第三章 线性系统的时域分析法
3.1 引言
分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。
实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。
许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。
3.1.1 典型试验信号 经常采用的试验输入信号：
① 实际系统的输入信号不可知性；
② 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系； ③ 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。
突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。
（单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t
室温调节系统和水位调节系统
（单位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 0,≥t t ∝ （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线
0,2
12
≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ
正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。 通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统非周期信号（Step 、Ramp 、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）作用下系统的响应。 3.1.2 动态过程和稳态过程
——瞬时响应和稳态响应Transient Response & Steady_state Response
在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。
1 瞬态响应指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。
2 稳态响应是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输出量最终复现输入量的程度。
3.1.3 绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差
Absolute Stability , Relative Stability ,Steady_state Error
在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。
图3-1稳定性分析示意图
实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。本章不讨论非线性系统的稳定性。
绝对稳定性是前提。
·相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为阻尼振荡过程。——称动态过程。
·稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态
误差。这个误差表示系统的准确度。
稳态特性： 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。
在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。 ·动态性能指标：
在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初始条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。
实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。
t
10.90.50.1图3-2表示性能指标td,tr,tp,Mp 和ts 的单位阶跃响应曲线
h(t)
(∞h )(∞h )
(∞h )(∞h
① 延迟时间d t ：（Delay Time ）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间，叫延迟时间。
② 上升时间:r t （Rise Time ）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。〔5%上升到95%，或从0上升到100%，对于欠阻尼二阶系统，通常采用0～100%的上升时间，对于过阻尼系统，通常采用10～90%的上升时间〕，上升时间越短，响应速度越快。
③ 峰值时间p t （Peak Time ）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。 ④ 调节时间:s t （Settling Time ）：在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数（通常
取5%或2%）作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间。
⑤ 最大超调量:p M （Maximum Overshoot ）：指响应的最大偏离量h(tp)与终值)(∞h 之差的百分比，即%σ
%100)
()
()(%?∞∞-=
h h t h p σ 13-
r t 或p t 评价系统的响应速度；s t 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。%σ评价
系统的阻尼程度。 3.2 一阶系统的时域分析
用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。图3-3（a ）所示的RC 电路，其微分方程为
)(t r U dt
du RC c c
=+ )()()(t r t C t C T =+? （3-2）
其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC 为时间常数。
i(t)+
r(t)
+
（a ） 电路图
R
C
（c ）等效方块图
（b ）方块图
图3-3一阶系统电路图、方块图及等效方块图
当初始条件为零时，其传递函数为
1
1
)()()(+==
TS s R s C s φ （3-3） 这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。
下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。 3.2.1 单位阶跃响应
Unit-Step Response of First-order System 因为单位阶跃函数的拉氏变换为S
s R 1
)(=
，则系统的输出由式（3-3）可知为 1
1
1111)()()(+-
=?+=
=TS S S TS s R s s C φ 对上式取拉氏反变换，得
T
t e
t c --=1)( 0≥t （3-4）
t
注：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。
传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。
响应曲线在0≥t 时的斜率为
T 1，如果系统输出响应的速度恒为T
1，则只要t ＝T 时，输出c(t)就能达到其终值。如图3-4所示。
由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。 动态性能指标：
T t d 69.0=
T t r 20.2= 误差带）%5(3T
t s =
％不存在和σp t
3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应
当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)＝1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相
同，即 1
1
)(+=
TS s C 这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为)]([)(1s G L t g -=,其表达式为
01)(≥=-
t e T
t c T
t
（3-5）
3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应
Unit-ramp Response of first-order Systems 当2S
1R(s)=
TS
T S T S S TS s R s s C ++-=?+==11111)()()(2
22φ
对上式求拉氏反变换，得：
t T
t T
Te
T t e
T t t c 11)1()(--+-=--= （3-6）
因为)1()()()(1t T
e
T t c t r t e --=-= （3-7）
r(t)c(t)
t
图3-5 一阶系统的斜坡响应
所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为T t e e t ss ==∞
→)(lim
上式表明：①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同 1)(,1)(==?
∞
→?
t t c t r
②由于系统存在惯性，?
)(t c 从0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T ，这就是稳态误差产生的原因。
③减少时间常数T 不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
3.2.4 一阶系统的单位加速度响应
221)(t t r =
31
)(S
s R = T
S T 11
+
T S T S T S T S T S D
S C
S
B S A S TS s R s s
C 1111)11()()()(2
223233+
-+-=++
++=+==φ)83()0()
1(2
1
)(1
22-??????????????????????????≥-+-=-t e T Tt t t c t T
)83()1()()()(12
-??????????????????????????--=-=-t T
e
T Tt t c t r t e
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表3-1 一阶系统对典型输入信号的响应式
等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；
系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常
数由零初始条件确定。
线性定常系统的一个重要特性，适用于任何阶线性定常系统，但不适用于线性时变系统
和非线性系统。因此，研究线性定常系统的时间响应，不必对每种输入信号形式进行测定和计算，往往只取其中一种典型形式进行研究。
3.3 二阶系统的时域分析
二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。 3.3.1 二阶系统的数学模型
随动系统（位置控制系统）如图3-6所示。
图3-6 随动系统原理图
输入电位计
输出电位计
输入装置
i
放大器 电动机
齿轮传动
负载
误差测量装置
⑴该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。
⑵工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。
输入电位计电刷臂的角位置r θ，由控制输入信号确定，角位置r θ就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置c θ，由输出轴的位置确定。
电位差)(c r s e e K e -=就是误差信号。 :s K 桥式电位器的传递函数
该信号被增益常数为A K 的放大器放大，（A K 应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗） 放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。 电动机激磁绕组上加有固定电压。
如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。 (3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：
a m i C M = )()(s I C s M a m = （3-10） :m C 电动机的转矩系数
:a i 为电枢电流
对于电枢电路
e K K dt
d K i R dt di L s A b a a a a
=++θ （3-11） )()()()(s S K s E K K s I R S L b S A a a a Θ-=+ ::a a R L 电动机电枢绕组的电感和电阻。
:b K 电动机的反电势常数，:θ电动机的轴的角位移。
电动机的力矩平衡方程为：
a m i C M dt d f dt
d J ==+θθ22 （3-12）
)()()(2s M s fS JS =+θ
J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。 f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。
θθi c 1= )(1)(s i
s c θθ= （3-13）
3-11
3-10
3-12
图3-7 随动系统方块图
根据图3-7，可以求出系统的开环传递函数（即前向通路传递函数）因为反馈回路传递函数为1
)
()
()()(s E s H s s G c θ=
S
K C fS JS R S L i C K K i fS JS R S L S K C fS JS C R S L K K b m a a m A S a a b m m a a A S +++=?++?+
++=))((1
))((11
12
22
（3-14） 如果略去电枢电感a L
)1()
()
()(111+=+=?→?++?→?=S F J S F K F JS S K F R K C f JS S K R i C K K s G a
b m a m A S 令令
)1(+=S T S K
m （3-15）
a m A S iR C K K K =1 增益
a
b
m R K C f F +
= 阻尼系数，由于)(b K 电动机反电势的存在，增大了系统的粘性摩擦。 F K K 1= 开环增益 F J T m = 机电时间常数
那么，不考虑负载力矩的情况下，随动系统的开环传递函数可以简化为：
)
1()(+=
S T S K
s G m （3-16）
相应的闭环传递函数 K
S S T K
s G s G s s s m r c ++=+==
Φ2
)(1)()()()(θθ （3-17） m
n n m m m T K S T K S T S T K +
+=
++=ξωω2122
2 为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式
2
22
2)()
()(n n n S s R s C s ωξωωφ++== （3-18）
m n T K =
2ω m n T K =ω m n T 12=
ξω ? K
T m 21
=ξ n ω－自然频率（或无阻尼振荡频率）
ξ－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示
图3-8 标准形式的二阶系统方块图
二阶系统的动态特性，可以用ξ和n ω这两个参量的形式加以描述 二阶系统的特征方程： 022
2=++n n S S ωξω （3-19）
122,1-±-=ξωξωn n S （3-20）
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
阻尼比ξ是实际阻尼系数F 与临界阻尼系数C F 的比值
C
m F F JK F F K J F
K J K
T =
====1
2
12212121ξ C F －临界阻尼系数，1=ξ时，阻尼系数
0<ξ 两个正实部的特征根 发散
10<<ξ ，闭环极点为共扼复根，位于右半S 平面，这时的系统叫做欠阻尼系统
1=ξ ，为两个相等的根 1>ξ ，两个不相等的根
0=ξ ，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡
图3-9二阶系统极点分布
左半平面ξ>0
σ
ξ=0 j ω右半平面ξ<0
(1)欠阻尼(10<<ξ)二阶系统的单位阶跃响应
22,11ξωξω-±-=n n j S 令n ξωσ=－衰减系数 d j ωσ±-= 21ξωω-=n d －阻尼振荡频率
S
s R 1
)(=
，由式（3-18）得 S
S S s R s s C n n n 1
2)()()(2
22?++==ωξωωφ 2222)()(1
d n n d n n S S S S ωξωξωωξωξω++-+++-=
2211ξ
ξωξωξωωωξωω-=-=d
n n d d n d 对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为
1
ξ
2
1ξ-β
]sin 1[cos 1)(2
t t e t h d d t n ωξ
ξ
ωξω-+
-=-
0)
sin(1112
≥+--
=-t t e d t n βωξ
ξω （3-21）
稳态分量 瞬态分量
ξξ
ξβarccos 12
=-=arctg
稳态分量为1，表明图3-8系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为d ω－阻尼振荡频率
包络线211ξξω-±-t
n e 决定收敛速度
0=ξ时，0sin 1)(≥-=t t
t h n ω （3-23）
这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为n ω－故称为无阻尼振荡频率。n ω由系统本身的结构参数K 和m T ，或1K 和J 确定，n ω常称自然频率。
·实际控制系统通常有一定的阻尼比，因此不可能通过实验方法测得n ω，而只能测得d ω，且n d ωω<，d ωξ,1≥不复存在，系统的响应不再出现振荡。
(2)临界阻尼(1=ξ)
S
s R t u t r 1
)(,)()(=
=
n
n n n n S S S S S s C ωωωωω+-
+-=?+=1
)(11)()(222
临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应
)
1(11)(≥+-=--=---t t e e t e t h n t t n t n n n ωωωωω （3-24）
当1=ξ时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程，
t
n n e dt t dh ωω-+=2
)( (3)过阻尼(1>ξ)
1
22,1-±-=ξωξωn n S
S S S S S S S S s C n n n n )]1()][1([1))(()(222
212
-++--+=
?--=ξξωξξωωω
)
1()1(2322
1-+++
--++=
ξξωξξξωn n A S A S A
11=A
)1(1
22--+-=
ξξωn S A
)1(121
223-+-=
ξξξA
)
1(121
)
1(121
1)()1(2
2
)1(2
2
22≥-+-+
----
=-+
---
-t e e t h t
t
n n ωξξωξξξξξξξξ
（3-25）
上由S1决定
图3-10二阶系统的实极点
σ
图3-11表示了二阶系统在不同 值瞬态响应曲线（书上图3-10 P87）3.3.3 二阶系统阶跃响应的性能指标
·欠阻尼情况
图3-12 为系统欠阻尼时的单位阶跃响应曲线。下列所述的性能指标，将定量地描述系统瞬态响应的性能。
在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。
二阶系统一般取7.0,8.0~4.0=ξ 。其它的动态性能指标，有的可用n ωξ和精确表示，如p p r M t t ,,,有的很难用n ωξ和准确表示，如s d t t ,,可采用近似算法。 ⑴ d t 延时时间
在式（3-21）中，即0,)
sin(111)(2
≥+--
=-t t e t h d t n βωξξω
令ξξ
ξβarccos 1,5.0)(2
=-==arctg
t h d
可得
2
21)
arccos 1sin(2ln
1
ξ
ξωξξ
ω-+-=
d n d n t t
参见书P88，在较大的ξ值范围内，近似有
n
d t ωξξ2
2.06.01++=
（3-26） 书（3-19）式
10<<ξ时，亦可用n
d t ωξ
7.01+=
（3-27） （书3-20）
⑵ r t （上升时间）
1)(=r t h ，求得
0)sin(112
=+--βωξξωr d t t e n
πβω=+r d t
d
r t ωβ
π-=
（3-28） （3-31书） ξ 一定，即β一定，↓↑→→r t n ω ,响应速度越快 ⑶●)(峰值时间p t
对式（3-21）（书3-14）求导，并令其为零，求得
0)cos()sin(=+-+-βωωβωξωξωξωt e t e d t d d t n n
n
ξ
ξβω2
1)(-=
+t tg d ξ
ξβ2
1-=
tg Θ
??????=∴,2,,0ππωp d t ,根据峰值时间定义，应取
πω=p t d
)293(2
1
221-??????===
d d d p T t ωπωπ (书3-22)
↓→↑p t 距离越远）（闭环极点离负实轴的一定时，n ωξ
⑷ ?的计算，超调量p M or %σ
超调量在峰值时间发生，故)(p t h 即为最大输出
)sin(111)(2
βωξ
ξω+--
=-p d t p t e
t h p
n
2
11)(ξπξ
--+=e
t h p 21sin )sin(ξββπ--=-=+Θ
%100%100)
()
()(%2
1?=?∞∞-=
--
ξπξ
σe h h t h p (3-30) (书3-23)
图
3-14ξ
2
22
2)()
(n
n n S S s R s C ωξωω++= 0=ξ 时，%100%=σ
4.0=ξ时，%4.25%=σ 0.1=ξ时，0%=σ
当8.0~4.0=ξ时 %4.25~%5.1%=σ ⑸ 调节时间S t 的计算
典型二阶系统欠阻尼条件下的单位阶跃响应
0)
sin(1)(≥+-=-t t e t h d t n βωξω
ξξ
ξβarccos 12
=-=arctg
书式(3-14)
令?表示实际响应于稳态输出之间的误差，则有
)11ln 1(ln
1
2ξ
ξω-+?=
n
S t
2
2
1)sin(11ξ
βωξ
ξωξω-≤
+-=
?--t
n n e
t e d t
8.0≤ξ时，并在上述不等式右端分母中代入8.0=ξ， 选取误差带
n
S n
S t t ξωξω5
.35
.305
.0=≤=?
n
S n
S t t ξωξω5
.45
.402
.0=
≤
=? (3-31) 书(3-24)
当ξ较小 4.0≤ξ
)
02.0(4
)
05.0(3
=?=
=?=
n
S n
S t t ξωξω
⑹稳态误差SS e
定义：当∞→t 时，系统的参考输入和输出之间的误差就是系统的稳态误差，用SS e 表示。 对图3-8的标准二阶系统有
S S S S s G s R s G s R s G s G s G s C s E n n n 1
2)2()(1)()()
()(1)
()()()(2
2?+++=+=?+==ωξωξω 利用拉氏变换的终值定理
0)(lim ==∞
→s SE e S SS ，故二阶系统在(单位)阶跃信号作用下的稳态误差恒为零。
如果在斜坡信号t r r =)(作用下，n n
n n S S SS S
S S S s SE e ωξ
ωξωξω212)2(lim
)(lim 2
2
20
=?
+++==→→ (3-32)
例3-1 考虑图3-8所示系统，已知,%,)(,,/5,6.0S p p r n t M t t s rad σωξ和求==设系统在单位阶跃信号作用下。 解：
46.015122=-=-=ξωωn d
356.0=?==n ξωσ
s t t d r r 55.04927
.04arccos :=-=-=-=πξπωβπ s t t d p p 785.04
:
===
π
ωπ %5.9%100095.0%100%100%:
%2
2
16
.01=?===-?---ξπξπξ
σσe
e
s
t s
t t t S S S S 17.13
5.35.35%
5.13
5
.45
.42%:
===?==
=
?σσ＝对＝对
·过阻尼 1>ξ
① 延迟时间d t 同欠阻尼情况(仍然近似成立)n
d t ωξξ2
2.06.01++=
② 上升时间r t 0.9的定义 n
r t ωξξ2
5.11++=
③ 调节时间S t 可用查图法 )1
)(1(22
12
2T S T S S n n ++
=++ωξω 1
1
2175.41
341
T t T t T T S S ===≥>ξξ当
④ 无超调
有二阶系统的单位斜坡响应可自己看，书(3-29)可以对(3-14)进行积分求得
ττd h t c t
?=0)()( 利用线性系统的性质，系统对输入积分的响应等于系统响
应的积分。
3.3.4二阶系统的动态校正
对于特定的系统，3.3.1节中介绍的位置控制系统(随动系统)其闭环传递函数
?++=
K
S S T K
s m 2
)(φ K
T T K m m
n 121=
=ξω
调整时间S t ，当ξ一定时与n ω有关，n ω大，S t 小
p M 仅与ξ有关，ξ大超调小
控制系统设计的目的是稳、准、快。但各项指标之间是矛盾的。
如果要求系统反应快，显然要求%σ小??→?要求ξ大，因为m T 一定(对特定的系统) ??→?要求K 小
同样如果要求系统反应快， n ω就要大??→?要求K 大 如果要求稳态误差小，??→?希望
K 大 必须采取合理折中方案，如果采取方案，仍不能使系统满足要求，就必须研究其他控制方式，以改善系统的动态性能和稳态性能。 如二阶系统在斜坡信号作用下，有稳态误差
小要小要求ξωξ
??→?=
ss n
ss e e 2
在改善二阶系统性能的方法中，比例－微分控制和测速反馈控制是两种常用方法。
3.3.
4.1 比例－微分控制
Proportional-plus －derivative Control Of Second-order Systems 用分析法研究PD 控制，对系统性能的影响，由图3-15，可得开环传递函数。 图3-15
)
12()1(2)
12(2)1()2()1()()()(2
2++=
++=++==n d n
n
n d n n n d S S S T S S S T S S S S T s R s C s G ξωξ
ωξωξωωξωω (3-33) ξ
ω2n
K =
，称为开环增益，与ξξ,n 有关。 (3-34) 闭环传递函数为
2
22
2
2222
)2()1
(2)1()(1)
()(n
n d n d
n d n n d n d n S T S T S T S T S S S T s G s G s ωωξωωωωξωωφ++++
=++++=+= 22;'2
n d n
n d T T ωξωξω=
= 2
'n d d T ω
ξξξξ+=+= (3-35)
第三章 线性系统的时域分析法 3.1 引言 分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。 实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。 在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。 许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。 3.1.1 典型试验信号 经常采用的试验输入信号： ① 实际系统的输入信号不可知性； ② 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系； ③ 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。 突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。 （单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t 室温调节系统和水位调节系统 （单位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 0,≥t t ∝ （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线 0,2 12 ≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ 正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。 通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统非周期信号（Step 、Ramp 、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）作用下系统的响应。 3.1.2 动态过程和稳态过程
武汉工程大学实验报告 专业班号 组别01 教师 姓名同组者（个人）
2222)(n n n s s s G ωζωω++= （1）分别绘出)/(2s rad n =ω，ζ分别取0,,,和时的单位阶跃响应曲线，分析参数ζ对系统的影响，并计算ζ=时的时域性能指标ss s p r p e t t t ,,,,σ。 （2）绘制出当ζ=, n ω分别取1,2,4,6时单位阶跃响应曲线，分析参数n ω对系统的影响。 （3）系统的特征方程式为010532234=++++s s s s ，试用二种判稳方式判别该系统的稳定性。 （4）单位负反馈系统的开环模型为 )256)(4)(2()(2++++= s s s s K s G 试分别用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性，并求出使得闭环系统稳定的K 值范围。 三、 实验结果及分析 1.可以用两种方法绘制系统的阶跃响应曲线。 （1）用函数step( )绘制 MATLAB 语言程序： >> num=[ 0 0 1 3 7]; >> den=[1 4 6 4 1 ]; >>step(num,den); >> grid; >>xlabel('t/s');ylabel('c(t)');title('step response');
MATLAB运算结果: (2)用函数impulse( )绘制 MATLAB语言程序： >> num=[0 0 0 1 3 7]； >> den=[1 4 6 4 1 0]； >> impulse(num,den)； >> grid； >> xlabel('t/s');ylabel('c(t)');title('step response')；MATLAB运算结果:
第三章线性系统的时域分析方法 教学目的：通过本章学习，熟悉控制系统动态性能指标定义，掌握线性系统稳定的充要条件和劳斯判椐的应用，以及稳态误差计算方法，掌握一阶、 二阶系统的时域分析方法。 教学重点：掌握系统的动态性能指标，能熟练地应用劳斯判椐判断系统稳定性，二阶系统的动态响应特性分析。 教学难点：高阶系统的的动态响应特性分析。 本章知识结构图： 系统结构图闭环传递函数 一阶标准式 二阶标准式 特征方程稳定性、稳定域 代数判据 误差传递函数误差象函数终值定理稳态误差开环传递函数系统型别、开环增益 公式 静态误差系数 第九讲
3.1 系统时间响应的性能指标 一、基本概念 1、时域分析方法：根据系统的数学模型求出系统的时间响应来直接分析和评价系统的方法。 （1）响应函数分析方法：建立数学模型→确定输入信号→求出输出响应→ 根据输出响应→系统分析。 （2）系统测试分析方法：系统加入扰动信号→测试输出变化曲线→系统分析。 系统举例分析：举例：原料气加热炉闭环控制系统 2、分析系统的三大要点 （1）动态性能(快、稳) （2）稳态性能（准） （3）稳定性（稳） 二、动态性能及稳态性能 1、动态过程（过渡过程）：在 典型信号作用下，系统输出从初始状态到最终状态的响应过程。（衰减、发散、等幅振荡） 2、稳态过程：在典型信号作 用下，当t → ∞ 系统输出量表现的方式。表征输出量最终复现输入量的程度。（稳态误差描述） 3、动态稳态性能指标 图3-1温度控制系统原理图 （1）上升时间tr ：从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需要的时间。 （2）峰值时间tp ：从零时刻到达第一个峰值h(tp)所用的时间。 （3）超调量δ%：最大峰值与稳态值的差与稳态值之比的百分数。（稳） （3-1） %100)(()(%?∞∞-= h h t h p ） δ
线性系统时域分析 理论基础 求解零状态响应 1 2 ?→0 =-∞ 连续时间信号 f (t ) 和 f (t ) 的卷积运算可用信号的分段求和来实现，即： ∞ ∞ f (t ) = f 1 (t )* f 2 (t ) = ?-∞ f 1 (τ ) f 2 (t -τ )d τ = lim ∑ f 1 (k ?) f 2 (t - k ?) ? ? k 如果只求当t = n ?（n 为整数）时 f (t ) 的值 f (n ?) ，则上式可得： ∞ ∞ f (n ?) = ∑ f 1 (k ?) f 2 (n ? - k ?) ? ? = ?∑ f 1 (k ?) f 2[(n - k )?] （2-1） k =-∞ ∞ k =-∞ 式（2-1）中的 ∑ f 1 (k ?) f 2[(n - k )?] 实际上就是连续时间信号 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 经等时间间隔? k =-∞ 均匀抽样的离散序列 f 1 (k ?) 和 f 2 (k ?) 的卷积和。当? 足够小时， f (n ?) 就是卷积积分的结果——连续时间信号 f (t ) 的较好数值近似。 因此，用 MA TL A B 实现连续信号 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 卷积的过程如下： 1、将连续信号 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 以时间间隔? 进行取样，得到离散序列 f 1 (k ?) 和 f 2 (k ?) ； 2、构造与 f 1 (k ?) 和 f 2 (k ?) 相应的时间向量k 1 和k 2（注意，k 1 和k 2 的元素不是整数，而是取样间隔? 的整数倍的时间间隔点）； 3、调用 MATLAB 命令 conv()函数计算积分 f (t ) 的近似向量 f (n ?) ； 4、构造 f (n ?) 对应的时间向量k 。
武汉工程大学 实验报告 专业 班号 组别 指导教师 姓名 学号 实验名称 线性系统时域响应分析 一、实验目的 1．熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。 2．通过响应曲线观测特征参量ζ和n ω对二阶系统性能的影响。 3．熟练掌握系统的稳定性的判断方法。 二、实验内容 1．观察函数step( )和impulse( )的调用格式，假设系统的传递函数模型为 1 4647 3)(2 342++++++=s s s s s s s G 可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线试分别绘制。 2．对典型二阶系统 2 22 2)(n n n s s s G ωζωω++= 1）分别绘出)/(2s rad n =ω，ζ分别取0,,,和时的单位阶跃响应曲线，分析参数ζ对系统的影响，并计算ζ=时的时域性能指标ss s p r p e t t t ,,,,σ。 2）绘制出当ζ=, n ω分别取1,2,4,6时单位阶跃响应曲线，分析参数n ω对系统的影响。 3．系统的特征方程式为010532234=++++s s s s ，试用两种判稳方式判别该系统的稳定性。 4．单位负反馈系统的开环模型为 ) 256)(4)(2()(2++++= s s s s K s G
试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性，并求出使得闭环系统稳定的K 值范围。 三、实验结果及分析 1．观察函数step( )和impulse( )的调用格式，假设系统的传递函数模型为 14647 3)(2342++++++=s s s s s s s G 可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线试分别绘制。 方法一：用step( )函数绘制系统阶跃响应曲线。 程序如下： num=[0 0 1 3 7]; den=[1 4 6 4 1]; t=0::10; step(num,den) grid xlabel('t/s'),ylabel('c(t)') title('Unit-step Response of G(s)=s^2+3s+7/(s^4+4s^3+6s^2+4s+1)') Unit-step Response of G(s)=s 2+3s+7/(s 4+4s 3+6s 2+4s+1) t/s (sec) c (t ) 方法二：用impulse( )函数绘制系统阶跃响应曲线。 程序如下： num=[0 0 0 1 3 7 ]; den=[1 4 6 4 1 0]; t=0::10; impulse(num,den) grid xlabel('t/s'),ylabel('c(t)') title('Unit-impulse Response of G(s)/s=s^2+3s+7/(s^5+4s^4+6s^3+4s^2+s)')
实验报告 实验名称 线性系统时域响应分析 一、 实验目的 1．熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。 2．通过响应曲线观测特征参量ζ和n ω对二阶系统性能的影响。 3．熟练掌握系统的稳定性的判断方法。 二、 实验内容 1．观察函数step( )和impulse( )的调用格式，假设系统的传递函数模型为 1 4647 3)(2 342++++++=s s s s s s s G 可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线？试分别绘制。 2．对典型二阶系统 2 22 2)(n n n s s s G ωζωω++= 1）分别绘出)/(2s rad n =ω，ζ分别取0,0.25,0.5,1.0和2.0时的单位阶跃响应曲线，分析参数ζ对系统的影响，并计算ζ=0.25时的时域性能指标 ss s p r p e t t t ,,,,σ。 2）绘制出当ζ=0.25, n ω分别取1,2,4,6时单位阶跃响应曲线，分析参数n ω对系统的影响。 3．系统的特征方程式为010532234=++++s s s s ，试用两种判稳方式判别该系统的稳定性。 4．单位负反馈系统的开环模型为 ) 256)(4)(2()(2 ++++= s s s s K s G 试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性，并求出使得闭环系统稳定的K 值范围。
三、 实验结果及分析 1.观察函数step( )和impulse( )的调用格式，假设系统的传递函数模型为 1 4647 3)(2342++++++=s s s s s s s G 可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线？试分别绘制。 方法一： num=[1 3 7]; den=[1 4 6 4 1]; step(num,den) grid xlabel('t/s'),ylabel('c(t)') title('Unit-step Respinse of G(s)=(s^2+3s+7)/(s^4+4s^3+6s^2+4s+1)') 方法二： num=[1 3 7]; den=[1 4 6 4 1 0]; impulse(num,den) grid xlabel('t/s'),ylabel('c(t)') title('Unit-impulse Respinse of G(s)/s=(s^2+3s+7)/(s^5+4s^4+6s^3+4s^2+s)')
实验一线性控制系统时域分析 1、设控制系统如图1 所示，已知K＝100，试绘制当H分别取H＝0.1 ，0.2 0.5，1, 2，5，10 时，系统的阶跃响应曲线。讨论反馈强度对一阶 系统性能有何影响？ 图1 答: A、绘制系统曲线程序如下： s=tf('s'); p1=(1/(0.1*s+1)); p2=(1/(0.05*s+1)); p3=(1/(0.02*s+1)); p4=(1/(0.01*s+1)); p5=(1/(0.005*s+1)); p6=(1/(0.002*s+1)); p7=(1/(0.001*s+1)); step(p1);hold on; step(p2);hold on; step(p3);hold on; step(p5);hold on; step(p6);hold on; step(p7);hold on;
B 、绘制改变H 系统阶跃响应图如下： 00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Step Response Time (seconds) A m p l i t u d e 结论： H 的值依次为0.1、0.2、0.5、1、2、5、10做响应曲线。matlab 曲线默认从第一条到第七条颜色依次为蓝、黄、紫、绿、红、青、黑，图中可知随着H 值得增大系统上升时间减小，调整时间减小，有更高的快速性。 2、 二阶系统闭环传函的标准形式为 22 2()2n n n s s s ωψξωω=++，设已知 n ω＝4，试绘制当阻尼比ξ分别取0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1, 1.5, 2, 5 等值时，系统的单位阶跃响应曲线。求出ξ取值 0.2 ，0.5 ，0.8时的超调量，并求出ξ取值 0.2 ，0.5 ，0.8，1.5，5时的调节时间。讨论阻尼比变化对系统性能的影响。
第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案 3-1 已知系统脉冲响应t 25.1e 0125.0)t (k -=，试求系统闭环传递函数)s (Φ。 解 [])25.1s /(0125.0)t (k L )s (+==Φ 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程)t (r )t (r )t (c )t (c T +τ=+? ? 近似描述，其中，1)T (0<τ-<。试求系统的动态性能指标s r d t ,t ,t 。 解 设单位阶跃输入s s R 1)(= 当初始条件为0时有： 1 Ts 1 s )s (R )s (C ++τ= 1Ts T s 1s 11Ts 1s )s (C +τ--=?++τ= ∴ T /t e T T 1)t (h )t (c -τ--== T )0(h τ=，1)(h =∞，20T T )]0(h )(h [05.0τ -=-∞=? 1) 当 d t t = 时 2T T e T T 1)]0(h )(h [5.0)0(h )t (h t /t d τ += τ--=-∞+=- T /t d e 2 1 -= ; 693T .0t d = 2) 求r t （即)t (c 从1.0)(h ∞到9.0)(h ∞所需时间) 当T /t 2e T T 1)0(h )]0(h )(h [9.0)t (h -τ-- =+-∞=; 当T /t 1e T T 1)0(h )]0(h )(h [1.0)t (h -τ--=+-∞=; )T 1(.0T ln T t 2τ+τ-=， τ +τ -=)T 9(.0T ln T t 1 则 2T .29ln T t t t 12r ==-= 3) 求 s t T /t s s e T T 1)0(h )]0(h )(h [95.0)t (h -τ-- =+-∞= 3T 05.ln0T t s ==∴ 3-3 一阶系统结构如图所示。要求系统闭环增益2k =Φ，调节时间4.0t s ≤s ，试确定参数21k ,k 的值。 解 由结构图写出闭环系统传递函数 1k k s k 1k k s k s k k 1s k )s (212211211 +=+=+ =Φ
实验二 线性系统时域响应分析 一、实验目的 1．熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。 2．通过响应曲线观测特征参量ζ和n ω对二阶系统性能的影响。 二、基础知识及MATLAB 函数 （一）基础知识 时域分析法直接在时间域中对系统进行分析，可以提供系统时间响应的全部信息，具有直观、准确的特点。为了研究控制系统的时域特性，经常采用瞬态响应（如阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应）。本次实验从分析系统的性能指标出发，给出了在MATLAB 环境下获取系统时域响应和分析系统的动态性能和稳态性能的方法。 用MATLAB 求系统的瞬态响应时，将传递函数的分子、分母多项式的系数分别以s 的降幂排列写为两个数组num 、den 。由于控制系统分子的阶次m 一般小于其分母的阶次n ，所以num 中的数组元素与分子多项式系数之间自右向左逐次对齐，不足部分用零补齐，缺项系数也用零补上。 1．用MATLAB 求控制系统的瞬态响应 1）阶跃响应 求系统阶跃响应的指令有： step(num,den) 时间向量t 的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线 随即绘出 step(num,den,t) 时间向量t 的范围可以由人工给定（例如 t=0:0.1:10） [y ，x]=step(num,den) 返回变量y 为输出向量，x 为状态向量 在MATLAB 程序中，先定义num,den 数组，并调用上述指令，即可生成单位阶跃输入信号下的阶跃响应曲线图。 考虑下列系统： 25 425 )()(2++=s s s R s C 该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以s
第三章 线性系统的时域分析与校正 习题及答案 3-1 已知系统脉冲响应 t e t k 25.10125.0)(-= 试求系统闭环传递函数)(s Φ。 解 Φ()()./(.)s L k t s ==+00125125 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程 T c t c t r t r t ?? +=+()()()()τ 近似描述，其中，1)(0<-<τT 。试证系统的动态性能指标为 T T T t d ?? ? ?????? ??-+=τln 693.0 t T r =22. T T T t s ?? ??? ? -+=)ln( 3τ 解 设单位阶跃输入s s R 1)(= 当初始条件为0时有： 1 1 )()(++=Ts s s R s C τ 1 11 11)(+--= ? ++= ∴ Ts T s s Ts s s C ττ C t h t T T e t T ()()/==---1τ 1) 当 t t d = 时 h t T T e t t d ()./==---051τ 12=--T T e t T d τ/ ; T t T T d -??? ??-=-τln 2ln ????? ???? ??-+=∴ T T T t d τln 2ln
2) 求t r （即)(t c 从1.0到9.0所需时间) 当 T t e T T t h /219.0)(--- ==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ 当 T t e T T t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则 t t t T T r =-==21 09 01 22ln ... 3) 求 t s T t s s e T T t h /195.0)(---==τ ]ln 3[]20ln [ln ]05.0ln [ln T T T T T T T T T t s τ ττ-+=+-=--=∴ 3-3 一阶系统结构图如图3-45所示。要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。 解 由结构图写出闭环系统传递函数 111)(212211211 +=+=+ =ΦK K s K K K s K s K K s K s 令闭环增益21 2 == ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03 32 1≤= =K K T t s ，得：151≥K 。 3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 图3-46（a ）和（b ）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K 值为1。 （1） 若)(1)(t t r =，0)(=t n 两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时间？ （2） 当有阶跃扰动1.0)(=t n 时，求扰动对两种系统的温度的影响。
第3章 线性系统的时域分析 学习要点 1控制系统时域响应的基本概念，典型输入信号及意义； 2控制系统稳定性的概念、代数稳定判据及应用； 3控制系统的时域指标，一阶二阶系统的阶跃响应特性与时域指标计算； 4高阶系统时域分析中主导极点和主导极点法； 5 控制系统稳态误差概念、计算方法与误差系数，减小稳态误差的方法。 思考与习题祥解 题 思考与总结下述问题。 （1）画出二阶系统特征根在复平面上分布的几种情况，归纳ξ值对二阶系统特征根的影响规律。 （2）总结ξ和n ω对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （3）总结增加一个零点对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （4）分析增加一个极点可能对二阶系统阶跃响应特性有何影响 （5）系统误差与哪些因素有关试归纳减小或消除系统稳态误差的措施与方法。 （6）为减小或消除系统扰动误差，可采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施。请问，该积分环节应在系统结构图中如何配置，抗扰效果是否与扰动点相关 答：（1）二阶系统特征根在复平面上分布情况如图所示。 图 二阶系统特征根在复平面上的分布 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，如图中情况①。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，变化轨迹是 以n ω为半径的圆弧，如图中情况②。 当1ξ=，二阶系统特征根是一对相同的负实根，如图中情况③。 当1ξ>，二阶系统特征根是一对不等的负实根，如图中情况④。
（2）ξ和n ω是二阶系统的两个特征参量。 ξ是系统阻尼比，描述了系统的平稳性。 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，二阶系统阶跃响应为等幅振荡特性，系统临界稳定。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，二阶系统阶跃响应为衰减振荡特性，系统稳定。ξ越小，二阶系统振荡性越强，平稳性越差； ξ越大，二阶系统振荡性越弱，平稳性越好。因此，二阶系统的时域性能指标超 调量由ξ值唯一确定，即001_ 100%2 ?=-π ξξ σe 。在工程设计中，对于恒值控制系 统，一般取 ξ＝～；对于随动控制系统ξ＝～。 n ω是系统无阻尼自然振荡频率，反映系统的快速性。当ξ一定，二阶系统的 时域性能指标调节时间与n ω值成反比，即34 s n t ξω≈:。 （3）二阶系统增加一个零点后，增加了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量增大，上升时间和峰值时间减小。 所增加的零点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若零点距离虚轴越远，则其影响越小。 （4）二阶系统增加一个极点后，减弱了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量减小，上升时间和峰值时间减小； 所增加的极点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若极点距离虚轴越远，则其影响越小。 （5）系统误差与系统的误差度（开环传递函数所含纯积分环节的个数或系统型别）、开环放大系数，以及作用于系统的外部输入信号有关。如果是扰动误差还与扰动作用点有关。 因此，减小或消除系统稳态误差的措施与方法有：增大开环放大系数，增加系统开环传递函数中的积分环节，引入按给定或按扰动补偿的复合控制结构。 无论采用何种措施与方法减小或消除系统稳态误差，都要注意系统须满足稳定的条件。 （6）采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施来减小或消除系统扰动误差时，所增加的积分环节须加在扰动作用点之前。若所增加的积分环节加在扰动作用点之后，则该积分环节无改善抗扰效果作用。这一点可以通过误差表达式分析得到。 题系统特征方程如下，试判断其稳定性。 （a ）0203.002.023=+++s s s ； （b ）014844122345=+++++s s s s s ； （c ）025266.225.11.0234=++++s s s s 解：（a ）稳定； （b ）稳定； （c ）不稳定。 题 系统结构如题图所示。控制器)1 1()(s T K s G i p c + =，为使该系统稳定，控制器参数p K 、i T 应满足什么关系
第3章 线性系统的时域分析 学习要点 1控制系统时域响应的基本概念，典型输入信号及意义； 2控制系统稳定性的概念、代数稳定判据及应用； 3控制系统的时域指标，一阶二阶系统的阶跃响应特性与时域指标计算； 4高阶系统时域分析中主导极点和主导极点法； 5 控制系统稳态误差概念、计算方法与误差系数，减小稳态误差的方法。 思考与习题祥解 题 思考与总结下述问题。 （1）画出二阶系统特征根在复平面上分布的几种情况，归纳ξ值对二阶系统特征根的影响规律。 【 （2）总结ξ和n ω对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （3）总结增加一个零点对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （4）分析增加一个极点可能对二阶系统阶跃响应特性有何影响 （5）系统误差与哪些因素有关试归纳减小或消除系统稳态误差的措施与方法。 （6）为减小或消除系统扰动误差，可采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施。请问，该积分环节应在系统结构图中如何配置，抗扰效果是否与扰动点相关 答：（1）二阶系统特征根在复平面上分布情况如图所示。 图 二阶系统特征根在复平面上的分布 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，如图中情况①。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，变化轨迹是 以n ω为半径的圆弧，如图中情况②。 @ 当1ξ=，二阶系统特征根是一对相同的负实根，如图中情况③。 当1ξ>，二阶系统特征根是一对不等的负实根，如图中情况④。
（2）ξ和n ω是二阶系统的两个特征参量。 ξ是系统阻尼比，描述了系统的平稳性。 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，二阶系统阶跃响应为等幅振荡特性，系统临界稳定。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，二阶系统阶跃响应为衰减振荡特性，系统稳定。ξ越小，二阶系统振荡性越强，平稳性越差； ξ越大，二阶系统振荡性越弱，平稳性越好。因此，二阶系统的时域性能指标超 调量由ξ值唯一确定，即001_ 100%2 ?=-π ξξ σe 。在工程设计中，对于恒值控制系 统，一般取 ξ＝～；对于随动控制系统ξ＝～。 n ω是系统无阻尼自然振荡频率，反映系统的快速性。当ξ一定，二阶系统的 时域性能指标调节时间与n ω值成反比，即34 s n t ξω≈。 （3）二阶系统增加一个零点后，增加了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量增大，上升时间和峰值时间减小。 所增加的零点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若零点距离虚轴越远，则其影响越小。 （4）二阶系统增加一个极点后，减弱了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量减小，上升时间和峰值时间减小； 所增加的极点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若极点距离虚轴越远，则其影响越小。 & （5）系统误差与系统的误差度（开环传递函数所含纯积分环节的个数或系统型别）、开环放大系数，以及作用于系统的外部输入信号有关。如果是扰动误差还与扰动作用点有关。 因此，减小或消除系统稳态误差的措施与方法有：增大开环放大系数，增加系统开环传递函数中的积分环节，引入按给定或按扰动补偿的复合控制结构。 无论采用何种措施与方法减小或消除系统稳态误差，都要注意系统须满足稳定的条件。 （6）采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施来减小或消除系统扰动误差时，所增加的积分环节须加在扰动作用点之前。若所增加的积分环节加在扰动作用点之后，则该积分环节无改善抗扰效果作用。这一点可以通过误差表达式分析得到。 题系统特征方程如下，试判断其稳定性。 （a ）0203.002.023=+++s s s ； （b ）014844122345=+++++s s s s s ； （c ）025266.225.11.0234=++++s s s s ！ 解：（a ）稳定； （b ）稳定； （c ）不稳定。
第3章 线性系统的时域分析 3.1 学习要点 1控制系统时域响应的基本概念，典型输入信号及意义； 2控制系统稳定性的概念、代数稳定判据及应用； 3控制系统的时域指标，一阶二阶系统的阶跃响应特性与时域指标计算； 4高阶系统时域分析中主导极点和主导极点法； 5 控制系统稳态误差概念、计算方法与误差系数，减小稳态误差的方法。 3.2 思考与习题祥解 题3.1 思考与总结下述问题。 （1）画出二阶系统特征根在复平面上分布的几种情况，归纳ξ值对二阶系统特征根的影响规律。 （2）总结ξ和n ω对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （3）总结增加一个零点对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （4）分析增加一个极点可能对二阶系统阶跃响应特性有何影响？ （5）系统误差与哪些因素有关？试归纳减小或消除系统稳态误差的措施与方法。 （6）为减小或消除系统扰动误差，可采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施。请问，该积分环节应在系统结构图中如何配置，抗扰效果是否与扰动点相关？ 答：（1）二阶系统特征根在复平面上分布情况如图3.1所示。 图3.1 二阶系统特征根在复平面上的分布 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，如图中情况①。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，变化轨迹是 以n ω为半径的圆弧，如图中情况②。 当1ξ=，二阶系统特征根是一对相同的负实根，如图中情况③。 当1ξ>，二阶系统特征根是一对不等的负实根，如图中情况④。
（2）ξ和n ω是二阶系统的两个特征参量。 ξ是系统阻尼比，描述了系统的平稳性。 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，二阶系统阶跃响应为等幅振荡特性，系统临界稳定。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，二阶系统阶跃响应为衰减振荡特性，系统稳定。ξ越小，二阶系统振荡性越强，平稳性越差； ξ越大，二阶系统振荡性越弱，平稳性越好。因此，二阶系统的时域性能指标超 调量由ξ值唯一确定，即001_ 100%2 ?=-π ξξσe 。在工程设计中，对于恒值控制系 统，一般取 ξ＝0.2～0.4；对于随动控制系统ξ＝0.6～0.8。 n ω是系统无阻尼自然振荡频率，反映系统的快速性。当ξ一定，二阶系统的 时域性能指标调节时间与n ω值成反比，即34 s n t ξω≈ 。 （3）二阶系统增加一个零点后，增加了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量增大，上升时间和峰值时间减小。 所增加的零点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若零点距离虚轴越远，则其影响越小。 （4）二阶系统增加一个极点后，减弱了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量减小，上升时间和峰值时间减小； 所增加的极点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若极点距离虚轴越远，则其影响越小。 （5）系统误差与系统的误差度（开环传递函数所含纯积分环节的个数或系统型别）、开环放大系数，以及作用于系统的外部输入信号有关。如果是扰动误差还与扰动作用点有关。 因此，减小或消除系统稳态误差的措施与方法有：增大开环放大系数，增加系统开环传递函数中的积分环节，引入按给定或按扰动补偿的复合控制结构。 无论采用何种措施与方法减小或消除系统稳态误差，都要注意系统须满足稳定的条件。 （6）采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施来减小或消除系统扰动误差时，所增加的积分环节须加在扰动作用点之前。若所增加的积分环节加在扰动作用点之后，则该积分环节无改善抗扰效果作用。这一点可以通过误差表达式分析得到。 题3.2系统特征方程如下，试判断其稳定性。 （a ）0203.002.023=+++s s s ； （b ）014844122345=+++++s s s s s ； （c ）025266.225.11.0234=++++s s s s 解：（a ）稳定； （b ）稳定； （c ）不稳定。 题3.3 系统结构如题3.3图所示。控制器)1 1()(s T K s G i p c + =，为使该系统稳定，控制器参数p K 、i T 应满足什么关系？
第3章 线性系统的时域分析 本章讨论线性系统的运动分析。主要介绍连续系统与离散系统的状态空间模型的求解、状态转移矩阵的性质和计算以及连续系统状态方程的离散化。本章最后介绍基于Matlab的状态空间模型求解与控制系统的运动仿真问题的程序设计与仿真计算。 建立了系统的数学描述之后,接下来要对系统作定量和定性分析。定量分析主要研究系统对给定输入信号的响应问题,也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。定性分析主要研究系统的结构性质,如能控性、能观性、稳定性等。本章先讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量分析问题,即状态空间模型的求解问题。根据常微分方程理论求解一个一阶定系数线性微分方程组是很容易的,可是求解一个一阶变系数线性微分方程组却非易事。状态转移矩阵的引入,使得定常系统和时变系统的求解公式具有一个统一的形式。为此,本章将重点讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法,并在此基础上导出状态方程的求解公式。本章讨论的另一个中心问题是连续系统状态方程的离散化,即建立连续系统的离散系统状态方程。随着计算机在控制系统分析、设计和实时控制中的广泛应用,这个问题显得越来越重要。在离散系统状态方程建立的基础上,本章也将讨论相应的状态方程求解问题,并将导出在形式上与连续系统状态方程的解一致的离散系统状态方程的解。 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前,我们先讨论线性定常齐次状态方程的解,以便引入矩阵指数函数和状态转移矩阵的概念。所谓齐次状态方程,就是指状态方程中不考虑输入项的作用,满足方程解的齐次性的一类状态方程。研究齐次状态方程的解,就是研究系统本身在无外力作用下的自由运动。 3.2 状态转移矩阵及其计算 在状态方程求解过程中,关键是状态转移矩阵Φ(t)的计算。对于线性定常连续系统,该问题又归结到矩阵指数函数e At的计算。上一节已经介绍了基于拉氏反变换技术的矩阵指数函数e At的计算方法,下面讲述计算矩阵指数函数的其他3种常用方法。 3.2.1级数求和法
专业 班号 组别 指导教师 姓名 学号 实验名称 线性系统时域响应分析 一、实验目的 1．熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。 2．通过响应曲线观测特征参量ζ和n ω对二阶系统性能的影响。 3．熟练掌握系统的稳定性的判断方法。 二、实验内容 1．观察函数step( )和impulse( )的调用格式，假设系统的传递函数模型为 1 4647 3)(2342++++++=s s s s s s s G 可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线？试分别绘制。 2．对典型二阶系统 2 22 2)(n n n s s s G ωζωω++= 1）分别绘出)/(2s rad n =ω，ζ分别取0,,,和时的单位阶跃响应曲线，分析参数ζ对系统的影响，并计算ζ=时的时域性能指标ss s p r p e t t t ,,,,σ。 2）绘制出当ζ=, n ω分别取1,2,4,6时单位阶跃响应曲线，分析参数n ω对系统的影响。 3．系统的特征方程式为010532234=++++s s s s ，试用两种判稳方式判别该系统的稳定性。 4．单位负反馈系统的开环模型为 ) 256)(4)(2()(2 ++++= s s s s K s G 试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性，并求出使得闭环系统稳定的K 值范围。
三、实验结果及分析 1．观察函数step( )和impulse( )的调用格式，假设系统的传递函数模型为 14647 3)(2342++++++=s s s s s s s G 可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线？试分别绘制。 方法一：用step( )函数绘制系统阶跃响应曲线。 程序如下： num=[0 0 1 3 7]; den=[1 4 6 4 1]; t=0::10; step(num,den) grid xlabel('t/s'),ylabel('c(t)') title('Unit-step Response of G(s)=s^2+3s+7/(s^4+4s^3+6s^2+4s+1)') 方法二：用impulse( )函数绘制系统阶跃响应曲线。 程序如下： num=[0 0 0 1 3 7 ]; den=[1 4 6 4 1 0]; t=0::10; impulse(num,den) grid xlabel('t/s'),ylabel('c(t)') title('Unit-impulse Response of G(s)/s=s^2+3s+7/(s^5+4s^4+6s^3+4s^2+s)') 2．对典型二阶系统 2 22 2)(n n n s s s G ωζωω++= 1） 分别绘出)/(2s rad n =ω，ζ分别取0,,,和时的单位阶跃响应曲线，分析参数ζ对系统的影响，并计算ζ=时的时域性能指标 ss s p r p e t t t ,,,,σ。 程序如下： num= [0 0 4]; den1=[1 0 4]; den2=[1 1 4]; den3=[1 2 4];
工程大学 实验报告 专业 班号 组别 指导教师 学号 实验名称 线性系统时域响应分析 一、实验目的 1．熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。 2．通过响应曲线观测特征参量ζ和n ω对二阶系统性能的影响。 3．熟练掌握系统的稳定性的判断方法。 二、实验容 1．观察函数step( )和impulse( )的调用格式，假设系统的传递函数模型为 1 4647 3)(2 342++++++=s s s s s s s G 可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线？试分别绘制。 2．对典型二阶系统 2 22 2)(n n n s s s G ωζωω++= 1）分别绘出)/(2s rad n =ω，ζ分别取0,0.25,0.5,1.0和2.0时的单位阶跃响应曲线，分析参数ζ对系统的影响，并计算ζ=0.25时的时域性能指标 ss s p r p e t t t ,,,,σ。
2）绘制出当ζ=0.25, n ω分别取1,2,4,6时单位阶跃响应曲线，分析参数n ω对系统的影响。 3．系统的特征方程式为010532234=++++s s s s ，试用两种判稳方式判别该系统的稳定性。 4．单位负反馈系统的开环模型为 ) 256)(4)(2()(2++++= s s s s K s G 试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性，并求出使得闭环系统稳定的K 值围。 三、实验结果及分析 1．观察函数step( )和impulse( )的调用格式，假设系统的传递函数模型为 1 4647 3)(2 342++++++=s s s s s s s G 可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线？试分别绘制。 方法一：用step( )函数绘制系统阶跃响应曲线。 程序如下： num=[0 0 1 3 7]; den=[1 4 6 4 1]; t=0:0.1:10; step(num,den) grid xlabel('t/s'),ylabel('c(t)') title('Unit-step Response of G(s)=s^2+3s+7/(s^4+4s^3+6s^2+4s+1)')
实验二 线性系统时域响应分析 一、实验目的 1．熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。 2．通过响应曲线观测特征参量ζ和n ω对二阶系统性能的影响。 二、基础知识及MATLAB 函数 （一）基础知识 时域分析法直接在时间域中对系统进行分析，可以提供系统时间响应的全部信息，具有直观、准确的特点。为了研究控制系统的时域特性，经常采用瞬态响应（如阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应）。本次实验从分析系统的性能指标出发，给出了在MATLAB 环境下获取系统时域响应和分析系统的动态性能和稳态性能的方法。 用MATLAB 求系统的瞬态响应时，将传递函数的分子、分母多项式的系数分别以s 的降幂排列写为两个数组num 、den 。由于控制系统分子的阶次m 一般小于其分母的阶次n ，所以num 中的数组元素与分子多项式系数之间自右向左逐次对齐，不足部分用零补齐，缺项系数也用零补上。 1．用MATLAB 求控制系统的瞬态响应 1）阶跃响应 求系统阶跃响应的指令有： step(num,den) 时间向量t 的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线随 即绘出 step(num,den,t) 时间向量t 的范围可以由人工给定（例如t=0:0.1:10） [y ，x]=step(num,den) 返回变量y 为输出向量，x 为状态向量 在MATLAB 程序中，先定义num,den 数组，并调用上述指令，即可生成单位阶跃输入信号下的阶跃响应曲线图。 考虑下列系统： 25 425 )()(2++=s s s R s C 该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以s 的降幂排列。则MATLAB 的调用语句： num=[0 0 25]; %定义分子多项式