2019届高三文科数学测试题（三）
注意事项：
1 ?答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2 ?选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 ?非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4 ?考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。3 ?下列各式的运算结果为实数的是
（
A ? (1 i)2
B ? i2(1 i)
C ? i(1 i)2
D ? i(1 i)
4 ?三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法?所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法?如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形的概率为（
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A x|x 1 , B x|e x 1，则（）
A ? A「|
B x|x 1 B ? A U（R B R C. B x|x e D ? （R A^ B x|0 x 1
2 ?为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数?如图所示的折线图是2016年1月至2017年12月的中国仓储指数走势情况. A ?兰V3
22
2 2
5 ?双曲线E.x y
E?孑仔
1 a 0,b
若△ OFM的面积是1，则双曲线
A ? 1
B ? 2
0的离心率是.5，
E的实轴长是（6?如图，各棱长均为1的直三棱柱
根据该折线图，下列结论正确的是（）
A ? 2016年各月的仓储指数最大值是在3月份
B ? 2017年1月至12月的仓储指数的中位数为54%
C. 2017年1月至4月的仓储指数比2016年同期波动性更大
D ? 2017年11月份的仓储指数较上月有所回落，显示出仓储业务活动仍然较为活跃，经济运行稳中向好
2
过右焦点
ABC A1B1C1，M
平面ACC1A，则这样的MN有（）
F作渐近线l的垂线，垂足为M
D ? 2.
2
，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且M
\ JL
\ h
1 叹.\ 1
\ 1 v I
\ 1 \ 1
B ? 2条
\l
c
C ? 3条
2x y
7?已知实数x，y满足x 2y
y 0
4
4，则z 3x 2y的最小值是（
8 ?函数f x
D ?无数
条
2x 2 x cosx在区间5,5上的图象大致为（
A. f x在0,4单调递减
C ? y f X的图象关于点2,0对称D? y f x的图象关于直线x 2对称12 ?设A , B是椭圆
取值范围是（
4
A ?0
3
12,
、填空题:
13 ?已知向
量
14 ?曲线y
15 ?若
tan
10 ?如图是为了求出满
足
21222n2018的最小整数n , v二二『和两个空白框中, 可以分别填入（
1F
_____
J
A? S 2018?,
输出n B ? S 2018?，输出C ? S 2018?,
输出n D ? S 2018?，输出
11 ? △ ABC 的内角A ,
B , C的对边分别为a , b , c，已知b a cos
C 三si nC
3
则角C （）
本大题共
2,3 ,
2
y
k
1长轴的两个端点，若C上存在点P满足APB 120，则k的
6,
C ?0,
3
4小题，每小题5分?
12,
4
D ?0
3
6,
b x, 2，若a 2a b，则实数x的值为
sin x在点0,1处的切线方程是
%，则cos -
16 ?已知球的直径SC 4，A，B是该球球面上的两点，AB 3，ASC BSC 30，则棱
锥S ABC的体积为__________ ?
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤?
17 ? （12分）设S n为数列a n的前n项和，已知a3 7，為2為1 a? 2 n 2 .
（1 ）证明：a n 1为等比数列；
（2）求a n的通项公式，并判断n，a n，S n是否成等差数列？
18 ? （12分）如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，BC平面AA1B1B，AB AA!
2
，
AAB 60
(3 )当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P共受到两个声源的
影响，
这两个声源的声音能量分别是I1和| 2，且丄—1010?已知点P的声音能量等于声音能量
I1与| 2
11丨2
之和?请根据(1 )中的回归方程，判断P点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由.
附：对于一组数据U],V1 , U2,V2，…，U n,V n其回归直线V U 的斜率和截距的最小
二乘
n
(U j u)(v V)
估计分别为? j 1n, a? v ?U .
(U j u)2
i 1
19. (12分)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D (单
位：分贝)与声音能量I (单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度D i和声音能量I j,
i 1,2,|||,10数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值.
2
20. (12分)过抛物线C:x 2py p 0的焦点F作直线l与抛物线C交于A , B两点，当点A的
纵坐标为1时，AF 2 .
(1 )求抛物线C的方程；
(2)若直线l的斜率为2,问抛物线C上是否存在一点M，使得MA MB，并说明理由.
a 10""~ui~4U J
IVrn-
7打iuv.-w 1*
■ 1H !
L0IXI0"*1口 7；i i
1. ：*% 祐 * lu' ■ 5.1
(1) 证明：平面AB1C 平面A1BC ；
(2) 若四棱锥A BB1C1C的体积为乙卫，求该三棱柱的侧面积.
3
表中W j lgI i , W
1 10
i 1
W i .
(1)根据散点图判断，D a1 bj与D a2 Ig I哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程;
x' x
经过伸缩变换：
得到曲线C 2 .
y' v3y
(1)以原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求
值.
23. (10分)选【修4-5 :不等式选讲】 已知函数 f x x 1 x 2， g(x) x 2 x a . (1 )当a 5时，求不等式f x g x 的解集；
(2)若不等式f x g x 的解集包含2,3，求a 的取值范围.
21. (12分)已知 a R ，函数 f x x e x 2a ax 2 . (1 )若f x 有极小值且极小值为0，求a 的值；
(2 )当x R 时，f x f x 0,求a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. (10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线G 的参数方程为:
x cos y sin
(为参数,
0,
)，将曲线C 1
C 2的极坐标方程;
(2)若直线I :
x t cos y tsi n
(t 为参数)与C 1，C 2相交于A ，B 两点，且 AB 2
1，求 的
、选择题 1. 【答案】B 2. 【答案】D 3. 【答案】C 4 ?【答案】A 5 .【答案】B 6.【答案】D 7 .【答案】C &【答案】B 9.【答案】C 10 .【答案】A 11.【答案】D 12 .【答案】A 高三文科数学(三)答 案
【解析】 (1)证明：三棱柱 ABC A 1B 1C 1 的侧面 AA 1B 1B 中，AB AA 1 ,
'?四边
形
AA 1B 1B 为菱形，
? AB 1 AB ，又 BC 平面 AA 1B 1B , AB 1
平面 AAB 1B , ? AB 1 BC , ABn BC B , ? AB 1 平面 A BC , AB 1
平面 AB |C ,
，?平面AB 1C 平面A ,BC
13 .【答案】10 14 .【答案】 2x y 1 0
15 .【答案】 2 5 5
16 .【答案】 厂 ,3
三、解答题
17 .【答案】 (1 )见解析；
(2) a n
n
.
2 1,
【解析】
?/
a 3 7 , a 3 3a 2 2 , a ? 3, …a n 2a n 1 1 , ? a 1 1 , a n 1 2n
二、填空题 . 是.
2 , a n - 1
a n 1是首项为2公比为2的等比数列. (2)由(1)知，a n 1 2n ,??? a n 2n 1 , n 2n1 n 2 ,? n S n 2a n n 2n 1 n 2 2 2n 1 0 ,
? n S n 2a n ，即n , a n , S n 成等差数列. (2)过A 在平面AA 1B 1B 内作AD BB 1于D ,
??? BC 平面 AA 1B 1B , BC 平面 BB 1C 1C ,
?平面 BB 1C 1C 平面 AA 1B 1B 于 BB 1, AD 平面 AA 1B 1B , ? A D 平面 BB 1C 1C . 在 Rt A 中，A 1B 1 AB 2 ,
A 1
B 1B
&AB 60 ,
? AD . 3 ,??? AA J BB 1 ,? A 点到平面 BB 1C 1C 的距离为3 .
1
1
2l~3
又四棱锥 A BB 1C 1C 的体积 V — S BBCC AD —
3 2 BC
, ? BC 1
3
1 1
3
3
在平面BB 1C 1C 内过点D 作DE II BC 交CC 1于E ,连接A )E ，则DE BC 1 ,
AE
AD 2 DE 2 2 ,
? S AD DE AE AA
3 1 2 2 6 2 3 .
19.【答案】(1) D a 2 b 2 Ig I 更适合；(2) D 10l nl 160.7 ； (3)是，见解析. 【解析】(1) D
a 2
b 2 lg I 更适合.
(2)令W lg I i ，先建立D 关于W 的线性回归方程，
10
_ _
(叫 W)(D i D)
_
由于？丄七
51
, ? ? D ?W 160.7,
n
— 2
0.51
(W i W)2
i 1
? D 关于W 的线性回归方程是D? 10W 160.7，即D 关于|的回归方程是C?
10l nl
(3 )点P 的声音能量|
11 12— —
1010,
1 1 1 2
1
.
18 .【答案】(1)见解析；(2) S 6 2 3 .
???I h I 2 101
。［ ~
'1
2
I 1 I 2 10 10 5 12 411
(iii )若 ln 2a 1 , 1
即a —时，当x , 1时，f ' x 2e 0, f x 递增; 根据 （2）中的回归方程，点 P 的声音强度 D 的预报值 当 x 1,ln 2a 时, f' x 0 , f x 递减；当x ln 2a ,
时,
x 递增;
D min
10 10lg 9 10 160.7 10lg9 60.7 60， 故当 x ln 2a 时，f
x 取极小值f
In 2a
aln 2 2a
???
点 P 会受到噪声污染的干扰. -满足条件,
2
故当f x 有极小值且极小值为 0时, 2 20.【答案】(1) C : x 4y ;
（2）存在M 点，见解析. (2) f x
x 0等价于x
2ax 2
2
2ax ,
【解析】（1）由抛物线的定义可得 2，故抛物线方程为 x 2
当x 0时，①式恒成立；当 x
时,
0,故当
0时，①式恒成立; AB : y kx
以下求当x 0时，不等式x e x
2ax 2 0恒成立, 且当x
0时不等式x e x
2
2 ax
0 恒
代入x 2 4y 可得x 2 4kx 4 0 , 设 A X 1, y 1
,B X 2,y 2 ,
则 x 1 x 2 4k , x,x 2 4 ,
因为M A xi X o ,y 1 y 。, ■
MB x 2 :X0, y 2
y 。,
则由MA MB 可得 右 x X 2 X o
% y ° y ? y °
,
即 x ! x 0 X 2 X 。1 1 x
1
16
x X 2
X 0 0
,也即X 1 x 0
X
2
x
16 0
,
所以x 2 4kx 0 12 0，由于判别式
16k 2
48 16 4 3
0, 此时X 1 2 ,
（2 ）假设存在满足条件的点
x o ，y o ，则设直线 1
,
则存在点M 2,1 , 即存在点M 满足题设.
Dy 。 X 2 成立时正数 令 e x
t ,
(i ) 6,9 , 即当 a 的取值范围,
1
g t 11 2alnt
以下求当t 2alnt 0恒成立， 且当
21.【答案】（1） a (2) ,1 . 【解析】 (1) f ' x 2a x
xe 2 ax 2a , x
①若 0，则由f' 0解得 ,1时,
0 , f x 递减; 1,
时,
x 递增;
故当 1时, x 取极小值f 1 a 1
-（舍去）， e
0，则由 e x 2a 0，解得 x In 2a
(i) 若 In 2a 1
0 a 时，当x 2e ,ln 2a 0, f x 递增; ln 2a , x 0, f x 递增;
故当x 1时,
取极小值f 1 a
（舍去）. (ii ) 若 ln 2a
1
，即a 2e 时，f 'x
0 , f x 递增不存在极值;
2al nt 0恒成立时正数
t 求导，得g t 1 - 2a t 2
a 的取值范围,
—22a ^^1，记 h t t 2
t 2
2at 1, 4a 2 4 ,
当0 a 1时,
4a 2 0 , h t t 2 2at
0 , g't 0, t 在0, 上递增，又g 0 a 1 时，x e x e x (ii )当 a 1 时，h 0
1 0, t
2 1, ，在区间 t 1,t 2 上, 2ax 2式恒成立;
h 1
2 2a 0 ,故 h
0, g't 0 , g
1
0, 0 t
t 的两个零点即 t 是减函数,
g't
的两个零点
又t 1 1，所以g t 1
g 1
0，当
综上所述，所求a 的取值范围是 22?【答案】(1)
2
2
3cos
【解析】（1） C 1的普通方
程为
2
?- C 2的方程为x 2工
3
所以C 2的极坐标方程为
,
1
1时①式不能恒成立.
2 sin x 2
，令 3
2cos 2
1
y 0，把
2 2
2
3cos sin
cos ,
0, ; (2)
代入上述方程得,
y' 3y
y sin ,
A 0,
（2 ）在（1）中建立的极坐标系中，直线
l 的极坐标方程为
1 y' 0 ,