I. I.若这n 个球是可以区分的，求（1）指定的n 个格子各有一球的概率；（2）有n 个格子各有一球的概率； 若这n 个球是不可以区分的，求（1）某一指定的盒子中恰有k 个球的概率；（2）恰好有m 个空盒的概率。 2.取数问题）从1-9这九个数中有放回地依次取出五个数，求下列各事件的概率： （1） （1）五个数全不同；（2）1恰好出现二次；（3）总和为10. 第二讲 1. 在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币, 问方格要多小时才能使硬币与线不相交的概率小于 2. 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报(记为A)的有45%，订乙报(记为B)的有35%，订丙报(记为C)的有30%，同时订甲、乙两报(记为D)的有10%，同时订甲、丙两报(记为E)的有8%，同时订乙、丙两报(记为F)的有5%，同时订三中报纸(记为G)的有3%. 试表示下列事件, 并求下述百分比：(1)只订甲报的；（2）只订甲、乙两报的；（3）只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；（5）至少订一种报纸的；（6）不
分析题目中给出和隐含的对输入条件的要求： （1）整数 （2）三个数 （3）非零数 （4）正数 （5）两边之和大于第三边 （6）等腰 （7）等边 如果 a 、 b 、 c 满足条件（ 1 ） ~ （ 4 ），则输出下列四种情况之一： 1)如果不满足条件（5），则程序输出为 " 非三角形 " 。 2)如果三条边相等即满足条件（7），则程序输出为 " 等边三角形 " 。 3)如果只有两条边相等、即满足条件（6），则程序输出为 " 等腰三角形 " 。 4)如果三条边都不相等，则程序输出为 " 一般三角形 " 。 列出等价类表并编号 覆盖有效等价类的测试用例： a b c 覆盖等价类号码 3 4 5 （1）--（7） 4 4 5 （1）--（7），（8） 4 5 5 （1）--（7），（9） 5 4 5 （1）--（7），（10） 4 4 4 （1）--（7），（11） 覆盖无效等价类的测试用例： 2. 设有一个档案管理系统，要求用户输入以年月表示的日期。假设日期限定在1990 年1月~2049年12月，并规定日期由6位数字字符组成，前4位表示年，后2位表示月。现用等价类划分法设计测试用例，来测试程序的"日期检查功能 "。（不考虑2月的问题） 1)划分等价类并编号,下表等价类划分的结果
2)设计测试用例，以便覆盖所有的有效等价类在表中列出了3个有效等价类，编号分 别为①、⑤、⑧，设计的测试用例如下： 测试数据期望结果覆盖的有效等价类 200211 输入有效①、⑤、⑧ 3)为每一个无效等价类设计一个测试用例，设计结果如下： 测试数据期望结果覆盖的无效等价类 95June 无效输入② 20036 无效输入③ 2001006 无效输入④ 198912 无效输入⑥ 200401 无效输入⑦ 200100 无效输入⑨ 200113 无效输入⑩ 3.NextDate 函数包含三个变量：month 、 day 和 year ，函数的输出为输入日期 后一天的日期。例如，输入为 2006年3月 7日，则函数的输出为 2006年3月8日。 要求输入变量 month 、 day 和 year 均为整数值，并且满足下列条件： ①1≤month≤12 ②1≤day≤31 ③1920≤year≤2050 1)有效等价类为： M1＝{月份：1≤月份≤12} D1＝{日期：1≤日期≤31} Y1＝{年：1812≤年≤2012} 2)若条件① ~ ③中任何一个条件失效，则 NextDate 函数都会产生一个输出，指明相 应的变量超出取值范围，比如 "month 的值不在 1-12 范围当中 " 。显然还存在着大量的 year 、 month 、 day 的无效组合， NextDate 函数将这些组合作统一的输出： " 无效输入日期 " 。其无效等价类为： M2＝{月份：月份<1} M3＝{月份：月份>12} D2＝{日期：日期<1} D3＝{日期：日期>31} Y2＝{年：年<1812} Y3＝{年：年>2012} 弱一般等价类测试用例 月份日期年预期输出 6 15 1912 1912年6月16 日 强一般等价类测试用例同弱一般等价类测试用例
概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少 命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B (10,, 命中3炮的概率为 =??==733 103.07.0}3{C P ξ 至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为 =??-=<-=≥∑=-2 010103.07.01}3{1}3{i i i i C P P ξξ 因np +p =10×+=不是整数, 因此最可能命中[]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为, 求生产10件产品中废品 数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B (10,, 则废品数不超过2个 的概率为 =??=≤∑=-2 0101099.001.0}2{i i i i C P ξ 3. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为, 若假定各机 床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B (20,, 假设这个车间消耗 的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此 2061 .02 .08.0}18{}15 270 {}27015{}270{20 18 2020 =??==≥=≥ =≥=≥∑=-i i i i C P P P P ξξξη 4. 从一批废品率为的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产
品中废品率不大于的概率. 解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B (20,, 假设这20个产品 中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此 ∑=-??=≤=≤=≤3 20209.01.0}3{}15.020 { }15.0{i i i i C P P P ξξ η= 5. 生产某种产品的废品率为, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2 件废品, 问这20件中, 废品不少于3件的概率. 解: 设ξ为这20件产品中的废品数, 则ξ~B (20,, 又通过检查已经知 道ξ定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率 } 2{} 23{}2|3{≥≥?≥= ≥≥ξξξξξP P P 因事件}3{}2{≥?≥ξξ, 因此2}23{≥=≥?≥ξξξ 因此 5312 .06083 .02852 .019.01.0209.019.01.01} {1}2{1} {} 2{1} {} 2{}{} {}{} 2{} 3{}2|3{19 2018 22201 020 2 20 2 20 2 20 220 3=- =??--??- ==-=- ===- ===-== === ≥≥=≥≥∑∑∑∑∑∑======C i P P i P P i P P i P i P i P P P P i i i i i i ξξξξξξξξξξξξξ 6. 抛掷4颗骰子, ξ为出现1点的骰子数目, 求ξ的概率分布, 分布 函数, 以及出现1点的骰子数目的最可能值. 解: 因掷一次骰子出现一点的概率为1/6, 则ξ~B (4,1/6), 因此有
第一讲 概率论概述 1． 概率空间 定义 （概率空间）称一个三元组(,,)P ΩF 是概率空间，其中，Ω是样本空间，F 是Ω 上的一个σ代数，而P 是?上的一个概率测度。 关于σ代数 定义 （代数和σ代数）集合Ω的一个子集类?被称为代数，如果满足条件， (1) ?∈φΩ,；(2) ?∈21B B ，?∈-21B B ，?∈?i B ，2,1=i 。 如果一个代数对可列并运算封闭，则称其为σ代数。 为什么要引入σ代数？ 以掷骰子为例：{1,2,3,4,5,6}Ω=，所有子集构成一个σ代数。但是，如感兴趣的问题是出现的点数是偶数还是奇数，那么考虑的事件集只有两个：{1,3,5},{2,4,6}A B ==，包含它们的最小σ代数为{,,,}A B ΩΦ?=。因此，只要限制在?上研究问题。 关于概率测度 定义 （σ代数上的概率测度）一个概率测度是满足如下条件的映射]]1,0[:→?P ： (1) 可列可加性：∑∞ =∞ == 1 1)()(n n n n A P A P ，n m A A A n m n ≠=?∈?,,φ ； (2) 规一性：1)(=ΩP 。 概率测度一般化的意义：涵盖了可能出现的各种问题。 以抛硬币为例：{0,1}S =，那么直观上的概率1 ({0})({1})2 P P ==只是可能出现的情况中的一个：硬币是均匀的。硬币不均匀，则完全可能有其它选择。 例 古典概率模型。 关于可列可加性 可列的含义。 可列可加不能用于任意个集合的并：例如[0,1]Ω=，均匀投点，取每一点的概率为0，但其总和仍为1。 概率函数的一些性质 概率函数P 显然可视为可测空间上的一个测度，所以测度的许多性质也可用于概率。 序列极限意义下的连续性：可列可加性蕴涵了概率函数的连续性。 定理 若}1,{≥n A n 是单调增加序列（或减小序列），则 )lim ()(lim n n n n A P A P ∞ →∞ →=。 关于集合序列极限的定义 单调上升序列的极限：1 lim n n n n A A ∞→∞ == ；
1.某程序规定："输入三个整数 a 、 b 、 c 分别作为三边的边长构成三角形。通过程序判定所构成的三角形的类型，当此三角形为一般三角形、等腰三角形及等边三角形时，分别作计算… "。用等价类划分方法为该程序进行测试用例设计。（三角形问题的复杂之处在于输入与输出之间的关系比较复杂。） 分析题目中给出和隐含的对输入条件的要求： （1）整数（2）三个数（3）非零数（4）正数（5）两边之和大于第三边（6）等腰（7）等边 如果 a 、 b 、 c 满足条件（ 1 ） ~ （ 4 ），则输出下列四种情况之一： 1)如果不满足条件（5），则程序输出为 " 非三角形 " 。 2)如果三条边相等即满足条件（7），则程序输出为 " 等边三角形 " 。 3)如果只有两条边相等、即满足条件（6），则程序输出为 " 等腰三角形 " 。 4)如果三条边都不相等，则程序输出为 " 一般三角形 " 。 列出等价类表并编号
覆盖有效等价类的测试用例： a b c 覆盖等价类号码 3 4 5 （1）--（7） 4 4 5 （1）--（7），（8） 4 5 5 （1）--（7），（9） 5 4 5 （1）--（7），（10）4 4 4 （1）--（7），（11）覆盖无效等价类的测试用例
2.设有一个档案管理系统，要求用户输入以年月表示的日期。假设日期限定在1990年1月~2049年12月，并规定日期由6位数字字符组成，前4位表示年，后2位表示月。现用等价类划分法设计测试用例，来测试程序的"日期检查功能"。 1) 划分等价类并编号,下表等价类划分的结果 2) 设计测试用例，以便覆盖所有的有效等价类。在表中列出了3个有效等价类，编号分别为①、⑤、⑧，设计的测试用例如下：
第五讲 用样本估计总体（课前复习） 1．作频率分布直方图的步骤： 2．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的 ，就得频率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着 的增加，作图时 增加， 减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线． 3.样本中的数字特征： 众数： 中位数： 平均数： 方差 2s = 标准差s = 如何利用频率分布直方图估计样本的数字特征？ 提示： (1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值． (2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． (3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形的中点的横坐标． 【基础训练】 1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( ) A ．c b a >> B ．a c b <> C ．b a c >> D ．a b c >> 2.商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为 万元； 3.某个容量为100的样本的频率分布直方图如图，则在区间[4,5)上的数据的频数为________． 4.（2012陕西文3）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（ ） A ．46，45，56 B ．46，45，53 C ．47，45，56 D ．45，47，53 5.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x ,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为______、________. 3题图 4题图 2题图
第五章 随机变量的数字特征 第1节 离散型随机变量的数学期望 例1 设随机变量X 的分布律如下: 求,EX 2 EX , )53(2+X E . 解 2.03.023.004.02-=?+?+?-=EX , , 8.23.00)3.04.0(43.023.004.0)2(2222=?++=?+?+?-=EX 3 .0]523[3.0]503[4.0]5)2(3[)53(2222?+?+?+?+?+-=+X E 4.133.05)3.04.0(17=?++?= . 例2 设随机变量X 的分布律为 1{}k P X k pq -==， ,0,1p q q p >=-， 1,2,k = , 求EX 和2 EX . 解 1 1 1 {}k k k EX k P X k k pq +∞+∞ -===?==?∑∑ 11 k k p k q +∞ -==?∑2 11 (1)p q p =? =-. 这里,利用了幂级数求和公式 )1()(11 1 '-='=∑∑∞ +=∞ +=-x x x kx k k k k 2 ) 1(1x -= ， x x x x x k k k -= +++++=∑+∞ =11 120 ,(1|| )) 1(( )()(2 1 11 1 1 2 '-='='=∑∑∑+∞ =-+∞=+∞ =-x x kx x kx x k k k k k k k 3 )1(1x x -+= , (1|| 第十四章 概率论初步 第一节 事件与概率 一、随机事件和样本空间 在研究自然界和人类社会时，人们可观察到各种现象，按它是否带有随机性将它们划分为两类。一类是在一定条件下必然会发生的现象，称这类现象为确定性现象。例如苹果从树上掉下来总会落到地上，三角形的内角和一定为180o。另一类现象是在一定条件可能出现也可能不出现的现象，称这类现象为随机现象。例如掷一枚质地均匀的硬币时，它可能出现正面向上，也可能出现反面向上等。 对于随机现象的一次观察，可以看作是一次试验，如果某种试验满足以下条件：（1）试验可在相同条件下重复地进行； （2）每次试验的结果可能不止一个，并且能事先确定试验的所有可能的结果; （3）每次试验的结果事先不可预测，称这种试验为随机试验。 随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间，通 常用字母Ω表示。样本空间的元素即基本事件，有时也称作样本点，常用ω表示。 例1、一次掷两颗骰子,观察每颗的点数 解： Ω=}654321,|),{(、、、、、j i j i = 其中()j i ,表示第一颗掷出i 点,第二颗掷出j 点,显然, Ω共有36个样本点。 例2、 一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1021、、、Λ从中任取一球, 解：令 {} i i 取出球的号码为= 则}1021{、、、Λ=Ω 称样本空间Ω的某一子集为一个随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A 、B 、C ……表示。 如在例2中， A={} 取出球的标号为奇数 因为Ω是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出现Ω中的某一些基本事件ω，即Ω∈ω，也即在试验中，Ω必然会发生，又用Ω来代表一个必然事件。相应地，空集φ可以看作是Ω的子集，在任意一次试验中，不可能有φω∈，即 φ永远不可能发生，所以φ是不可能事件。 我们可用集合论的观点研究事件，事件之间的关系与运算如下： （1）包含 如果在一次试验中，事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件B 包 第2章随机变量及其分布 §1 随机变量 定义1（随机变量）设是一个概率空间，称可测函数为该空间上的一个随机变量。 例1 在箱中编号为1到20的球中不放回随机取出3个球。那么球的最大号码 是一个随机变量，其值域空间为。并且，给定值域空间中的一点，其原像对应于一个随机事件。例如，，对应于事件，，以及其所有可能的轮换。因此，可以认为本身是样本空间上的一个随机事件。以后我们经常需要讨论的是类似事件的概率。 例2考虑等候公共汽车的时间，显然。 这里必须强调，对任意的，。 定义2（分布函数）设是概率空间上的一个随机变量。对任意，称函数为分布函数。 分布函数满足如下性质 （1）是非降右连续函数；（2），。 §2 离散型随机变量及其分布律 1．离散型随机变量 离散型随机变量是一个比较特殊的情形。 定义1（离散型随机变量）如果随机变量的值域空间是一个由有限或可列个值构成的集合，就称之为离散型随机变量。 例伯努利试验；泊松分布等。 2．离散随机变量的分布律 对离散随机变量，由于其值域空间是离散的，因此其分布函数是一个阶梯函数，我们也可用另一种等价方式来刻画。 定义2 （分布律）设随机变量的值域本空间为，那么称为其分布律。 显然分布律和分布函数是相互唯一确定的。 分布律显然满足。 3. 常见的离散随机变量 （1）分布 如果，且其分布律为，，其中。 例1 抛掷硬币，出现反面时令，正面时，则其服从分布。 （2）几何分布 连续不断抛掷硬币，令是首次出现正面时已抛掷的次数。那么，其值域空间为，而分布律。 （3）二项分布 连续抛掷硬币（可以解释为伯努利试验）次。成功的次数记为，那么其值域空间为，而其分布律。 （4）泊松分布 设分布律为的随机变量。 例2如果内，某事件的发生次数。那么下面的假设是合理的： （1）在时间内，发生一次事件的概率为； （2）发生两次或两次以上事件的概率为； （3）事件发生具有独立性。 下面证明此时。 把等份，，。 那么，在假定发生事件的总数是时，其中是每个区间至多只发生一次事件的事件组成，是至少有一个区间事件发生的次数有两次或两次以上的事件组成。那么 。 第五讲 大数定律与中心极限定理 考纲要求 1.了解切比雪夫不等式. 2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定理和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）. 3.了解棣莫佛-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维-林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）. 问题1 何谓切比雪夫不等式？ 答 设随机变量X 的数学期望和方差存在，则对于任意0ε>，有 {}21DX P X EX εε-<>-或者{}2DX P X EX εε-≥≤. 利用切比雪夫不等式，可以用DX 估计事件X EX ε-<的概率. 例 1.设随机变量X 和Y 的数学期望分别2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5-，则根据切比雪夫不等式，有}6{≥+Y X P . 解 ()0E X Y +=，()2(,)3D X Y DX DY Cov X Y +=++=， 根据切比雪夫不等式，有231{6}612P X Y +≥≤ =. 2.设随机变量X 的数学期望为1，方差为14 ，试何用切比雪夫不等式估计{03}P X <<. 问题2 何谓大数定律？叙述切比雪夫大数定律、辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）和伯努利大数定理. 答 将切比雪夫不等式应用于随机变量列n X X X ,,,21 的算术平均值1 1n n i i X X n ==∑，得 {}21n n n DX P X EX εε-<>- . 若,0n n DX →∞→，则有 {} lim 1n n n P X EX ε→∞-<=. 称随机变量列12,,,,n X X X 服从大数定律，并称n X 依概率收敛于n EX . ⑴切比雪夫大数定律：设随机变量12,,,,n X X X 相互独立，它们的数学期望和方差都存在，且方差一致有界，则 第三讲 §4 乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式及其应用 1. 条件概率和事件的独立性 在配对问题中，如何解决第二个问题？如果记事件k A 表示k 个人拿到自己的帽子，k B 表示其余n k -个人没有一个拿到自己的帽子，则所求事件即为k k A B ，问题即要计算Pr()k k A B 。 如果从古典概率角度来理解：#()##() Pr()###k k k k k k k k A B A A B A B S S A = = ，前一项是事件k A 的概率，而后一项可以认为是把k A 作为样本空间，事件k k A B 的概率，这个概率也称为k A 发生的条件下，事件k B 发生的条件概率，记为Pr(|)k k B A 。 这个想法希望能在一般的概率问题中应用，所以引入条件概率这个概念。 定义 （条件概率）如果Pr()0A >，则称Pr() Pr() AB A 为事件B 关于事件A 的条件概率，记为Pr(|)B A 。 从概率空间出发来理解条件概率。给定概率空间(,,)S P F ，对给定的事件A ，可定义样本空间和事件域：(,)A A F ，相应的条件概率空间(,,(|))A A P A ?F 可按如下方式定义：B A ∈F ，则Pr() Pr(|)Pr() AB B A A =。 容易证明，这是一个概率空间。 1）非负性：0)|(≥A B P ； 2）规范性：1)|(=A S P ； 3）可列可加性：∑∞ =∞ ==1 1 )|()|(k k k k A B P A B P ，这里φ=j i B B ，j i ≠。 下面考虑一个简单的问题，来帮助理解条件概率。 例 1 抛掷硬币两次，已知事件A “正面至少出现一次”发生。求两次得到同一面的事件B 概率。 解 从定义容易计算：3()4P A = ，1 ()4P AB =，则3 1)|(=A B P 。 从另一角度看，所谓已知事件A ，即样本空间已缩小为)}1,0(),1,1(),0,1{(。仍是古 测试用例设计—等价类划分法 2008-10-10 11:41:40| 分类：测试| 标签：|字号大中小订阅 1．相关概念：等价类划分法是把所有可能的输入数据，即程序的输入域划分成若干部分（子集），然后从每一个子集中选取少数具有代表性的数据作为测试用例。该方法是一种重要的,常用的黑盒测试用例设计方法。 1.2 等价类 等价类是某个输入域的集合，在这个集合中每个输入条件都是等效的。如果其中一个的输入不能导致问题发生，那么集合中其它输入条件进行测试也不可能发现错误。 等价类分为有效等价类和无效等价类。 有效等价类就是由那些对程序的规格说明有意义的、合理的输入数据所构成的集合，利用有效等价类可检验程序是否实现了规格说明中所规定的功能和性能。 无效等价类就是那些对程序的规格说明不合理的或无意义的输入数据所构成的集合。 2．划分等价类的方法 划分等价类重要的是：集合的划分，划分为互不相交的一组子集，而子集的并是整个集合。下面给出六条确定等价类的原则。 1、在输入条件规定了取值范围或值的个数的情况下，则可以确立一个有效等价类和两个无效等价类。 例如：成年人每分钟的心跳60-100之间为正常。 有效等价类：60-100 无效等价类：<60 和>100 2、在输入条件规定了输入值的集合或者规定了“必须如何”的条件的情况下，可确立一个有效等价类和 一个无效等价类。例如：用户连续输入错误密码的次数最多为3次。 有效等价类：<=3次无效等价类：>3次 3、在输入条件是一个布尔量的情况下，可确定一个有效等价类。例如：单选的选中与不选中。 4、在规定了输入数据的一组值（假定n个），并且程序要对每一个输入值分别处理的情况下，可确立n 个有效等价类和一个无效等价类。例如：输入数据为省份的选择。 5、在规定了输入数据必须遵守的规则的情况下，可确立一个有效等价类（符合规则）和若干个无效等价类（从不同角度违反规则）。例如：规定必须输入非0的正整数。这种例子应充分考虑规则是否可以拆分为具有单一的子规则，然后得到从不同角度违反规则的无效等价类。 该例子起码可拆分为非0、数字、正数、整数4个子规则，至少每个规则对应一个无效等价类，即0、字符串、负数、小数，甚至可挖掘出输入为空的隐含等价类。 第一讲 1. 由盛有号码为N ,,2,1 的球的箱子中有放回的摸了n 次, 依次记其号码, 求这些号码按严格上升次序排列的概率. 2. 对任意凑在一起的40人, 求他们中没有两人生日相同的概率. 3. 从n 双不同的鞋子中任取)2(2n r r ≤只, 求下列事件的概率: (1) (1) 没有成双的鞋子; (2)只有一双鞋子; (3) 恰有二双鞋子; (4) 有r 双鞋子. 4. 从52张的一副扑克牌中, 任取5张, 求下列事件的概率: (1) (1) 取得以A 为打头的顺次同花色5张; (2) (2) 有4张同花色; (3) (3) 5张同花色; (4) (4) 3张同点数且另2张也同点数. 思考题: 1.（分房、占位问题）把n 个球随机地放入N 个不同的格子中，每个球落入各格子内的概率相同（设格子足够大，可以容纳任意多个球）。 I. I. 若这n 个球是可以区分的，求（1）指定的n 个格子各有 一球的概率；（2）有n 个格子各有一球的概率； 若这n 个球是不可以区分的，求（1）某一指定的盒子中恰有k 个球的概率；（2）恰好有m 个空盒的概率。 2.取数问题）从1-9这九个数中有放回地依次取出五个数，求下列各事件的概率： （1） （1） 五个数全不同；（2）1恰好出现二次；（3）总和为10. 第二讲 1. 在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币, 问方格要多小时才能使硬币与线不相交的概率小于 2. 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报(记为A)的有45%，订乙报(记为B)的有35%，订丙报(记为C)的有30%，同时订甲、乙两报(记为D)的有10%，同时订甲、丙两报(记为E)的有8%，同时订乙、丙两报(记为F)的有5%，同时订三中报纸(记为G)的有3%. 试表示下列事件, 并求下述百分比：(1)只订甲报的；（2）只订甲、乙两报的；（3）只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；（5）至少订一种报纸的；（6）不订任何报纸的. 3. 在线段[0,1]上任意投三个点, 求0到这三点的三条线段能构成三角形的概率. 4. 设A, B, C, D 是四个事件, 似用它们表示下列事件: (1) (1) 四个事件至少发生一个; (2) (2) 四个事件恰好发生两个; (3) (3) A,B 都发生而C, D 不发生; (4) (4) 这四个事件都不发生; (5) (5) 这四个事件至多发生一个; (6) (6) 这四个事件至少发生两个; (7) (7) 这四个事件至多发生两个. 5. 考试时共有n 张考签, 有)(n m m ≥个同学参加考试. 若被抽过的考签立即放回, 求在考试结束后, 至少有一张考签没有被抽到的概率. 6. 在§3例5中, 求恰好有)(n k k ≤个人拿到自己的枪的概率. 7. 给定)(),(),(B A P r B P q A P p ?===, 求)(B A P 及)(B A P . 思考题 1.（蒲丰投针问题续）向画满间隔为a 的平行线的桌面上任投一直径)(a l l <为的半圆形纸片,求事件“纸片与某直线相交”的概率； 黑盒测试 （一）实验目的 1．掌握用边界值方法设计测试用例和执行测试的过程； 2．掌握用等价划分方法设计测试用例和执行测试的过程； （二）实验内容 测试“NextDate”函数。NextDate返回输入日期后面的那个日期。变量年、月、日都 具有整数值，且满足如下条件： C1: 1912≤年份≤2050 C2: 1≤月份≤12 C3: 1≤日期≤31 （三）实验步骤 用熟悉的语言（如C 语言）编写实现该函数的功能，并用如下方法设计测试用例，进行黑盒测试。参考源代码： #include day=day+1; break; case 12: if(day==31) { day=1; month=1; year=year+1; if(year==2012) printf("2012 is over"); } else if(day<31) { day=day+1; } break; case 2: { if(day==28) if(((year%4==0 && year%100!=0) || year%400==0)) { day=29; } else { day=1; month=3; } else if(day==29) { day=1; month=3; } else if(day<28) { day=day+1; } else printf("二月没有%d 号!\n",day); } break; default: ; } 习题3-1 1. 而且12{P X X =. 求X 1和X 2的联合分布律. 解 由12 {0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律 (2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1和X 2 不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解 从7只球中取4球只有354 7 =C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红 球有j 只(余下为白球4i j -- 只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1{0,2}35 35 P X Y C C C ====,111322 6{1,1}35 35 P X Y C C C ====, 121322 6 {1,2}35 35 P X Y C C C ====,202322 3 {2,0}35 35 P X Y C C C ==== , 211 322 12{2,1}35 35P X Y C C C ==== ,220 322 3{2,2}35 35P X Y C C C === = , 301 322 2 {3,0}3535P X Y C C C === =, 310 322 2 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<< 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）AB （D ）AB 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
概率论第十四章概率论初步重要知识点
概率论第四讲
05第五讲 大数定律与中心极限定理
概率论第三讲
等价类划分法
浙大《概率论》习题
等价类划分
(完整版)概率论第三章答案
概率论第一章随机事件及其概率答案
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