2015-2016学年广西贵港市平南县九年级（上）月考数学试卷（
10月份）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为（A）、（B）、（C）、（D）的四个选项，其中只有一个是正确的．
1．方程（x﹣1）（x+3）=12化为ax2+bx+c=0的形式后，a、b、c的值为( )
A．1、2、﹣15 B．1、﹣2、﹣15 C．﹣1、﹣2、﹣15 D．﹣1、2、﹣15
2．从正方形的铁片上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是( )
A．96cm2B．64cm2C．54cm2D．52cm2
3．已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为( )
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
4．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场( )
A．4个B．5个C．6个D．7个
5．若（2，5）、（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是( )
A．x=﹣B．x=1 C．x=2 D．x=3
6．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( )
A．x＜1 B．x＞1 C．x＞﹣2 D．﹣2＜x＜4
7．要从抛物线y=﹣2x2的图象得到y=﹣2x2﹣1的图象，则抛物线y=﹣2x2必须( )
A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位
8．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为( )
A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定
9．如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为(
)
A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36
10．函数y=ax2与y=﹣ax+b的图象可能是( )
A．B．C．
D．
11．已知a，b，c是△ABC三条边的长，那么方程cx2+（a+b）x+=0的根的情况是( )
A．没有实数根B．有两个不相等的正实数根
C．有两个不相等的负实数根D．有两个异号实数根
12．下列命题：
①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＜0；
②若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若b2﹣4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点的个数是2或3；
④若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．
其中正确的是( )
A．②④ B．①③ C．②③ D．③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）
13．方程化为一元二次方程的一般形式是__________，它的一次项系数是__________．
14．抛物线y=﹣x2+15有最__________点，其坐标是__________．
15．已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则+的值为__________．
16．二次函数y=x2﹣6x+c的图象的顶点与原点的距离为5，则c=__________．
17．若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与抛物线y=x2﹣4x+3的图象关于y轴对称，则函数y =ax2+bx+c的解析式为__________．
18．如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN 在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A 与点M重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为__________．
二、解答题（本大题共66分）
19．用适当的方法解下列方程
（1）3m2﹣7m﹣4=0；
（2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0．
20．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．
21．阅读下面的例题，解方程（x﹣1）2﹣5|x﹣1|﹣6=0，解方程x2﹣|x|﹣2=0；
解：原方程化为|x|2﹣|x|﹣2=0．令y=|x|，原方程化成y2﹣y﹣2=0
解得：y1=2y2=﹣1
当|x|=2，x=±2；当|x|=﹣1时（不合题意，舍去）
∴原方程的解是x1=2，x2=﹣2．
22．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0，若等腰三角形ABC的一边长a=4，另一边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
23．在2010年上海世博会期间，某超市在销售中发现：吉祥物﹣“海宝”平均每天可售出20套，每件盈利40元．国庆长假商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每套降价4元，那么平均每天就可多售出8套．要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元，那么每套应降价多少？
24．现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab
（1）求4※7的值；
（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；
（3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．
25．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1（m≠0）的图象经过点（1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标；
（3）x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
26．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2）．
（1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价﹣成本）
（2）求图2中表示一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30
000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？
2015-2016学年广西贵港市平南县九年级（上）月考数学
试卷（10月份）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为（A）、（B）、（C）、（D）的四个选项，其中只有一个是正确的．
1．方程（x﹣1）（x+3）=12化为ax2+bx+c=0的形式后，a、b、c的值为( )
A．1、2、﹣15 B．1、﹣2、﹣15 C．﹣1、﹣2、﹣15 D．﹣1、2、﹣15
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】要确定方程的二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一元二次方程的一般形式．
【解答】解：∵原方程化成成一元二次方程的一般形式为x2+2x﹣15=0，
∴a=1，b=2，c=﹣15．
故选A．
【点评】本题比较简单，解答此类题目时要先将方程化为ax2+bx+c=0的形式，再确定a、b 、c的值．
2．从正方形的铁片上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是( )
A．96cm2B．64cm2C．54cm2D．52cm2
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】可设正方形的边长是xcm，根据“余下的面积是48cm2”，余下的图形是一个矩形，矩形的长是正方形的边长，宽是x﹣2，根据矩形的面积公式即可列出方程求解．
【解答】解：设正方形的边长是xcm，根据题意得x（x﹣2）=48，
解得x1=﹣6（舍去），x2=8，
那么原正方形铁片的面积是8×8=64cm2．
故选B．
【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．解题过程中要注意根据实际意义进行值的取舍．
3．已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为( )
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】将c=﹣a﹣b代入原方程左边，再将方程左边因式分解即可．
【解答】解：依题意，得c=﹣a﹣b，
原方程化为ax2+bx﹣a﹣b=0，
即a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=0，
∴（x﹣1）（ax+a+b）=0，
∴x=1为原方程的一个根，
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程解的定义．方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值．
4．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场( )
A．4个B．5个C．6个D．7个
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】计算题．
【分析】飞机场可以看作是点，航线可以看作过点画的直线．设有n个机场就有
=10．
【解答】解：设这个航空公司有机场n个
=10
n=5或n=﹣4（舍去）
故选B
【点评】本题考查类比方法的运用，飞机场好像点航线好比过点画的线，按过点画直线的规律列方程求解．
5．若（2，5）、（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是( )
A．x=﹣B．x=1 C．x=2 D．x=3
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数思想．
【分析】由已知，点（2，5）、（4，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．
【解答】解：因为抛物线与x轴相交于点（2，5）、（4，5），
根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，
所以，对称轴x==3；
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的对称性．二次函数关于对称轴成轴对称图形．
6．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( )
A．x＜1 B．x＞1 C．x＞﹣2 D．﹣2＜x＜4
【考点】二次函数的性质．
【分析】函数，由于a=＞0，开口向上，则先求出其对称轴，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴右侧，y随x的增大而增大．
【解答】解：函数y=x2﹣x﹣4，对称轴x=1，又其开口向上，
则当x＞1时，函数y=x2﹣x﹣4随x的增大而增大，
当x＜1时，函数y=x2﹣x﹣4随x的增大而减小．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，重点是对称轴两侧函数的单调增减问题．
7．要从抛物线y=﹣2x2的图象得到y=﹣2x2﹣1的图象，则抛物线y=﹣2x2必须( )
A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，可以求解．
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=﹣2x2的图象向下平移1个单位得y=﹣2 x2﹣1的图象．
故选：B．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
8．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为( )
A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定
【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【专题】计算题．
【分析】先求出方程的根，再根据三角形三边关系确定是否符合题意，然后求解．
【解答】解：∵方程x2﹣6x+8=0的解是x=2或4，
（1）当2为腰，4为底时，2+2=4不能构成三角形；
（2）当4为腰，2为底时，4，4，2能构成等腰三角形，周长=4+4+2=10．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和分情况讨论的思想，注意根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，不可盲目讨论．
9．如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为(
)
A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】根据抛物线的对称性可知B点的横坐标为3，代入抛物线解析式可求B点的纵坐标，从而可得直线AB的表达式．
【解答】解：∵线段AB⊥y轴，且AB=6，
∴由抛物线的对称性可知，B点横坐标为3，
当x=3时，y=x2=32=9，
∴直线AB的表达式y=9．
故选C．
【点评】本题考查了抛物线的对称性与点的坐标的关系，关键是根据对称性求B点的横坐标．
10．函数y=ax2与y=﹣ax+b的图象可能是( )
A．B．C．
D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】可根据a＞0时，﹣a＜0和a＜0时，﹣a＞0分别判定．
【解答】解：当a＞0时，﹣a＜0，二次函数开口向上，当b＞0时一次函数过一，二，四象限，当b＜0时一次函数过二，三，四象限；
当a＜0时，﹣a＞0，二次函数开口向下，当b＞0时一次函数过一，二，三象限，当b＜0时一次函数过一，三，四象限．
所以B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，解题的关键是根据a，b的取值来判定二次函数及一次函数的图象的正误．
11．已知a，b，c是△ABC三条边的长，那么方程cx2+（a+b）x+=0的根的情况是( )
A．没有实数根B．有两个不相等的正实数根
C．有两个不相等的负实数根D．有两个异号实数根
【考点】根与系数的关系；根的判别式；三角形三边关系．
【专题】压轴题．
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号，结合三角形三边关系即可作出判断．
【解答】解：在此方程中△=b2﹣4ac=（a+b）2﹣4c×=（a+b）2﹣c2
∵a，b，c是△ABC三条边的长
∴a＞0，b＞0，c＞0．c＜a+b，即（a+b）2＞c2
∴△=（a+b）2﹣c2＞0
故方程有两个不相等的实数根．
又∵两根的和是﹣＜0，两根的积是=＞0
∴方程有两个不等的负实根．
故选C
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
12．下列命题：
①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＜0；
②若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若b2﹣4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点的个数是2或3；
④若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．
其中正确的是( )
A．②④ B．①③ C．②③ D．③④
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】①首先把a+b+c=0变形为b=﹣a﹣c，然后代入b2﹣4ac中利用完全平方公式即可解决问题；
②首先b=2a+3c代入方程的判别式中，然后利用非负数的性质即可解决问题；
③由于b2﹣4ac＞0，所以抛物线与x轴有两个不同的交点，由此即可判定此结论是否正确；
④由于b＞a+c，只要给出一个反例即可解决问题．
【解答】解：①∵a+b+c=0，
∴b=﹣a﹣c，
∴b2﹣4ac=（﹣a﹣c）2﹣4ac=a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=（a﹣c）2≥0，故错误；
②∵b=2a+3c，
∴b2﹣4ac=（2a+3c）2﹣4ac=4a2+12ac+9c2﹣4ac=4a2+8ac+9c2=4（a+c）2+5c2＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故正确；
③∵b2﹣4ac＞0，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是3或2，故正确；
④∵b＞a+c，那么设b=2，a=﹣4，c=﹣2，
∴b2﹣4ac=4﹣32＜0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，故错误．
故选C．
【点评】此题主要利用了二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）
13．方程化为一元二次方程的一般形式是x2+4x﹣4=0，它的一次项系数是4．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】计算题．
【分析】按照去分母，去括号，移项及合并的步骤把所给方程整理为ax2+bx+c=0的形式，x的系数即为它的一次项系数．
【解答】解：去分母得（x﹣1）2+6x=5，
去括号得：x2﹣2x+1+6x=5，
移项及合并得：x2+4x﹣4=0，
故答案为：x2+4x﹣4=0；4．
【点评】考查一元二次方程的一般形式的相关知识；用到的知识点为：一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0），b就是一次项的系数．
14．抛物线y=﹣x2+15有最高点，其坐标是（0，15）．
【考点】二次函数的最值．
【专题】函数思想．
【分析】根据抛物线的开口方向判断该抛物线的最值情况；根据顶点坐标公式求得顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+15的二次项系数a=﹣1＜0，
∴抛物线y=﹣x2+15的图象的开口方向是向下，
∴该抛物线有最大值；
当x=0时，y取最大值，即y最大值=15；
∴顶点坐标是（0，15）．
故答案是：高、（0，15）．
【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
15．已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则+的值为10．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】先根据根与匇的关系得到x1+x2=﹣6，x1x2=3，再运用通分和完全平方公式变形得到+=，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣6，x1x2=3，
所以+====10．
故答案为10．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
16．二次函数y=x2﹣6x+c的图象的顶点与原点的距离为5，则c=13或5．
【考点】二次函数的性质．
【专题】探究型．
【分析】先用c表示出抛物线的顶点坐标，再根据勾股定理求出c的值即可．
【解答】解：∵二次函数y=x2﹣6x+c的图象的顶点坐标为（3，c﹣9），
∴32+（c﹣9）2=52，
解得c=13或c=5．
故答案为：13或5．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意用c表示出抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．
17．若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与抛物线y=x2﹣4x+3的图象关于y轴对称，则函数y =ax2+bx+c的解析式为y=x2+4x+3．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】常规题型．
【分析】本可直接利用关于y轴对称的点的坐标特点，横坐标变为相反数，纵坐标不变解答．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与抛物线y=x2﹣4x+3的图象关于y轴对称，
∴函数y=ax2+bx+c的解析式为：y=（﹣x）2﹣4（﹣x）+3=x2+4x+3．
故答案为：y=x2+4x+3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，明确关于y轴对称的函数顶点纵坐标相同，横坐标互为相反数，难度一般．
18．如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN 在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A
与点M重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为y=2．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】根据△ABC是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：AM=20﹣2t，
则重叠部分面积y=×AM2=2，
y=2（0≤t≤10）．
故答案为：y=2（0≤t≤10）
【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．需注意AM的值的求法．
二、解答题（本大题共66分）
19．用适当的方法解下列方程
（1）3m2﹣7m﹣4=0；
（2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
【专题】计算题．
【分析】（1）找出方程中a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；
（2）方程左边的多项式利用平方差公式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：（1）这里a=3，b=﹣7，c=﹣4，
∵△=49+48=97，
∴x=，
则x1=，x2=；
（2）分解因式得：[（2x﹣5）+（x+4）][（2x﹣5）﹣（x+4）]=0，
即（3x﹣1）（x﹣9）=0，
可得3x﹣1=0或x﹣9=0，
解得：x1=，x2=9．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
20．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】（1）先计算出△=（m+2）2﹣4（2m﹣1），变形得到△=（m﹣2）2+4，由于（m﹣2）2≥0，则△＞0，然后根据△的意义得到方程有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=0，即m+2=0，解得m=﹣2，则原方程化为x2﹣5=0，然后利用直接开平方法求解．
【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）
=m2﹣4m+8
=（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，
即△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个根为x1，x2，由题意得：
x1+x2=0，即m+2=0，解得m=﹣2，
当m=﹣2时，方程两根互为相反数，
当m=﹣2时，原方程为x2﹣5=0，
解得：x1=﹣，x2=．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程和根与系数的关系．
21．阅读下面的例题，解方程（x﹣1）2﹣5|x﹣1|﹣6=0，解方程x2﹣|x|﹣2=0；
解：原方程化为|x|2﹣|x|﹣2=0．令y=|x|，原方程化成y2﹣y﹣2=0
解得：y1=2y2=﹣1
当|x|=2，x=±2；当|x|=﹣1时（不合题意，舍去）
∴原方程的解是x1=2，x2=﹣2．
【考点】换元法解一元二次方程．
【专题】计算题．
【分析】将方程第一项（x﹣1）2变形为|x﹣1|2，设y=|x﹣1|，将方程化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为|x﹣1|的值，利用绝对值的代数意义即可求出x的值，即为原方程的解．
【解答】解：原方程化为|x﹣1|2﹣5|x﹣1|﹣6=0，
令y=|x﹣1|，原方程化成y2﹣5y﹣6=0，
解得：y1=6，y2=﹣1，
当|x﹣1|=6，
x﹣1=±6，
解得x1=7，x2=﹣5；
当|x﹣1|=﹣1时（舍去）．
则原方程的解是x1=7，x2=﹣5．
【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，绝对值的代数意义，以及解一元二次方程﹣分解因式法，弄清题意阅读材料中的例题的解法是解本题的关键．
22．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0，若等腰三角形ABC的一边长a=4，另
一边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
【考点】一元二次方程的应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】计算题．
【分析】先利用因式分解法求出两根，再根据a=4为底边，a=4为腰，分别确定b，c的值，进而求出三角形的周长即可．
【解答】解：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2=0，
整理得（x﹣2）[x﹣（2k﹣1）]=0，
∴x1=2，x2=2k﹣1，
当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c，
因为b、c恰是这个方程的两根，则2=2k﹣1，
解得k=1.5，
则三角形的三边长分别为：2，2，4，
∵2+2=4，这不满足三角形三边的关系，舍去；
当a=4为等腰△ABC的腰，
因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k﹣1=4，
则三角形三边长分别为：2，4，4，
此时三角形的周长为2+4+4=10．
∴△ABC的周长为10．
【点评】考查一元二次方程的应用；分类探讨a=4是等腰三角形的一边的情况是解决本题的难点．
23．在2010年上海世博会期间，某超市在销售中发现：吉祥物﹣“海宝”平均每天可售出20套，每件盈利40元．国庆长假商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每套降价4元，那么平均每天就可多售出8套．要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元，那么每套应降价多少？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】设每套降价x元，那么就多卖出2x套，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，每天在销售吉祥物上盈利1200元，可列方程求解即可．
【解答】解：设每套降价x元，
由题意得：（40﹣x）=1200
即2x2﹣60x+400=0，
∴x2﹣30x+200=0，
∴（x﹣10）（x﹣20）=0，
解之得：x=10或x=20
为了减少库存，所以x=20．
答：每套应降价20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到关键描述语，找到等量关系，然后准确的列出方程是解决问题的关键．最后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
24．现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab
（1）求4※7的值；
（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；
（3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）根据新运算得出4×4×7，求出即可；
（2）根据新运算的定义得出4x2+8x﹣32=0，求出方程的解即可；
（3）新运算的定义得4ax=x，求出（4a﹣1）x=0，根据不论x取和值，等式恒成立，得出4a ﹣1=0，求出即可．
【解答】解：（1）4※7=4×4×7=112；
（2）由新运算的定义可转化为：4x2+8x﹣32=0，
解得x1=2，x2=﹣4；
（3）∵由新运算的定义得4ax=x，
∴（4a﹣1）x=0，
∵不论x取和值，等式恒成立，
∴4a﹣1=0，
即．
【点评】本题考查了解一元二次方程和新运算的定义，关键是理解新运算的定义，题目比较好．
25．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1（m≠0）的图象经过点（1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标；
（3）x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把点（1，0）代入y=x2﹣2mx+m2﹣1，解方程求出m的值即可；
（2）令x=0，得y=3，即可得出C点坐标．将抛物线解析式配方成顶点式，即可得出顶点D 的坐标；
（3）由两点之间线段最短知PC+PD≤CD，得出当C，P，D三点共线时，PC+PD最短．由待定系数法求出直线CD的解析式，即可求出点P坐标．
【解答】解：（1）把点（1，0）代入y=x2﹣2mx+m2﹣1，
得：12﹣2m+m2﹣1=0，
解得：m=2，或m=0（不合题意，舍去），
∴m=2，
∴二次函数的解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）令x=0，得y=3，
∴C点坐标为（0，3）．
将y=x2﹣4x+3配方得：y=（x﹣2）2﹣1，
∴D点坐标为（2，﹣1）．
（3）存在；点P的坐标为（1.5，0）．理由如下：
由两点之间线段最短知PC+PD≤CD，
∴当C，P，D三点共线时，PC+PD最短．
设直线CD的解析式为y=kx+b，
根据题意得：，
解得：k=﹣2，b=3，
直线CD的解析式为：y=﹣2x+3，
当y=0时，x=1.5，
∴点P的坐标为（1.5，0）．
【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、一次函数解析式的求法、抛物线的顶点坐标、抛物线与y轴的交点、最短线段问题等知识；本题综合性强，有一定难度，确定二次函数和一次函数解析式是解决问题的关键．
26．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2）．
（1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价﹣成本）
（2）求图2中表示一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30
000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】数形结合．
【分析】（1）从图易知3月份每件商品售价6元，成本1元，易求利润；
（2）根据图象特征抛物线的顶点为（6，4），可设抛物线的解析式为Q=a（t﹣6）2+4，将点（3，1）代入可得出函数解析式．
（3）根据利润的计算方法，显然需求直线解析式，再求差，运用函数性质计算利润．【解答】解：（1）由图象知：3月份每件商品售价6元，成本1元，
故可得，一件商品在3月份出售时的利润为5元．
（2）由图知，抛物线的顶点为（6，4），
故可设抛物线的解析式为Q=a（t﹣6）2+4．
∵抛物线过（3，1）点，
∴a（3﹣6）2+4=1．
解得．
故抛物线的解析式为Q=﹣（t﹣6）2+4，
即，其中t=3，4，5，6，7．
（3）设每件商品的售价M（元）与时间t（月）之间的函数关系式为M=kt+b．
∵线段经过（3，6）、（6，8）两点，
∴
解得
∴，其中t=3，4，5，6，7．
故可得：一件商品的利润W（元）与时间t（月）的函数关系式为：W=M﹣Q=
=．
即，
其中t=3，4，5，6，7．
当t=5时，W有最小值为元，
即30000件商品一个月内售完至少获利=110000（元）．
答：该公司一个月内至少获利110000元．
【点评】此题考查了二次函数的应用，及待定系数法求二次函数解析式的知识，难点在第3个问题：表示利润，注意配方法求二次函数最值的应用，难度较大．