第四章：力学量用算符表示
P186 15.设A 与B 为厄米算符，则
()BA AB +21
和()BA AB i
-21也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且
()()+++-=+=
F F i
F F F F 21
,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=??
?
???++++++
21212121
()BA AB +∴2
1
为厄米算符。
ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=??
?
???-+++++
21212121
()BA AB i
-∴21
也为厄米算符。
ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===+
++
+，
且定义 ()()+++-=+=
F F i
F F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+
-++
+==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。 则由（1）式，不难解得 -++=iF F F
4.1证 (A n 是实数)是厄密算符
证明：此算符不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则
运用这个关系于下面的计算：
τ?∑τψτ?τψd P A d P F n n ?)?(?≡???????*????∑=*τ
τ?ψd P A n n
n ????-*?∑=τ?ψd P P A n n )?(?1 ???-*?∑=τ?ψd P P A n n )?()?(1???-*?∑=τ?ψd P P P A n n )?(?)(2 τ?ψd P
P P P A n n )?(?)??(3-*?∑=???
???-?∑=τ?ψd P P P
A n n )?(?)?(32τ?ψd P P P A n n )?(?)?(42-?∑= ???-?∑=τ?ψd P P P
A n n )?(?)?(42 ????=τ
τ?ψd P
F ])?([ )?(P
F 满足厄密算符的定义。 4.2证明2
?n m m n nm n m p x x p
A +∑-（nm A 实数）是厄密算符。
（证明）方法同前题，假定已经证明p
?,x ?都是厄密算符，即： τ?ψτ?ψd p d p ???????=?**
)?(? τ?ψτ?ψ
d x d x
???????=?*
*
)
(?
又按题意得证算符是一维的
dx x p p dx x p
m n m n ??-**
?=?)??(???1?ψ?ψdx x p p m n )??()?(1?ψ-*
?=? dx x p x dx x p
m n m n ?ψ?ψ1?)??(?)?(-?=?=?? dx p x
n m ?ψ?=*
?)??( 这证明m m x p
??不是厄密算符，但满足 dx p x dx x p n m m n ?
??=?*
*?ψ?ψ)??()??( 同理可证明
dx x p dx p x
m n n m ???=?**
?ψ?ψ
)??()??( 将前二式相加除2，得
dx x p p x
dx p x x p m n n m n m m n ???+=+??ψ?ψ)2
????(2???? 因此2????n m m n p x x p +是厄密算符，因此∑-+n
m n m m n nm p x x p
A 2????也是。
又假定用0?0
?=+
作为厄密算符0?的定义，并设=?+)??( B A )??(++?A B 则本题可用较简方式来证明如下： 因为 *=p p
?? *=x x ?? 所以有 n n p p
)?(?*= m
m x x )?(?*= n m n m m n m n p x p x x p x p
??)?()?()}?()?{()??(==?=**** 同理有
m n m n n m n m x p x p p x p x
??)?()?()}?()?{()??(==?=**** 相加除2，得：
这证明右方一式是厄密算符。
4.3 设[])(,,q f i p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[]
.2)(,2pf i q f p q =
（证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q
[]qf p f qp fq p f qp
f p q 2222
2
,-=-=
f i qp p qppf f pq p qppf )()( --=-=
ipf pf i pq qp 2)(=+-=
（2）)(])(,[pf fq i p q pf q += （证明）同前一论题
)(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-=
)()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-=
（3）fp i p q f q 2])(,[2= [证明]同前一题论据：
fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2
ifp fpqp fqpp i qp fp fqpp +-=--=)( ifp ifp p pq qp f 2)(=+-=
（4）')](,[2
2
f p i
q f p p =
[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式 ')](,[f i q f p =
dq
df f ≡)'( )(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-='],[2
2f p i
f p p =
= ~91~
（5）p pf i
p q pf p '])(,[
=
（证明）论据同（4）： p fp pf p pfp fp p pfp p )(],[22-=-=p pf i
'
=
（6）22
'])(,[p f i
p q f p
=
（证明）论据同（4）： 22222')(],[p f i
p fp pf fp pfp fp p
=
-=-=
4.4 设算符A ，B 与它们的对易式[A ，B]都对易。证明
(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：
按题目假设
重复运算n-1次以后，得
（乙法）数学归纳法，待证一式当n=1时，是明显成立的，假设当m=k 时该式成立 现在计算
有:
利用前述的假设
但又按题目假设
用于前一式得待证一式。
关于第二个公式也可按相同的步骤证明，不另列述。 但若第一式证实，则亦可从第一式推第二式，注意
][][A B B A ，，-=
将第一式对易式中两算符对易得
再将文字A ，B 对易得
4.5 证明
（证明）本题的证法与题四的第一法完全相同，只是条件A ，B 与[A ，B]对易一点不能使用，即
从原来的对易式经过总数n-1次运算后，得
取A=q ，B=p ，注意[q ，p]=ih 代入前一式后，有
4.6设),(p x F 是p x ,的整函数，证明
[][]F ,
F,,p
i F x x i F p ??=??
-=
整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞
==
,),(n m n m mn
p x C
p x F 。
证： （1）先证[][]
11, ,,--=-=n n m m p ni p x x mi x p 。
[][][][][
]
[][
]
[
]()()[
]
()1
111113
3
1
3
323122211
1
1,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m m
x m i x i x i m x x p x i m x
x
p x
i x x p x x p x x i x x p x x p x x i x
x p x p x x p
同理，
[][][][][]
[
]1
2
2
1
22211
1
,2,,,,,--------==+=++=+=n n n n n n n n n
p ni p
p
x p
i p p x p p x p p i p
p x p x p p x
现在，
[][]
()∑∑∑∞
=-∞=∞=-=
=??????=0
,1
,0,,,,n m n
m mn
n m n m mn n m n m mn p
x m i C p x p C p x C p F p
而 ()
∑∞
=--=??-0
,1n m n m mn p x mi C x F
i 。
[]F ,
x
i F p ??
-=∴ 又 [][]
()
∑∑∑∞
=-∞
=∞==
=??????=0
,1
,0,,,,n m n m mn
n m n m mn n m n m mn p ni x C
p x x C p x C x F x
而 ()
∑∞
=-=??0
,1n m n m mn p ni x C p F
i
[]F , p
i F x ??
=∴
4.6设F(x ，p)是x k ，p k 的整函数，证明：
k
k x F
i F p ??=
],[ ⑴ k
k p F
i p F ??=
],[ ⑵ 整函数是指n i m k mn
ki
mn ki p x C
p x F ∑∑=
123
],[，mn
ki
C 是数值系数 [证明]本题照题给的表示式应当是三维的算符，其展开形式：
}
{],[3
3332332133132232
2221221311321121111n m mn n m mn n m mn n m mn mn
n
m mn n m mn n m mn n m mn n m mn p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x F ++++++++=∑
先证第一式∑∑∑-+-=-=
=ki
mn z n i n i z m
k n i z m k m k z mn ki ki mn z n
i m k n i m k z mn ki ki
mn
n
i m k mn ki x x p p p p x p p x x p C p p x p x p C
p x C p p x F p )}]
(){(}]
{]
,[]],[,[
∑+=
ki
mn
n i z m
k n i m k z mn ki p p x p x p C
]},[],{[ ⑴
最后一式曲括号内第一项为k z ≠时为0，因为座标不同，k z =时
m
z z
m
z z x x i x p ??=
],[ 第二对易式],[n i z p p 任何情形是零，因而⑴改写成：
kz n l m
k k kl
mn
mn kl p x x i c p x F p δ????=∑)()],(,[z
n l m k mn kl z
p x c
x i ∑??=
),(p x F x i z
??=
(2) 第二式证明与前半题类似
],[)],(,[∑=kl
mn
n
l m k mn kl z z p x c x p x F x
}{z n
l m k n l z m k n l l m k n l m k z mn kl x p x p x x p x x p x x c -+-=∑
]},[],{[n l z m k n l m k z mn kl p x x p x x c +=∑ （3）
最后一式曲括号内0],[=m k z x x
lz n l l
n l z p p i
p x δ)(],[??
= 这公式的详细证明参看第3题，于是（3）式应写成
lz n l kl
mn
l m
k mn kl z p p i x c p x F x δ)()],(,[∑??=
∑??
=n l m k mn kl z
p x c
p i
),(p x F p i
l
??= 这样，第二式得到了证明，这两类式子形式相似，是因为p x ,是一对正则共轭量的缘故。
[10]证明
其中A(p,q),B(p,q)是正则动量和坐标的函数，上式左方是相应的算符。
{A,B}是经典力学中的poisson 括弧在多变量情形
i=1,2,3......i 自由度
（证明）本题意思是要证明等号两边式子等效，但左方是算符式，可以使用自变量 间的对
易关系进行变形，为了证明方便，可设定
的函数形式如下：
式中 是指两组已知的复数，若
不能用的形式表示，则下面的证法无效，按此假设，可进行
下述的变形运算：
I ≡
[A,B]=
最后一式中出现座标的幂、动量幂之间的对易式，这类对易式的简化并未有过，需做专门的计算；兹以[
]
l
m p q ,的简化为例：
[]
m l l m l m
q p p q p q
-≡,
试将此对易式的第一项加以连续变形，并且运用已证过的公式：
()[]q
f
hi q f p ??-=,
（4） ()
1-?=l m l m p p q p q
（5）
利用（4）式，令()m
q q f =则有以下诸式：
或： 1
-+=m m m h i m q pq p q （6） 同理有 ()211
1----+=m m m q m hi pq p q
（7）
依次类推…………………………………… 将（6）式代入（5）有：
()
11--+=l m m l m p himq pq p q
112---+=l m l m p himq p pq
（8）
将最后一式第一项分解，重复应用（6）：
()
112---+=l m l m l m p himq p p q p p q
()112
1
----++=l m l m m
p himq p
himq pq p
112
122-----++=l m l m l m p himq p himpq p q p
运用式（7）于前式中的1
-m pq
:
()[]
121221------+=l m m l m l m p q m hi p q him p q p p q
11--+l m p himq
11222---+=l m l m p himq p q p ()2221---+l m p q m m h
（9）
与（8）式比较，增加2h 的高阶次。
312)(--+=l m m l m p himq pq p p q
()2221112-----++l m l m p q m m h p himq []
32133)1(------+=l m m l m p q m hi p q himp p q p ()2221112-----++l m l m p q m m h p himq
3222133)1(------++=l m l m l m p pq m m h p himpq p q p
()2221112-----++l m l m p q m m h p himq
()[
]
321331------+=l m m l m p q m hi p q him p q p
()()[
]
332221------+l m m p q m hi p q m m h ()2221112-----++l m l m p q m m h p himq
11333---+=l m l m l m p himq p q p p q
()+-+--22213l m p q m m h
()()33321-----l m p q m m im h
（10）
按同样方法连续变形l 次，得到下式；式中假设l m >。
()()()!212
1
2
-?-+=--l l hi p lmq hi q p p q l m m
l l
m
()()()()m
l l hi p q m m l m !
11112
2γγγγ+--+-?---
物83-309蒋
++---γγγl m p q m )1(
l m l l q l m m hi --+-?-)1()()1(1
或改写作：
+---=----221
1
)1(!
2)
1()()(],[l m l
l m l
m
p q m m l l hi p lmq hi p q
11)1()()1(--+--m l l q l m m hi （11）
将此式代到（3）式中，得下式：
2
1[{],[--∑∑=l m k mn kl
kl mn p hilmq q D C B A
+-+--+----11222
[])1()1(2
n k m n l m p hiknq q p p q m m l l h =+----}.....])1()1(2
1222
l n k p p q k k n n })]1()1()1()1([)({222211以上幂 +---+++--+-+-+-+∑∑l n k m l n k m kl mn
kl
mn
p q k k n n m m l l p q kn lm l D C
将这
对易式遍乘以i ，则右方各项中，第一项将与i 无关，第二项以后含i 以上的幂，取极限0→i 时将留下第
一项
∑∑??-=-+-+→mn kl kl
mn l n k m D C p q kn lm i B A 110)(]?,?[lim （12） 其次再考察题给公式等号右方的泊松括号，（用正则座标和正则动量表示的式子），我们论证的情形中，自由度
1=ε，因而p p i = q q i =按经典力学定义：
∑????-????=i
i
i i i q B
p A p B q A B A )(
},{
=
n m mn
mn p q C q q B p A p B q A ∑??
=????-????
n m mn l k kl
p q C p
p q D p ∑∑??-?? l k kl p q D q
∑??
=
)(1111l k n m l k n mn
kl m kl mn
p kq p nq p lq p mq D C
----?-?∑∑
∑∑-+-+-=mn
kl
l n k m kl mn p q kn lm D C 11)( （13）
两种计算的结果相同，因而题给的结果相同，因而题给的公式得到证实。
~95~
4.8证明，若
当
时并不趋于0，则
不一定是厄密算符。
（证明）设,是任选的两个函数，适用分步法计算下列积分
继续将后一积分作分步运算，共作n 次，其结果将是：
由此计算可知若大括号里总和为0，则算符
符合厄密算符定义，但按题意
时，
不趋于0，因此我们无法证明大括号里总和为0
4.9——3.13
4.10定义反对易式[]BA AB B A +=+,，证明
[][][][][][]
+
+
+
+
-=-=C A B C B A BC A B
C A C B A C AB ,,,,,,
证：
[][][]()()[][]B
C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC B
C A C B A C AB ++-=+-+=-+-=+=,,,,,
[][][]()()[][]+
+-=+-+=-+-=+=C A B C B A CA AC B C BA AB BCA
BAC BAC ABC C A B C B A BC A ,,,,,
4.11——4.1 4.12——4.2 4.13——4.3
4.13设F 是由，构成的标量算符，证明
[]r
i p F i F ?-???= , （1） 证：[]
[][]
[]k F L j F L i F L F L z y x ,,,,++= （2）
[][][][][][])
2.4( ,,,,,,题???? ????-??-???
? ????-??=??-??+??+??-=--+=-=y F z z F y i p p F p p F i p p F
i y F z i p y F i z F y
i p F z F p z p F y F p y F zpy ypz F Lx y z z y y z
z y
y z z
x x
r r i p p i ???-???????= （3） 同理可证，[]
y y
y i i F L ??-??????= , （4） []z z
z r i p
i F L ???-?
?
??
???= , （5）
将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。
4.14——4.6
4.15——4.7，4.10 4.16——4.4 4.17——4.5
4.17定义径向动量算符 ??
? ???+?=
r r p r 1121 证明：()r r p p a =+
， ()??
?
??+??-=r r i p b r 1
， ()[] i p r c r =, ，
()r r r r r r r p d r
????-=???
? ????+??-=222222
2
12 ， ()2
222
1 r p L r
p e +=
证：()()++++
=A B C a ABC ，
r
1121112111 21 p r r r r r r p r =??
? ???+?=??
?????????? ??+??? ???=??? ???+?=∴+++
+++++
即r p 为厄米算符。
()?
?
? ??+??-=?
?? ??--??-=???? ???--??-=?
???????+??-??-=???? ????-?=???????????? ????-+???? ???+???? ???=??? ???+?=r r i r r i r i r r i r i r r i r r i r r i r r r i r r r r p b 1132321122211121 3r
()[]
i r r r
r i r r r r i r r i r r r i p r c r =??? ????--??
-=??
? ????-??
-=????????-=????
??+??
-=1,1,,
())
(2
2
21 b r r p d r
??? ??+??-= ???? ??+??+??+??-=222
2111r r r r r r
???? ????+??-=???? ??+-??+??+??-=r r r
r r r r r r r 2111122
222222
r
r r r ??
??-=22
2
1 ()e 据4.8）（1），()
i p r L
?+?-?= 2
2
22
。
其中 r
r i r i p r ??
-=??-=? ， 因而 r r r r r r
p r L ??+??
?
??????+=22
2
2
2
???? ????+??+=r r r
r p r 22222
2
2
以2
-r
左乘上式各项，即得
???? ????+??-=r r r L r p 2122
2222
()d )9.4=2221r p L r +
4.18——4.8
4.18证明
()
i p r L ?+?-= 222 （1）
()()()()2
2
2
2
p L =???-=?=? （2） ()()2
2224p p L +=???- （3） ()()2
p L i p L p L -=??? （4）
证: （1）利用公式 ，()()C B A C B A ??=??，有
()()()[]()()[]()()()
r p L ??-?=?-?=???-=???-=2
2
其中 ()
r i p r r i p r r p 22222-=?-=
()
i i 3-?=??-?=?
因此 ()i r L ?+?-?= 2
2
2
2
（2）利用公式， ()()0=??=?? （Δ） 可得 ()()()[]L p p L L p p L ???-=???-
()()[]()[]()0
2
,L
02
22==?-=??-?=P
p L L p L L p p L p p L ① ()()()()[]p L p L p L p L p L ???=???=?2
()[][]()0
2
,L
2
22==?-?=P
p L p ② ()()()()[]???=???=?2
()[]2
22p L L p L p p L =??-= ③
由①②③，则（2）得证。 （3）(
)()()()p i L p L p p
L L p 2)
1( ) 7.4-??????-
()()()2
2
2
22
22
4222)
()1( ) 7.4p
p L p p L p i i p L i
+??--??-?=?
（4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2），
()[]()()α
α
α
C B ?-?=??
()()[]()()()[]x
x
x
p L ??-??=??? ，
其中()
y y z z x x e p e p i L p p L -+=
（即[]
p i p i p p p L y z z y x x -+=++0,）
()()[]()()()()[]()[]()()[]()2
2
p
L i p L i i i p
e p e p i L x
x
x
x
z
y
y
z
z
x
x
-=-=?-?=??=??--??+??=??? 类似地。可以得到y 分量和z 分量的公式，故（4）题得证。
4.19——4.9，4.11 4.20——4.12，4.13
4.21利用测不准关系估算谐振子的基态能量。
解：一维谐振子能量 2
22
2
12x m m p E x x ω+=。
又022==
?+∞
∞
--dx xe x x απ
α奇，
ωαm =，0=x p ， （由(3.8)、(3.9)题可知0,0==x p x ）
x x x x =-=?∴ ，x x x x p p p p =-=?，
由测不准关系，,2 =??x p x 得 x
p x 2
=。
2
22
2
1221 x m x m E x ω+??? ??=∴
0282
32=+?
?
? ??-=x m x m dx dE x ω ，得 ωm x 22 =
ωωωω 2
122128220=??? ??+??? ??=m m m m E x
同理有ω 210=
y E ，ω 2
1
0=z E 。 ∴谐振子（三维）基态能量ω 2
3
0000=
++=z y x E E E E 。
4.21利用测不准系估计谐振子的基态能量
[解]写下一维谐振子的经典的能量公式，或算符关系式：
2
222??2
222222x m m p x m m H E ωω+=+?-== (1)
取能量的平均值：
2222
21x m p m E ω+= 在一维谐振子的情形，座标的平均值0=x ，动量平均值0=p 计算坐标和动量的“不确定度”（即均方根偏差）
p x δδ,。
按一般公式 22222)()()(x x x x x x =-=-=δ
22222)()()(p p p p p p =-=-=δ （2） 因此能量平均值公式（1）可改用“不确定度”表示
222
)(2
)(21x m p m E δωδ+= （3） 但根据测不准关系式：
2
≥?x p δδ
作为估计，可以直接取其下限，即认为
2
??x p δδ x p δδ2
?
将此结果代入式（3），并且计算E 的极小值，就是所求的基态能量：
2
22)(8)(2)(x m x m x E δδωδ +
= =2
}12{222ωδωδω +-x m x m
用此取括号内值为零的条件，得 2
min ω
=E 这时ω
δm x 2
=
4.22利用测不准关系估计类氢原子中电子的基态能量（设原子核带电Ze ）。 （解）本题原是三维问题，但作为估计，计算不需严格正确，方法同前题。
r
Ze m p E 222??-= （1） 取能量的平均值，由于中心对称性，可以认为动量的平均值是零0=p
，（这个平均值本是个矢量，但它的分量都是零）因此22)(p p ?δ，此外，根据计算（第六章九题）知道在氢原子情形，2
3a
r = 2
23a r =，因而
a a
r ?=
23δ。此外a r 1)1(=，222)1(a
r =，所以a r 1)1(=δ，因此为计算方便，可取
r
r δδ1
)1
(=， r r ~? 对能量关系式取平均值
)
(2)()(22
22_
2r Ze m p r Ze m p E δδ-
=-= （3） 利用测不准关系式，可以计算（3）的极值，但p 与r 之间并无已知的对易关系式，此可作一维问题处理，认为
2
≥?r p δδ，并用
=?r p δδ （4）
则（3）式成为：)(2)()(2
2p Ze m p p E δδδ
-=
2422422222}2){(21
me Z e m Z p mZe p m -+-=δδ =
2)(214
222me Z Zme p m --δ 当取 2
Zme p =δ时，E 有极小值
24
2m i n me Z E -=就是基态能量
4.22 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。 解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数e +换成ze +（z 为氢原子系数）而u 理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径 2
2
0ue
a =，在类氢原子中变为z
a a 0
=
。
类氢原子基态波函数a
r e a
-=
31001πψ，仅是r 的函数。
而r ze u p H 222-=，如果只考虑基态，它可写为r ze u p H r 22
2-=，???
?
?+-=r dr d i p r 1 r p 与r 共轭，于是 ~r p r ??，r r ~?，
r ze r
m r ze u p E r 22
222
2~2--= （1） 求极值 r
ze r m r E 2
3
20+-=??= 由此得a z
a mze r ===0
22 （0a ：玻尔半径；a ：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）
。代入（1）式，得
基态能量，a ze e
mz E 2~224
2-=-
运算中做了一些不严格的代换，如r r
1~1
，作为估算是允许的。
4.23没找到答案
4.24在一维对称势阱中，粒子至少存在一种束缚态（见3.1节）在给定势阱深度0V 情况下，减少势阱宽度a ，使
2mV a
<<
，粒子动量不确定度0mV p =δ位置不确定度a x =δ，因而下列关系似乎存在 <<=?a mV x p 0δδ，这与测不准确关系矛盾，错误何在？
（解）在一维有限深（0V ）势阱的问题中，以势阱中点作为原点时，至少有一个偶宇称的束缚定态，其能量E 决定于条件：E V mEa
E -=022lg
因此这个基态能级E 与0,V a 有关，a 甚小时，E 也甚小，座标不确定度x δ不能简单的用势阱宽度a 来估计，估计值只需正确到数量级，势阱两边的波函数是
kix Ce x =)(ψ )2
(a x -< kix Ce x -=)(ψ )2
(a x >
可设波宽度扩展到振幅e
1处，即1)2
(-?'-≤Ce Ce
x
k δ，得 0
02)(22mV E V m k x ≈-='≥
δ a 小时 00V E V ≈- 因此 2
2200
≥=?≥
mV mV p x δδ 这与测不准不相矛盾，题给论点的错误，在于随意地估计小几率波的范围。
4.25证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。 证：设定态波函数的空间部分为ψ，则有ψψE H = 为求p 的平均值，我们注意到坐标算符i x 与H 的对易关系：
[]()
u p i V u p p x H x i j
j
j i i =??
?
??
?
+=∑2,,。
这里已用到最基本的对易关系[]
ij j i i p x δ =,，由此
[
](
)
()0
,=-=
-===∧
ψψψψψψψψψψψψi i i i i i i Ex E x i u
Hx H x i u H x i u p p
这里用到了H 的厄米性。
这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符∧
C 可以表示为两个厄米算符∧A 和∧B 的对易子??
????=∧∧∧
B A i
C ,，则在∧A 或∧B 的本征态中，∧
C 的平均值必为0。
第十七章 量子力学基础 一、基本要求 1. 了解德布罗意的物质波概念，理解实物粒子的波粒二象性，掌握物质波波长的计算。 2. 了解不确定性原理的意义，掌握用不确定关系式计算有关问题。 3. 了解波函数的概念及其统计解释，理解自由粒子的波函数。 4. 掌握用定态薛定谔方程求解一维无限深势阱的简单问题，并会计算一维问题中粒子在空间某区间出现的概率。 5. 了解能量量子化、角动量量子化和空间量子化，了解斯特恩-盖拉赫试验及微观粒子的自旋。 6. 理解描述原子中电子运动状态的四个量子数的物理意义，了解泡利不相容原理和原子的壳层结构。 二、基本内容 1. 物质波 与运动的实物粒子相联系的波动，在此意义下，微观粒子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波。描述其波动特性的物理量v 、λ和描述其粒子特性的物理量E 、p 由德布罗意关系 h E v = p h = λ 联系起来，构成一幅统一的图像。 2. 波函数 对具有波粒二象性的微观粒子进行描述所使用的函数，一般写为(,)t ψr ， 波函数的主要特点： （1）波函数必须是单值、有限、连续的； （2）*(,)(,)1t t d xd yd z ψψ=???r r （归一化条件） ； （3）*(,)t ψr ，(,)t ψr 表示粒子在t 时刻在（x 、y 、z ）处单位体积中出现的
概率，称为概率密度。 特别注意自由粒子的波函数：/() i E t A e --ψ= p.r 式中P 和E 分别为自由粒子 的动量和能量。 3. 不确定性原理 1927年海森堡提出：对于一切类型的测量，不确定量?x 和? x p 之间总有 如下关系： ?x ?x p ≥2 同时能量的不确定量? E 与测定这个能量所用的时间（间隔）? t 的关系为： ?E ?t ≥ 2 不确定性原理完全起源于粒子的波粒二象特性，与所用仪器与测量方法无关。 4. 薛定谔方程 波函数(,)t ψr 所满足的方程。若已知微观粒子的初始条件，则可由薛定谔方程决定任一时刻粒子的状态。在势场(,) U t r 中，薛定谔方程可写为 2 2 2?- m (,)U t ψ+r t i ?ψ?=ψ 若势能函数() U U ≡r 与时间无关，则可将(),t ψr 写成()() f t ψr ，其中()ψr 满 足定态薛定谔方程 2 2 2? -m () ψr +()U r () ψr =E () ψr 而)(t f =Et i e - ，此时有 () ,t ψr 、)t =() ψr Et i e - 这种形式的波函数称为定态波函数，它所描写的微观粒子的状态则称为定态。在一维情况下，定态薛定谔方程成为 2 22 ()()()() 2d x U x x E x m d x -ψ+ψ=ψ 5. 一维无限深势阱中粒子的定态薛定锷方程及波函数
一、是非题 1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。对否 解：不对 2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。试用测不准关系判断该模型是否合理。 解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。 二、选择题 1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。正交性的数学表达式为 a ，归一性的 表达式为 b 。 () 0,() 1i i i i a d i j b ψψτψψ** =≠=?? 2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E ) (A) dx d (B) ?2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分 3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D ) (A) x ? 和 y ? (B) x ?? 和y ?? (C) ?x p 和x ? (D) ?x p 和y ? 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx (C) e -ikx (D) 2 e kx - (1) 哪些是 dx d 的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22 dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C ) (3) 哪些是22dx d 和dx d 的共同本征函数。------------------------------ (B, C ) 5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ） (A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大 6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）
第二章 1.波函数/平面波： （1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。 （2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数 2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子. 3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。 由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。 （2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。 4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|2 5.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2 d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2 d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。 7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ?Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2 故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2 d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。 8.δ—函数 δ(x-x 0)= 0 x ≠x 0 ∞ x=x0 ∫+∞ -∞δ（x-x 0）dx=1 9.波函数的标准化条件： （1）单值、有限、连续 （2）正交 归一 完备 10.态叠加原理： 态叠加原理一般表述：若Ψ1 ，Ψ2 ……Ψn …… 是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C 1Ψ1+ C 2Ψ2+……+C n Ψn 也是体系的一个可能状态。 11.能量算符/哈密顿算符 定态波函数满足下面两个方程： 两个方程的特点：都是以一 个算符作用于Ψ(r, t)等于E Ψ(r, t)。 →哈密顿算符 这两个算符都是能量算符 12.薛定谔方程: 13.几率流密度 单位时间内通过τ的封闭 表面S 流入（面积分前面的负号）τ内的几率，因而可以自然的把J 解释为概率密度矢量。 14.质量守恒定律： 15.电荷守恒定律：
第十六章 量子力学基础 16-1试比较概率波与经典物理中的波的不同特性。 答：微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数(),r t ψ来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波，也称为概率波。它与经典物理中的波有如下区别： （1）描述微观粒子的波函数(),r t ψ并不表示某物理量的波动，它的本身没有直接的物理意义。这与经典物理中的波是不同的。 （2）微观粒子的波函数(),r t ψ的模的平方：()2 ,r t ψ表示在空间某处粒子被发现的概率密度，这种概率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。这与经典物理中的波也是不同的。 （3）在经典物理学中，波函数(),r t ψ和(),A r t ψ(A 是常数)代表了能量或强度不同的两种波动状态；而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态，或者说代表了同一个概率波，因为它们所表示的概率分布的相对大小是相同的。也就是说，对于空间任意两点i r 和j r 下面的关系必定成立： ()() ()() 222 2 ,,,,i i j j r t A r t r t A r t ψψ= ψψ 所以，波函数允许包含一个任意的常数因子。这与经典物理中的波也是不同的。 16-2概述概率波波函数的物理意义。 答：概率波波函数的物理意义：微观粒子的波函数(),r t ψ的模的平方：()2 ,r t ψ表示在空间某处粒子被发现的概率密度，这种概率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。 波函数具有：（1）单值性、连续性和有限性；（2）波函数满足归一化条件。（3）波函数允许包含一个任意的常数因子（即：(),r t ψ与(),A r t ψ描述同一个量子态）（4）满足态叠加原理，即如果函数
() 一. 选择题 [ C]1.（基础训练2）下面四个图中，哪一个 正确反映黑体单色辐出度 M Bλ (T)随λ 和T的变化关 系，已知T2 > T1． 解题要点: 斯特藩-玻耳兹曼定律：黑体的辐 射出射度M0(T)与黑体温度T的四次方成正比，即 . M0 (T)随温度的增高而迅速增加 维恩位移律：随着黑体温度的升高，其单色辐出度最大值所对应的波长 m λ向短波方向移动。 [ D]2.（基础训练4）用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能 为E K；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K．(B) 2hν - E K．(C) hν - E K．(D) hν + E K． 解题要点: 根据爱因斯坦光电效应方程：2 1 2m h mv A ν=+， 式中hν为入射光光子能量， A为金属逸出功，2 1 2m mv为逸出光电子的最大初动能，即 E K。所以有：0 k h E A ν=+及' 2 K h E A ν=+，两式相减即可得出答案。 [ C]3.（基础训练5）要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁 到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV．(B) 3.4 eV．(C) 10.2 eV．(D) 13.6 eV． 解题要点: 根据氢原子光谱的实验规律，莱曼系： 2 11 (1 R n ν λ ==- 式中，71 1.09677610 R m- =?，称为里德堡常数，2,3, n= 最长波长的谱线，相应于2 n=，至少应向基态氢原子提供的能量1 2E E h- = ν， 又因为 2 6. 13 n eV E n - =，所以l h E E h- = ν=?? ? ? ? ? - - - 2 21 6. 13 2 6. 13eV eV =10.2 eV [ A]4.（基础训练8）设粒子运动的波函数图线 分别如图19-4(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒 子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ 解题要点: 根据动量的不确定关系： 2 x x p ???≥ (B) x (A) x (B) x (C) x (D)
第一章 量子力学基础和原子结构 一、填空题 1、若用波函数ψ来定义电子云，则电子云即为_________________。 2、氢原子s ψ1在 r =a 0和 r =2a 0处的比值为_____________。 3、有两个氢原子，第一个氢原子的电子处于主量子数 n =1 的轨道， 第二个氢原子的电子处于n =4 的轨道。 (1)原子势能较低的是______， (2) 原子的电离能较高的是____。 4、设氢原子中电子处在激发态 2s 轨道时能量为E 1， 氦原子处在第一激发态 1s 12s 1时的2s电子能量为E 2，氦离子He + 激发态一个电子处于 2s 轨道时能量为E 3， 请写出E 1，E 2，E 3的从大到小顺序。_____________。 5、对氢原子 1s 态： (1) 2ψ在 r 为_______________处有最高值 (2) 径向分布函数 224ψr π在 r 为____________处有极大值； (3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_____________。 6、H 原子(气态)的电离能为 13.6 eV， He +(气态)的电离能为 _______ eV。 二、选择题 1、波长为662．6pm 的光子和自由电子，光子的能量与自由电子的动能比为何值? （A ）106：3663 （B ）273：1 （C ）1：C （D ）546：1 2、一电子被1000V 的电场所加速．打在靶上，若电子的动能可转化
为光能，则相应的光波应落在什么区域? （A） X光区(约10-10m) （B）紫外区（约10-7m） （C）可见光区（约10-6m）（D）红外区（约10-5m 3、普通阴极管管径为10-2m数量级．所加电压可使电子获得105ms-1速度，此时电子速度的不确定量为十万分之一，可用经典力学处理．若以上其它条件保持不变则阴极管的管径在哪个数量级时必须用量子力学处理? （A）约10-7m （B）约10-5m （C）约10-4m （D）约10-2m 4、下列条件不是品优函数的必备条件的是 （A）连续（B）单值（C）归一（D）有限或平方可积 5、己知一维谐振子的势能表达式为V＝kx2/2，则该体系的定态薛定谔方程应当为 6、粒子处于定态意味着 （A）粒子处于概率最大的状态 （B）粒子处于势能为0的状态 （C）粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态
《结构化学基础》 讲稿 第一章 孟祥军
第一章 量子力学基础知识 （第一讲） 1.1 微观粒子的运动特征 ☆ 经典物理学遇到了难题： 19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ? Newton 力学 ? Maxwell 电磁场理论 ? Gibbs 热力学 ? Boltzmann 统计物理学 上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。 1.1.1 黑体辐射与能量量子化 黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。 黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。 ★经典理论与实验事实间的矛盾： 经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。 按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。 按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线： Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。 Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。 经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。 ? 1900年，Planck （普朗克）假定： 黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。 ? h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J ?S ? 按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合： ●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。 能量波长 黑体辐射能量分布曲线 () 1 /81 3 3 --= kt h c h e E ννπν
第十九章 量子力学基础（Ⅱ） (薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ C ]1.（基础训练10）氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )可能取的值为 (A) (2，2，1，21?)． (B) (2，0，0，21 )． (C) (2，1，-1，21?)． (D) (2，0，1，2 1 )． 【提示】p 电子：l ＝1，对应的m l 可取－1、0、1， m s 可取 21或2 1?。 [ C ]2.（基础训练11）在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性． [ D ]3.（自测提高7）直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验． (B) 卢瑟福实验． (C) 戴维孙－革末实验． (D) 斯特恩－革拉赫实验． [ C ]4.（自测提高9）粒子在外力场中沿x 轴运动，如果它在力场中的势能分布如附图所示，对于能量为 E < U 0从左向右运动的粒子，若用 ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0，0 < x a 三个区域发现粒子的概率，则有 (A) ρ1 ≠ 0，ρ2 = ρ3 = 0． (B) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 = 0． (C) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． (D) ρ1 = 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． 【提示】隧道效应 二. 填空题 1.（基础训练17）在主量子数n =2，自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态中，能够填充的最大电子数是_________． 【提示】L 壳层：n ＝2，能够填充的最大电子数是2n 2＝8。考虑到本题m s 只取2 1 ，此时能够填充的最大电子数是4。 2.（基础训练20）在下列给出的各种条件中，哪些是产生激光的条件，将其标号列下：(2) (3 ) (4) (5)． (1)自发辐射．(2)受激辐射．(3)粒子数反转．(4)三能极系统．(5)谐振腔． x O U (x )U 0 a
第一章 量子力学基础与原子结构 一、单项选择题（每小题1分） 1．一维势箱解的量子化由来（ ） ① 人为假定 ② 求解微分方程的结果 ③ 由势能函数决定的 ④ 由微分方程的边界条件决定的。 2．下列算符哪个是线性算符（ ） ① exp ② ▽2 ③ sin ④ 3．指出下列哪个是合格的波函数(粒子的运动空间为 0+)（ ） ① sinx ② e -x ③ 1/(x-1) ④ f(x) = e x ( 0 x 1); f(x) = 1 ( x 1) 4．基态氢原子径向分布函数D(r) ~ r 图表示（ ） ① 几率随r 的变化 ② 几率密度随r 的变化 ③ 单位厚度球壳内电子出现的几率随r 的变化 ④ 表示在给定方向角度上，波函数随r 的变化 5.首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是（ ） ①薛定谔 ② 狄拉克 ③ 海森堡 ③波恩 6．立方势箱中22 810m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 7 ④ 2 7.立方势箱在22 812m a h E ≤的能量范围内，能级数和状态数为（ ） ①5，20 ② 6，6 ③ 5，11 ④ 6，17 8．下列函数哪个是22 dx d 的本征函数（ ） ① mx e ② sin 2x ③ x 2+y 2 ④ (a-x)e -x 9．立方势箱中22 87m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 4 ④ 2 10．立方势箱中22 89m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 4 ④ 2 11.已知x e 2是算符x P ?的本征函数，相应的本征值为（ ） ① i h 2 ② i h 4 ③ 4ih ④ πi h
习题十七 17－1 计算电子经过V U 1001=和V U 100002=的电压加速后，它的德布罗意波长1λ和2λ分别是多少？ 分析 本题考察的是德布罗意物质波的波长与该运动粒子的运动速度之间的关系。 解：电子经电压U 加速后，其动能为eU E k =，因此电子的速度为： m 2e v U = 根据德布罗意物质波关系式，电子波的波长为： )(23 .12nm U emU h m h ==v ＝λ 若V U 1001=，则12301.＝λnm ；若V U 100002=，则012302.＝λnm 。 17－2 子弹质量m =40 g, 速率m/s 100=v ,试问: (1) 与子弹相联系的物质波波长等于多少? (2) 为什么子弹的物质波性不能通过衍射效应显示出来? 分析 本题考察德布罗意波长的计算。 解：(1)子弹的动量 )s /m kg (410010403?=??==-v m p 与子弹相联系的德布罗意波长 )m (1066.14 1063.63434 --?=?==p h λ (2) 由于子弹的物质波波长的数量级为m 10 34-, 比原子核的大小(约m 1014-)还小得多, 因此不能通过衍射效应显示出来. 17－3 电子和光子各具有波长0.2nm ，它们的动量和总能量各是多少？ 分析 本题考察的是德布罗意物质波的波长公式。 解：由于电子和光子具有相同的波长，所以它们的动量相同，即为： )/(1032.3102.01063.624934 s m kg h p ??=??==---λ 电子的总能量为： )(1030.81420J hc c m E e -?=+=λ 而光子的总能量为：
3.(自 提高16)有一种原子，在基态时 =1和〃 =2的主壳层都填满电子, 3s 次壳层也 作业+—(第十九章 量子力学简介(II)) (薛定谱方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 电子组态 [C ]1.(基础训练10)氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(〃，I, 可能 取的值为 (A ) (2, 2, 1, ")? (B ) (2, 0, 0, O (C ) (2, 1, -1, 少 (D ) (2, 0, 1, 1 【提示】P 电子:Z=b 对应的叫可取一1、0、1,风可取上或一 2 2 2.(基础训练17)在主量子数// =2,自旋磁量子数=上的量子态中，能够填充的最大电 2 子数是 4 . 【提示】主量子数〃 =2的L 克层上最多可容纳2^=8个电子(电子组态为2$22p6),如 仅考虑自旋磁量子数=-的量子态，则能够填充的电子数为上述值的一半。 2 填满电子，而3p 壳层只填充一半.这种原子的原子序数是_15 ,它在基态的电子组态为 “2 2s? 2I )6 3S 2 31)3 . 4.(自测提高17)在下列各组量子数的空格上，填上适当的数值，以便使它们可以描述原子 中电子的状态： 1 I (1) n =2, / = 1 ，如=一1, in.=—. 2 n 1 (2) (2) n =2, / =0, nil = 0 , in,=—. ------ 2 If 1 (3) 〃 =2, / =1? mi — m s =—或-—. 2 2 【提示】/的取值：0,1,2,……(〃-1); 叫的取值：0,±1,±2,……±/; 的取值:±1 激光 [C ]5,(基础训练11)在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性. (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性. (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性.
第十七章 量子物理基础 17–1 用辐射高温计测得炉壁小孔的辐射出射度为22.8W/cm 2，则炉内的温度为 。 解：将炉壁小孔看成黑体，由斯特藩—玻耳兹曼定律()4T T M B σ=得炉内的温度为 34 8 44 10416.11067.5108.22) (?=??==-σ T M T B K 17–2 人体的温度以36.5?C 计算，如把人体看作黑体，人体辐射峰值所对应的波长为 。 解：由维恩位移定律b T =m λ得人体辐射峰值所对应的波长为 33m 10363.95.30910898.2?=?== -T b λnm 17–3 已知某金属的逸出功为A ，用频率为1ν的光照射该金属刚能产生光电效应，则该金属的红限频率0ν= ，遏止电势差U c = 。 解：由爱因斯坦光电效应方程W m h += 2 m 2 1v ν，A W =，当频率为1ν刚能产生光电效应，则02 12 m =v m 。故红限频率 h A /0=ν 遏止电势差为 ()01011ννννν-=-=-= e h e h e h e W e h U c 17–4 氢原子由定态l 跃迁到定态k 可发射一个光子，已知定态l 的电离能为0.85eV ，又已知从基态使氢原子激发到定态k 所需能量为10.2eV ，则在上述跃迁中氢原子所发射的光子的能量为 eV 。 解：氢原子的基态能量为6.130-=E eV ，而从基态使氢原子激发到定态k 所需能量为 E ?=10.2eV ，故定态k 的能量为 eV 4.32.106.130-=+-=?+=E E E k 又已知eV 85.0-=l E ，所以从定态l 跃迁到定态k 所发射的光子的能量为 eV 55.2=-=k l E E E 17–5 一个黑体在温度为T 1时辐射出射度为10mW/cm 2，同一黑体，当它的温度变为2T1时，其辐射出射度为[ ]。 A ．10mW/cm 2 B ．20mW/cm 2 C ．40mW/cm 2 D ．80mW/cm 2 E ．160mW/cm 2 解：由斯特藩—玻耳兹曼定律，黑体的总辐射能力和它的绝对温度的四次方成正比，即 ()4T T M B σ= 故应选（E ）。
第十二章 散射 12－1)对低能粒子散射，设只考虑s 波和p 波，写出散射截面的一般形式。 解： ()()()2 2 c o s s i n 121∑∞ =+= l l l i P e l k l θδθσδ 只考虑s 波和p 波，则只取1,0=l ，于是 ()()()2 11002 cos sin 3cos sin 11 θ δθδθσδδP e P e k i i += ()1cos 0=θP ， (),c o s c o s 1θθ=P 代入上式，得 ()2 102 cos sin 3sin 11 θ δδθσδδi i e e k += ()2 2 12 101002 2cos sin 9cos cos cos sin 6sin 1θ δθδδδδδ+-+=k 2 2 2102 cos cos 1θ θA A A k ++= 其中 020sin δ=A ，()10101cos cos sin 6δδδδ-=A ，122sin 9δ=A 。 12－2)用波恩近似法计算如下势散射的微分截面： （a ） ()?? ?><-=. , 0;,0a r a r V r V （b ） ()2 0r e V r V α-= （c ） ()r e r V αγ κ-= （d ） ()().r r V γδ= 解：本题的势场皆为中心势场，故有 ()() ? ∞ - =0 ' '' ' 2 sin 2dr qr r V r q u f θ ，2 sin 2θ k q = （1） ()() () 2 ' ' ' ' 2 4 22sin 4? ∞ = =dr qr r V r q u f θθσ （1） （a ）()()qa qa qa q V dr qr V r a cos sin sin 2 00 ' ' 0' -- =-? ()()2 6 4 2 02cos sin 4 qa qa qa q V u -= ∴ θσ （b ）()? ? ∞ --∞ --= ??? ??0 ' '00 ''0' ' ' 2 '2'2sin dr e e e r i V dr qr e V r iqr iqr r r αα
第13章 量子力学基础 13.1 绝对黑体和平常所说的黑色物体有什么区别？ 答：绝对黑体是对照射其上的任意辐射全部吸收而不发生反射和透射的物体，而平常所说的黑色物体是只反射黑颜色的物体。 13.2 普朗克量子假设的内容是什么？ 答：普朗克量子假设的内容是物体发射和吸收电磁辐射能量总是以νεh =为单位进行。 13.3 光电效应有哪些实验规律？用光的波动理论解释光电效应遇到了哪些困难？ 答：光电效应的实验规律为：1）阴极K 在单位时间内所发射的光子数与照射光的强度成正比；2）存在截止频0ν；3）光电子的初动能与照射光的强度无关，而与频率成线性关系； 4）光电效应是瞬时的。 用光的波动理论解释光电效应遇到的困难在于：1）按照波动理论，光波的能量由光强决定，因而逸出光电子的初动能应由光强决定，但光电效应中光电子的初动能却与光强无关；2）若光波供给金属中“自由电子”逸出表面所需的足够能量，光电效应对各种频率的光都能发生，不应存在红限；3）光电子从光波中吸收能量应有一个积累过程，光强越弱，发射光子所需时间就越长。这都与光电效应的实验事实相矛盾。 13.4 波长λ为0.1nm 的X 射线,其光子的能量ε= J 151099.1-?；质量m = kg 321021.2-?；动量p = 1241063.6--???s m kg . 13.5 怎样理解光的波粒二象性？ 答：光即具有波动性，又具有粒子性，光是粒子和波的统一，波动和粒子是光的不同侧面的反映。 13.6 氢原子光谱有哪些实验规律？ 答：氢原子光谱的实验规律在于氢原子光谱都由分立的谱线组成，并且谱线分布符合组合规律 )11()()(~2 2n k R n T k T kn -=-=ν k 取 ,3,2,1，分别对应于赖曼线系，巴耳米线系，帕形线系，. 13.7 原子的核型结构模型与经典理论存在哪些矛盾？ 答：原子的核型结构与经典理论存在如下矛盾：1）按经典电磁辐射理论，原子光谱应是连续的带状光谱；2）不存在稳定的原子。这些结论都与实验事实矛盾。 13.8 如果枪口的直径为5mm,子弹质量为0.01kg,用不确定关系估算子弹射出枪口时的横
第二章（一维）算符理论 本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。 1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上 ①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n 维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个n 阶方阵「作用」在n 行1列矩阵上得到新的n 行1列矩阵，用数学语言可表示为()Ta b T =?=αβ 。总之，方阵与线性变换一一对应。由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。 ②微分算子：在微积分中2222,,,i i x f x f dx f d dx df ???? 也可简写成f f f D Df 22,,,??。前两种在解 欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算 ③本征值和本征矢：在矩阵方程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程f f D mix μ=中，把μ称为问题本征值，f 称为本征函数 ⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。 考虑一个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ?，它的本征方程是ψ=ψλQ ?或λψψ=Q ?，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」， ψ称为算符的「本征态」 （或本征矢），ψ称为算符的「本征函数」 （注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ， 如后面将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ） ⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ?作用于系统粒子的态矢量ψ，测量值只能为算符Q ?的本征值i λ。在这次测量后，假设得到
第15章 量子力学基础 综合训练题 一、选择题 1. 如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 [ A ] (A) 动量大小相同。 (B) 能量相同。 (C) 速度相同。 (D) 动能相同。 2. 若α粒子在磁感应强度为B 的均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则粒子的德布罗意波长是 [ A ] (A) eRB h 2 (B) eRB h (C) eRB 21 (D) eRBh 1 3. 设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ [ A ] 4. 关于不确定关系??? ? ? =≥???π2h p x x 有以下几种理解： (1) 粒子的动量不可能确定。 (2) 粒子的坐标不可能确定。 (3) 粒子的动量和坐标不可能同时确定。 (4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子。 其中正确的是： [ C ] (A) (1)、(2) (B) (2)、(4) (C) (3)、(4) (D) (4)、(1) 5. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： ()()a x a a x a x ≤≤-?= 23cos 1πψ 那么粒子在6/5a x =处出现的概率密度为 [ A ] (A) a 21 (B) a 1 (C) a 21 (D) a 1 6. 根据玻尔氢原子理论，巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之比为 [ A ] (A) 9 5 (B) 9 4 (C) 9 7 (D) 9 2 7. 若外来单色光把氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱线的 () D x x x () A () B () C
第十章 量子力学基础 思 考 题 10-1 什么是绝对黑体？它与平常所说的黑色物体有何区别？ 答：(1)在任何温度下都能全部吸收照射到它表面上的各种波长的光，这种物体称为绝对黑体，简称黑体。但黑体自身要向外界辐射能量，黑体并不一定是黑色，它的颜色是由它自身所发射的辐射频率决定的。若温度较低，则它辐射的能量就很少，辐射的峰值波长会远大于可见光波长，会呈现黑色；若温度较高，则它辐射的能量就很大，辐射的峰值波长处于可见光波长范围内，会呈现各种颜色。 (2)平常所说的黑色的物体，用肉眼看起来是黑色的，只表明它对可见光强烈吸收，并不能说它对不可见光（红外线、紫外线）都强烈吸收，所以黑色物体的单色吸收本领并不恒等于1，一般不能称为黑体。 10-2 若一个物体的温度(绝对温度数值)增加一倍，它的总辐射能增加到多少倍? 答：根据斯特藩－玻耳兹曼定律，绝对黑体的总辐出度(总辐射能)为 ()()40 d T T M T M B B σλλ==?∞ 现在，212=T T ，于是 1624 4 1212==??? ? ??=T T M M 即绝对黑体的温度增加一倍，它的总辐射能将增至为原来的16倍。 10-3 假设人体的热辐射是黑体辐射，请用维恩位移定律估算人体的电磁辐射中单色辐出度的最大波长（设人体的温度为310K ）。 答：根据维恩位移定律 m T b λ= 可得 (m)1035.9310 10898.263 --?=?==T b m λ 10-4 所有物体都能发射电磁辐射，为什么用肉眼看不见黑暗中的物体？ 答：物体要能够被眼睛观察到，必须需要两个条件：（1）物体要发射或者反射出眼睛能感觉到的可见光，其波长范围大约为0.40～0.78μm ；（2）可见光的能量要达到一定的阈值。根据黑体辐射，任何物体在一定温度下都发射出各种波长的电磁辐射，在不同温度下单色辐出度的峰值波长不同。黑暗中周围物体的温度等于环境温度（近似为人体温度），单色辐出度的峰值波长在10μm 附近，在可见光波长范围的电磁辐射能量都比较低，因此不能引起眼睛的视觉响应。
第十九章量子力学简介（Ⅱ） (薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ ]1.（基础训练10）氢原子中处于2p状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n，l，m l，m s)可能取的值为 (A) (2，2，1，)． (B) (2，0，0，)． (C) (2，1，-1，)． (D) (2，0，1，)． [ ]2.（基础训练11）在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性． [ ]3.（自测提高7）直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验． (B) 卢瑟福实验． (C) 戴维孙－革末实验． (D) 斯特恩－革拉赫实验． [ ]4.（自测提高9）粒子在外力场中沿x轴运动，如果它在力场中的势能分布如附图所示，对于能量为E< U0从左向右运动的粒子，若用ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0，0 < x
二. 填空题 1.（基础训练17）在主量子数n=2，自旋磁量子数的量子态中，能够填充的最大电子数是_________． 2.（基础训练20）在下列给出的各种条件中，哪些是产生激光的条件，将其标号列下： (1)自发辐射．(2)受激辐射．(3)粒子数反转．(4)三能极系统．(5)谐振腔． 3.（自测提高16）有一种原子，在基态时n= 1和n= 2的主壳层都填满电子，3s次壳层也填满电子，而3p壳层只填充一半．这种原子的原子序数是 4.（自测提高17）在下列各组量子数的空格上，填上适当的数值，以便使它们可以描述原子中电子的状态： (1) n =2，l =_____，m l= -1，． (2) (2) n =2，l =0，m l =_____，． (3) n =2，l =1，m l = 0，m s = ． 三. 计算题 1.（自测提高22）已知粒子处于宽度为a的一维无限深方势阱中运动的波函数为 ，n = 1, 2, 3, … 试计算n = 1时，在x1 = a/4 →x2 = 3a/4区间找到粒子的概率。
第二章习题解答 p.52 2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 )] r ()r ()r ()r ([m 2i ] e )r (e )r (e )r (e )r ([m 2i ) (m 2i J e )r ( ) t (f )r ()t r (**Et i Et i **Et i Et i **Et i ψψψψψψψψψψψψψψψ?-?=?-?=?-?===-----）（）（， 可见t J 与 无关。 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： i k r i k r e r e r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解：分量只有和r J J 21 在球坐标中 ? θθ?θ?? +??+??=?s i n r 1e r 1e r r 0 r mr k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i m i J ikr ikr ikr ikr 3 020 220 1* 1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 ) (2 )1(==+----=??-??=?-?=--ψψψψ r J 1 与同向。表示向外传播的球面波。
r mr k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i ) (m 2i J )2(3020 220 ik r ik r ik r ik r * 2*222 -=-=---+-=??-??=?-?=--ψψψψ 可见，r J 与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ ∞==? ? ∞ ∞ dx dx ψψ* ∴波函数不能按1) (2 =? dx x ψ方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 12 ==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。 2.3 一粒子在一维势场 ??? ??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，， ，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程 )()()()(22 2 2x E x x U x dx d m ψψψ=+- 在各区域的具体形式为 Ⅰ： )()()()(2 011122 2x E x x U x dx d m x ψψψ=+- < ① Ⅱ： )()(2 0 222 2 2x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 3332 2 2x E x x U x dx d m a x ψψψ=+- > ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须 0)(1=x ψ
第9章 量子力学基础 思考题解答 1. 试用复数来表示驻波。 解：驻波可由振幅相同而方向相反的两个平面波重叠而成。设沿正反方向传播的两个平面波用复数表示的波函数分别为 )]/i( πexp[201t x νλψΨ+= )]/i( πexp[202t x νλψΨ?= 叠加后的波函数为 )] i π2exp() i π2)[exp(/i π2(021t t x ννλψΨΨΨ?+=+= )2cos()() πcos(22)/i πexp(20t x t x πνψνλψ=?= (1) （注意αααcos 2)i exp()i exp(=?+）可见振幅随x 变化， )/i πexp(22)(0λψψx x = (2) 式(1)为用复数表示的驻波的波函数，式(2)为用复数表示的驻波的振幅。 2. 为什么说波粒二象性是统计规律，而不确定原理是二象性的必然结果。 解：微粒在空间的运动并没有确定的轨迹。例如在电子衍射中，单个电子出现在荧光屏上的位置是不确定的，只有当大量电子同时运动或单个电子重复多次才出现衍射环纹，即电子在空间一定的概率分布。因此，这种微粒的波动性是大量粒子运动的统计结果。正是由于微粒在空间的运动具有波动性，如果波长一定即动量一定，则坐标无法确定；如果坐标完全一定，则必须由无穷多个不同波长的波叠加，动量就不确定；也就是它的坐标和动量不能同时确定，即为不确定原理。 3. 宏观物体的状态是如何描述的，力学量与状态的关系是怎样的。微观粒子的运动状态又是如何描述的，力学量与状态的关系又是怎样
·156· 思考题和习题解答 的。 解：宏观物体的状态是用坐标和动量描述的，状态的变化遵循牛顿力学。力学量与状态（坐标和动量）间具有确定的函数关系。微观粒子的状态是用波函数来描述的，状态的变化遵循量子力学。每一个力学量 F 都对应着一个算符F ?，力学量的统计平均值F 与状态（波函数Ψ）的关系由下式计算τΨΨd ?*F F ∫=。 4. 为什么波函数必须是品优函数。 解：品优函数要求函数是单值的、对坐标是连续可微的、并且是平方可积的，即函数平方对全空间积分是有限的。波函数是描述粒子运动状态的函数，是薛定谔方程的解，必须满足有关物理意义和数学要求。波函数的平方代表粒子在空间某处的概率，概率有确定值，因此波函数一定是单值函数；空间的概率和必为有限值，因此波函数平方对空间积分必定是有限值；薛定谔方程是波函数对坐标的二阶偏微分方程，因此要求波函数连续可微，因为只有波函数和波函数对坐标的一阶偏导数连续，才能保证其二阶偏导数存在。 5. 力学量算符的本征函数是否就是波函数。 解：力学量算符的本征函数不一定是波函数。只有与哈密顿算符H ?可以对易的力学量算符的本征函数才是波函数。例如动量算符x p ?与H ?不可对易，它的本征函数就不是波函数，而动量平方算符2?x p 与H ?可对易，波函数就是它的本征函数。 6. 微观粒子的波函数与经典波函数有什么不同。试从振幅与能量的关系，波的叠加等方面进行讨论。 解：微观粒子的波函数与经典波函数有类似之处，但也有原则差异。首先物质波振幅的平方正比于粒子在空间的强度以及在空间出现的概率密度，而经典波振幅的平方只代表波的强度。再从波的叠加来说，虽然两者都遵循波的叠加原理，但也有差别。经典波叠加后，形成新的状态，具有新的能量。而物质波叠加后，一般形成了一种混合状态，由1ψ、