坐标系与参数方程教案

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坐标系与参数方程

1、 极坐标系

必备知识

（1） 极坐标系的概念

在平面内任取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一

个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。

设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记做；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为。有序数对（,）叫做点M的极坐标，记作（,）。

（2） 极坐标和直角坐标的互化

设M是平面内任意一点，它的直角坐标是yx,，极坐标是（,），可以得出它们之间的关系：cosx，siny。又可得到关系式：222yx，)0(tanxxy。这就是极坐标与直角坐标的互化公式。

（3） 圆的极坐标方程

① 圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为R；

② 圆心在极轴上的点（a,0）处，且圆过极点O的圆的极坐标方程为cos2a；

③ 圆心在点)2,(a处且过极点的圆的极坐标方程为0,sin2a。 名师精编 精品教案

例题选讲

例1．在极坐标系中，过圆=6cos的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为

分析：把极坐标方程化为普通方程求出直线，再得到极坐标方程。

解：由题意可知圆的标准方程为2239xy，圆心是(3．0)

所求直线标准方程x＝3，则坐标方程为cos＝3．

答案：cos＝3．

评注：在研究极坐标问题时常常要把极坐标方程转化为普通方程解决问题。

例2．（08广东卷理13）已知曲线12CC，的极坐标方程分别为cos3，π4cos002，≥≤，则曲线1C与2C交点的极坐标为 ．

分析：本题给出的是极坐标方程，而所求的交点为极坐标，可以直接求解。

解：联立解方程组cos3(0,0)4cos2解得236,即两曲线的交点为(23,)6。

答案：(23,)6

评注：本题中的已知与所求都是极坐标问题，所以可以直接求解。当然也可以转化为普通方程解答。

例3．（2009大丰市）已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值。

分析：可以把极坐标方程转化为普通方程，再结合图形解答问题。 名师精编 精品教案

解：将极坐标方程转化成直角坐标方程：ρ=3cosθ即：x2＋y2=3x, (x－32)2＋y2=94

ρcosθ=1即x=1直线与圆相交。所求最大值为2，最小值为0

评注：将极坐标方程转化为普通方程是解决两曲线位置关系的重要方法。

例4．（2008盐城市）在极坐标系中,设圆3上的点到直线cos3sin2的距离为d,求d的最大值.

分析：已知圆为极坐标方程，可以转化为普通方程，然后改写为参数式即可表示出圆上任意一点的坐标，并把直线的极坐标方程转化为普通方程，圆上的点的坐标可以表示出来，由点到直线的距离公式即可求出。也可以转化为圆心到直线的距离利用数形结合的思想解答。

解法一、将极坐标方程3转化为普通方程：229xy， cos3sin2可化为32xy，在229xy上任取一点A3cos,3sin,则点A到直线的距离为

03cos33sin26sin(30)222d,它的最大值为4

解法二、将极坐标方程3转化为普通方程：229xy， cos3sin2可化为32xy，则圆心到直线的距离为1，圆的半径为3，所以圆上的点到直线的最大距离为4。

评注：在求点线距离时常常转化为普通方程解答，而且要学会转化的思想和数形结合的思想。

2、 参数方程

必备知识

（1）直线的参数方程

若直线过00,yx，为直线倾斜角，则直线的参数方程为sincos00tyytxx这是直线的参数方程，其中参数t有明显的几何意义。

（2）圆的参数方程

若圆心在点),(000yxM，半径为R，则原的参数方程为名师精编 精品教案

20,sin,cos00RyyRxx。

（3）椭圆的参数方程

若椭圆的中心不在原点，而在点),(000yxM，相应的椭圆参数方程为20,sin,cos00tbyytaxx

（4） 双曲线的参数方程

双曲线)0,0(12222babyax的参数方程为tansecbyax

例题选讲

例1．（08海南、宁夏理）已知曲线C1：cossinxy，（为参数），

曲线C2：22222xty，（t为参数）．

（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；

（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线12CC，．写出12CC，的参数方程．1C与2C公共点的个数和C21C与公共点的个数是否相同？说明你的理由．

分析：从参数方程来看曲线C1为圆，曲线C2为直线，也可以通过消参数，求得曲线的普通方程判断。并由参数方程进行图象的变换，得到曲线12CC，，再将其方程化为普通方程解方程组判断其交点的个数。

解：（Ⅰ）1C是圆，2C是直线．1C的普通方程为221xy，圆心1(00)C，，半径1r．

2C的普通方程为20xy．因为圆心1C到直线20xy的距离为1，

所以2C与1C只有一个公共点． 名师精编 精品教案

（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为1C：cos1sin2xy，（为参数）；

2C：22224xtyt，（t为参数）．化为普通方程为：1C：2241xy，2C：1222yx，

联立消元得222210xx，其判别式2(22)4210，所以压缩后的直线2C与椭圆1C仍然只有一个公共点，和1C与2C公共点个数相同．

评注：本题较为综合的考查了参数方程和普通方程之间的转化，在研究图象的伸缩变换时用参数方程比较容易得到。而判断两曲线的位置关系则用普通方程通过解方程组得到较好。

例2．（20XX年广东省深圳市）若直线bxy与曲线sincosyx(为参数，且)22有两个不同的交点，则实数b的取值范围是__________．

分析：本题中参数方程表示的是圆的一部分，可以通过图形解答。

解：曲线sincosyx(为参数，且)22表示的以原点为圆心，以1为半径的右半圆，如图，直线bxy与曲线有两个不同的交点,直线应介于

两直线之间则(2,1]b

答案：]1,2(

评注：对于熟悉的曲线常用数形结合法解答.

例3．（20XX年广东，理13）在平面直角坐标系xＯy中，直线L的参数方程为t3y3tx－＝＋＝，（参数Rt），圆Ｃ的参数方程为2sin2ycos2x＋＝＝（参数2 0，），则圆Ｃ的圆心坐标为 ，圆心到直线L的距离为 。 名师精编 精品教案

分析：把参数方程转化为普通方程,并由点到直线的距离公式求解.

解：消去2sin2ycos2x＋＝＝的参数，得2224xy；消去t3y3tx－＝＋＝的参数t，

得x＋y＝6，所以圆Ｃ的圆心坐标是（0，2）。圆心到直线L的距离是11620＝22，

或直线的方程为x+y-6=0，圆心到直线L的距离是d=|26|222。

答案：（0，2）；22

评注：对于含有正弦余弦的参数方程常常利用正弦余弦的平方和消参转化.

例4．（2008江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，点()Pxy，是椭圆2213xy上的一个动点，求Sxy的最大值．

分析：由于已知条件椭圆为二次式，而所求为一次式，所以要求Sxy的最大值需要把椭圆的方程改写为参数方程变为一次运用代入求之。

解： 因椭圆2213xy的参数方程为3cos (sinxy为参数），

故可设动点P的坐标为(3cos,sin），其中02.

因此313cossin2(cossin)2sin()223Sxy

所以，当6时，S取最大值2。

评注：在所求函数为一次，而已知为二次时，常常用曲线的参数方程求出，其实质为换元或为三角代换，目的就是降次。

例5．（江苏省南通市2008-2009）求直线12,12xtyt（t为参数）被圆3cos,3sinxy（α为参数）截得的弦长．

分析：把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长。 名师精编 精品教案

解：把直线方程12,12xtyt化为普通方程为2xy．将圆3cos,3sinxy化为普通方程为229xy．圆心O到直线的距离222d，弦长22229227LRd．

所以直线12,12xtyt被圆3cos,3sinxy截得的弦长为27．

评注：消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参。

3、 极坐标方程与参数方程混合

例1．（2008南通四县市）已知曲线C的极坐标方程是4cos．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：21222xtyt，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．

分析：本题中的曲线为极坐标方程，直线为参数方程，要求弦长，就要把它们都统一成普通方程，再进一步解答。

解：曲线C的极坐标方程是4cos化为直角坐标方程为2240xyx，

即2224xy，直线l的参数方程21222xtyt，化为普通方程为x－y－1=0，

曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为1222，所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长1242=14．

评注：在题目中同时出现极坐标方程和参数方程的问题，要统一成普通方程解答；对于直线被圆截得的弦长一般由圆心距和半径求出。

例2．（2008宁夏银川一中）已知椭圆C的极坐标方程为222sin4cos312，点F1、