人教版九年级数学下册相似三角形同步练习新人教版
专题一相似形中的开放题
1．如图，在正方形网
2．格中，点A﹨B﹨C﹨D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A﹨D﹨E为顶点的三角形与△ABC相似．
1．已知：如图，△ABC中，点D﹨E分别在边AB﹨AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC﹨BE，∠BDE+∠BCE=180°.
(1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；
(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似
的理由.
专题二相似形中的实际应用题
3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.
专题三相似形中的探究规律题
4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，AB＝50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1﹨a2﹨a2…若使裁得
的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )
A．24 B．25 C．26 D．27
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．
（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；
（2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；
（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；
（4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．
专题四相似形中的阅读理解题
6．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义﹨判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方…，请你协助他们探索下列问题：
(1)写出判定扇形相似的一种方法：若，则两个扇形相似；
(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的
弧长为；
(3)如图1，是—完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm,现要
做一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径.
图1 图2
专题五相似形中的操作题
7．宽与长的比是
21
5
的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调﹨匀称的美感．
现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．
8．如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．
（1）操作：如图②，将△ECF 的顶点F 固定在△ABD 的BD 边上的中点处，△ECF 绕点 F 在BD 边上方左右旋转，设旋转时FC 交BA 于点H （H 点不与B 点重合），FE 交DA 于点G
（G 点不与D 点重合）．求证：BH?GD=BF 2；
（2）操作：如图③，△ECF 的顶点F 在△ABD 的BD 边上滑动（F 点不与B ﹨D 点重合）， 且CF 始终经过点A ，过点A 作AG ∥CE ，交FE 于点G ，连接DG ．
探究：FD +DG = DB ，请给予证明．
专题六 相似形中的综合题
9．正方形ABCD 的边长为4，M ﹨N 分别是BC ﹨CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ．当BM = 时，四边形ABCN 的面积最大．
10．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边，以AC 的中点O 为圆心，
2
1AC 长为半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连接AE ﹨AD ﹨DC ．
（1）求证：D 是 ⌒AE 的中点；
（2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD ；
（3）若21=??OCD CEF S S ，且AC =4，求CF 的长.
【知识要点】
1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.
2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.
3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
4．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
5．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
6．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
7．相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比.
8．相似三角形对应高的比等于相似比.
9．相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.
【温馨提示】
1．平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.
2．当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因.
3．数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养成观察﹨分析问题的习惯.
【方法技巧】
1．相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比.
2．在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通过观察找出图形中相似的三角形，再从理论上证明观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题.
参考答案
1．22或4
2 【解析】根据题意得AD =1，AB=3，AC =2266+=26，
∵∠A=∠A ，∴若△ADE∽△ABC 时，AC AE AB AD =，即2631AE =，解得AE =22. 若△ADE∽△ACB 时，AB AE AC AD =，即1362AE =，解得AE=42. ∴当AE =22或42时，以点A ﹨D ﹨E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 2．解：（1）△ADE∽△ACB ，△CEF∽△DBF ，△EFB∽△CFD (不唯一).
（2）由∠BDE+∠BCE =180°，可得∠ADE=∠BCE . ∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB ; ∴AC AD =AB
AE .∵ ∠A=∠A ， ∴△AEB∽△ADC ;∵∠BDE+∠BC E =180°，∠BCE+∠ECF =180°，
∴∠ECF=∠BDF ，
又∠F=∠F ，
∴△CEF∽△DBF ;∴BF EF =DF
CF ，而∠F=∠F ，∴△EFB∽△CFD . 3．解：∵ OA :OC ＝OB :OD ＝n 且∠AOB＝∠COD,∴△AOB∽△COD .
∵ OA:OC ＝AB:CD ＝n ,
又∵CD ＝b,∴AB=CD ·n ＝nb ，∴x ＝a －AB 2 ＝a －nb 2
. 4．C 【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n ，且每条纸条的长度都不小于5cm ，
2240(cm)BC AB AC =-=．设矩形纸条的长边分别与AC ﹨AB 交于点M ﹨N ，因为
△AMN ∽△ACB ，所以BC MN AC AM =．又因为AM=AC-1·n=30-n ，MN ≥5 cm ，所以4053030≥-n ，得n ≤26.25，所以n 最多取整数26．
5．解：（1）在题图①中过点C 作CN ⊥AB 于点N ，交GF 于点M ．
因为∠C =90°，AC =4，BC =3，所以AB =5． 因为
21×5CN=21×3×4，所以CN=5
12． 因为GF∥AB ，所以∠CGF=∠A，∠CFG=∠B ，所以△CGF∽△CAB ，所以AB GF CN CM =． 设正方形的边长为x ，则1251255
x x -=，解得37
60=x ．所以正方形的边长为3760． （2）同（1），有12251255
x x -=，解得49
60=x ． （3）同（1），有12351255
x x -=，解得61
60=x ．
（4）同（1），有1251255x nx -=，解得n x 122560+=． 6．解：(1)答案不唯一，如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例”
(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x ，则a a 2=x m ,∴x =2m.
(3)∵两个扇形相似，∴新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120°.
设新做扇形的半径为γ，则2
30γ?? ???=21，γ=152，即新做扇形的半径为152㎝. 7．证明：在正方形ABCD 中，取AB=2a ，∵N 为BC 的中点，∴12
NC BC a =
=. 在Rt△DNC 中，2222(2)5.ND NC CD a a a =+=+=
∵NE=ND ，∴(51)CE NE CN a =-=-. ∴2
152)15(-=-=a a CD CE ，故矩形DCEF 为黄金矩形. 8．解：（1）证明：∵将菱形纸片AB （E ）CD （F ）沿对角线BD （EF ）剪开，∴∠B =∠D . ∵将△ECF 的顶点F 固定在△ABD 的BD 边上的中点处，△ECF 绕点F 在BD 边上方
左右旋转，∴BF =DF .
∵∠HFG =∠B ，∴∠GFD =∠BHF ，∴△BFH∽△DGF ，∴
BF BH DG DF =， ∴BH?GD =BF 2.
（2）证明：∵AG∥CE ，∴∠FAG∥∠C .∵∠CFE=∠CEF ，∴∠AGF=∠CFE ，∴AF=AG . ∵∠BAD=∠C ，∴∠BAF=∠DAG ，△ABF≌△ADG ，∴FB=DG ，∴FD+DG=DB ，
9．2
10．解：（1）证明：∵AC 是⊙O 的直径，∴AE ⊥BC. ∵OD ∥BC ，∴AE ⊥OD ，∴D 是 ⌒AE 的中点.
（2）方法一：证明：如图，延长OD 交AB 于G ，则OG ∥BC .
∴∠AGD=∠B .
∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ADO . ∵∠ADO=∠BAD+∠AGD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD. 方法二：证明：如图，延长AD 交BC 于H ，则∠ADO=∠AHC .
∵∠AHC=∠B +∠BAD ，∴∠ADO =∠B +∠BAD . ∵OA=OD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD .
（3） ∵AO=OC ，∴12
OCD ACD S S ??=.∵12CEF OCD S S ??=，∴14CEF ACD S S ??=. ∵∠ACD=∠FCE ，∠ADC=∠FEC =90°，∴△ACD∽△FCE .
∴
2
CEF
ACD
S CF
S AC
?
?
??
= ?
??
，即
2
1
44
CF
??
= ?
??
，∴CF=2.