极限求法大全
1.1利用极限的定义求极限
用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值 A ,这
种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限 值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是 密切相连的
例：lim f x A 的「S 定义是指：
￡>0， S = S ( x 0， ￡ ) >0, O v |x- X Q |
x X O
vs |f(x)-A| V￡为了求S 可先对X O 的邻域半径适当限制，
如然后适当放
大I f(x)-A (x)(必然保证? (x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不
等式:
I x+a I =|(x- X O )+( x o +a)| < |x- x °|+| x o +a| v| x °+a | +S 1
域|x+a|=|(x- X O )+( x o +a)| >| x °+a|-|x- X O | >| x °+a|- S 1 从? (x) VS 2,求出S 2后，
取3 = min( S 1，S 2)，当 0 v |x- x 0 | VS 时，就有 |f(x)-A| V￡ . 例: 设 lim X n a 贝V 有 lim __也―a .
n n
n
证明：
因为 lim x n
n a ,对
0,
N 1 N,),当n N 1时，X n -a -于是当
n N 1 时，X 1 X 2
…
X
n
a X 1 X 2 ...x na
1.2利用极限的四则运算性质求极限
定理⑴：若极限lim f (x)和lim g(x)都存在，贝U 函数f (x) g(x)， f (x) g(x)当 X X)
X X O
X x 0时也存在且
① l in i f(x) g(x) 阿 f(x) l in i g(x) x X 0 x X 0 x
^0
② lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)
XX )
X X )
X X)
n
n
其中A X 1 a
X 2 a X N 1
是一个定数 ,再由 A n
2，
解得n
2A
,故取N max
M, 2A
当n
N 时,
X 1 x 2
..
X n
—+ —
2 2
n o
f(x)
lim f(x)
在 x ------------ x 0时也存在，且有 lim -^-xo
.
g(x)
x x
g(x) lim g(x)
X
x
利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在， 一般情况所给的变量都不满足这个条件， 例如出现0，-，
等情况，都
不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。变形时经常用到因式分解、 有
理化的运算以及三角函数的有关公式。 例：求 lim (——)
x 1
1 x 3 1 x
3
1
解：由于当x 1时，亠与丄的极限都不存在，故不能利用“极限的和等 1 x 1 x
于和的极限”这一法则，先可进行化简 _= 3 (1 x x 2) (1 x)(2 x) x=
1-x 3 (1 x)(1 x x 2)
分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即
——)=lim-(2 爲=1 X
3
1 x x 1 (1 x x 2)
1.3利用函数的连续性求极限
定理[2]: 一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果 X o 是函数f (x)的 定义区间内的一点，则有lim f (x)
f (x o )。
x x o
一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果
f(x)是初等函数，x 0是其定
义域内一点，则求极限lim f(x)时，可把x o 代入f(x)中计算出函数值，即
x x o
lim f (x)= f (x o )。
x x o
对于连续函数的复合函数有这样的定理：若 U (X)在X 。连续且U o (X o )，
y f (u)在U o 处连续，则复合函数y f [ (x)]在X o 处也连续，从而
lim f x f x 或 lim f x f lim x 。
x xo
x xo x xo
例: lim lnsinx
又若c 0,则丄凶
3
1
后这样得到的新函数当
x 1时,
lim (二 x 1
1 :
X
2
解：复合函数X=—在处是连续的，即有lim lnsinx=lnsin— ln1 0
2 x —2
1.4利用无穷小的性质求极限
我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是无 穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。 例：求 lim 2 4X 7
-
x 1
x 2 3x 2
解：当时x 1，分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒
2
数的极限lim -——3X _ =0，故lim 2 力 7
= 。
x 1 4x-7 x 1
x 3x 2
1.5利用单调有界原理求极限
这种方法是利用定理：单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。 例：求 lim a a ... a
n
解：令X n .a .a ... a ， 则 X n 1 J O X 7，V a V a Va ，即
x
n 1
x
n ，
所
以数列X n 单调递增，由单调有界定理知，lim , a . a ... a 有限，并设为A ，
lim X n 1 lim 、a x n ，即 A=. A a, A
n
n
n
im a a
...a
。
1.6利用夹逼准则求极限⑶
已知｛X n ｝ ,｛y n ｝，｛z n ｝为三个数列，且满足： （1） y n X
n Z n ，（
n 1,2,3,
）；
（2） lim y n a ， lim z n a 。
n n
则极限lim X n —定存在，且极限值也是a ，即lim x n a 。利用夹逼准则求极 n
n
限关键在于从X n 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的数 列使得y n X n z n 。
1
=1 ，求Xn 的极限
n n
匚口，所以
2
例：X n ~T= r 2—
n 1 n 2
1 1 Xn
丁n _n^n
n n^n
解：因为X n单调递减，所以存在最大项和最小项
1.7利用中值定理求极限
sin(sin x) sin x
例：求lim
(x sin x) x]
3
x
b a
f x
.g x
x
n -=
Jn
则命
X n
又因为
nim
-n^
H m — 一，则 h m x 1
1
。
7n n
(1)微分中值定理⑴：若函数 f(x)满足①在 a,b 连续，②在(a , b)可导; 则在(a ，b)内至少存在一点
，使得f '()
f(b) f(a)
------- 0
解: sin(sin x) sin x (sin x x ) cos[ (x sinx) x]，(0
1)
lim o
sin (sin x) sin x
(sin x x) cos[
=cos
li
m
cosx 1 3x 3
sin x
(2)积分中值定理 设函数f x 在闭区间a,b 上连续；g x 在a,b 上不变
号且可积，则在 a,b 上至少有一点使得
例：求lim n
o 4
sin n
xdx
解：lim 04sin n xdx
n
n
= lim sinx
n
二 4lim
(sin)n
n
=0 1.8利用罗必塔法则求极限
定理⑷：假设当自变量x 趋近于某一定值(或无穷大)时，函数f(x)和g(x)满足:
(1) f (x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大； (2) f (x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；
f (x)
(3) lim 存在(或是无穷大)；
g (x)
则极限lim 丄也一定存在，且等于 lim
f (x)
，即lim 丄也=lim
f (x)
。 g(x) '
g(x)'
g(x) g(x)
洛必达法则只能对0或一型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类
f ' X
型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当
lim ——等于A 时，那
g (x)
I
f x f x f x
么lim --- 也存在且等于 A.如果lim —；—不存在时，并不能断定lim ------ 也不
g(x) g (x) g(x)
ln sinmx 例：求lim x 0
In sin nx
解：由 limlnsin mx limlnsin nx 知
x 0
x 0
所以上述极限是一待定型
1.9利用定积分求和式的极限
利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数 f(x)。把所求极限的
存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论
lim
O
g(x)
lim In sinmx x 0 Insinnx lim m cosmx sinnx x 0 n cosnx sinmx
m
lim-s ^nx
n x 0
sinmx
和式表示成f(x)在某区间a,b 上的待定分法(一般是等分)的积分和式的极限
[5]
。
在0,1上n 等分的积分和。
_ 1r
1
—
lim [
1 n n 1 (
1 1
)2
n
—1^^dx 01 x 2
1.10利用泰勒展开式求极限
2
,? cosx e 2
lim 4
---
x 0
x
4
例: 求lim 【n
n
n 12
n 2 (I 1)2]
解:
n
n 2
12
n
n 2
22
n 2
(n
1
口)2
n
1
可取函数 f (x)
2
1 x
,区间为 0,1 ,上述和式恰好是f(x)
1 x
所以lim 【n
n n 2 12
n 2
泰勒展开式⑹：若f X 在x=0点有直到
n+1 阶连续导数，那么
f(x) f(0) f(0)x
2!
42
R n (X)
(n 1)
其中 R n (X)
其中0
例: 解: 泰勒展开式 COSX
x 2
4
x / 4\
(x )
4!
2
X 、2 / 4、) (x )
1.11换元法求极限
当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变 形，使之简化易求。 例：求 lim -—-
x 1
xln x
解：令 t x x 1 则 xlnx ln(t 1)
2. 总结
本文从极限的概念出发，针对性地对极限的求法作了一下小结， 总结出十一 种常见的方法即：1.利用极限的定义求极限2.利用极限的四则运算性质求极限
3. 利用函数的连续性求极限
4.利用无穷小的性质求极限
5.利用单调有界原理求 极
于是cos x
x 2
e T
1
4
x 12
(x 4)
x 2
2 cosx e
所以lim
x 0
lim 1
4
x
12
4 x
(x 4
)
丄
12
m
Im
。
限6.利用夹逼准则求极限7.利用中值定理求极限8.利用洛必达法则求极限9. 利用定积分求和式的极限10.利用泰勒展开式求极限11.利用换元法求极限。对一般的极限根据具体的问题就可以用上面的方法求解，对于复杂一点的可能要用到好几种方法才能够进行求解，这也是我今后主要进行研究的内容。
高数中求极限的16种方法——好东西 首先对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致 一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种） 二、求极限的方法如下： 1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0 注意：罗比达法则分为3种情况 0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0） 3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！） E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助 4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则，最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ 5.无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。 面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！ 6.夹逼定理（主要对付数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7.等比等差数列公式应用（对付数列极限，q绝对值符号要小于1） 8.各项的拆分相加（来消掉中间的大多数，对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9.求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn 的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10.两个重要极限的应用。第一个是X趋近0时候的sinx与x比值。第二个是趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限） 11.还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大,不同函数趋近于无穷的
数学极限的求法 常见:夹逼准则, 无穷小量的性质,两个重要极限，等价无穷小，洛必达 法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式。后四种不常见。另外求代数式极限可参见课本P48上。证明极限用定义证。 1：利用等价无穷小代换求极限 当x 趋于0时等价，例如x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～ )1ln(x +～1-x e x n x ax x x x x x x x x x n a 1 ~,~1)1(,21~ cos 1,~arcsin ,~tan ,~sin 2+-+- 当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2 x - ～ 2x -。 例：求 43 03 lim (sin )2x x x x →+ 解： sin 2 2x x ∴4303lim (sin )2x x x x →+＝ 43 03lim () 2x x x x →+＝ 4330lim 8x x x x →+＝8 2：利用极限的四则运算性质求极限 进行恒等变形，例如分子分母约去趋于零但不等于零的因式；分子分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。 例；求极限
(1)22 11lim 21x x x x →--- (2)3 2lim 3x x →-- (3) 3113lim()11x x x →--++ (4) 已知 11 1 ,1223(1)n x n n =++ +??-?求lim n n x →∞ 解：(1) 2211lim 21x x x x →---＝1(1)(1)lim (1)(21) x x x x x →+--+=11lim 2 1x x x → ++＝23 (2)（2）＝ 3 x →＝3x →＝14 (3) 311 3lim ( )11x x x →--++ ＝2312lim 1x x x x →---+＝21(1)(2)lim (1)(1)x x x x x x →-+-+-+＝212lim 1x x x x →---+＝-1 (4) 因为 11 1 , 1223 (1)n x n n = +++ ??-? 111111 111 122334411n n n =-+-+-+- - +---11n =- 所以 1 lim lim(1)1 n n n x n →∞→∞=-= 3：利用两个重要极限公式求极限 (1) 0sin 1lim lim sin 1x x x x x x →→∞== (2)1 01lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+= 例：求下列函数的极限[4] (1) 230lim lim cos cos cos cos 2222n n n x x x x →→∞?? ??????????
极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可 以用上面的极限严格定义证明，例如： )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5 )13(lim 2 =-→x x ； ???≥<=∞→时当不存在， 时 当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运 用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x
（2） e x x x =+→10 ) 1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的 等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且 )(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当) ()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110 x g x f x x →，即)() (lim 0x g x f x x →=) ()(lim 110x g x f x x →。 5．洛比达法则 定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满 足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大； （2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0； （3）) () (lim x g x f ''存在（或是无穷大）；
函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：
极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限，从近似认识精确,从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑,它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强,灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结, 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限,x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍．我们在解决极限及相关问题时,可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解,尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三,触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解．本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N,使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n
函数极限的十种求法
设 f （x ）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求： 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处的极限存在？ 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处连续？ 注：f （x ）=xsin 1/x +a, x< 0 b+1, x=0 X^2-1, x>0 解：f(0)＝b+1 左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a ＝a 左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1 f(x)在x ＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)， 所以a ＝-1＝b+1， 所以a ＝-1，b ＝-2 7.利用等价无穷小量代换求极限 例 8 求极限30tan sin lim sin x x x x →-． 解 由于()s i n t a n s i n 1c o s c o s x x x x x -=-，而 ()sin ~0x x x →，()2 1cos ~02 x x x -→，()33sin ~0x x x → 故有 2 3300tan sin 112lim lim sin cos 2 x x x x x x x x x →→?-=?=． 注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有()t a n ~0x x x → ，()s i n ~0x x x →，而推出 3300tan sin lim lim 0sin sin x x x x x x x x →→--==， 则得到的式错误的结果． 附 常见等价无穷小量 ()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()2 1cos ~02 x x x -→， ()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0x e x x -→， ()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x α α+-?→． 8 利用洛比达法则求极限 洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞ 型不定式极限．用此种方法求极限要求在
极限的求法 1、利用极限的定义求极限 2、直接代入法求极限 3、利用函数的连续性求极限 4、利用单调有界原理求极限 5、利用极限的四则运算性质求极限 6. 利用无穷小的性质求极限 7、无穷小量分出法求极限 8、消去零因子法求极限 9、 利用拆项法技巧求极限 10、换元法求极限 11、利用夹逼准则求极限[3] 12、利用中值定理求极限 13、 利用罗必塔法则求极限 14、利用定积分求和式的极限 15、利用泰勒展开式求极限 16、分段函数的极限 1、利用极限的定义求极限 用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A ，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。 例：()0 lim x x f x A →=的ε-δ 定义是指：?ε＞0， ?δ=δ(0x ，ε)＞0，0＜0x ＜δ?(x)＜ε 为了求δ 可先对0x 的邻域半径适当限制， 如然后适当放大｜f(x)｜≤φ(x) (必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式： ｜｜(0x )+(0x )|≤0x 0x ＜｜0x ｜+δ1 域(0x )+(0x )|≥0x 0x ＞0x δ1 从φ(x)＜δ2，求出δ2后， 取δ＝(δ1，δ2)，当0＜0x |＜δ 时，就有(x)＜ε.
例：设lim n n x a →∞ =则有12 (i) n n x x x a n →∞++=. 证明：因为lim n n x a →∞ =,对110()N N εε?>?=，,当1n N >时，-2 n x a ε ∣∣<于是当 1n N >时，1212......n n x x x x x x na a n n +++∣+++-∣∣-∣= 0ε<<1 其中1 12N A x a x a x =∣-∣+∣-∣+∣-α∣是一个定数,再由2 A n ε <， 解得2A n ε> ,故取12max ,A N N ε?? ??=???????? 12 ...+=22n x x x n N n εεε+++>-α<当时，。 2、 直接代入法求极限 适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为 例 1. 求 . 分析 由于 , 所以采用直接代入法. 解 原式= 3、利用函数的连续性求极限 定理[2]：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果0 x 是函数)(x f 的定义区间内的一点，则有)()(lim 00 x f x f x x =→。 一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果()f x 是初等函
数学分析中求极限的方法 总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5）[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 x →的极限
式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。
一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取 εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限 δε-定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I) []=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00 （IV ） cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于 时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,
例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x =254252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于 型时0 ,0x x → 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式= () () ) 12102(65) 2062(103lim 223 2232 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =)65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =)65()103(lim 222++---→x x x x x =) 3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21 44(lim 22x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足：
极限计算方法总结（简洁版） 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证 明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；???≥<=∞→时当不存在， 时当，1||1||0lim q q q n n ； 等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理 1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1） B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+ →1 )1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如： 133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0)21(lim ，e x x x =+∞→3)3 1(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价
求极限方法总结 为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下： 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种 2解决极限的方法如下：我能列出来的全部列出来了你还能有补充么? 1 等价无穷小的转化，只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在 e的X次方-1 或者 1+x的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 x趋近无穷的时候还原成无穷小 2落笔他法则大题目有时候会有暗示要你使用这个方法 首先他的使用有严格的使用前提 必须是 X趋近而不是N趋近所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷 必须是函数的.导数要存在假如告诉你gx, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死 必须是 0比0 无穷大比无穷大 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷应为无穷大于无穷小成倒数的关系所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 30的0次方 1的无穷次方无穷的0次方
对于指数幂数方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0 3泰勒公式含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母看上去复杂处理很简单 5无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了 6夹逼定理主要对付的是数列极限 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7等比等差数列公式应用对付数列极限 q绝对值符号要小于1 8各项的拆分相加来消掉中间的大多数对付的还是数列极限 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式对付数列极限例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x 比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式 地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限 11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方快于 x 快于指数函数快于幂数函数快于对数函数画图也能看出速率的快慢当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中 13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的
11 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ．
22 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 00 x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( )) () () ,0,02 211lim 231x y x y →+= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=．
几种求极限方法的总结 摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过n s 对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法. 关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列 []1 根据极限的定义：数列{n x }收敛??a,ε?〉0,?N N ∈+,当n 〉N 时，有n x -a 〈ε. 例1 用定义证明11 lim =+∞→n n n 证明：0,ε?>要使不等式 11-+n n =11n ε<+成立：解得n 11ε>-,取N=?? ????-11ε，于是0,ε?>? N=?? ? ???-11ε，n N ?>，有1,1n n ε-<+即11lim =+∞→n n n 2利用两边夹定理求极限[]1 例2 求极限???? ??+++++++∞ →n n n n n n 22221 31211 1lim 解：设= n c n n n n ++++ +2 2 2 12 11 1 则有：2 n c n n > =+ 同时有： 21 n c n <=+，于是 n c << 1 n n <=+>=. 有 11 n n n c n n <<< < =+ 已知：11lim =+∞→n n n ∴???? ??+++++++∞→n n n n n n 2222131211 1lim =1 3利用函数的单调有界性求极限[]1
实数的连续性定理：单调有界数列必有极限. 例3 设a x =1，a a x +=2， a a a x n +++= （n=1,2, ）(0a >),求n n x ∞ →lim 解：显然{}n x 是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见 12x a x +=，23x a x += ， 1-+=n n x a x ， 从而 12 -+=n n x a x ，显然n x 是单调增加的，所以2n n x a x <+ 两段除以n x ，得 1n n a x x < + 1+≤≤?a x a n 这就证明了{}n x 的有界性 设l x n →，对等式12 -+=n n x a x 两边去极限，则有∞ →-∞ →+=n n n n x a x 12 l i m l i m ?a l l +=2解得2 1 4++= a l l 4利用无穷小的性质求极限[]2 关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x )a →是无穷小，函数g(x)在U （),ηa 有界，则函数f(x)*g(x)(x )a →是无穷小. 例 求极限)cos 1(cos lim x x x -++∞ → 解4 )2 21sin()221sin( 2cos 1cos x x x x x x -+++-=-+ 2)221sin( 2≤++-x x 而) 1(21 221)221sin( 0x x x x x x ++=-+≤-+≤ 而,0) 1(21 lim =++∞ →x x x 故 02 _1lim =+∞ →x x n 5 应用“两个重要极限”求极限[]2 e x x x x x x =+=∞→→)1 1(lim ,1sin lim
1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→
首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！） 必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！） E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开 对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ 看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！ 5无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。 面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！ 6夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1） 8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式 （地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限） 11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候 不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！ x的x次方快于 x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢） !!!!!! 当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中 13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的 14还有对付数列极限的一种方法，
函数的极限的求解方法 摘 要：本文介绍了计算函数极限的几种方法，讨论如何运用已掌握的知识方法计算极限． 关键词：零因子：初等法：两个重要极限 ：等价无穷小： 等价无穷小替换 ：函数的连续性 ：Hospital L '法 。 引 言 极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果. 为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法 . 本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献结论进行了推广，讨论如何利用我们已有的知识计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想. 函数的极限主要表现在两个方面： 一、自变量x 任意接近于有限值0x ，或讲趋向（于）0x （记0x x →）时，相应的函数值)(x f 的变化情况. 二、当自变量x 的绝对值x 无限增大，或讲趋向无穷大（记∞→x ）时，相应的函数值)(x f 的变化情况. 相关知识点 （一）“0x x →”形： 定义1：如果对0>?ε（不论它多么小），总0>?δ，使得对于适合不等式δ<-<00x x 的一切x 所对应的函数值)(x f 满足：ε<-A x f )(，就称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为 A x f n =∞→)(lim ，或A x f →)( （当0x x →时） 注1：“x 与0x 充分接近”在定义中表现为：0>?δ，有δ<-<00x x ， 即),(0δ∧ ∈x U x .显然δ越小，x 与0x 接近就越好，此δ与数列极限中的N 所起的作用是一样的，它也依赖于ε.一般地，ε越小，δ相应地也小一些. 2：定义中00x x -<表示0x x ≠，这说明当0x x →时，)(x f 有无限与)(0x f 在0x 点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与)(0x f 值也无关）.
数列极限的几种求法 摘要本文通过实例，归纳总结了数列极限的若干种求法．学习并掌握这些方法，对于学好数学分析颇有益处． 关键词数列极限；级数；定积分；重要极限；单调有界数列 中图分类号Ｏ171 Several Methods of Sequence limit Abstract：Through examples，summarized several series method for finding the limit．Learn and master these methods，mathematical analysis is quite good for studying． Keywords：Sequence limit；Series；Definite integral；Important limit；Monotone bounded sequence １引言 极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态． 极限的概念，可追溯到古希腊时代，德谟克里特（Democritus）是古希腊的哲学家，他博学多才，著作多到五六十种，涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面．年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历，获得了大量的科学知识．马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”．谟克里特以探求真理为最大快乐，他有句名言：“宁可找到一个因果的解释，不愿获得一个波斯王位．”在他的著作中有一种原子法，把物体看作是由大量微小部分叠和而成，利用这一理论，求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一，这是极限思想的萌芽．公元前五世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形出发，把每边所对的圆弧二等分，连结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤多次时，所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度．实际上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合．稍后，另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤．这种以直线形逼近曲边形的过程表明，当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想．公元前４世纪，欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法，称为穷竭法，并发展为较为严格的理论，提出现在分析中通称的“阿基米德公理”．穷竭法成功地运用于面积的计算．这些都可以看作是近代极限理论的雏形． 朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载．如，中国古代的《墨