2019年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷
一．填空题（共6小题）
1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝．
2．若复数（i为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a的值为．3．某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、，第二组，……，第五组，如图市根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中人数为．
4．如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为．
5．现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为．
6．等差数列{a n}中，a4＝10，前12项的和S12＝90，则a18的值为．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线＝1（b＞0）一个交点，若抛物线的焦点为F，且F A＝5，则双曲线的渐近线方程为．
8．若函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象经过点（），且相邻两条
对称轴间的距离为，则f（）的值为．
9．已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为．
10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣3x，则不等式f （x﹣1）＞﹣x+4的解集是．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（5，0）．若圆M：（x﹣4）2+（y﹣m）2＝4上存在唯一点P，使得直线P A，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为．
12．已知AD时直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足
．若，则的值为．
13．已知函数f（x）＝．设g（x）＝kx+1，且函数y＝f（x）﹣g（x）的图象经过四个象限，则实数k的取值范围为．
14．在△ABC中，若sin C＝2 cos A cos B，则cos2A+cos2B的最大值为．
三．解答题（共11小题）
15．设向量＝（cosα，λsinα），＝（cosβ，sinβ），其中λ＞0，0＜α＜β＜，且+与﹣相互垂直．
（1）求实数λ的值；
（2）若?＝，且tanβ＝2，求tanα的值．
16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1，BC的中点．求证：
（1）DE∥平面ACC1A1；
（2）AE⊥平面BCC1B1；
17．某公园内有一块以O为圆心半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB ＝BQ，∠P AB＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设．问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？
18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且椭圆C短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点P（2，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，点Q（m，0）．
①若对任意直线l总存在点Q，使得QA＝QB，求实数m的取值范围；
②设点F为椭圆C的左焦点，若点Q是△F AB的外心，求实数m的值．
19．已知函数．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程；
（2）若对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
（3）若f（x）存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a的取值范围．
20．已知数列{a n}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有．（1）若a1，2a2．3a3成等差数列，求的值；
（2）①求证：数列{a n}为等比数列；
②若对任意n∈N*，都有，求数列{a n}的公比q的取值范围．21．已知矩阵A＝，，．
（1）求a，b的值；
（2）求A的逆矩阵A﹣1．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），点P是曲线C上的任意一点．求点P到直线l的距离的最大值．
23．解不等式：|2x﹣1|﹣x≥2．
24．如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B中，设点C是其中的一个交叉路口点．
（1）求甲经过点C的概率；
（2）设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．
25．平面上有2n（n≥3，n∈N*）个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n个点中，任取3个点，记3个点颜色相同的所有不同取法总数为T．
（1）若n＝3，求T的最小值；
（2）若n≥4，求证：．