附录 矢量与张量运算 1标量﹑矢量与张量 1.1基本概念 在本书中所涉及的物理量可分为标量、矢量和张量。 我们非常熟悉标量，它是在空间没有取向的物理量，只有一个数就可以表示其状态。例如质量、压强、密度、温度等都是标量。 矢量则是在空间有一定取向的物理量，它既有大小、又有方向。在三维空间中，需要三个数来表示，即矢量有三个分量。考虑直角坐标右手系，三个坐标轴分别以1、2和3表示，、2和3分别表示1、2和3方向的单位矢量。如果矢量a 的三个分量分别为a 1、、a 2、a 3，则可以表示为 也可以用以下符号表示 a =(a 1,a 2,a 3) 矢量a 的大小以a 表示 a =(a 12+a 22+a 32)1/2 我们还会遇到张量的概念，可将标量看作零阶张量，矢量看作一阶张量，在此将主要讨论二阶张量的定义。 二阶张量w 有9个分量，用w ij 表示。张量w 可用矩阵的形式来表示： w 其中下标相同的元素称为对角元素，下标不同的元素称为非对角元素。若w ij =w ji ，则称为对称张量。如果将行和列互 相交换就组成张量w 的转置张量，记作w T ,则 w T = 显然，若w 是对称张量，则有w =w T 。另外，如果w T =-w ，w 被称为反对称张量，同时有w ij =-w ji 。任何一个二阶张量都可以写成两部分之和，一部分为对称张量，另一部分为反对称张量。 w =(w +w T )+ (w -w T ) 单位张量是对角分量皆为1，非对角分量皆为0的张量 是最简单的对称张量。 张量对角分量之和称为张量的迹 t r w = 张量的迹是标量，如果张量的迹为零，称此张量为无迹张量。 1.2基本运算 1.2.1矢量加法与乘法运算 在几何上，矢量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。如图附-1所示，减法为加法的逆运算。 1e e e a 332211e e e a a a a ++=??????????=3332 31232221131211w w w w w w w w w ??????????3323 13 322212312111w w w w w w w w w 2121 δ?? ??? ?????=100010001δδ ∑i ii w
05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.
矢量及张量 1. 协变基矢量：321g g g a 3 21a a a ++=，i a 称为逆变基分量，i g 是协变基矢量。 2. 逆变基矢量：3 21g g g a 321a a a ++=，i a 称为协变基分量，i g 是逆变基矢量。 3. 爱因斯坦求和约定：省略求和符号，i i g g a i i a a == 4. 逆变基于协变基的关系：j i δ=?j i g g 5. 标积：i i j i j i b a b a =?=?g g b a 6. 坐标转换系数i i 'β ： i i i i i i i i i i i x x x x x x g g r r g '''''β=??=????=??= 7. 转换系数的性质：i j k j i k δββ=''，因为'' ''m l m j i l j i i j g g g g ?=?=ββδ 8. 张量：分量满足坐标转换关系的量，比如矢量''''''i i i i i i k k i i v v v ββ=?=?=g g g v 9. 置换张量：ijk k j i ijk e g ==][g g g ε，其中][321g g g =g ，同理有 ijk k j i ijk e g 1][= =g g g ε 由 行 列 式 的 性 质 及 线 性 ][][]['''''''''n m l n k m j l i n n k m m j l l i k j i g g g g g g g g g ββββββ==，因此ijk ε是张量分量。 定义置换张量：k j i ijk k j i ijk g g g g g g εεε== 10. 基的叉积：k l ijl ijk k j i g g g g g ?==??εε，所以l ijl j i g g g ε=?，l ijl j i g g g ε=? 11. 叉积：k ijk j i j i j i b a b a g g g b a ε=?=?，或写成实体形式ε:ab ab :εb a ==?，双标 量积用前前后后规则完成。 12. 混和积：abc εg g g g g g c b a ====ijk k j i k j i k j i k k j j i i c b a c b a c b a ε],,[],,[],,[ 13. rst ijk rst ijk k t k s k r j t j s j r i t i s i r e e εεδδδδδδδδδ==，有以上关系可得 14. 重要关系： k s j t k t j s ist ijk δδδδεε-=
矢量的基本代数运算
《微分几何简介》笔记 Ch.1 矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1 矢量代数 定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。 1.1 直角坐标系-点的坐标与矢的分量 在三维空间中，取任意一点O 和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量 1 e ，2 e ，3 e ，构成一个直角坐标系（或标架）。用 ] ,,;[321e e e O =σ表示；O 称为σ的原点，1 e ，2 e ，3 e 称为σ 的基矢(或底矢)。 若P 为空间任意一点，以O 为始点，P 为终点的矢量OP =r 称为P 点在标架σ里的径矢。P 点在σ里的坐标1 x ，2 x ，3 x 就是r 径矢在σ里的分量： 3 32 211e e e r x x x ++= 若P 、Q 为空间两点，它们在σ里的径矢依次为 3 32211e e e r x x x ++=，3 3221 1e e e s y y y ++= 则矢量 3 33222111)()()(e e e r s x y x y x y OP OQ PQ -+-+-=-=-=
其中) 3,2,1(=-i x y i i 就是该矢量在σ里的分量。各分量 均为0的矢量称为零矢。 在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。 矢量3 3221 1e e e αa a a ++=的长为 23 2 2 21a a a ++=α 若1=α，α为单位矢量（幺矢）。0≠α，则 α/i a 叫做α在σ里的方向余弦，它们是α和1 e 间的角] ,0[π之间的余弦。零矢没有方向余弦。 1.2 矢量的基本代数运算 现有矢量3 3221 1e e e αa a a ++=和3 3221 1e e e βb b b ++=，则 1） 矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三角形）法则。 3 33222111)()()(e e e βαb a b a b a +++++=+ 2） 矢量差：矢量减法同样按照平行四边形（或三角形）法则，为加法的逆运算。 3 3 3 2 2 2 1 1 1 )()()(e e e βαb a b a b a -+-+-=- 3） 纯量（或数量）乘矢量：若λ为纯量，则 3 32 21 1e e e αa a a λλλλ++= 4） 数积（点乘）：矢量α，β的数积是纯量 θcos 3 32 21 1βαβα=++=?b a b a b a
一．矢量与张量 1.1矢量及其代数运算公式 1.1.1矢量 在三维Euclidean 空间中，矢量是具有大小与方向且满足一定规律的实体，用黑体字母表示，例如u,v,w 等。它们所对应的矢量的大小（称模、值）分别用|u |,|v |,|w |表示。称模为零的矢量为零矢量，用0表示。称与矢量u 模相等而方向相反的矢量为u 的负矢量，用-u 表示。矢量满足以下规则： （1）相等：两个矢量相同的模和方向，则称这两个矢量相等。即，一个矢量做平行于其自身的移动则这个矢量不变。 （2）矢量和：按照平行四边形定义矢量和，同一空间中两个矢量之和仍是该空间的矢量. 矢量和满足以下规则： 交换律： u +v =v +u 结合律： （u +v )+w =u +(v +w ) 由矢量和与负矢量还可以定义矢量差： u -v =u +(-v ) 并且有 u +(-u )=0 (3)数乘矢量：设a,b 等为实数，矢量u 乘数实数a 仍是同一空间的矢量，记作v =a u 。 其含义是:v 与u 共线且模为u 的a 倍，当a 为正值时v 与u 同向，当a 为负值时v 与u 反向，a 为零时v 为零矢量。数乘矢量满足以下规则： 分配律： （a+b)u =a u +b u a(u +v )=a u +a v 结合律： a(b u )=(ab)u 由矢量关于求和与数乘两种运算的封闭性可知，属于同一空间的矢量组),,2,1(I i u i =的线性组合i I i i u a ∑=1仍为该空间的矢量， 此处i a 是实数。矢量组I u u u ,,21线性相关是指存在一组不全为零的实数I a a a ,,21，使得 i I i i u a ∑=1=0 线性无关：若有矢量组J u u u ,,21，当且仅当0=j a （j=1,2,…,J)时，才有j J j j u a ∑=1 =0,
简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。 张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。 张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。 在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。 要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。 现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。 其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。 现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。 公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。 应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟 其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了。 而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的，这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射。 我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关，对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解，而且理解那么深也没用。不过，他们搞得计
向量及向量的基本运算 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
向量及向量的基本运算 一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量 的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段 的起点与终点的大写字母表示，如：AB 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。< 注意与0的区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都 可以移到同一直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合， 记为b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b BC a AB ==,，则 a +b =BC AB +=AC 。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说 明：（1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律；
3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -, 零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有 共同起点）。 注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 4)实数与向量的积 ①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ?=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的 方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则
向量及向量的基本运算 一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向 量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作||。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。<注意与0的 区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一 直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b a ==,，则a +b =+=。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说明：（1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-。求 两个向量差的运算，叫做向量的减法。 b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）。 注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量 的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
平面向量1 1.数量和向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母b a ,等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB ；向量AB 的大小——长度称为向量的模，记作|AB |。 3.有向线段： 具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。 向量与有向线段的区别： ⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量； ⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。 4.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0。 ②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。 5.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 说明：⑴向量a 与b 相等，记作a =b ； ⑵零向量与零向量相等； ⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。 6.平行向量的定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行。 说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义； ⑵向量c b a 、、 平行，记作c b a ////。 二、向量的运算法则 1.向量的加法 某人从A 到B ，再从B 到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+； ⑴向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 ⑵三角形法则：AC BC AB b a =+=+ ⑶四边形法则：OC AC OA OB OA b a =+=+=+ 三角形法则 四边形法则
《微分几何简介》笔记 Ch.1 矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1 矢量代数 定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。 1.1 直角坐标系-点的坐标与矢的分量 在三维空间中，取任意一点O 和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量1e ，2e ，3e ，构成一个直角坐标系（或标架）。用],,;[321e e e O =σ表示；O 称为σ的原点，1e ，2e ，3e 称为σ的基矢(或底矢)。 若P 为空间任意一点，以O 为始点，P 为终点的矢量OP =r 称为P 点在标架σ里的径矢。P 点在σ里的坐标1x ，2x ，3x 就是r 径矢在σ里的分量： 332211e e e r x x x ++= 若P 、Q 为空间两点，它们在σ里的径矢依次为 332211e e e r x x x ++=，332211e e e s y y y ++= 则矢量 333222111)()()(e e e r s x y x y x y OP OQ PQ -+-+-=-=-= 其中)3,2,1(=-i x y i i 就是该矢量在σ里的分量。各分量均为0的矢量称为零矢。 在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。 矢量332211e e e αa a a ++=的长为 2 32221a a a ++=α 若1=α，α为单位矢量（幺矢）。0≠α，则 α/i a 叫做α在σ里的方向余弦，它们是α和1e 间的角],0[π之间的余弦。零矢没有方向余弦。 1.2 矢量的基本代数运算 现有矢量332211e e e αa a a ++=和332211e e e βb b b ++=，则
矢量的基本代数运算 《微分几何简介》笔记 Ch.1矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1矢量代数 定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。 1.1直角坐标系-点的坐标与矢的分量 在三维空间中，取任意一点O和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量e i，e2， e3，构成一个直角坐标系（或标架）。用[O；e,e2,e3]表示；O称为的原点，e i，e2，e3称为的基矢（或底矢）。 若P为空间任意一点，以0为始点，P为终点的矢量r OP称为P点在标架里的径矢。P 点在里的坐
标x i, X2，X3就是r径矢在里的分量： r X i e i X2e2 X a e a 若P、Q为空间两点，它们在里的径矢依次为 r X i e i X2e2 X a e a，s y i e i y z e? y a e a 则矢量 PQ OQ OP s r （y i xje i （y? X2）e2 （y a X a）e a
其中y i X i （i 1,2,3） 就是该矢量在 里的分量。各分量 均为0的矢量称为零矢。 在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是 它们的分量依次相等 若|a 1 , a 为单位矢量（幺矢）。|a 0，则 a i / a 叫做a 在里的方向余弦，它们是a 和e i 间的角［0, 之间 的余弦。零矢没有方向余弦。 i ）矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三 角 形）法则。 a B (a i b i )e i (a 2 b 2 )e 2 (a 3 b 3 )e 3 2） 矢量差：矢量减法同样按照平行四边形 （或 三角形）法则，为加法的逆运算。 a B （a i b i ）e i （a ? b 2）e 2 （a 3 b 3）e 3 3） 纯量（或数量）乘矢量：若 为纯量，则 况 a 〔e i a 2e 2 a 3e 3 4）数积（点乘）：矢量a , B 的数积是纯量 a B a i b i a 2b 2 a 3b 3 a Bcos 矢量a a ?e 2 a 3e 3 的长为 1.2矢量的基本代数运算 现有矢量a a i e i a 2e 2 a 3e 3 和 B b i e i b 2e 2 b 3e 3 a 2 2 a ? a 3
矢量与张量 为什么学习张量 1. 物理量： 标量 矢量 张量 2. 客观性： 客观规律与坐标系（观察者）无关 第一章：矢量 矢量：1.方向性 2.合成结果与顺序无关 不符合这两点要求的不是矢量。转动具有大小和方向 但由于不满足交换律（第2要素），因而不是矢量。 基本运算： 1. 点积 abcos ?=θa b a 与b 在a 上的投影之积。 分配律：()?+=?+?a b c a b a c 证明： +b c 的投影等于b 的投影与c 的投影之和 推论： ① ()()α+β?λ+γ=αλ?+αγ?+βλ?+βγ?a b c d a c a d b c b d ② ()111223311b b b b ?=++?=b e e e e e ③ ()()()3 3 3 i i j j i i i 1 i 1 i 1 a b a b ===?=?=∑∑∑a b e e 2.叉积 absin ?=θa b n
有方向的平行四边形面积 3混合积 ()??u v w 六面体体积 改变六面体底、高顺序 可证： ()()()??=??=??u v w v w u w u v 推论： ① 叉积分配律：()?+=?+?a b c a b a c 证明： ()()()()()()()??+=+??=??+??=??+?v a b c b c v a b v a c v a v a b a c 上式对任何矢量v 都成立，所以 ()?+=?+?a b c a b a c ② ()()α+β?λ+γ=αλ?+αγ?+βλ?+βγ?a b c d a c a d b c b d ③ ()()112233112233a a a b b b ?=++?++a b e e e e e e 123 2 31312 1 2 31 232 31312 12 3a a a a a a a a a b b b b b b b b b ==-+e e e e e e ④ ()??=a b c 2313121 2 3 2 3 13 12 a a a a a a c c c b b b b b b -+ 1 2 312 3123c c c a a a b b b = ⑤ ()() 2 1232 1 2312 3 u u u v v v w w w ??=u v w w u v
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 向量及向量的基本运算 一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的 积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作||。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。<注意 与0的区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移 到同一直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反 向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为 b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b a ==,，则a +b =+=。 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说明：（1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ；
矢量和张量 vectors and tensors 中山大学理工学院黄迺本教授 (2005级,2007年3月) 如果不理解它的语言,没有人能够读懂宇宙这本书,它的语言就是数学. ——Galileo 经典电动力学的研究对象 ——电磁相互作用的经典场论 ——狭义相对论 ——电动力学的相对论协变性 主要数学工具 微积分、线性代数、矢量与张量分析、数学物理方程、级数等. 教材和参考书 教材：郭硕鸿《电动力学》（第二版）高等教育出版社，1997 参考书： [1]黄迺本，方奕忠《电动力学（第二版）学习辅导书》，高等教育出版社，2004 [2]J.D.杰克孙《经典电动力学》人民教育出版社，1978 [3]费恩曼物理学讲义，第2卷，上海科技出版社，2005 [4]朗道等《场论》人民教育出版社，1959 [5]蔡圣善等《电动力学》（第二版），高等教育出版社，2003 [6]尹真《电动力学》（第二版），科学出版社，2005 [7]Daniel R Frankl,ELECTROMAGNETIC THEORY,Prentice-Hall,Inc.,1986 矢量和张量
目录(contens) 1.矢量和张量代数(the algebra of vectors and tensors) 2.矢量和张量分析(the analysis of vectors and tensors) 3.δ函数(δ function) 4.球坐标系和柱坐标系 1 矢量和张量代数 在三维欧几里德空间中，按物理量在坐标系转动下的变换性质，可分为标量（零阶张量），矢量（一阶张量），二阶张量，及高阶张量.（见郭硕鸿，电动力学，P258）分为： 0 阶张量，即标量(scalar)，在3维空间中，只有30 = 1个分量.标量是 空间转动下的不变量. 例如，空间中任意两点之间的距离r ，就是坐标系转动下的不变量.温度、任一时刻质点的能量、带电粒子的电荷、电场中的电势，等等,都是标量. 1阶张量，即矢量(vector)，在3维空间中，由31 = 3个分量构成有序集 合. 例如，空间中任意一点的位置矢量r ，质点的速度v 和加速度a ,作用力F 和 力矩M ,质点的动量p 和角动量L 、电流密度J ,电偶极矩p ,磁偶极矩m ,电场强度E ,磁感应强度B ,磁场矢势A ，等等都是矢量. 2阶张量(tow order tensor )，在3维空间中，由32 = 9个分量构成有序 集合. 例如，刚体的转动惯量→→ I ,电四极矩→→ D ,等. 3阶张量，在3维空间中，由33 = 27个分量构成有序集合. 矢量表示 印刷——用黑体字母，如 r , A 书写——在字母上方加一箭头，如 A r , 正交坐标系的基矢量 正交坐标系(如直角坐标系,球坐标系,柱坐标系)基矢量321,e e e ,的正交性可表示为 ?? ?≠===?j i j i ij 0 1 δj i e e (1.1) 一般矢量A 有三个独立分量A 1，A 2，A 3，故可写成
平面向量1 一、向量的基本概念 思考：生活中有哪些量是既有大小又有方向的？哪些量只有大小没有方向？ 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。 回答下列问题： (1).数量与向量有何区别？ (2).如何表示向量？ (3).有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ (4).长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？ 1.数量和向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母a 、b(黑体)等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB ；向量AB 的大小——长度称为向量的模，记作|AB |。 3.有向线段： 具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。 向量与有向线段的区别： ⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量； ⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。 4.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0。 ②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。 5.满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量？ 相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 说明：⑴向量a 与b 相等，记作a =b ； ⑵零向量与零向量相等； ⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。 6.平行向量的定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行。 说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义； ⑵向量c b a 、、平行，记作c b a ////。 二、向量的运算法则 1.向量的加法 问题：数可进行加法运算：1+2=3，那么向量的加法是怎样定义的？长度是1的向量与长度是2的向量相加是一定是长度为3的向量呢？ ①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+；
Ch.2 曲线论 §1曲线与矢函数 一般地说，若一个矢量r 决定于一个（纯量）变数t ，我们就把它叫做变量t 的矢函数，写成)(t r 。 在标架],,;[321e e e O =σ中，曲线的（分量式）参数矢方程为： 332211)()()()(e e e r r t x t x t x t ++== §2矢函数的导矢与曲线的切线 某矢函数在某点连续的充要条件是其各分量在该点都连续。 若矢函数 332211)()()()(e e e r t x t x t x t ++= 在t 0连续，则其导矢为 3032021010 0)()()()()(e e e r r t x t x t x t t dt d t '+'+'== ' 导矢函数 332211 )()()()(e e e r t x t x t x t '+'+'= 有时也简称为导矢。 设 21)(t t t t ≤≤=Γ，：r r 为任意空间曲线。若矢函数在闭节],[21t t 里每一个t 值连续，则曲线Γ成为连续曲线。 导矢的几何意义：0)(0≠'t r 保证曲线Γ在t 0值对应点的切线存在而且)(0t r '代表这条切线的方向。)(0t r '就叫做Γ在该点的一个切（线）矢（量）。 若在闭节],[21t t 里，0)(≠'t r 而且连续，则Γ的切线随着切点的移动而连续变动位置，这样的曲线叫做光滑曲线。 矢函数的微分 dt t d )(r r '=，)(t dt d r r '= 这个定义在形式上和纯量函数一样。 若1r ，2r ，3r 是含纯量变数t 的矢函数，λ 为t 的纯量函数，则 r r r '+'=λλλ)(dt d
向量代数的基本运算 为了便于学习，我们把有关知识结合图形计算器做一简要总结。 向量代数的基本运算包括： 1.向量的表示：向量有两种表示方法，即和AB 。如果A(a1，a2，a3)(二维情形时A(a1，a2)，我们一般都指的是三维情形)，B(b1，b2，b3)，那么AB =[b1-a1，b2-a2，b3-a3]。在TI ?92中代数和几何都可以给出向量的表示。(参阅案例二中的图6.1. 2.1和6.1.2.2) 2.向量的加法和减法：有关这方面的基本知识不再重复。主要掌握平行四边形法则和三角形法则。TI -92图形计算器能够在代数运算和几何直观上双重实现。但要注意的是，在图形计算器中，向量被看成是特殊的矩阵，也就是行阵或列阵。 3.向量的数乘：设=[a1，a2，a3]，λ是一个实数，那么λ与的乘积λa 等于[λa1，λa2，λa3]。其几何意义是把向量a 沿同向(当)0时>λ放大λ倍，或把向量a 沿反向(当)0时<λ放大λ倍。 4.向量的数量积(点积，内积)：向量a 与向量的点积是一个数量，其值等于向量的长度(模)与向量的长度(模)的乘积再乘以它们夹角θ的余弦，即 θb a =?，其中θ是向量与b 的交角。 向量点积的坐标表示为332211b a b a b a b a ++=?，其中=[a1，a2，a3]，=[b1，b2，b3]。 两个向量垂直的充分必要条件是它们的点积等于零。 b a b a ⊥?=?0即。 在计算器中键入dotp(a,b)可以计算向量的点积。 由两个向量的点积可以计算出在两个向量的夹角，也就是 =θcos 运算符为，然后输入dotp(a,b)/(norm(a)*norm(b))，具体和6.1.3.2。