1.5.2 汽车行驶的路程
整体设计
教材分析
求变速直线运动物体的路程也是定积分概念的一个重要背景．与求曲边梯形面积的实例相比，它们只是背景不同，解决问题的思想方法和求解步骤都是相同的，它们的求解过程都蕴含着定积分的基本思想．
课时分配
1课时
教学目标
知识与技能目标
了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限(逼近)．
过程与方法目标
通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶路程的有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想，以及运用类比的方法研究问题．
情感、态度与价值观
在体会微积分思想的过程中，体会人类智慧的力量，培养世界是可知的唯物主义的世界观．
重点难点
重点：掌握求解过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近(取极限)．
难点：求解过程的理解．
教学方法
运用类比的方法引导学生自主探究，归纳总结，在掌握知识的同时提升研究问题的能力．教具准备
多媒体、几何画板．
教学过程
引入新课
1．连续函数的概念．
2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤．
3．利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？ 探究新知
提出问题1：汽车以速度v 作匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为s ＝vt .如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋2(t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，那么它在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？
活动设计：学生首先独立思考，然后小组交流讨论．提出各自的方法与见解，最终形成可操作的方案．
学情预测：学生可能从物理学的角度去思考、处理问题，也可能类比求曲边梯形面积的方法求解．
活动成果：如果从物理学的角度去思考、处理问题，由于没有现成的公式可用，于是想到类比求曲边梯形面积的方法求解，体现转化与化归的数学思想．
设计意图
与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．把区间[0,1]等分成n 个小区间，在每个小区间上，由于v (t )的变化很小，可以近似地看作汽车作匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求和得s (单位：km)的近似值，最后让n 趋向于无穷大就得到s (单位：km)的精确值．(思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动的路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程)
提出问题2：请同学们按照我们讨论后拟定的方案，类比求曲边梯形面积的方法独立求解．
活动设计：类比求曲边梯形的面积，学生独立解决，必要时教师加以指导、提示． 学情预测：学生可能由于对第一节求曲边梯形面积的方法掌握不熟练，导致不能独立完整地解决．
活动成果：体会分割、以不变代变、求和、取极限的过程，感受在其过程中渗透的思想方法．
解：(1)分割
在时间区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间：
[0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[n －1n
，1]．
记第i 个区间为[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝i n －i －1n ＝1n
. 把汽车在时间段[0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[n －1n
，1]上行驶的路程分别记作：Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，显然，s ＝i ＝1
n Δs i . (2)近似代替
当n 很大，即Δt 很小时，在区间[i －1n ，i n
]上，函数v (t )＝－t 2＋2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点i －1n 处的函数值v (i －1n )＝－(i －1n
)2＋2.从物理意义上看，就是汽车在时间段[i －1n ，i n
](i ＝1,2，…，n )上速度的变化很小，不妨认为它近似地以时刻i －1n 处的速度v (i －1n )＝－(i －1n
)2＋2做匀速行驶，即在局部小范围内“以匀速代变速”．于是用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，即在局部范围内“以直代曲”，则有
ΔS i ≈ΔS i ′＝v (i －1n )·Δt ＝[－(i －1n )2＋2]·1n ＝－(i －1n )2·1n ＋2n
(i ＝1,2，…，n )．① (3)求和
由①得s n ＝1n i i S =?∑′＝∑i ＝1n
v (i －1n )·Δt ＝∑i ＝1n [－(i －1n )2·1n ＋2n ] ＝－0·1n －(1n )2·1n －…－(n －1n )2·1n
＋2 ＝－1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋2 ＝－1n 3(n －1)n (2n －1)6＋2＝－13(1－1n )(1－12n
)＋2. 从而得到s 的近似值s ≈s n ＝－13(1－1n )(1－12n
)＋2. (4)取极限
当n 趋向于无穷大时，即Δt 趋向于0时，s n ＝－13(1－1n )(1－12n
)＋2趋向于s ，从而有s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞∑i ＝1n
1n ·v (i －1n )＝lim n →∞ [－13(1－1n )(1－12n )＋2]＝53. 设计意图
通过学生自己独立推导，进一步让学生理解、掌握极限思想，以及分析问题、解决问题的能力，努力培养学生将问题转化为熟悉问题的意识．
理解新知
提出问题3：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程s 与由直线t ＝0，t ＝1，v ＝0和曲线v ＝－t 2＋2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
活动设计：学生自己结合上一节曲边梯形面积的知识求出曲边梯形面积的表达式，进一步与求出的汽车行驶的路程的表达式比较，发现问题的本质，从而给出求变速直线运动路程的几何解释，即求变速直线运动路程的问题也可以解释成求曲边梯形面积的问题． 活动成果：
由于汽车行驶路程的表达式s ＝0lim t ?→∑i ＝1n v (ξi )Δt ＝lim n →∞∑i ＝1
n
1n v (ξi )与曲边梯形的面积表达式S ＝0lim x ?→∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝lim n →∞∑i ＝1
n 1n f (ξi )在形式上是一致的，因此比较这两个式子，就可以推断出该路程在数值上等于教科书中图所示的曲边梯形面积，即汽车行驶的路程s ＝lim n →∞s n 在数值上等于由直线t ＝0，t ＝1，v ＝0和曲线v ＝－t 2＋2所围成的曲边梯形的面积．
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .
设计意图
求变速直线运动路程的问题也可以解释成求曲边梯形面积的问题，这样就可以在给出定积分的定义后，直接给出定积分的几何意义． 运用新知
例1弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )＝kx (k 为常数，x 是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功．
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解：将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W ＝F ·x .
(1)分割
在区间[0，b ]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间：
[0，b n ]，[b n ，2b n ]，…，[(n －1)b n
，b ]， 记第i 个区间为[(i －1)b n ，i·b n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i·b n －(i －1)b n ＝b n
. 把在分段[0，b n ]，[b n ，2b n ]，…，[(n －1)b n
，b ]上所作的功分别记作：ΔW 1，ΔW 2，…，ΔW n .
(2)近似代替
由条件知：ΔW i ＝F ((i －1)b n )·Δx ＝k ·(i －1)b n ·b n
(i ＝1,2，…，n )． (3)求和
W n ＝∑i ＝1n k ΔW i ＝∑i ＝1n
k·(i －1)b n ·b n ＝kb 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝kb 2n 2n (n －1)2＝kb 22(1－1n )． 从而得到W 的近似值W ≈W n ＝kb 22(1－1n
)． (4)取极限
W ＝lim n →∞W n ＝lim n→∞∑i ＝1n
kΔW i ＝lim n →∞ kb 22(1－1n )＝kb 22， 所以弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为kb 22
. 巩固练习
一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，计算这辆汽车在0≤t ≤2这段时间内汽车行驶的路程s (单位：km)．
【答案】223
. 达标检测
已知某物体做直线运动，速度与时间t 满足v (t )＝e t ，求物体在时间区间[0,1]内的运动距离．
【答案】e －1.
课堂小结
1．知识收获：掌握“分割、近似代替、求和、取极限”四个步骤解决问题的方法．
2．方法收获：类比方法、数形结合方法．
3．思维收获：类比思想、转化思想．
布置作业
补充练习
基础练习
1．物体以速度v (t )＝t 2作直线运动，则在时间段[0,1]内运动的路程s 为( )
A.13
B.12
C.1
D.16
2．已知物体做自由落体运动在t 时刻的速度v ＝g t (g 是常数)，求在时间区间[2,4]内物体下落的距离s .
【答案】1.A 2.6g
拓展练习
3．以初速度40 m/s 垂直向上抛一物体，t s 时刻的速度为v ＝40－10t (单位：m/s)，问多少秒后此物体达到最高？最大高度是多少？
【答案】4秒后物体达到最高，最大高度是80 m.
设计说明
求变速直线运动物体的路程也是定积分概念的一个重要背景，与求曲边梯形面积的实例相比，它们只是背景不同，解决问题的方法和步骤是相同的，它们的求解过程都蕴含着定积分的基本思想，所以本节课设计的主要意图是类比思考、自主探索，增强学生自主探究的意识与能力，引导学生类比求曲边梯形面积的过程，让他们自己独立解决问题，以进一步体会定积分的背景、思想和方法，为引入定积分的概念奠定基础．