山东省新人教B 版2012届高三单元测试19
选修2-2第一章《导数及其应用》
(本卷共150分,考试时间120分钟)
一、单项选择题(每小题5分,共40分.)
1、若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈则000
()()
lim
h f x h f x h h
→+-- 的值为
( )
A.0()f x '
B.02()f x '
C.02()f x '-
D.0
2、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 3秒末的
瞬时速度是( )
A.7米/秒
B.6米/秒
C.5米/3、曲线x x y 43
-=在点(1,3)-处的切线倾斜角为A.
34π B.2π C.4π 4、曲线3
()2f x x x =+-在0p ( )
A.(1,0)
B.(2,8)
C.(2,8)和(1,4)--
D.(1,0)和(1,4)-- 5、若()sin cos f x x α=-,则()f α'等于( )
cos α+
D.2sin α
6480y +-=垂直,则l 的方程为( )
0 C.430x y -+= D.430x y ++= 72=处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则 ) 1+ D.1
22n +-
8()f x ',且()f x '是奇函数.若曲线()y f x =的
一条切线的斜率是
3
2
,则切点的横坐标为 ( ) A.ln 2 B.ln 2- C.ln 22 D.ln 2
2
-
二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分.)
9、已知函数x x x f +-=2
)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点
)2,1(y x B ?+-?+-则
=??x
y
.
10、曲线32242y x x x =--+在点(1,一3)处的切线方程是___________
11、在平面直角坐标系xoy 中,点P 在曲线3
:103C y x x =-+上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为 .
12、若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是 13、曲线3cos (0)2
y x x π
=≤≤
与坐标轴围成的面积是 14、已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值,并且它的图象与直线
33+-=x y 在点(1,0)处相切,则函数)(x f 15、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,)1(f ()0f x >的解集是 .
三、解答题(本大题共6小题,共75分,16. 已知曲线 y = x 3 + x -2 在点 P 0 处的切线 1l 平行直线,⑴求P 0的坐标; ⑵若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.
48(2)a x b -+的图象关于原点成中心对称, 试判断
f .
)π<,且()()f x f x '+为奇函数.
(1)求?的值;
(2)求()'()f x f x +的最值.
19. 已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1
()()(0)()
g x af x x f x '=
+≠'
⑴当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;
⑵若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值;
20. 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线
1870x y +-=垂直,导函数'()f x 的最小值为12.
(1)求a ,b ,c 的值; (2)设2
()
()f x g x x =,当0x >时,求()g x 的最小值.
21. 已知函数()e x
f x kx x =-∈R ,
(Ⅰ)若e k =,试确定函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)若0k >,且对于任意x ∈R ,k 的取值范围; (Ⅲ)设函数()()()F x f x f x =+-1
2
(2)()(e 2)()n n F n n +*>+∈N .
00()()
]2f x h f x h h +--
0).
. 3.A 213
34,|1,tan 1,4
x y x k y αα=''=-==-=-=
π. 4.D 设切点为0(,)P a b ,2
2
()31,()314,1f x x k f a a a ''=+==+==±,把1a =-,
代入到3
()2f x x x =+-得4b =-;把1a =,代入到3
()2f x x x =+-得0b =,所以0(1,0)P
和(1,4)--.
5.B ()sin ,()sin f x x f αα''==.
6.A 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而
34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --=.
7.D ()()112
22,:222(2)n n n x y n y n x --='
=-++=-+-切线方程为,
令0x =,求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012n
y n =+,所以
21n n a n =+,
则数列n 项和()12122212
n n n S +-=
=--
8.A '()x
x f x e ae
-=-,()f x '是奇函数'(0)1
f =-x
e
--,
设切点为00(,)x y ,则00
03'()2x
x f x e e
-=-=
,得0x e ln 2. 9 .3x -? 2
2(1)(1)y x x -+?=--+?+-+?
∴x x
x x x y ?-=?-?+-+?+--=??32)1()1(2 10. 520x y +-= 易判断点(1,-3)在曲线3
2
242y x x x =--+上,故切线的斜率
2()351y x +=--,即520x y +-=
又点P 在第二象限内,∴2x =-,得点P 的坐标为 14. 68)(2
3+-+=x x x x f ,由导数的定义得,当01x <<时,
(1)()x f x -,∴()0f x <;当1x >时, 同理得()0f x <.又)(x f 是奇函数,画出它的图象得()0f x >?(1,0)(1,)x ∈-+∞ . 16. .解:⑴由y =x 3+x -2,得y ′=3x 2+1,由已知得3x 2+1=4,解之得x =±1.当x =1时,y =0;当x =-1时,y =-4.又∵点P 0在第三象限,∴切点P 0的坐标为 (-1,-4). ⑵∵直线1l l ⊥,1l 的斜率为4,∴直线l 的斜率为1
4
-,∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为 (-1,-4) ∴直线l 的方程为1
4(1)4
y x +=-
+即4170x y ++=.
17. 解: 答f (x )在[-4,4]上是单调递减函数.证明:∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称, 则f (x )是奇函数,所以a =1,b =0,于是f (x )=348.x x -2()348,f x x '∴=-∴当
(4,4)()0x f x '∈-∴<又∵函数()f x 在[]4,4-上连续所以f (x )在[-4,4]上是单调递减函数.
18. 解:(1)()'()f x f x +))??=+-+
5
)6
π?=++
, 又0?<<π,()'()f x f x +是奇函数,∴=
?6
π
.
(2)由(1)得()'()f x f x +)=+π=-
∴()'()f x f x +的最大值为2,最小值为2-. 19. 解:⑴∵()ln f x x =,
∴当0x >时,()ln f x x =; 当0x <时, ()f x =∴当0x >时,1()f x
x '=
; 当0x <时,∴当0x ≠时,函数()a
y g x x x ==+.
⑵∵由⑴知当0x >时,()a
g x x x
=+
x =
.
∴依题意得2=∴1a =. ()f x -,即33ax bx c ax bx c --+=---, 12,∴12b =; ,因此,'(1)318f a b =+=, ∴2a =, ∴2a =,12b =,0c =为所求.
(2)由(1)得3
()212f x x x =+,∴当0x >时,2
()
()f x g x x
=62()2x x =+≥?=,
∴()g x 的最小值为.
21. 解:(Ⅰ)由e k =得()e e x f x x =-,所以()e e x
f x '=-.
由()0f x '>得1x >,故()f x 的单调递增区间是(1)+∞,, 由()0f x '<得1x <,故()f x 的单调递减区间是(1)-∞,. (Ⅱ)由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数.
于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立. 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =.
①当(01]k ∈,时,()e 10(0)x f x k k x '=->->≥.
2+, 1(1)()e 2n F F n +∴>+,
11(2)(1)e 2()(1)e 2.
n n F F n F n F ++->+>+ 由此得,2
1
[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e
2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+
故1
2
(1)(2)()(e 2)n n F F F n n +*>+∈N ,.
导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( )
高考中数学导数的解法 1、导数的背景: (1)切线的斜率;(2)瞬时速度. 如一物体的运动方程是21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3t =时的瞬时速度为_____(答:5米/秒) 2、导函数的概念:如果函数()f x 在开区间(a,b )内可导,对于开区间(a,b )内的每一个0x ,都对应着一个导数 ()0f x ' ,这样()f x 在开区间(a,b )内构成一个新的函数,这一新的函数叫做()f x 在开区间(a,b )内的导函数, 记作 ()0 lim x y f x y x ?→?'='=?()() lim x f x x f x x ?→+?-=?, 导函数也简称为导数。 提醒:导数的另一种形式0 0x x 0)()(lim )(0 x x x f x f x f y x x --='='→= 如(1)*?? ?>+≤== 1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导,则=a =b 解:?? ?>+≤==1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导,必连续1)(lim 1 =-→x f x b a x f x +=+ →)(lim 1 1)1(=f ∴ 1=+b a 2lim 0 =??- →?x y x a x y x =??+→?0lim ∴ 2=a 1-=b (2)*已知f(x)在x=a 处可导,且f ′(a)=b ,求下列极限: (1)h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→?; (2)h a f h a f h ) ()(lim 20-+→? 分析:在导数定义中,增量△x 的形式是多种多样,但不论△x 选择哪种形式,△y 也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在a x =处可导的条件,可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 解:(1)h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→
【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础,这是高考重点考查的内容.考查方式以客观题为主,主要考查: 一是导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义; 二是导数的应用,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等,已成为高考热点问题; 三是应用导数解决实际问题. 【知识梳理】 1.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在点处的切线的,其切线方程是. 注意:函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别:. 2.导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件. f x 如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0. (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件. f x 当函数在某个区间内恒有() '=0时,则f(x)为常数,函数不具有单调 f x 性. 注意:导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件.
3. 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是对整个定义域而言的,是在整个范围内讨论的问题. (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有. (3)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的 . 4. 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′= ; (2)(cos x )′= ; (3)(e x )′= ; (4)(a x )′= (a >0,且a ≠1); (5)(x a )′= ; (6)(log e x )′= ; (7)(log a x )′= (a >0,且a ≠1); (8)′= ; (9)??????? ? f (x ) g (x )′= (g (x )≠0) .